【金识源】高中数学 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定导学案 新人教A版必修2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l 1∥l 2⇔k 1=k 2.⑥l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.应用示例例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA 的斜率k BA =)4(203---=0.5, 直线PQ 的斜率k PQ =)3(112----=0.5, 因为k BA =k PQ .所以直线BA∥PQ.变式训练若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21 C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.解：AB 边所在直线的斜率k AB =-21, CD 边所在直线的斜率k CD =-21, BC 边所在直线的斜率k BC =23, DA 边所在直线的斜率k DA =23. 因为k AB =k CD ,k BC =k DA ,所以AB∥CD,BC∥DA.因此四边形ABCD 是平行四边形.变式训练直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l 2⊥x 轴；（3）a=_____________时，l 1∥l 2；（4）a=_____________时，l 1、l 2重合；（5）a=_____________时，l 1⊥l 2.答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5知能训练习题3.1 A 组6、7.拓展提升问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）图2解：直线l ：ax+y+3=0是过定点A （0，-3）的直线系，斜率为参变数-a ，易知PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为：k PQ =31，k AQ =37，k AP =35 ，k 1=-a. 若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得-37＜a ＜-31； 若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜-37或a ＞35； 若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得-31＜a ＜35. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.作业习题3.1 A 组4、5.设计感想本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.。

二、观察类比，探究新知
〔一〕两条直线平行的条件
思考：设两条直线1，2的斜率分别为1，2，当1结论：两条不重合的直线〔斜率存在〕
应用举例：
例1、A2，3，B–4，0，
N1,1,N3,-1,NPQ为矩形
〔4〕A1,-1,B2,2,C3,0三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB,且CB
【板书设计】
§两条直线平行与垂直的判定
一、两直线平行判定条件：例1、例2
二、两直线垂直判定条件：例3、例4
【作业布置】
1 A组：教材P89习题A组4、6、7；
B组：教材P89练习1、2题
2课时训练完成
2021年全国中小学教师信息化教学设计能手大赛
科目
数学
授课题目
§两条直线平行与垂
〔1〕理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；
〔2〕会运用条件判定两直线是否平行或垂直
【过程与方法】
〔1〕通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力；
难点：启发学生把研究两条直线平行或垂直问题转化为研究两条直线斜率的关系问题
教学
用具
多媒体、教材、
教案
课时
安排
1课时
教学
方法
合作探究法、启发讲授法
教学过程与教学内容
一、复习引入，揭示课题
1、什么叫倾斜角？它的取值范围是什么？
2、什么叫斜率？如何计算呢？
3、斜率是刻画直线倾斜程度的量，当两条直线相互平行或相互垂直时，它们之间的斜率有何关系？
〔2〕通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题的能力
【情感态度与价值观】
〔1〕通过本节课的学习让学生感到几何与代数有着密切的联系，对解析几何有感性的认识；

科目：数学课 堂 教 学 导 学 案 课题：两条直线平行与垂直的判定高一年级 部主备人：朱志强 时间：20 年 月 日 任课教师：________【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；（重点）2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）【复习回顾】1、取x 轴作为基准，x 轴_____与直线 l_____之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 ．2、一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率. 即：k=________3、直线的倾斜角和斜率刻画的是直线的________________【引入新课】1.平面内两条直线有哪些位置关系？2.能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？【课堂探究】12121212,,l l k l l k k k 思考1 设两条直线的斜率分别为，∥时，与满足什么关系？1212,l l l l 设两条直线的斜率都思考2 不存在，两直线与有 何位置关系？两条直线平行的判定，的斜率分别为与设两条直线2121,k k l l 12//l l ⇔ 特别地，两直线斜率不存在时，倾斜角都为 时，它们互相平行或重合.例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论.例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.变式训练1、(市学案P141 T6)经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°的直线平行，则a=______2、试确定m 的值，使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P （1,2），Q （-5,0）的直线平行12121212,,,l l k k l l k k ⊥ 设两条直线的斜率分别为时，与满足什思考3么关系？112120,,l k l l l =⊥设两条直线的斜率的斜率不存在吗？思考4两条直线垂直的判定1212,l l k k 设两条直线与的斜率分别为， 12l l ⊥⇔特别地，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线互相垂直.例3 已知A （-6，0），B （3，6），P （0，3），Q （6，-6），试判断直线AB 与PQ 的位置关系。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【学习目标】理解并掌握由直线斜率判断直线位置关系的方法。

【学习重点】通过直线斜率，判断两条直线的位置关系【知识链接】直线的倾斜角为，则此直线的斜率.当______时，k>0； 当______时，k=0；当______时，k<0； 当______时，k 不存在【基础知识】时，满足什么关系？时，位置关系如何？垂直，则满足什么关系？时，位置关系如何？【例题讲解】例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.变式迁移1 若A( -2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线，则m 的值为( ) A. B.- C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,,m=. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断α=k αtan αααα21//l l 21k k 与21k k =21l l 与21l l 与21k k 与121-=k k 21l l 与21212132122332-+=+--m 21四边形ABCD 的形状，并给出证明.变式迁移2直线：ax+3y+1=0，：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为，（1）a=_____________时， =150°；（2）a=_____________时，⊥x 轴；（3）a=_____________时，；（4）a=_____________时，重合；（5）a=_____________时，答案：（1） （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5例3．判断以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形的形状.k AB ＝－1－12－－1＝－23. k AC ＝4－11－－1＝32， 由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．【达标检测】1．下列说法正确的有(A )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2.则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．过点A (1,2)和点B (－3,2)的直线与x 轴的位置关系是( B )A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对3．经过(m,3)与(2，m )两点的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值为(D )1l 2l 21,αα21,k k 1α2l 21//l l 21,l l 21l l ⊥3A ．－75 B.75C ．－145 D.1454．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．45．过点A (0，73)，B (7,0)的直线l 1与过点C (2,1)，D (3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( B )A ．－3B ．3C ．－6D ．66．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2过点A (1,2)，B (2，a )．若l 1∥l 2，则a 值为____5 ____；若l 1⊥l 2，则a 值为___53_____． 7．已知M (1，－3)，N (1,2)，P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )＝___23_____. 8．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为(－9,0) 时，AB ⊥CD .9．(12分)当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan135°＝－1. 解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3， 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34，或m ＝－1. 10．(13分)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．【问题与收获】。