6-1弹性力学平面问题(基本理论)

在局部边界上，可由静力等效力系替代面力
三. 位移法
仿拉梅位移方程推导
平面问题用位移表示的平衡微分方程为
E 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 x E 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 y
§6-2
平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程
x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2. 几何方程
u x 应变协调方程 v y y v u xy x y
x
x 2 2 xy y x
第六章
§6-1
弹性力学平面问题
平面问题的概念
§6-2
§6-3
平面问题的基本解法
应力函数与应力函数解法
§6-4
§6-5
平面问题在直角坐标系下求解
平面问题在极坐标系下求解
§6-1
平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。 平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
2
2 y
2 xy
3. 物理方程
或
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件 2. 应力边界条件
u S u
v S v
( x ) S l1 ( yx ) S l2 px ( xy ) S l1 ( y ) S l2 p y
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2
如图所示，试写出其边界条件。
p(x) A
(1) AB段（y 0）： l1 0, l2 1 代入边界条件公式，有
p0
B
x px 0, p y p( x) p0 l

N l C
x
h
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
滚柱
厚壁圆筒
x
z 1
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0
对于平面应变问题，由 z xy)
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。
b x t y a y z
t a ， t b
—— 等厚薄平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 2. 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。 3. 简化分析 （1）应力分量 如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解上述方程的边值问题
说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。 （2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。 （3）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方 程退化可得
u v w G u ( G ) Fb x 0 x x y z
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
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简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
x cos 1 xy sin 1 0
y sin 1 xy cos 1 0
（ 1）
（ 2）
x cos 1 xy sin 1 0 y sin 1 xy cos 1 0
AC 边界：
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
2 2 2 xy y x （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2 2 xy y x 2 2 2 xy 2 x y xy 2 y 2 x 2 2C 2C 0 2C 2C 0 2 2 2 xy xy y y x x
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2
平面问题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x x y S 2 y x S v u 1 v u l1 l2 p y y x S 2 x y S
b x t y a y z
z z t
板面无面力，则
zx z t
2
0 因板很薄，且外力
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 0 各点都有：

2
zy z t 2
由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。 即 （2）应变分量
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解
是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条
件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （1） x x y ， y y ， xy xy 3； 2 4
y a
y
（2）应变分量 因位移分量与 z 无关，且 w 0，则由几何方程易知
（3）应力分量 由物理方程
1 E x x y 1 1 1 2 1 E y x y 1 1 1 2
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0

x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
由物理方程
显然
只与x、y有关。 可由 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即 但 （3）位移分量 通过几何方程分析 由 可知： u、v仅为x、y的函数
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
l2 cos( N , y) cos
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
z x y
xy G xy yz 0 zx 0
可见，独立的应力分量仅三个
即 但
z x y 0
（4）结论 平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
与平面应力问题的基本未知量相同。
但
简化的主要依据是
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
Fbx Fby ( x y ) (1 ) x y 平面问题的平衡微分方程为 x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2
（平面应变用1替换）
平面问题的应力边界条件
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题的位移边界条件
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
2
u v w G v ( G ) Fb y 0 y x y z
2
G 、 E 、
E 2 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 2 x E 2 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 2 y
l1 cos 2 cos 1 sin 1 l2
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h l1 1, l2 0 代入应力边界条件公式
3 3
—— 满足
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程： 2 2 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 2 2 ( x y y ) 3 y 3x 3 y 0 4 y 2 y x x ∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。