高中数学讲义微专题79 利用点的坐标解决圆锥曲线问题
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的中点为
T
2 3
c,
2 3
c
，
r
1 2
PB
1 2
4 3
c
0
2
1 3
c
c
2
5c 3
圆方程为
x
2 3
c
2
y
2 3
c
2
5c2 9
设直线 l ： y kx
2 kc 2 c
dT l
3
3 5 c ，整理可得：
k2 1
3
2 3
k
2 3
2
5 9
k2 1
k 2 8k 1 0 ，解得：
，代入到直线方程可得：
y0
4k 2k 2 1
P
4k 2 2k 2
2 1
,
4k 2k 2
1
4k
kBP
2k 2 1 4k 2 2 2k 2 1
2
1 2k
BP : y 1 x 2 ，由 AP : y k x 2 ，令 x 0 可得：
2k
M
0,
2k
,
N
0,
1 k
设
Q
x1,
② 若 PM sin BQP 7
5
，求椭圆方程
9
解：（1）由 e c 5 可知 a : b : c 5 : 2 :1 a5
设 F c,0 ， B 0,b 0,2c
kBF
2c 0
0 c
2
（2）① 设 P x1, y1 ,Q x2, y2
BP : y 2x 2c
a :b :c 5 : 2:1
可得 Q x1, y0 。若要证明 MQN 为定值，可从 MQN 的三角函数值下手，在解析中角的
余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑
cos MQN
QM QN
，模长并不利于计算，所以先算 QM QN ，考虑利用条件设出
QM QN
AP, BP 方程，进而 M , N 坐标可用核心变量 x0, y0 表示，再进行数量积的坐标运算可得
例 1：已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 C
的短轴为直径的圆 O 经过这两个焦点，点 A, B 分别是椭圆 C
的左右顶点
（1）求圆 O 和椭圆 C 的方程
（2）已知 P,Q 分别是椭圆和圆上的动点（ P,Q 位于 y 轴的两侧），且直线 PQ 与 x 轴平行，
y0
，则
QM
x1, 2k
y0
,QN
x1,
1 k
y0
QM QN
x12
2k
y
0
1 k
y0
x12
y02
2
2k2 k
1 y0
由Q
在圆上可得：
x12
y02
2 ，再由
y0
4k 2k 2 1
代入可得：
QM
QN
2
2
2k 2 1 k
4k 2k 2 1
0
QM QN ，即 MQN 为定值 2
DF2 2
DF1 2
F1F2 2
9 2
DF2
32 2
2a DF1 DF2 2 2 a 2
b 1
椭圆方程为： x2 y2 1 2
（ 2 ） 如 图 ： 设 圆 与 椭 圆 x2 y2 1 相 交 ， 2
P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 是两个交点
y1 0, y2 0 ， F1P1, F2P2 是圆的切线，且 F1P1 F2P2 ，则
2 2
P1P2
2
x1
42 3
x2 例 4：已知椭圆 a2
y2 b2
1a
b
0 的焦距为 4 ，设右焦点为 F1 ，离心率为 e
（1）若 e
2
，求椭圆的方程
2
（2）设 A, B 为椭圆上关于原点对称的两点， AF1 的中点为 M ， BF1 的中点为 N ，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上
微专题 79 利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体 代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心 去处理问题。 一、基础知识： 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将 其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理” 的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解
直线 AP, BP 分别与 y 轴交于点 M , N ，求证： MQN 为定值 解：（1）依题意可得 2a 4 a 2 ，O 过焦点，且 r b b c ，再由 b2 c2 a2 4 可得 b c 2
椭圆方程为 x2 y2 1 ，圆方程为 x2 y2 2 42
（2）思路：条件主要围绕着 P 点展开，所以以 P 为核心，设 P x0, y0 ，由 PQ 与 x 轴平行，
k 4 15
直线 l 的斜率为 4 15 或 4 15
例
3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左右焦点分别为 F1, F2
，点
D 在椭圆上， DF1
F1F2 ,
F1F2 DF1
2
2 ， DF1F2 的面积为
2 2
（1）求椭圆的标准方程
（2）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在
称性可得：
x2 x1, y1 y2 P1P2 2 x1
由（1）可得 F1 1,0, F2 1,0
F1P1 x1 1, y1 ,F2P2 x2 1, y2 x1 1, y1
F1P1
F2 P2
F1P1
F2 P2
0
x1
12
y12
0
，
联立方程
x1
x12
2
12
y12 1
椭圆方程为： x2 5c2
y2 4c2
1
4x2
联立方程：
x1 x2 , x1x2 , y1 y2 , y1 y2 形式的约束
（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得 复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑 把点的坐标解出来（用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或 因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能 够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题：
这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径
解：（1）设 F1 c,0, F2 c,0 ，由
F1F2F1F2 22
2c 2
SDF1F2
1 2
F1F2
DF1
1 2c 2
2c 2
2 ，解得 c2 1 c 1 2
F1F2 2, DF1
2 2
在 DF1F2 中，
经常与 x1 x2 , x1x2 , y1 y2 , y1 y2 相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几
个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具， 只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为
5 5
（1）求直线 BF 的斜率
（2）设直线 BF 与椭圆交于点 P（ P 异于点 B ），过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q
（ Q 异于点 B ），直线 PQ 与 y 轴交于点 M ， PM MQ ① 求 的值
b2
1
消去
kx 2 4
x
可得：
1 a2
k2 b2
=1 4
k2 1
（*）
而e
c a
2 a
, b 2
a2
c2
4 e2
4
， a2
4 e2
代入（*）可得：
k2
e4 2e2 1 2e2 1
3
e4
8e2 2e2
1
4
0
0 e 1
所以解得： 1 e2 4 2 3 2
2 e 31 2
例
5：已知椭圆
2
0
QM QN ，即 MQN 为定值 2
思路二：本题还可以以 AP, BP 其中一条直线为入手点（例如 AP ），以斜率 k 作为核心变量，
直线 AP 与椭圆交于 A, P 两点，已知 A 点坐标利用韦达定理可解出 P 点坐标（用 k 表示），从
而可进一步将涉及的点的坐标都用 k 来进行表示，再计算 QM QN 0 也可以，计算步骤如
① 证明：点 A 在定圆上
② 设直线 AB 的斜率为 k ，若 k 3 ，求 e 的取值范围
解：（1）依题意可得： c 2 a c 2 2 e
b2 a2 c2 4
所以椭圆方程为： x2 y2 1 84
（2）①思路：设 A x0, y0 ，则 B x0, y0 ，由此可得 M , N 坐标（用 x0, y0 进行表示），
x1,
x0 y0 x0 2
