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2018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理2０1８年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法(测） 理编辑整理：尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１8 年高考数学二轮复习 第 三篇 方法应用篇 专题３．6 等价转化法(测)理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理方法六 等价转化法总分 _＿_＿_＿＿ 时间 _＿＿____ 班级 ＿＿__＿__ 学号 ＿______ 得分_______（一） 选择题（１２*5=60 分)1。
【201６高考新课标 3】若 tan 3 ,则 cos2 2sin 2 (）4(Ａ） 64 25【答案】Ａ（B） 48 25(Ｃ） １（D) 16 25【解析】由tan 3 4，得sin 3 , cos 54 5或 sin3 5, cos4 5,所以cos22 sin216 25412 2564 25,故选 A.2。
若 的定义域为 ，恒成立,,则的解集为（ )A.B.C。
D。
【答案】B点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
某些 数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质， 那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全22018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。
能力升级练(三) 不等式一、选择题1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为())A.(-∞,0)∪(0,12)B.(-∞,12C.(1,+∞)2)D.(0,12x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<1;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以2).x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,122.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x) f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是()A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0成立,所以a+b<0,故选D.4.(2018湖州质检)若实数m,n满足m>n>0,则()A.-1a <-1aB.√a−√a<√a-aC.(12)a>(12)aD.m2<mnm=2,n=1,代入各选择项验证A,C,D不成立.√2-1<√2-1,只有B项成立.5.(2019四川绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2002×2=lg x+lg y=lg(xy),所以xy=10000,则x+y ≥2√aa =200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y 有最小值200.6.设a>0,若关于x 的不等式x+aa -1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2(1,+∞)上,x+aa -1=(x-1)+aa -1+1≥2√(a -1)×a(a -1)+1=2√a +1(当且仅当x=1+√a 时取等号).由题意知2√a +1≥5.所以a ≥4.7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为a8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产( ) A.60件B.80件C.100件D.120件x 件,则每件产品的生产准备费用是800a 元,仓储费用是a8元,总的费用是(800a +a 8)元,由基本不等式得800a +a 8≥2√800a ·a 8=20,当且仅当800a =a8,即x=80时取等号.8.(2019湖北孝感调研)“a>b>0”是“ab<a 2+a 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a>b>0,可知a 2+b 2>2ab ,充分性成立,由ab<a 2+a 22,可知a ≠b ,a ,b ∈R ,故必要性不成立.9.已知0<a<1a,且M=11+a+11+a,N=a 1+a +a1+a,则M ,N 的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定0<a<1a ,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=1-a 1+a +1-a 1+a =2-2aa1+a +a +aa >0,即M>N.故选A .二、填空题10.已知不等式mx 2+nx-1a <0的解集为x x<-12或x>2,则m-n= .m<0且-12,2是方程mx 2+nx-1a =0的两根,∴{-12+2=-aa ,(-12)×2=-1a2,解得{a =-1,a =32或{a =1,a =-32(舍).∴m -n=-1-32=-52. -5211.设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a-2b=m (a-b )+n (a+b ), 即4a-2b=(m+n )a+(n-m )b.于是得{a +a =4,a -a =-2,解得{a =3,a =1.∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.12.函数y=a 2+2a -1(x>1)的最小值为 .y=a 2+2a -1=(a 2-2a +1)+2a -2+3a -1=(a -1)2+2(a -1)+3a -1=(x-1)+3a -1+2≥2√3+2.当且仅当x-1=3a -1,即x=√3+1时,等号成立.√3+213.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y 的最小值为 .x>0,y>0,所以9-(x+3y )=xy=13x ·(3y )≤13·(a +3a 2)2,当且仅当x=3y ,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t>0,则t 2+12t-108≥0,所以(t-6)(t+18)≥0,又因为t>0,所以t ≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y )min =6.三、解答题14.(2019山东潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1a +1a的最小值.曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1,∴A(1,1).将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0), 可得m+n=1,∴1a +1a=(1a+1a)·(m+n)=2+aa+aa≥2+2√aa·aa=4,当且仅当aa =aa且m+n=1(m>0,n>0),即m=n=12时,取得等号.15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,故mx2-mx+m-6<0,则m(a-12)2+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)=m(a-12)2+34m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.所以m<67,则0<m<67.当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max =g (1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0.综上所述,m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.方法二 因为x 2-x+1=(a -12)2+34>0,又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6a 2-a +1. 因为函数y=6a 2-a +1=6(a -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可. 因为m ≠0,所以m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.。
中档小题(三)1．(2013·江西省高三上学期七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1，9)B ．[1，9]C ．[6，9)D ．(6，9] 2．(2013·荆州市质量检测)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝3xC ．y ＝－3xD ．y ＝4x3．(2013·南昌市第一次模拟测试)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a >0，b >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于( )A ．2 B.233C.322D. 3 4．(2013·长春市第一次调研测试)若x ∈(1，4)，设a ＝x 12，b ＝x 23，c ＝ln x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a 5．(2013·郑州市第二次质量检测)已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为( )A.105B.2105C.3105D.41056．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋17．(2013·广州市调研测试)在区间[1，5]和[2，4] 上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132 8．(2013·郑州市第一次质量检测)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为( )A ．2B ．8C ．14D ．209．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)10．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋211．(2013·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．12．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．13．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.14．(2013·武汉市高中毕业生调研测试)从圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0外一点P 向该圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |＝|PO |(O 为坐标原点)，则(1)|PT |的最小值为________；(2)|PT |取得最小值时点P 的坐标为________． 备选题 1．(2013·洛阳市统一考试)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π2．(2013·海淀区第二学期期中练习)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1，0)，则|PF ||P A |的最小值是( )A.12B.22C.32D.232 3．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．4．(2013·湖南省五市十校联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案：1．【解析】选D.依题意， P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －52a ＋1>33a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6，9]．2．【解析】选A.由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2为偶函数，∴a ＝0，∴f (x )＝x 3－2x ，f ′(x )＝3x 2－2.又f ′(0)＝－2，f (0)＝0，∴y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .3．【解析】选B.双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0，2)，由题意知点(33，2)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 4．【解析】选B.由于x >1，所以x 23>x 12>1，即b >a >1.又1<x <4，所以1<x <2，0<ln x <1，所以b >a >c .5．【解析】选B.依题意得AB →＝(2，2)，CD →＝(－1，3)，|CD →|＝10，AB →·CD →＝－2＋6＝4，向量AB →在向量CD →上的投影等于410＝2105.6．【解析】选C.由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＝ 2 014－1.7．【解析】选 B.方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b2e ＝c a ＝a 2－b 2a <32， 即⎩⎨⎧a 2>b 2a 2<4b 2，化简得⎩⎨⎧a >ba <2b，又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.8．【解析】选A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d (d >0)，则这五份分别是14－2d ，14－d ，14，14＋d ，14＋2d .又16(14＋14＋d ＋14＋2d )＝14－2d ＋14－d ，解得d ＝6.故14－2d ＝2.9．【解析】选C.当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此，m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.10．【解析】选D.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.11．【解析】身高在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a ，b ，c ；A ，B ，M ；从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内的结果有11种．故概率P ＝1115.【答案】111512．【解析】由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的全面积S ＝π×1＋π×9＋π×(4＋12)＝26π.【答案】26π13．【解析】当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.【答案】(－2)n －1 14．【解析】圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设P (x ，y )，由|PT |＝|PO |得(x －3)2＋(y －4)2－1＝x 2＋y 2，得3x ＋4y －12＝0，P 的轨迹为直线：3x ＋4y －12＝0，当圆心C到直线的距离最小时，切线PT 取最小值，|PT |min ＝125，此时P 点坐标为(3625，4825)．【答案】(1)125 (2)(3625，4825)备选题 1．【解析】选C.取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.2．【解析】选B.依题意知x ≥0，则焦点F (1，0)，|PF |＝x ＋1，|P A |＝（x ＋1）2＋y 2＝（x ＋1）2＋4x ，当x ＝0时，|P A ||PF |＝1；当x >0时，1<|P A ||PF |＝1＋4x（x ＋1）2≤1＋4x （2x ）2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x ≥0时，1≤|P A ||PF |≤2，22≤|PF ||P A |≤1，|PF ||P A |的最小值是22.3．【解析】设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a ≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a ≥1.【答案】[1，＋∞) 4．【解析】令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3d ＝12sin x，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．【答案】[－12，12]。
强化训练3 排列、组合、二项式定理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东泰安模拟](x －1x)22展开式中的常数项为( )A ．C 1122 B ．－C 1122 C ．C 1222D ．－C 12222．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( )A ．72种B ．64种C ．48种D ．36种3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )A ．15种B ．90种C ．540种D ．720种4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )A ．36B ．45C ．72D ．905．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )A ．36B ．30C ．15D ．106．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )A ．－448B ．－112C ．112D ．4487．[2022·河北沧州二模](x －2x－1)5的展开式中的常数项为( )A ．－81B ．－80C ．80D ．1618．[2022·湖北十堰三模]甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑、3 000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )A．224种B．288种C．314种D．248种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·河北唐山二模]已知(x－2x2)n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则( )A．n＝9B．n＝11C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是－110．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12 C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12 C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12 C12＋111．[2022·广东·华南师大附中三模]已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )A．7 B．8C．9 D．1012．[2022·湖北荆州三模]已知二项式(2x－1x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东烟台三模]若(1－ax )8展开式中第6项的系数为1792，则实数a 的值为________．14．[2022·辽宁辽阳二模]某话剧社计划在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有________种．15．[2022·浙江卷]已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝______．16．[2022·河北保定一模]2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有________种．强化训练3 排列、组合、二项式定理1．解析：（x －1x）22展开式中的常数项为C 1122 （－1）11＝－C 1122 .答案：B2．解析：将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有A 22 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有A 13 种站法，剩下3个位置，站3名男生有A 33 种站法，故不同的站法共有A 22 A 13 A 33 ＝36种． 答案：D3．解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C 26 ＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 24 ＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 22 ＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．答案：B4．解析：采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法； 第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法． 答案：D5．解析：令x ＝1，则可得所有项的系数和为（1＋a ）6＝64且a >0，解得a ＝1， ∵（x ＋1x 2）6的展开式中的通项T k ＋1＝C k 6 x 6－k（1x2）k ＝C k 6 x 6－3k ，k ＝0，1， (6)∴当k ＝2时，展开式中的常数项为C 26 ＝15. 答案：C6．解析：（1－x ）8＝（x －1）8＝[（1＋x ）－2]8＝a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋…＋a 8（1＋x ）8，a 6＝C 28 ·（－2）2＝112.答案：C7．解析：（x －2x －1）5＝（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x－1），所以展开式中的常数项为（－1）5＋C 15 C 14 ×（－2）×（－1）3＋C 25 C 23 ×（－2）2×（－1）＝－81.答案：A8．解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有C 24 A 34 ＝144种；②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有C 14 C 23 A 24 ＝144种．故他们报名的情况总共有144＋144＝288种． 答案：B9．解析：由C 2n ＝C 7n ，可得n ＝9，则选项A 判断正确；选项B 判断错误； （x －2x2）n 的展开式的通项公式为C k 9 x 9－k （－2）k x －2k ＝（－2）k C k 9 x 9－3k，令9－3k ＝0，则k ＝3，则展开式的常数项是（－2）3C 39 ＝－672.选项C 判断错误； 展开式中所有项的系数和是（1－212）9＝－1.判断正确．答案：AD10．解析：若任意选科，选法总数为C 12 C 24 ，A 错误； 若化学必选，选法总数为C 12 C 13 ，B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C 12 （C 12 C 12 ＋1），C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C 12 C 12 ＋1，D 正确． 答案：BD11．解析：当（a ＋2b ）n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n ＝7； 当（a ＋2b ）n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n ＝9； 当（a ＋2b ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n ＝8. 答案：ABC12．解析：由题设n ＝7，则T k ＋1＝C k 7 （2x ）7－k（－1x）k ＝（－1）k 27－k C k7 x7－3k2，A ．所有项的二项式系数和为27＝128，正确； B ．当x ＝1，所有项的系数和为（2－1）7＝1，正确；C ．对于二项式系数C k 7 ，显然第四、五项对应二项式系数C 37 ＝C 47 最大，正确； D ．有理项为7－3k2∈Z ，即k ＝0，2，4，6共四项，错误．答案：ABC13．解析：因为T 6＝T 5＋1＝C 58 （－ax ）5＝C 58 （－a ）5x 5＝C 38 （－a ）5x 5， 所以有：C 38 （－a ）5＝－56a 5＝1 792， 所以a 5＝－32, 解得a ＝－2. 答案：－214．解析：依题意，可得导演的不同选择的种数为C 38 ·C 15 ＝280. 答案：28015．解析：因为（x ＋2）（x －1）4展开式中x 2的系数为a 2，所以a 2＝C 34 （－1）3＋2C 24 （－1）2＝8.在多项式（x ＋2）（x －1）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5中，令x ＝0，得a 0＝2；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－a 0＝－2.答案：8 －216．解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法共有C 210 C 48 C 44 A 22 A 33 ＋C 410 C 36 C 33 A 22 A 33 ＝22 050. 答案：22 050。
高考二轮复习限时训练（三）（时间：60分钟）班级 姓名 得分一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1、函数)1(log 12)(2---=x x x f 的定义域为 。
2、已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A = 。
3、若函数3222)1()(----=m mx m m x f 是幂函数，且在),0(+∞∈x 上是减函数，则实数=m 。
4、函数y=213log (3)x x -的单调递减区间是 。
5、方程x x 28lg -=的根()z k k k x ∈+∈,1,，则k = 。
6、实数,x y 满足350,(1,3]x y x --=∈，则2y x -取值范围是________________。
7、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，则b a +的值为 。
8、已知)(x f 的定义域是R ，且2lg 3lg )1(),()1()2(-=-+=+f x f x f x f ，5lg 3lg )2(+=f ，则=)2009(f 。
9、定义在[]2,2-上的偶函数()g x 满足：当0x ≥时，()g x 单调递减．若()()1g m g m -<，则m 的取值范围是 。
10、已知),0()(2>++=a c bx ax x f 且321,,x x x 两两不等，则)3(321x x x f m ++=与3)()()(321x f x f x f n ++=的大小关系是 。
11、已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为,R 且在)31,(--∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
12、若存在[]3,1∈a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，则实数x 的取值范围是 。
二．解答题（每题15分，共30分）13.在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且c a b ⋅=2（1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB B y cos sin 2sin 1++=的值域。
2024年对口高考数学二轮复习专题（三）数列综合题姓名：___________________ 班级：____________________一、选填题1、设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1＝2a n+1，n∈N*，则a3＝（）A．3B．2C．1D．02、等比数列{a n}中，a1•a2•a3＝8，则a2＝（）A．8B．±2C．﹣2D．23、在正项递增等比数列{a n}中，a2+a3＝6，a1•a4＝8，则数列{a n}的公比q为（）A．1B．2C．3D．44、在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1+log3a2+⋯+log3a10的值为（）A．12B．2+log35C．8D．105、已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝（）A．1或B．1C．D．﹣26、已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＝2a n﹣1+1（n≥2），则a4＝（）A．13B．11C．9D．157、已知等差数列{a n}的前3项和S3＝12，则a2＝（）A．4B．3C．12D．88、已知等差数列{a n}前n项和为S n，且，则等于（）A．B．C．D．9、已知数列{a n}的前n项和，则该数列的第3项a3＝。
10、已知数列{a n}满足在a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），且a1＝3，a2＝5，则a2022的值为．11、已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则数列{a n}的通项公式为a n＝．二、解答题12、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝6，S4＝20.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值.13、设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，a8，a5，a11，成等比数列，S n＝5，求n 的值。
14、已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a3＝﹣9，且a6是a3和a7的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的前n项和为S n，若S n＞a n，求正整数n的最小值．15、在等差数列{a n}中，设S n为前n项和，已知a1＝﹣9，S4＝﹣24。
第三篇 第6讲一、单项选择题(共8小题)1. (2023·道里区校级模拟)已知a ＜b ＜0，则下列不等式恒成立的是( B ) A ．ea －b＞1B ．b a ＋a b>2 C ．ac 2＜bc 2D ．ln(b －a )＞0【解析】 因为a ＜b ＜0，所以a －b ＜0，e a －b＜1，A 错误；ba >0，ab >0，b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，显然等号无法取得，B 正确；当c ＝0时，C 显然错误；当b －a ＜1时，D 错误．故选B.2. (2023·海淀区一模)已知二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，则f (x )的图象可能是( A )【解析】 二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，令x ＝0得，f (0)＜2f (0)，即f (0)＞0，故C 、D 都不可能，对于B ，二次函数的对称轴方程为x ＝－b2a ，由图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，设f (x )的图象与x 轴的两个交点为x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，则x 1＋x 2＝－b a >0，所以0＜x 1<－b 2a <x 2<－b a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a >0，当x ＝－b 2a 时，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a <2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，两者相矛盾，故B 不可能．故选A.3. (2023·渝中区校级一模)已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为( B )C ．10D ．12【解析】 因为正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b ＋1＝(a ＋b ＋b ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b ＋11＋b ＝5＋4b ＋4a ＋b ＋a ＋b 1＋b ≥5＋24b ＋4a ＋b ·a ＋b 1＋b ＝9，当且仅当4b ＋4a ＋b ＝a ＋b 1＋b 且4a ＋b＋1b ＋1＝1，即b ＝2，a ＝4时取等号，此时a ＋2b 取得最小值8.故选B. 4. (2023·浑南区校级模拟)已知正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，则2xy －2x －y 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．9【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，所以2x ＋y ＝xy ，则2xy －2x －y ＝2x ＋y ＝(2x＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x 且1x ＋2y＝1，即x ＝2，y ＝4时取等号．故选C.5. (2023·蒙城县校级三模)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞，其中m ＜0，则b a ＋2b 的最小值为( D )A ．－2B ．2C ．2 2D ．3【解析】 因为不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，＋∞，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，m ＋1m＝－b a，m ·1m ＝1a ，解得a ＝1，b ＝－m －1m ；因为m ＜0，所以b ＝－m －1m≥2－m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝2，当且仅当－m ＝－1m ，即m ＝－1时取“＝”，所以b a ＋2b ＝b ＋2b，且b ≥2，因为函数y ＝b ＋2b 在b ≥2上单调递增，所以b ＋2b 的最小值为3，即b a ＋2b的最小值为3.故选D.6. (2023·香坊区校级三模)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则4a ＋2b 的最小值是( D )C ．13D ．18【解析】 因为实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，所以lg(ab )＝lg(a ＋2b )，所以a ＋2b ＝ab ，a ＞0，b ＞0，所以1b ＋2a＝1，则4a ＋2b ＝(4a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝10＋4b a ＋4a b≥10＋24b a ·4ab＝18，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故4a ＋2b 的最小值是18.故选D.7. (2023·大东区校级四模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，则x ＋1y ＋1xy的最小值为( C )A ．4＋4 3B ．12C ．8＋4 3D ．16【解析】 由x ＋2y ＝1可得，x ＋1y ＋1xy＝x ＋x ＋2yy ＋x ＋2yxy＝2x ＋2yx ＋3y xy＝2x 2＋8xy ＋6y2xy＝2xy＋6yx＋8≥22x y ×6y x＋8＝8＋4 3.当且仅当2x y＝6y x时，等号成立，即x 2＝3y 2.所以x ＋1y ＋1xy的最小值为8＋43，故选C.8. (2023·雁峰区校级模拟)已知实数x ，y ，满足x 2＋xy ＋3y 2＝3，则x ＋y 的最大值为( B )A.31111 B ．61111C.3＋13D ．3＋33【解析】 令t ＝x ＋y ，则x ＝t －y ，则x 2＋xy ＋3y 2＝3可化为(t －y )2＋(t －y )y ＋3y 2－3＝0，整理得3y 2－ty ＋t 2－3＝0，∴Δ＝(－t )2－12(t 2－3)≥0，即t 2≤3611，∴t ≤61111，故x ＋y ≤61111.故选B. 二、多项选择题(共4小题)9. (2023·济南二模)已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列说法正确的是( BC )A.1a －c >1b －cB ．a －c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab ＋bc ＞0【解析】 对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c <1b －c，A 错误；对于B ，∵a＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b ＋c ＝－a ＜0，a －b ＞0，∴a －b ＞b ＋c ，即a －c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a －b ＞0，a ＋b ＝－c ＞0，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＞0，即a 2＞b 2，C 正确；对于D ，ab ＋bc ＝b (a ＋c )＝－b 2≤0，D 错误．故选BC.10. (2023·向阳区校级模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( BD )A ．a ＜0B ．不等式bx ＋c ＞0的解集是{x |x ＜－6}C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式cx 2－bx ＋a ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】 由题意可知，－2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a ＞0，∴－2＋3＝－ba ，(－2)×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，a ＞0，即选项A 错误；不等式bx ＋c ＞0等价于a (x ＋6)＜0，∴x ＜－6，即选项B 正确；∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴当x ＝1时，有a ＋b ＋c ＜0，即选项C 错误；不等式cx 2－bx ＋a ＜0等价于a (6x 2－x －1)＞0，即a (3x ＋1)(2x －1)＞0，∴x ＜－13或x >12，即选项D 正确．故选BD.11. (2023·东风区校级模拟)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列结论正确的是( AC ) A.1a ＋1b的最小值是4B ．ab ＋1ab的最小值是2C ．2a＋2b的最小值是2 2 D ．log 2a ＋log 2b 的最小值是－2【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝b a ＋ab＋2≥21＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，a ＝b ＝12时取等号，∴1a ＋1b 的最小值为4，∴A 正确，∵ab ＋1ab≥21＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1时取等号，∵⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1无解，∴ab ＋1ab＞2，∴B 错误，∵a ＋b ＝1，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴2a ＋2b的最小值为22，∴C 正确，∵a ＞0，b ＞0，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，∴log 2a ＋log 2b 的最大值为－2，∴D 错误，故选AC.12. (2023·濠江区校级三模)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列不等式对一切满足条件a ，b 恒成立的是( ACD )A.ab ≤2 B ．a ＋b ≤2 C.a 23＋b 2≥4 D ．1a ＋1b≥1【解析】 对于A ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故ab ≤2，故A正确；对于B ，(a ＋b )2≤4×a ＋b2＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故a ＋b ≤22，故B 错误；对于C ，由题意得b ＝4－a ＞0，所以0＜a ＜4，a 23＋b 2＝a 23＋(4－a )2＝43a 2－8a ＋16，根据二次函数的性质可知，当a ＝3时，上式取得最小值4，故C 正确；对于D ，∵a ＋b＝4，a ＞0，b ＞0，∴12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋b a ＋a b ≥14(2＋2)＝1，当且仅当ab ＝ba，即a ＝b ＝2时等号成立，故D 正确．故选ACD. 三、填空题(共4小题)13. (2023·贵阳模拟)若x ＞0，则x ＋4x ＋1的最小值为_3__. 【解析】 因为x ＞0，所以x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥2x ＋1·4x ＋1－1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．14. (2023·开福区校级二模)函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为 23＋4 .【解析】 ∵函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝1，y ＝0－1，解得，x ＝－3，y ＝－1，故A (－3，－1)；∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴3m ＋n ＝1，又∵mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (3m ＋n )＝3m n ＋n m ＋4≥23＋4，(当且仅当m ＝3－36，n ＝3－12时，等号成立)． 15. (2023·岳麓区校级模拟)正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，且不等式x ＋y 4≥m 2－m 恒成立，则实数m 的取值范围为_[－1,2]__.【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，所以x ＋y 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋4x y ＋y 4x≥12⎝⎛⎭⎪⎫2＋24xy ·y 4x ＝2，当且仅当y 4x ＝4x y 且1x ＋4y ＝2，即x ＝1，y ＝4时取等号，则x ＋y 4的最小值为2.因为x ＋y4≥m 2－m 恒成立，所以m 2－m ≤2，解得－1≤m ≤2.故m 的范围为[－1,2]．16. (2023·浙江二模)若a 2＋b 2＝a ＋b ，则a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98 . 【解析】 由a 2＋b 2＝a ＋b 可得a ＋b ＝a 2＋b 2≥2ab ，而2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 2≥a ＋b22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即a ＋b ≥a ＋b22，解得0≤a ＋b ≤2，由a 3＋b 3a 2＋b 2＝a 3＋b 3a ＋b ＝a 2＋b 2－ab 可知a ＋b ≠0，∴0＜a ＋b ≤2，所以a 3＋b 3a 2＋b 2＝a ＋b －ab ＝a ＋b －a ＋b2－a ＋b 2，令t ＝a ＋b ，t ∈(0,2]，则a 3＋b 3a 2＋b 2＝－12t 2＋32t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋98，函数y ＝－12t 2＋32t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2单调递减，故0<－12t 2＋32t ≤98，即a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98.。
第 3讲平面向量1． (2016 课·标全国丙改编→1，3→31，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝22， BC＝，22答案30°分析→→∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1，→ →3BA·BC＝，∴∠ ABC ＝ 30°.cos∠ ABC＝→→2|BA|·|BC|12． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______．答案－ 4分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4.433． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝→ →2EF ，则 AF ·BC的值为 ________．答案1 8分析→→→如下图， AF ＝AD ＋DF .又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，→1→且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB，→＝→＋→＝→＋1→DF DE EF DE2DE3→ 3→＝2DE ＝4AC，→1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ →则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244→ 2 1→21→→＝ 4AC － 2AB －4AC ·AB.3→ →又 |AB|＝ |AC|＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC ＝ － － ×1×1× ＝ .4 2 4 2 84． (2016 ·江浙 )已知向量a ，b ， |a|＝ 1，|b|＝ 2.若对随意单位向量 e ，均有 |a ·e|＋ |b ·e| ≤6，则a ·b 的最大值是 ________．答案12分析 由已知可得：6≥|a ·e|＋ |b ·e| ≥|a ·e ＋ b ·e|＝ |(a ＋ b) ·e|，因为上式对随意单位向量e 都成立．∴ 6≥|a ＋ b|成立．∴ 6≥(a ＋ b) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 12＋ 22＋ 2a ·b.1即 6≥5＋ 2a ·b ，∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考察， 多为填空题，难度中低档 .2.考察平面向量的数目积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合，以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不可以盲目转变．2．在用三角形加法法例时，要保证 “首尾相接 ”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法例时，要保证 “同起点 ”，结果向量的方向是指向被减向量．例 1π(1) 设 0<θ< ，向量 a ＝ (sin 2θ， cos θ)， b ＝ (cos θ， 1)，若 a ∥ b ，则 tan θ＝ ______.2→ → → →(2) 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC ，以向量 AB ，向量 AC 作为基底，→则向量 AD 可表示为 ____________．答案 (1)1 (2)1 →＋ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ，因此 sin 2θ＝ cos 2θ，即 2sin θcos θ＝cos 2θ.π 因为 0<θ< ，因此 cos θ>0，21得 2sin θ＝ cos θ，tan θ＝ 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB ＋3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD ＝AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝AB ＋ (BA ＋ AC)＝333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形联合，联合图形剖析向量间的关系． 追踪操练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三平分点，那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底，向量 EF 可表示为__________ ．→→ →(2) 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ ＋ μ的值为 ________． 答案(1)1→ － 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点，因此 EC ＝ DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点，因此→ 2 →CF ＝CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF ＝ 2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝ 2AB － 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点，因此 AC ＝ AB ＋ AD ＝ AB ＋AB ＋ AD ＝AB ＋ AE ，即 AE ＝－AB ＋2222→ AC ，1 1因此 λ＝－ ， μ＝1，因此 λ＋ μ＝ .22热门二平面向量的数目积1．数目积的定义： a ·b ＝ |a||b|cos θ.2．三个结论(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|＝ a ·a ＝ x 2＋ y 2.(2) 若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则→ 2 2 .|AB|＝ (x 2－ x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )(3)若 a＝ (x1，y1)， b＝ ( x2，y2 )，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b＝x1x2＋ y1y2|a||b|x12＋ y12x22＋ y22.例 2(1)如图，在矩形ABCD 中， AB＝2， BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F在边→ →＝→ →CD 上，若 AB·AF2，则 AE ·BF的值是 ________．(2) 若 b＝cos π， cos5π，|a|＝ 2|b|，且 (3a＋b) ·b＝－ 2，则向量 a，b 的夹角1212为 ________．答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点，成立如下图的坐标系，可得 A(0,0)，B(2， 0)， E(2， 1)， F(x,2)，→→∴ AB＝ ( 2，0) ，AF＝ (x,2)，→ →2x＝2，∴ AB·AF＝解得 x＝ 1，∴ F(1,2)．→→∴ AE＝ ( 2，1)，BF＝ (1－ 2， 2)，→ →∴ AE·BF＝ 2×(1－ 2)＋ 1×2＝ 2.22π25π 2 π 2 π(2) b＝ cos＋cos12＝cos＋ sin＝ 1，121212因此 |b|＝ 1，|a|＝ 2.由 (3a＋b) ·b＝－ 2，可得3a·b＋ b2＝－ 2，故 a·b＝－3，故 cos〈 a， b〉＝a·b＝－ 33＝－|a||b|2×1 2.5π又〈 a， b〉∈ [0，π]，因此〈 a， b〉＝6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法：数目积的定义，坐标运算，数目积的几何意义；(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．追踪操练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图，→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________．(2) 如图，在△ ABC 中，AB＝ AC＝ 3，cos∠ BAC＝1→→→ →3，DC＝ 2BD，则 AD·BC的值为 ________．答案(1)－5(2)－ 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点，成立如下图的平面直角坐标系，易得→→AD ＝ (－ 2,3)，AB→ →→ →－ 25 AD ·AB＝ (4,2) ，因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→＝2 5＝－ 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC＝ (AC＋ CD ) ·BC＝ (AC＋CB) ·BC3→2→→→2→1→→→＝[AC＋3(AB －AC)] BC·＝ ( 3AB ＋3AC) ·(AC－ AB)2 →2 1 → → 1 →2＝－3|AB|＋3AB·AC＋3|AC|＝－6＋ 1＋3＝－ 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，拥有代数形式和几何形式的“两重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，经过向量运算作为题目条件．例 3已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ 23sin xcos x(x∈ R)．π(1)当 x∈[0，2)时，求函数 f( x)的单一递加区间；(2)设△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，且 c＝3， f( C)＝ 2，若向量 m＝ (1， sin A)与向量 n＝ (2， sin B)共线，求 a， b 的值．解π (1)f(x)＝ 2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＝2sin(2 x ＋ ) ＋1，6π π π 令－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，26 2π π解得 k π－≤x ≤k π＋ ， k ∈ Z ，36π因为 x ∈ [0， 2) ，π因此 f( x)的单一递加区间为 [0，6] ．π(2) 由 f(C)＝ 2sin(2C ＋6)＋ 1＝ 2，π 1得 sin(2C ＋ 6)＝ 2，π π 13 π而 C ∈(0 ，π)，因此 2C ＋ 6∈( 6， 6 )， π 5 π因此 2C ＋ ＝6π，解得 C ＝ 3.6因为向量 m ＝ (1，sin A)与向量 n ＝(2 ，sin B)共线，因此sin A 1sin B＝ .2由正弦定理得 a ＝ 1，①b 2由余弦定理得π c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos，3即 a 2＋ b 2－ ab ＝9.②联立①②，解得 a ＝ 3，b ＝ 2 3.思想升华 在平面向量与三角函数的综合问题中， 一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题， 如利用向量平行、 垂直的条件表述三角函数式之间的关系， 利用向量模表述三角函数之间的关系等； 另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的 过程中， 只需依据题目的详细要求， 在向量和三角函数之间成立起联系， 就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题．追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形，向量m ＝ cos A ＋ π，3π， n ＝ cos B ， sin B ，且 m ⊥ n.sin A ＋3 ( )(1) 求 A －B 的值；3(2) 若 cos B ＝ 5，AC ＝8，求 BC 的长．解(1)因为 m ⊥ n ，π π因此 m ·n ＝ coscos B ＋sin A ＋ 3 sin BA ＋ 3 π＝ cos A ＋3－ B ＝0，π又 A ，B ∈ 0，2 ，因此ππ 5πA ＋ －B ∈ － ， ，3 6 6 因此 π ππA ＋ －B ＝ ，即 A － B ＝ .3 263π4(2) 因为 cos B ＝5， B ∈ 0，2 ，因此 sin B ＝ 5，因此 sin A ＝ sin π ππ ＝ sin Bcos ＋ cos Bsin 6B ＋664 3 3 1 4 3＋ 3＝ · ＋ ·＝ ，52 5 2104 3＋3由正弦定理，得BC ＝ sin A10 ×8＝ 4 3＋ 3.4sin B·AC ＝5→ 1 →1．如图，在 △ ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交AC 于E ， BC边上的中线AM交DE于，设 → ＝ ， → ＝ ，用ABaACb N， 表示向量ab→ →AN ，则 AN＝ ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照，而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础．1答案6(a ＋ b)分析因为 DE ∥ BC ，因此 DN ∥ BM ，则 △ AND ∽△ AMB ，因此 AM AN ＝ ADAB .→1 →→1 →因为 AD ＝ 3AB ，因此 AN ＝ 3AM . 因为 M 为 BC 的中点，→ 1 → → 1 因此 AM ＝ (AB ＋AC)＝(a ＋ b)，22→ 1 →1因此 AN ＝AM ＝ (a ＋ b)．362．如图，BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径， BF ＝ 2FO ，则 FD ·FE＝ ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点，平面向量数目积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式．答案－89分析→→→1，∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1，∴ |FO |＝3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE ＝ (FO ＋ OD) ·(FO ＋ OE)＝ FO ＋ FO ·(OE ＋ OD)＋ OD ·OE ＝ ( ) ＋ 0－ 1＝－ .39→ →120°sin 208 )°，则 △ABC3．在 △ABC 中，AB ＝(cos 32 °，cos 58 °)，BC ＝ (sin 60 sin ° 118 ，°sin 的面积为 ________．押题依照平面向量作为数学解题工具， 经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门．答案38分析→ 2 2°|AB|＝ cos 32 °＋ cos 58＝ cos 232°＋ sin 232°＝1，→33，BC ＝2 cos 28 ，°－ 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|＝＋ －2 sin 28 ＝2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC ＝ cos 32 °×2cos 28－°sin 32 ×° sin 2823＝2 (cos 32 cos ° 28 －°sin 32 sin ° 28 ) °＝333，2 cos(32 ＋°28°)＝ 2cos 60 ＝° 4→ →3 → →4 1AB ·BC ＝ . 故 cos 〈 AB ， BC 〉＝ →→ ＝ 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °， 180°]，因此〈 → →又〈 AB ， BC 〉∈ [0 AB ， BC 〉＝ 60°，→ →故 B ＝ 180°－〈 AB ， BC 〉＝ 180°－ 60°＝ 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S ＝ 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 ＝ ×1××sin221203 ＝° .84．如图，在半径为1 的扇形 AOB中，∠ AOB ＝60°，C为弧上的动点， AB 与OC交于点P ，→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ ．押题依照 此题将向量与平面几何、 最值问题等有机联合，表现了高考在知识交汇点命题的方向，此题解法灵巧，难度适中．答案－116分析→ → →→→→→→→→→2 ＝ 60 °，因为 OP ＝ OB ＋ BP ，因此 OP ·BP ＝ (OB ＋ BP) ·BP ＝OB ·BP ＋ BP .又因为∠ AOB OA ＝ OB ，因此∠ OBA ＝ 60°， OB ＝ → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP ＝ |BP |cos 120＝°－|BP|，因此 OP ·BP ＝－ |BP|＋ |BP|22→1 2 11→1 → →1＝ (|BP|－ )－≥－，当且仅当 |BP|＝ 时， OP ·BP 获得最小值－.4 16 16416A 组 专题通关1．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若→ →→ 1 →→AD ＝ 2DB， CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ＝ ________.3答案23分析 在 △ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，∴ CD ＝ CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋3 (CB － CA)＝ CA ＋ CB ，3333∴ λ＝ 2.32． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量→ →a ，b 知足 AB ＝ 2a ， AC ＝ 2a ＋ b ，则以下结论正确的选项是 ________．① |b|＝ 1; ② a ⊥ b ；→③ a ·b ＝ 1; ④ (4a ＋ b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2a ＋ b － 2a ＝ b ，得 |b|＝ 2.又 |a|＝ 1，因此 a ·b ＝ |a||b|cos 120 ＝°－ 1，→ 2因此 (4a ＋ b) ·BC ＝ (4a ＋ b) ·b ＝ 4a ·b ＋ |b|＝ 4×(－ 1)＋ 4＝ 0，→因此 (4a ＋ b)⊥ BC.→ → → → → →3．在等腰 △ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝ 2，BC ＝ 2BD ，AC ＝ 3AE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2，AD ·BE ＝(AB ＋ AC) ·(BA ＋ AC) ＝－2AB ＋ AB ·AC ＋2 AC ·BA ＋ AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ＝2，因此 AD ·BE ＝－ 2×2 ＋ 0＋0＋ 6×24＝－ 3.4． (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a ， b 知足 (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 a与 b 的夹角为 ________．答案π 3分析 设 a 与 b 的夹角为θ，∵ (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1，|b|＝ 2，∴ 1＋a ·b － 8＝－ 6，∴ a ·b ＝ 1＝|a||b |cos θ，∴ cos θ＝ 1，2π又∵ θ∈ [0，π]，∴ θ＝3.5． (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0， a ≠b)知足 |a|＝ 3，且 b 与 b － a 的夹角为 30°，则 |b|的最大值为 ________．答案 6分析→ → → → →令OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 b － a ＝ OB －OA ＝AB ，如图，∵ b 与 b － a 的夹角为 30°，∴∠ OBA ＝30°，→→→→，∴由正弦定 理|OA| ＝ |OB|得 ， ∵ |a| ＝ |OA |＝ 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|＝ | OB | ＝6·sin ∠ OAB ≤ 6.6．已知向量 a ＝ (2,1)，b ＝ (－ 1， 2)，若 a ， b 在向量 c 方向上的投影相等，且 (c － a) ·(c － b) ＝－ 5，则向量 c 的坐标为 ________．21 3答案 (2，2)分析设 c ＝ (x ， y)，依据题意有x 2＋ y 2－ x － 3y ＝－ 5，22x ＋ y ＝－ x ＋ 2y ，1，x ＝ 2解得3y ＝ 2.→→ → 7．设向量 OA ＝ (5＋ cos θ，4＋ sin θ)， OB ＝ (2,0) ，则 |AB|的取值范围是 ________． 答案[4,6]分析→ → →＝ (－ 3－ cos θ，－ 4－ sin θ)，∵AB ＝OB －OA → 2 2 2 ∴ |AB| ＝ (－ 3－cos θ) ＋( －4－ sin θ)＝ 6cos θ＋ 8sin θ＋26＝ 10sin(θ＋ φ)＋ 26，此中 tan φ＝ 3，4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36，∴ 4≤|AB| ≤ 6.8．设向量 a ＝ (a 1， a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，定义一种向量积 a?b ＝ (a 1b 1， a 2b 2)，已知向量 m ＝(2 ， 1 π →2)，n ＝ (，0)，点 P(x ，y)在 y ＝ sin x 的图象上运动， Q 是函数 y ＝ f(x)图象上的点， 且知足 OQ3→为坐标原点 )，则函数 y ＝ f( x)的值域是 ________．＝ m?OP ＋ n(此中 O1 1 答案 [－ 2， 2]分析令 Q(c ，d)，由新的运算可得→ →1 π π 1sin x)， OQ ＝ m?OP ＋ n ＝(2x ，sin x)＋ ( ， 0)＝ (2x ＋ ，233 2π， 11∴c ＝2x ＋ 3π1消去 x 得 d ＝sin( c － )，22 6d ＝ 2sin x ，1 1π1 1] ．∴ y ＝ f( x)＝ sin(x －)，易知 y ＝ f(x)的值域是 [－ ，2262 2π9．设向量 a ＝ ( 3sin x ， sin x)， b ＝(cos x ，sin x)， x ∈ [0， 2]．(1) 若 |a|＝ |b|，求 x 的值；(2) 设函数 f(x)＝ a ·b ，求 f(x)的最大值．解(1)由 |a|2＝ ( 3sin x)2＋ (sin x)2＝ 4sin 2x ，222＝ 1，|b| ＝(cos x) ＋ (sin x) 及 |a|＝ |b|，得 4sin 2x ＝ 1.π1π又 x ∈ [0， ]，进而 sin x ＝ ，因此 x ＝ .22 62(2) f(x)＝ a ·b ＝ 3sin x ·cos x ＋ sin x＝3 1 1π 1，2sin 2x － cos 2x ＋＝ sin(2x － )＋ 2262π π π1，当 x ＝ ∈ [0， ] 时， sin(2 x －)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10．已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos x ， sin x)， c ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)，此中 0<α<x<π.π(1) 若 α＝4，求函数 f(x)＝ b ·c 的最小值及相应 x 的值；π (2) 若 a 与 b 的夹角为，且 a ⊥ c ，求 tan 2α的值．3解 (1)∵ b ＝ (cos x ， sin x)，πc ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)， α＝ 4，∴ f(x)＝ b ·c＝ cos xsin x ＋ 2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝ 2sin xcos x ＋ 2(sin x ＋ cos x)．π令 t ＝ sin x ＋cos x 4<x<π ，则 2sin xcos x ＝ t 2 －1，且－ 1<t< 2.则 y ＝ t 2＋ 2t － 1＝ t ＋2 2－3，－ 1<t< 2，2 2∴ t ＝－ 2时， y min ＝－3，此时 sin x ＋ cos x ＝－ 2， 2 2 2 即 2sin x ＋ π＝－ 2，42π π π 5π，∵ <x<π，∴ <x ＋ <424 4 π 7 11π∴ x ＋ ＝ π，∴ x ＝12 .46∴函数 f(x)的最小值为－ 3，相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为 ，3π a ·b∴ cos＝ ＝ cos αcos x ＋ sin αsin x3 |a| ·|b|＝ cos(x － α)．π∵ 0< α<x<π，∴ 0<x － α<π，∴ x － α＝3.∵ a ⊥ c ，∴ cos α(sin x ＋ 2sin α)＋ sin α(cos x ＋ 2cos α)＝ 0，π∴ sin(x ＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0，即 sin 2α＋3 ＋ 2sin 2α＝ 0.5 sin 2α＋ 3 3. ∴ 2cos 2α＝0，∴ tan 2α＝－52B 组 能力提升11．已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a ＋b|＝ |a － b|，则向量 b － a 在向量 a 上的投影为 ________．答案 －1分析 因为 |a ＋ b|＝ |a － b|，因此 (a ＋ b)2＝ (a － b)2，2解得 a ·b ＝ 0，因此向量 b － a 在向量 a 上的投影为 |b － a|cos 〈 a ， b － a 〉＝a ·(b －a)＝0－|a||a||a|＝－ |a|＝－ 1.→ → →AB AC12．已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点， 且知足 AP ＝ λ( → ＋ →)(λ∈ R)，则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心． 答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → ＋ → )|AB|cos B |AC|cos C→ →＝－ |BC|＋ |BC|＝ 0，→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → ＋ →)垂直，|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心．∴ AP ⊥ BC ，∴点 P 在 BC 的高线上，即直线13．若 a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，若〈 a ，b 〉为钝角， 则实数 λ的取值范围是 ______________．答案3 (－ ∞，－ 3)∪( －3，－ )2分析3 ∵ a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，∴ a ·b ＝ 3(2＋ λ)＋ λ<0，得 λ<－ .若 a ，b 共线，则 λ(2＋ λ)2－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3 或λ＝1.即当λ＝－ 3 时， a， b 方向相反，3又〈 a， b〉为钝角，则λ<－且λ≠－ 3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)， B(2,3)， C(3,2) ，点 P(x， y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上．→→→→(1) 若 PA＋PB ＋ PC＝ 0，求 |OP|；→→→(2) 设 OP＝mAB＋ nAC(m， n∈ R)，用 x， y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．解 (1)方法一→ →→∵ PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→又 PA＋ PB＋ PC＝ (1－ x,1－ y)＋ (2－x,3－ y)＋ (3－ x,2－ y)＝(6 －3x,6－ 3y)，6－ 3x＝ 0，x＝2，∴解得6－ 3y＝ 0，y＝2，→→即 OP＝ (2,2)，故 |OP|＝ 2 2.方法二→→→∵PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→→→→则 (OA－ OP)＋(OB －OP) ＋(OC－OP) ＝0，→1→→→→2.∴ OP＝3(OA＋ OB＋ OC)＝(2,2)，∴ |OP|＝ 2→→→(2) ∵ OP＝mAB＋ nAC，x＝ m＋2n，∴ (x， y)＝ (m＋ 2n， 2m＋ n)，∴y＝ 2m＋ n，两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－x＝ t，由图知，当直线y＝ x＋t 过点B(2,3) 时， t 获得最大值 1，故 m－ n 的最大值为1.。
高考中档大题规范练(三)——立体几何(推荐时间：70分钟)1．(2014·江苏)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .2．(2014·江西)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.(1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC －A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．(1)证明 由AA 1⊥BC ，知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，BC ⊂平面BCA 1，A 1B ⊂平面BCA 1，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.(2)解 方法一 设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2，在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)， sin ∠BA 1C ＝ 12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)， 所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22. 从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22. 因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝ －7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427， 即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.方法二 如图所示，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD .又AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，故∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ， 所以AD ＝2217. 设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中，A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22. 从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22. 因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝ －7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427， 即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.3．如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：MD ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．(1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .(3)解 由题意，可知MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，在Rt △ABC 中，AB ＝20，BC ＝4，则CM ＝12AB ＝10， 又在正三角形PMB 中，DM ＝53，所以DC ＝MC 2－DM 2＝102－(53)2＝5，所以cos ∠DBC ＝25＋16－252×5×4＝25，则S △BCD ＝12·BD ·BC ·sin ∠DBC ＝12×5×4×215＝221， 所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107. 4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2. 由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3， 解得r ＝12(2－2)a .5．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．(1)证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)解 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，BC ∩AD ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.6．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1.(1)求证：BC ⊥AF ；(2)若点M 在线段AC 上，且满足CM ＝14CA ，求证：EM ∥平面FBC ； (3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．(1)证明 因为EF ∥AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF .因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥BC .由已知，得AB ⊥BC 且EA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面EABF .又AF ⊂平面EABF ，所以BC ⊥AF .(2)证明 如图所示，过M 作MN ⊥BC ，垂足为N ，连接FN ，则MN ∥AB .又CM ＝14AC ， 所以MN ＝14AB . 又EF ∥AB 且EF ＝14AB ， 所以EF ∥MN ，且EF ＝MN .所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM ∥FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC .(3)解 AF ⊥平面EBC .证明如下：由(1)，可知AF ⊥BC .在四边形ABFE 中，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1，∠BAE ＝∠AEF ＝90°，所以tan ∠EBA ＝AE AB ＝12，tan ∠F AE ＝EF AE ＝12， 即tan ∠EBA ＝tan ∠F AE ，则∠EBA ＝∠F AE .设AF ∩BE ＝P ，因为∠P AE ＋∠P AB ＝90°，故∠PBA ＋∠P AB ＝90°.则∠APB ＝90°，即EB ⊥AF .又EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EB ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面EBC .。
