线性代数第17讲

11111000c0 cc1c c 1111c1 1c0cc0 0 0 c 1 0 1 aabb11c111bb111c 0a0aaaabba0cb0b00c0b1b1bc1cca12aabc 1 1 0
00000b11b1ccc1caa a 111101 0b1bb1 a 1c a 0 1 1
10 1
a2 a1 x
证明 按第一列展开, 有
x 1
00
1 0
0x
00
x 1
Dn x 00
(1)n1 an
x 1
00
an1 an2
a2 a1 x
00
xDn1 an x 2 Dn2 an1 x an 右。
00 00
1 0 x 1
1 a1 1
(2)
1 Dn
1 a2
11
证明
1
1
n1
a1a2 an (1 i1 ai )
1
0
0
0
a1
1
0
0
a12
a2 a1
a3 a2
a4 a2
3
a14 (a22 a12 )(a2 a1 ) (a3 a2 ) aia j (a4 a2 )
aia j
i j1
i j1,2,4
D (a2 a1)(a3 a1)(a4 a1)(a3 a2 )(a4 a2 )
1
0
0
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
01 00 00
a0 n1
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00

10 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
由方程组的四个系数确定.
3 2020/6/16 线性代数 Hainan University
D2
a11 a21
b1 . b2
8 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
第一章 行列式
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
a11 x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22

a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
N i1i2 in N j1 j2 jn
aij
nn

j1 j2
1
jn
N j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
i1i2
1
in
N i1i2
1
增加未知量的个数（二元、三元方程组） ；②增加未知量的 幂次（一元二次方程） 。韦达曾经这样地描述过“算术”与 “代数” ：所谓“算术” ，即仅研究关于具体数的计算方法； 所谓“代数” ，即是研究关于事物的类或形式的运算方法— 字母表示数的思想方法是代数学发展史上的一个重大转折。 代数学的深化阶段即是高等代数阶段。十七世纪下半叶，从 研究线性方程组的解出发， 在莱布尼茨、 凯莱等人的努力下， 建立了以行列式、矩阵和线性方程组为主要内容的线性代 数，标志着高等代数理论体系的建立。由于计算机的飞速发 展与广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算加 以解决；作为处理离散问题的线性代数，已成为科研与设计 等的必备数学基础。代数学的抽象化阶段—近世代数（抽象 代数）产生于十九世纪，其研究各种抽象的合理化的代数系 统，包括群论、环论、线性代数等许多分支。一般认为，其 形成的时间为 1926 年；从此代数学的研究对象由代数方程 根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代 数运算规律和各种代数结构。
in
ai1 ,1ai2 ,2
ain ,n

1, 2,
i1i2 in j1 j2 jn
1
ai1 ai2 j2
这里， j1 j2 ain jn ，
jn 表示求和取遍

03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、

从图2中可以看出：
• 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解；
• 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，该齐 次线性方程组有无穷多解，且其对应的解空间是一维的；
• 方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程组无 解；
• 方程组（4）也无解。
现在十二页，总共二十五页。
二阶、三阶行列式的几何意义
3x1 x2 x3 0
(3)
5x1 7x2 x3 5 x1 4x2 x3 12
x1 4x2 x7 x2 x3 10
x3 15
现在十页，总共二十五页。
利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：
图2 三元线性方程组解的几何意义
现在十一页，总共二十五页。
syms x1 x2
% 定义x1、x2为符号变量
U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])
% 把增广矩阵通过初等行变换 % 变为最简阶梯矩阵
subplot(2,2,1)
ezplot('x1+2*x2=5')
% 准备画2×2个图形中的第一个 % 绘制直线x1+2*x2=5
hold on
ezplot('2*x1-3*x2=-4')
现在十八页，总共二十五页。
用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形： B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')
线性代数概念的几何意义

h (i) 0 ,i 1 ,2 ,, n 1 ,
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P

实现光照模型、纹理映射等技术。
思考题：向量内积的性质推导与证明
推导与证明
向量内积具有一些重要的性质，如对称性、正定性、交换律等。这些性质可以通过向量的定义和代数 运算规则进行推导和证明。
思考题
请根据向量的定义和代数运算规则，推导向量内积的对称性和正定性，并解释其几何意义。同时，请 思考向量内积在解决实际问题中的应用，并给出相应的实例。
分配性
$(lambdamathbf{u}
+
mumathbf{v}) cdot mathbf{w}
= lambda(mathbf{u} cdot
mathbf{w}) + mu(mathbf{v}
cdot mathbf{w})$。
向量内积与欧几里得范数的关系
向量内积与欧几里得范数的关系
对于任意向量$mathbf{u}$，有$|mathbf{u}|^2 = mathbf{u} cdot mathbf{u}$，其中$|cdot|$表示欧几里得范数。
可以用来计算向量在单位向量上的投影长度，即向量内积的长度。
向量内积的长度和角度解释
总结词
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。
详细描述
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。具体来说，对于任意两个向量A和B，它们的夹角 θthetaθ可以通过计算A·B∣A∣∣B∣arccos(frac{A cdot B}{|A| |B|})∣A∣∣B∣arccos(∣A∣∣B∣A⋅B)得到。其中，A⋅B A cdot B A⋅B表示向量A和B的内积，∣A∣ |A|∣A∣和∣B∣ |B|∣B∣分别表示向量A和B的模长。
正交性
如果两个向量正交，则它们的内积为0。反之，如果两个非零向量的内积为0， 则这两个向量正交。

an1x1 an2 x2 ann xn 0
则它的的系数行列式为零.
8
克莱姆法则
x y z 0
例1
为何值时，方程组
x
y
z
0
有非零解？
2x y z 0
解
1 1
D 1 1 3 1 2 2 3 1 0 1
2 1
故当 1时，方程组有非零解.
9
克莱姆法则
故 x D1 2，y D2 3，z D3 4.
D
D
D
10
克莱姆法则
例3 证 定理2
(a11
1 2
)
x1
a12 x2
a1n xn 0
证明方程组
a21x1
(a22
1 2
)
x2
a2n xn 0 有唯一解，其中aij都是整数。
an1x1 an2 x2
(ann
1 2
)
xn
0
根据定义，除主对角线 上的元素之乘积为奇数， 其余乘积均是偶数
例2
x2 2x3 5
解方程组
x1
x2
4x3
11
2x1 x2 1
012
解
系数行列式 D 1 1 4 2 0 根据克莱姆法则知方程组有唯一解
2 1 0
5 1 2 D1 11 1 4 4
1 1 0
0 5 2
0 1 5
D2 1 11 4 6 D3 1 1 11 8
210
2 1 1
Dn x12
x22
x32
1
xn
xn2
( xi x j )
1 jin
x x x n1
n 1
n 1
1

= λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4.
第 3 行的λ + 1倍加到第 4 行 第 2 行的λ2 + λ + 2倍加到第 4 行 第 1 行的λ3 + λ2 + 2λ + 3倍加到第 4 行
第 4 行展开
第 17 页
（1）(2018,3) 答案 2
解析:
A12 = (−1)1+2 3
2 −1 = − 1
11
1 0 =−
= 1,
87
034
8 70
A11 − A12 = −3 − 1 = −4. (方法二）
A11 − A12 = 1 · A11 + (−1) · A12 + 0 · A13 + 0 · A14 1 −1 0 0 −2 1 −1 1
= 3 −2 2 −1 0034
1 −1 0 0 0 −1 −1 1 = 0 1 2 −1 00 3 4
−1 −1 1 = 1 2 −1
034
−1 −1 1
10
= 0 1 0 =−
= −4.
34
0 34
（行列式按第一行展开式） （第一行倍数分别加二、三行）
（按第一列展开） （第一行加第二行）
行列式的计算方法很多，比如一开始还可以用第一列加到第二列. 请同学们自己多多练习.
《2020 线性代数辅导讲义》 练习参考答案
- 2019 年 4 月 18 日-
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第 2 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 第 15 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 第 17 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第 22 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第 28 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第 43 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第 47 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第 51 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 第 54 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 第 59 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 第 71 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 第 74 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 第 78 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第 79 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第 85 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 第 94 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 第 98 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 第 100 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 第 103 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 第 109 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 第 120 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 第 125 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第 145 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第 149 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第 158 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 第 164 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 第 169 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 第 175 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22