6-1弹性力学平面问题(基本理论)
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平⾯问题的基本理论弹性⼒学⽹上辅导3平⾯问题的基本理论⼀、两类平⾯问题1.平⾯应⼒问题。
这类问题的条件是:弹性体是多厚度的薄板,体⼒、⾯⼒和约束都只有xy 平⾯内的量,都不沿Z向变化;并且⾯⼒和约束只作⽤于板边,在板⾯上没有任何⾯⼒和约束的作⽤。
平⾯应⼒问题特征是:⑴由于板⾯上⽆⾯⼒和约束作⽤,以及薄板很薄,可以得出(σz,τzx和τxy)=0(在平⾯域A内)。
因此,只有σx,σy,τxy三个平⾯内的应⼒分量。
⑵由于物体形状和外⼒、约束沿z向均不变化,因此应⼒分量只是X,y两变量的函数。
以后还可从物理⽅程得出,应变分量也只是X,y的函数;⽽从⼏何⽅程积分求位移可见,位移与Z有关。
归纳起来讲,所谓平⾯应⼒问题,就是只有平⾯应⼒分量(σx,σy和τxy)存在,且仅为X,y的函数的弹性⼒学问题。
例如,厚度较薄的浅梁和深梁,受上部荷载及⾃重的墙,以及有分缝的重⼒坝等,都属于平⾯应⼒问题,凡是符合上述这两点的问题,均属于平⾯应⼒问题。
2.平⾯应变问题这类问题的条件是:弹性体为常截⾯的很长柱体,体⼒、⾯⼒和约束条件与平⾯应⼒问题相似,只有xy平⾯内的体⼒、⾯⼒和约束的作⽤,且都不沿z向变化。
这个问题可以简化为平⾯应变问题。
平⾯应变问题特征是:⑴假想柱体为⽆限长时,则任⼀截⾯(z⾯)都是对称⾯,于是ω=0,只有平⾯位移分量u和v存在,因此,此问题可称为平⾯位移问题;同样由于对称性,εz =0和γzx,γzy=0(相应的τzx,和τzy=0),只有平⾯应变分量εx ,εy, τxy存在,所以此问题⼜称为平⾯应变问题。
⑵由于截⾯形状、体⼒、⾯⼒及约束沿z向均不变,因此,它们只是X,y 的函数。
由此可见,所谓平⾯应变问题,就是只有平⾯应变分量(εz ,εy和τxy,)存在,且仅为x,y的函数的弹性⼒学问题。
进⽽可认为,凡是符合这两点的问题,也都属于平⾯应变问题。
⼆、平衡微分⽅程平衡微分⽅程表⽰区域内任⼀点(x,y)的微分体的平衡条件。
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体,且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此,所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是,当所考察的物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维)问题,即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化,且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知,弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种,本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的,但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题,由于在z 方向自成平衡,因此,两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。
1—1)1。
2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系,因此,对于两类平面向题均有 xvy u ,yv ,xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2) 由式(6。
1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1—3) 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题,因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。
1—4a ) 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122(6。