高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系

二次函数\二次方程\二次不等式作者：封明晨来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第09期二次函数、二次方程、二次不等式之间存在联系.令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图象与x轴交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解，此自变量称为函数的零点.我们常常将函数的图象与性质、方程解的存在与分布、不等式的解集与恒成立等问题进行化归，从而得到解决.1.二次函数的图象与性质：单调性、奇偶性、最大值、最小值、图象与x轴交点的个数例如：若函数f(x)=4x2－kx－8在［5,8］上是单调函数，则k的取值范围是．分析：观察函数图象可得k≤40或k≥64．2.函数的零点、方程的解、不等式的解集三者的关系（1）方程根与系数的关系例如：设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0}，若B A，求实数a的取值范围.分析：由题意得B=或B={0}或B={－4}或B={0,－4}，由根与系数的关系解得a≤－1或a=1.（2）方程根的分布例如：已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R}，若A∩(0,+∞)=，则实数m的取值范围是．分析：（方法一）方程无实数根，或者方程有两个负根（因为方程两根之积为1）.（方法二）观察函数f(x)=x2+(m+2)x+1的图象，因为图象过定点(0,1)，所以函数图象与x轴无交点，或两个交点在x轴的负半轴上.解得m>－4.（3）不等式的解集与方程根的关系例如：已知集合A={x|x2－2x－3>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=(3,4］，则有ab=分析：由B=［－1,4］得不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，即方程x2+ax+b=0的解为x=－1，x=4，解得a=－3，b=－4.∴ab=12.3.函数与不等式的辩证关系——整体与局部的关系例如：设函数f(x)=x2－3x－4,x∈［－3,6］，则对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为.分析：不等式x2－3x－4≤0的解集为［－1,4］，所以对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为59.4.构造函数，解决不等式“恒成立”与“能成立”问题例如：设集合P={m∈R|mx2+4mx-4分析：这是不等式恒成立的问题，x的取值范围是实数集R.构造函数f(x)=mx2+4mx-4,x∈R，当m=0时，f(x)=-4当m所以P={m|－1例如：已知命题：“x∈［1,2］，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是.分析：这是不等式能成立的问题，x的取值范围是［1,2］.（方法一）构造函数f(x)=x2+2x+a,x∈［1,2］，函数在［1,2］上单调递增，函数最大值为f(2)=8+a，则令f(2)=8+a≥0，即得a≥－8.（方法二）将问题转化为a≥－x2－2x,x∈［1,2］能成立，构造函数g(x)=－x2－2x,x∈［1,2］，求得g(x)的最小值g(2)=－8，即得a≥－8.注意：题目要求是“恒成立”还是“能成立”，决定了求最大值还是最小值.5.二次函数、二次方程、二次不等式的拓展面对复杂的问题，需要作出灵活巧妙的转化，化难为易，化繁为简.（1）与其他函数的复合——换元法转化为二次函数例如：不等式4x+2x+1－3>0的解集是．分析：令t=2x，转化为关于t的不等式t2+2t－3>0，解得t1，解得原不等式的解集为{x|x>0}.（2）绝对值号的添加例如：已知a∈R，讨论关于x的方程x2－6|x|+8－a=0的根的个数情况.分析：（方法一）转化为函数f(x)=x2－6|x|+8－a图象与x轴交点的个数.（方法二）转化为讨论关于正数t的方程t2－6t+8－a=0有几个解的问题：零个根、两个相等的正根、两个不等的正根、一个正根一个零根、一个正根一个负根.（方法三）转化为偶函数y=x2－6|x|与常数函数y=a－8图象交点的个数.a>8时两个根，a=8时三个根，－1例如：已知t为常数，函数f(x)=|x2－2x－t|在区间［0,3］上的最大值为2，则t= .分析:通过分类讨论求函数的最大值是很繁的，可以从关键词“最大值为2”为突破口.函数的最大值可能是f(0)=|t|或f(1)=|1+t|或f(3)=|3－t|,分别令其为2，求得相应t值后，逐一检验即得t=1.6.二次函数、二次方程、二次不等式思想方法的应用及创新为了便于解题，简化运算，在构造函数时，需要作些选择，争取最佳解法.例如：若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12］恒成立，求a的最小值.分析：我们可以构造二次函数f(x)=x2+ax+1，x∈(0,12］，对照图象进行分类讨论，让f(x)min≥0，从而得到a的最小值-52.我们也可以先进行变量分离，得到a≥-x2+1x，再构造函数g(x)=-x2+1x，x∈(0,12］，求出g(x)的最大值-52，即为a的最小值.两种不同的思路，导致了解题过程的繁简程度差别很大，所以构造的函数中尽可能不带参数.例如：关于x的不等式2•32x-3x+a2-a-3>0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围.在进行变量分离后a2-a-3>-2•32x+3x，构造函数f(x)=-2•32x+3x，0≤x≤1，还是构造函数g(t)=-2t2+t,1≤t≤3，更便于求其最大值？例如：对任意的x∈(0,1］，函数f(x)=x|x-b|+a，a≤-1的图象在x轴的下方，求b的取值范围.分析：如果分类讨论作分段函数f(x)的图象，再对照图象列出不等式组，其转化和运算的过程将十分抽象、复杂.如果将不等式f(x)=x|x-b|+ax-ax>bx+ax分别求得g(x)的最大值g(1)=1+a，h(x)的最小值h(1)=1-a，从而得到1+a由于函数与方程、不等式构成高中数学的主体，一方面它们极易与其他知识相互关联、渗透和交叉；另一方面导数和向量等内容的增加给函数注入了新的生命活力，开辟出了许多新的命题空间和解题途径.所以，掌握构造函数、应用函数的方法和技巧是必要的.巩固练习1.设集合A={x|(x－2)2≤2x+11,x∈R}，则集合A∩N中有个元素.2.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.集合A={α,β}，B={2,4,5,6}，C={1,2,3,4}，A∩C=A，A∩B=，求p,q的值.3.不等式x2－|x|－24.若关于x的不等式ax2－6x+a 25.若不等式a≤x2－4x对任意x∈(0,1］恒成立，则a的取值范围是．6.已知13≤a≤1, 若f(x)=ax2－2x+1在区间［1，3］上的最大值为M(a), 最小值为N(a),令g(a)=M(a)－N(a)．(1) 求g(a)的函数表达式；(2) 判断g(a)的单调性, 并求出g(a)的最小值．参考答案1.72.p=－4,q=33.{x|－24.25.a≤－36. （1）g(a)=a+1a－2(13≤a≤12)9a+1a－6(12（2）g(a)在区间［13,12］上递减，在区间［12,1］上递增，函数g(a)的最小值为g(12)=12.（作者：封明晨，苏州大学附属中学)。

2013届高三理科数学一轮复习08二次函数、二次方程、二次不等式间的关系【考点解读】二次函数的性质：B 级 【复习目标】1．掌握二次函数的图像和性质；2．理解二次函数、二次不等式、二次方程之间的关系。

活动一：基础知识说明：为了学习的方便，在解一元二次不等式02>++c bx ax 和02<++c bx ax 时，二次项系数a 都变为正数,解一元二次方程时二次项系数a 同样也变为正数。

12．三类重要题型：（1）二次函数的区间最值：2(0)y ax bx c a =++≠在],[n m 上的最值：① 解析式确定，区间确定；② 解析式确定，区间不定；③ 对称轴不定，区间确定； ④ 开口向上求最大值与开口向下求最小值，分对称轴与区间中点的两种位置关系讨论； ⑤ 开口向上求最小值与开口向下求最大值，分对称轴与区间的三种位置关系讨论； ⑥ 同时求最大值和最小值分四种情况讨论。

（2）二次不等式恒成立问题： ① 二次不等式在R 上恒成立),0(02R x a c bx ax ∈≠>++恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；),0(02R x a c bx ax ∈≠<++恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ② 二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题)0(2≠>++a p c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔)(x f 在区间],[n m 上的最小值p x f >min )(即可；)0(2≠<++a p c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔)(x f 在区间],[n m 上的最小值p x f <max )(即可；（3）二次方程根的分布（详见考点9） 3．二次函数的三种解析式：（1）一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：)0()()(2≠+-=a k h x a x f （3）两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 4．二次函数的图像和性质： )0()(2>++=a c bx ax x f顶点：),(4422a bac a b -- 递减区间：],(2a b --∞ 递增区间：),[2+∞-a b 5．若二次函数()y f x =恒满足()()f x m f x n +=-+，则其对称轴为2m nx +=活动二：基础练习1．已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）(1)(1)f x f x +=-；(2) ()f x 的最大值为15； （3）()f x =0的两根立方和等于17。

二次函数与二次方程的关系与解法二次函数（Quadratic Function）和二次方程（Quadratic Equation）是高中数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

本文将探讨二次函数与二次方程之间的关系，并介绍二次方程的解法。

一、二次函数与二次方程的关系二次函数是一个以x为自变量的函数，表达式一般为f(x) = ax² + bx + c（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。

它的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负确定，特点是对称于抛物线的顶点。

二次方程是一个含有未知数x的二次项的等式，一般形式为ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。

求解二次方程就是要找到使等式成立的x的值，即方程的解。

二次函数和二次方程之间的联系在于，二次函数的图像上的点的横坐标对应于二次方程的解。

换句话说，对于二次函数的图像上任意一点(x, y)，x的值正好是对应二次方程的解。

二、二次方程的解法为了解二次方程ax² + bx + c = 0，通常采用以下的解法：1. 因式分解法（Factorization Method）：当二次方程存在可分解的因式时，可以通过因式分解的方法求解。

对于形如x² + px + q = 0的二次方程，如果存在两个实数m、n，满足(m x n = q) 且 (m + n = p)，那么可以将二次方程分解为(x + m)(x + n) = 0的形式，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。

2. 公式法（Formula Method）：当二次方程无法直接因式分解时，可以使用求根公式来解方程。

对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，它的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

通过带入方程的系数a、b、c，计算出实数解。

需要注意的是，二次方程的解可能有不同的情况：- 当二次方程的判别式D = b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解；- 当D = b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解；- 当D = b² - 4ac < 0时，方程没有实数解，但可以有复数解。

高一数学复习考点题型专题讲解 第9讲 二次函数与一元二次方程不等式一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A2．已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<< C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤ 【答案】A【分析】由题意知22430x x a a -+-≤在R 上有解，等价于0∆≥，解不等式即可求实数a 的取值范围.【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解， 即22430x x a a -+-≤在R 上有解，只需2243y x x a a =-+-的图象与x 轴有公共点， 所以()()224430a a ∆=--⨯-≥，即2340a a --≤，所以()()410a a -+≤， 解得：14a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}14a a -≤≤， 故选：A.3．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件． 故选：B ．4．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论2a =、2a <结合判别式求a 的范围.【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C5．关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭， C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭， 【答案】C【分析】由题知210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，进而分0m =和0m ≠两种情况讨论求解即可.【解析】解：因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立． 当0m ≠时，由题意，得2Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，． 故选：C6．若存在x 使得21y x mx =-+-有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <-或2m >B ．22m -<<C ．2m ≠±D ．13m << 【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解. 【解析】21y x mx =-+-是开口向下的抛物线，若存在x 使0y >，则()()24110m ∆=-⨯-⨯->，解得：2m >或2m <-.故选：A7．已知22280x ax a --≤（0a >）的解集为A ，且{}11x x A -<<⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭C ．1142aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1142a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】根据题意，先求出集合A ，再根据包含关系，即可求解.【解析】由()()2228240x ax a x a x a --=+-≤且0a >，得2280ax a x -≤-（0a >）的解集{}24A x a x a =-≤≤．因为{}11x x A -<<⊆，所以2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥．故选：A ．8．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A1C 1D【答案】D【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t >及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x=+(0)t t >2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以a ≥a故选：D.9．已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为() A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+ C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3) 【答案】C【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．10．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】()2222βαααββ=+-⋅+，利用韦达定理可得答案.【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m …， 解得：1m …，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.11．已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【分析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220m f >⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩，计算即可.【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或 则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C12．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤ 【答案】B【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【解析】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.二、多选题13．下列结论错误的是（ ）A ．若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB ．不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-14D ．不等式1x>1的解集为x <1 【答案】ABD【分析】根据不等式性质对选项一一判断即可． 【解析】A 选项中，只有a >0时才成立； B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；C 选项x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则0,140a a <∆=+≤，得a ≤-14，正确； D 选项1x>1的解集为01x <<． 故选：ABD14．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为{}12x x x x <<，且2115x x -=，则=a （ ）A ．52-B ．154-C ．52D ．152【答案】AC【分析】由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，利用韦达定理可求得12x x +，12x x ，再根据()()222112124x x x x x x -=+-即可得出答案.【解析】解：由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，所以122x x a +=，2128x x a =-， 则()()22222211212443236x x x x x x a a a -=+-=+=. 又2115x x -=，所以236225a =，所以52a =±. 故选：AC.15．已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax +15=0有两个实根x 1，x 2，则下列结论正确的有（ ）A．a ≥a ≤．121165a x x += C．12x x -=．12212155ax x x ax x x -=-- 【答案】ABD【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.【解析】因为()223418150a x ax +-+=有两个不等式的实根，所以()2232460340a a ∆=-⨯+>，故253a ≥，所以a ≥a ≤故A 正确.由韦达定理可得1212221815,3434a x x x x a a +==++，所以12121211186155x x a a x x x x ++===，故B 正确.12x x -==，故C 错误. 因为121165a x x +=，所以1212556x x ax x +=，故112122555x ax x ax x x -=-， 若10x =，则()22340180150a a +-⨯+=即150=，矛盾，故10x ≠.若1210ax x x -=，则210ax -=，故21x a =，即223418150a a +-+=， 故22343a a +=，矛盾.所以12212155ax x x ax x x -=--，故D 成立.故选：ABD.【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.16．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（ ） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x x x x <<，且124x x -=，则1c = 【答案】AB【分析】由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.【解析】解：由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，所以A 选项正确；对B ：21144a b b b +=+≥，故B 选项正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，所以120x x b =-<，所以C 选项错误； 对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=， 则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，所以124x x =====-， 所以4c =，故D 选项错误. 故选：AB.17．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( )A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可；B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可； 【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∵()1f x …，∴当1a b <<时，不等式23344a x xb -+剟的解集为∅，所以A 正确；对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a …，且1b >；若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b …， 因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b …，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()*n N ∈次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．1234bx x x x a+++=-B ．123124134234c x x x x x x x x x x x x a+++=- C ．1234e x x x x a=D ．121314232434d x x x x x x x x x x x x a+++++= 【答案】AC【分析】由2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正误.【解析】由题设知：2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，∴2212432123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴432ax bx cx dx e ++++=43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，∴1234b x x x x a +++=-，121323142434c x x x x x x x x x x x x a +++++=，123124134234d x x x x x x x x x x x x a+++=-，1234ex x x x a=. 故选：AC三、填空题19．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是__________．【答案】{m |m ≥9或m ≤1}【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【解析】由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.故答案为：{m |m ≥9或m ≤1}20．若“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】{}6m m ≥【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出a 的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.【解析】∵()2110x a x +-+>对x ∈R 恒成立，∴()2Δ140a =--<，解得13a -<<．又2204mmx ax ++>对x ∈R 恒成立，当0m ≤时不可能恒成立， ∴220Δ40m a m >⎧⎨=-<⎩，解得22m ma -<<． ∵“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，∴12320mmm ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：{}6m m ≥.21．若存在实数[]1,2x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(),8-∞【分析】先分离参数将不等式化为()22max a x x <+，再结合二次函数求最值即可.【解析】解：由题意可得，存在实数[]1,2x ∈时，22a x x <+令()22f x x x =+， []1,2x ∈即()max a f x <()22f x x x =+，对称轴为：212x =-=- 所以()22f x x x =+在[]1,2x ∈单调递增故()()222228max f x f ==+⨯=即8a <所以实数a 的取值范围为：(),8-∞ 故答案为：(),8-∞22．命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()[)3,01,5-【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的k 的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.【解析】命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集，即方程2210kx kx -+=没有实数解，当0k =时，方程变为10=，故无解，符合题意 当0k ≠时，2440k k ∆=-<，即01k <<， 综上命题甲为真，则01k ≤<.命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R则()21160k ∆=--<，解得35k -<<， 所以命题乙为真，则35k -<<，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 所以当甲真乙假时，得013,k 5k k ≤<⎧⎨≤-≥⎩或，此时k ∈∅，当甲假乙真时，得0135k k k <≥⎧⎨-<<⎩或，即()[)3,01,5k ∈-综上所述，k 的取值范围为()[)3,01,5-.【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 23．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13， 即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.24．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【解析】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即a b - 所以22a b a b+-的最小值为故答案为：四、解答题25．利用函数与不等式的关系，若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a -+>的解集．【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则可得3,2b a c a =-=，代入不等式即可求出.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2， 所以1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则1212b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以3,2b a c a =-=，不等式20cx bx a -+>化为2230ax ax a ++>， 即22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.26．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式∆<0可得参数范围； （2）不等式换成以m 为主元，为一次不等式，这样只要0m =和4m =时不等式都成立即可得x 的范围． （1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2 (2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. (1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.28．已知不等式234ax x b -+>的解集为()(),12,-∞⋃+∞ (1)求a ，b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.【答案】(1)1a =，6b = (2)答案见解析【分析】（1）依题意可得1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为()(2)0x c x --<，再对参数c 分类讨论，即可得解； (1)解：因为不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或}2x >， 所以1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，根据韦达定理312412ab a⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得1a =，6b = (2)解：由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<29．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)13k =(2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解； （2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根， 所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =； (2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解， 所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=，所以2max 1132x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭， 所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．30．（1）若对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于13x ≤≤，215mx mx m --<-+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}40m m -<≤；（2）67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据题意，分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）将215mx mx m --<-+恒成立，转化为261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【解析】（1）当0m =时，不等式10-<恒成立；当0m ≠时，要使得对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，则满足240m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40m -<<， 综上可得，实数m 的取值范围为{}40m m -<≤．（2）由不等式215mx mx m --<-+，可得()2160m x x -+-<，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，令()21,[1,3]g x x x x =-+∈，可得()22131()24g x x x x =-+=-+，当3x =时，可得()max 7g x =，所以26617x x ≥-+，所以67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．31．在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选条件①由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．若选条件②由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．32．已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为M ．(1)若()2,5M =，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；(2)若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(][),25,-∞⋃+∞(2)()3,1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，得到25x <<，再根据两个不等式的关系求解；（2）将不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为()()21230x a x a --+-< ，再根据M 中的一个元素是0，将x =0代入求解.(1)解：因为()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，所以25x <<，不等式()22237320x a x a a -----+≤，即为()22237320x a x a a +-++-≥，所以2x ≤或5x ≥，所以不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集是(][),25,-∞⋃+∞；(2)不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为： ()()21230x a x a --+-< ，因为M 中的一个元素是0， 所以()()1230a a +->， 解得1a <-或 32a >， 所以实数a 的取值范围是 ()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.33．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a （0a >）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（x +∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人 (2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由条件可得2125x m ≥+，100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1)依题意可得调整后研发人员人数为100x -，年人均投入为()14%x a +万元， 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，又4575x ≤≤，x +∈N ，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2)假设存在实数m 满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，x +∈N ，所以当75x =时，2+125x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}7.34．已知关于x 的不等式()2211x m x ->-.(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]2,2m ∈-，不等式恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)不存在(2)⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得0m <且∆<0，解不等式即可； （2）更换主元，将m 看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案. (1)原不等式等价于2210mx x m -+-<，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当0m <且()4410m m ∆=--<，即2010m m m <⎧⎨-+<⎩，此不等式组的解集为∅， 所以不存在实数m ，使不等式对任意实数x 恒成立. (2)设()()2121y x m x =---，当[]2,2m ∈-时，()()2121y x m x =---可看作关于m 的一次函数，其图象是线段，所以若对于[]2,2m ∈-，0y <恒成立，则当2m =或2m =-时，0y <恒成立，即2222102230x x x x ⎧--<⎨--+<⎩①②，由①x <<，由②，得x 或x >x <<所以实数x 的取值范围是⎝⎭. 35．（1）若关于x 的不等式23x ax a ->-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）设0x y >>，且2xy =，若不等式220x ax y ay -++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()6,2-；（2）(],4-∞.【分析】（1）根据题意得到()2430a a ∆=+-<，解得答案.（2）化简得到22x y a x y +≤-，根据题意得到()224x y x y x y x y+=-+--，利用均值不等式得到答案.【解析】（1）由题意知关于x 的不等式230x ax a --+>的解集为R ，所以()2430a a ∆=+-<，即24120a a +-<，所以62a -<<，即实数a 的取值范围是()6,2-．（2）由题意知不等式220x ax y ay -++≥恒成立，即 ()22x y a x y +≥-恒成立．因为0x y >>，22x y a x y +≤-，因为()()222244x y xy x yx y x y x y x y-++==-+≥---当且仅当4x y x y -=-，即1x =1y =- 所以实数a 的取值范围是(],4-∞．()f x a ≥ 有解，则max ()f x a ≥。

第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：一元二次不等式（不含参）的求解 类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论角度2：最高项系数含参从0开始讨论 角度3：不可因式分解型，从开始讨论 类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系类型四：二次不等式恒成立问题 类型五：一元二次函数求最值（含参数）类型六：：根据不等式的解求参数1、四个二次的关系 1.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.判别式ac b 42-=∆ 0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=(0a >)的根有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根根1x ，2x (12x x <)122b x x a==-20ax bx c ++>(0a >)的解集 12{|}x x x x x <>或 {|}2b x x a≠-R20ax bx c ++<(0a >)的解集12{|}x x x x <<∅ ∅2、一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用十字相乘法）； ②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.类型一：一元二次不等式（不含参）的求解典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式21560x x +->的解集为（ ） A ．{1x x 或1}6x <-B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x 或3}x <-D ．{}32x x -<<【答案】B【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2280x x +-≤的解集是________． 【答案】{|42}x x -≤≤【详解】解：因为2280x x +-≤，即()()420x x +-≤， 解得42x -≤≤，所以原不等式的解集为{|42}x x -≤≤； 故答案为：{|42}x x -≤≤同类题型演练1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3xx <-∣，或1}x >- 【答案】C【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣； 故选：C2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式()()120x x +->的解集为___________. 【答案】{}|12x x -<<【详解】不等式()()120x x +->可化为()()120x x +-<， 解得：12x -<<.所以原不等式的解集为{}|12x x -<<. 故答案为：{}|12x x -<<类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论 典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式()2220x c x c -++<.【答案】解：不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式2212x ax a ->（a R ∈）的解集． 【答案】当a>0时，不等式的解集为{|}43a ax x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a ax x x <>-或 【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为13a x =，24ax =-比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x －a ）（4x ＋a ）>0． 当a>0时，不等式的解集为{|}43a a x x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a a x x x <>-或 例题3．（2022·广东·高一期末）设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)当a +∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【答案】(1)当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()0f x <，即()2110ax a x -++<，当a +∈R 时，原不等式可化为()110x x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a与1的大小关系确定， 当1a =时，解得x ∈∅； 当1a >时，解得11x a<<； 当01a <<时，解得11x a<<. 综上所述：当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 同类题型演练1．（2022·福建南平·高一期末）当0a <时，求关于x 的不等式2(24)80ax a x +-->的解集． 【答案】2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，原不等式的解集为∅；当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()3y x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式0y <； 【答案】(1)答案见解析.当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ， 当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【详解】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<， 则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.角度2：最高项系数含参从0开始讨论典型例题例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数()2(2)()f x ax a x a =+-∈R .若2a >-，解关于x 的不等式()2f x ≥.【答案】20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-； 0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 不等式()2f x ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a<-，∴21x a ≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-； 0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【答案】答案见解析.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a <-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a>-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a <-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-. 若0a <，解关于x 的不等式()1f x a <-. 【答案】依题意，因0a <，则2()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a<-⇔+-⇔--+><，当1a =-时，11a-=，解得1x ≠， 当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a>-， 当1a <-时，101a <-<，解得1x a<-或1x >，所以，当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a<-或1}x >.角度3：不可因式分解型，从开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈． 【答案】答案见解析.【详解】关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中，∆2242216a a =-⨯⨯=-，当4a >或4a 时，∆0>，对应的一元二次方程有两个实数根2164a a x ---=和2164a a x -+-=，且22161644a a a a ----+-<， 故不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；当4a =±时，∆0=，对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-，∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时，∆0<， ∴不等式的解集为R ；综上，4a >或4a时，不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；4a =±时，不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时，不等式的解集为R ．同类题型演练1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数2()f x x bx c =++，满足(0)2,(1)(1)=-=f f f ．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2≤f x ax ． 【答案】(1)2()2f x x =+(2)解集见解析(1)解：函数2()f x x bx c =++，由(0)2f =，得2,c = 因为(1)(1)f f -=，所以1212,++=-+b b 解得0b =； 所以2()2f x x =+.(2)关于x 的不等式()2≤f x ax 可化为2220,-+≤x ax 因为248,∆=-a所以当0,∆<即22a -<<时，原不等式对应的方程无实数根， 又二次函数222y x ax =-+的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当0∆=，即2a =±时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根， 2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当0,∆>即2a <-或2a >时，原不等式对应的有两个相等的实数根， 分别为22122,2,=--=+-x a a x a a 且12,x x <所以原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .综上所知，当22a -<<时，原不等式的解集为∅； 当2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ； 当2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当2a <-或2a >时，原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【详解】解：因为220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-）， 所以1x =-为220x kx m -+=的根，所以2k m +=-. 故选：B例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（ ）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A同类题型演练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-， 故选：A.2．（2022·全国·高一单元测试）若方程()200ax bx c a ++=<有唯一的实数根3，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______．【答案】{}3x x =【详解】由已知得抛物线()20y ax bx c a =++<的开口向下，与x 轴交于点()3,0，故不等式20ax bx c ++≥的解集为{}3x x =． 故答案为：{}3x x =3．（2022·江苏·高一）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______. 【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根， 故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意 故答案为：3.类型四：二次不等式恒成立问题典型例题例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立， 等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-． 故选：B ．例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题， 则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-. 故答案为：(,4]-∞-例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．同类题型演练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【详解】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．2．（2022·江苏南京·高二期末）2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________． 【答案】22λ-<<【详解】由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故答案为：22λ-<<3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[]4,4-(1)因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把1x =-代入方程解得1a =．经验证满足题意(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ， 所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()()211f x x a x =-++．(1)若关于x 的不等式的()0f x <的解集是{}2x m x <<，求a ，m 的值； (2)设关于x 不等式的()0f x >在[]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)32a =，12m =(2)(),1-∞ (1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得x m =和2x =是方程()2110x a x -++=的两根，故()221210a -+⨯+=，解得32a =，由韦达定理有21m =，解得12m =. 故32a =，12m = (2)()0f x >在[]0,1上恒成立，即()211x a x +>+恒成立.当0x =时满足题意，当(]0,1x ∈时，min 11x a x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时取等号.故12a +<，即a的取值范围为(),1-∞.5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数2()4f x x x b =-+，若()0f x <的解集为{}1|x x m <<.(1)求b ，m 的值；(2)当a 为何值时，2()2()10a b x a b x +++-<的解集为R ？ 【答案】(1)3m =，3b = (2)(]4,3--(1)解：由题意可知，240x x b -+<的解集为{}1|x x m <<， 所以1x =与x m =为方程240x x b -+=的两根，141m m b +=⎧∴⎨⋅=⎩，33m b =⎧∴⎨=⎩； (2)解：()()2210a b x a b x +++-<的解集为R ，①当0a b +=时，10-<的解集为R ，30a ∴+=，3a ∴=-；②当0a b +<时，()20Δ4()40a b a b a b +<⎧⎨=+++<⎩，10a b ∴-<+<，130a ∴-<+<，43a ∴-<<-综上所述，a 的取值范围为(]4,3--.类型五：一元二次函数求最值（含参数）典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值． 【答案】(1)[)1,17(2)221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，(3)答案见解析（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数， 当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +．③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数， 故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +． 综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a + 例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)2()2f x x =+ (2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+， 所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数， 当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==， 综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩同类题型演练1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值； 【答案】(1)2()221f x x x =--(2)2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(1)解：因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-， 所以1n =- 又(1)(2)f f -=， 所以1224m -+=-， 解得2m =-，所以2()221f x x x =--；(2)2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， 所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数()2f x x bx c =++，且()()31f f -=，()00=f ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()422g x f x a x =-++，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值． 【答案】(1)2()2f x x x =+；(2)2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. (1)由(3)(1),(0)0f f f -==，则(0)0f c ==，又931b b -=+，解得2b =， ∴函数()f x 的解析式为2()2f x x x =+.(2)由(1)知，2()2(1)2g x x a x =-++， 其对称轴1x a =+，而[]1,2x ∈， 当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)12g x g a ==-， 当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，min ()(2)24g x g a ==-，当01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，∴2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. 类型六：：根据不等式的解求参数典型例题例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数2()2f x ax x c =++，若不等式()0f x <的解集是{|53}x x -<< (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,2]m m +上的最小值为20，求实数m 的值. 【答案】(1)2()215f x x x =+- (2)－9或5(1)125,3x x =-=是对应方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根.由韦达定理得12122211515x x a ac c x x a ⎧+=-=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪==-⎪⎩，2()215f x x x ∴=+-；(2)22()215(1)16f x x x x =+-=+-，对称轴为1x =-，当21m +≤-，即3m ≤-时，2min ()(2)(3)16f x f m m =+=+-，由已知得：2(3)1620m +-=， 解得：m ＝3或－9，又3m ≤-，9m ∴=-，当1m ≥-时，2min ()()(1)16f x f m m ==+-，由已知得：2(1)1620m +-=， 解得：m ＝5或－7，又1m ≥-，5m ∴=，当12m m <-<+时，min ()1620f x =-≠，（舍去）， 综上所述，m ＝－9或5.例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,2x ∈，R a ∈.(1)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)若()f x 最小值为4-，求a 的值. 【答案】(1)54a ≥； (2)94. (1)因为2()21f x x ax =-+开口向上，由[]1,2x ∈时，()0f x ≤恒成立，可得()max 0f x ≤，所以(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即220540a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：54a ≥，所以a 的取值范围为54a ≥. (2)()221f x x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，当1a ≤时，()()min 1224f x f a ==-=-，解得：3a =（舍）；当12a <<时，2min ()()14f x f a a ==-+=-，5a =±（舍）；当2a ≥时，min ()(2)544f x f a ==-=-，94a =； 所以a 的值为94.同类题型演练1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==(1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝125(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．。

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

二次不等式与二次函数的关系《二次不等式与二次函数的关系，你真的懂吗？》嘿！同学们，你们知道吗？二次不等式和二次函数就像是一对亲密无间的好伙伴，它们之间的关系可奇妙啦！先来说说二次函数吧。

它就像是一个调皮的小精灵，在坐标轴上跳来跳去。

比如说，y = x² - 2x - 3 这个二次函数，它的图像是一条弯弯的抛物线。

当x 取不同的值时，y 也跟着变化，这多有趣呀！那二次不等式又是什么呢？它就像是给二次函数戴上了一个“紧箍咒”。

比如说，x² - 2x - 3 > 0 ，这就是一个二次不等式。

你们想想，二次函数的图像能帮我们解决二次不等式的问题吗？当然能啦！比如说，我们要求x² - 2x - 3 > 0 的解集，不就可以通过看二次函数y = x² - 2x - 3 的图像在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围嘛！这难道不神奇吗？就像我们找宝藏一样，二次函数的图像就是那张藏宝图，而二次不等式就是告诉我们要找什么样的宝藏。

有一次，在课堂上，老师出了一道题：求x² + 4x + 3 < 0 的解集。

我和同桌都绞尽脑汁地思考着。

我看着那个二次函数的表达式，心想：“这可怎么办呀？”同桌则在一旁不停地写写画画。

突然，我灵机一动，画出了二次函数y = x² + 4x + 3 的图像，一下子就找到了答案。

我得意地对同桌说：“你看，这不就解决啦！”同桌惊讶地看着我，说：“哇，你真厉害！” 我们俩都开心地笑了起来。

所以说呀，二次不等式和二次函数的关系那叫一个紧密！如果我们能把它们之间的关系搞清楚，那解决数学问题不就像玩儿一样轻松吗？同学们，你们是不是也觉得二次不等式和二次函数的关系很有趣呢？反正我是这么认为的！只要我们认真去探索，就能发现数学世界里更多的奇妙之处！。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第7讲二次函数与一元二次方程、不等式一、知识梳理1.一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.(其中a，b，c均为常数，a≠0)2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数常用结论1.分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0).(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2.两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 1(3)改编)不等式x 2－3x －10＜0的解集为________.解析：由x 2－3x －10＜0得(x ＋2)(x －5)＜0，所以－2＜x ＜5. 答案：(－2，5)2.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 3改编)已知M ＝{x |4x 2－4x －15≥0}，N ＝{x |x 2－5x －6＞0}，则M ∩N ＝________，M ∪N ＝________.解析：M ＝{x |(2x ＋3)(2x －5)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥52，N ＝{x |(x ＋1)(x －6)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞6}， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6， M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1.(忽略等号能否成立致误)不等式x －1x －3≤0的解集是( ) A.(－∞，1)∪[3，＋∞) B.(－∞，1]∪(3，＋∞)C.[1，3)D.[1，3] 解析：选C.不等式x －1x －3≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －3）≤0，x －3≠0.解得1≤x <3，所以不等式的解集是[1，3)，故选C.2.(忽视二次项系数为0致误)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析：当m ＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0.解得0<m <4. 综上，0≤m <4. 答案：[0，4)3.(不能正确理解不等式的解集致误)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 解析：因为x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b 2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. 答案：－14考点一 一元二次不等式的解法(多维探究)复习指导：通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式.角度1 不含参数的不等式(1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (2)(链接常用结论1)不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【解析】 (1)－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， 所以x <－1或x >32.(2)原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1. 【答案】 (1)C (2)B解一元二次不等式的方法和步骤角度2 含参数的不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 【解】 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式. 解：当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}， 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <1a 或x >1.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.|跟踪训练|1.若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12或x >13}，则a －b a ＝( ) A.56 B.16 C.－16D.－56解析：选A.由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和13，所以根据根与系数的关系可得－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.2.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞. 考点二 一元二次不等式恒成立问题(思维发散)复习指导：此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标.(链接常用结论2)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )＜5－m恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 对于x ∈R ，f (x )＜5－m 恒成立， 即mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然符合题意，当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －6）＜0得m ＜0，综上，所求实数m 的取值范围是(－∞，0].1.本例中将条件“x ∈R ”改为“x ∈[1，3]”，其他不变，求实数m 的取值范围.解：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.2.本例中条件改为“若存在x ∈[1，3]，使f (x )＜5－m 成立”，求实数m 的取值范围.解：题中条件可转化为存在x ∈[1，3]，使m <6x 2－x ＋1成立.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最大值为6， 所以只需m ＜6即可， 故m 的取值范围是(－∞，6).(1)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.若a ＝0，则应单独验证是否符合题意.(2)一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围.(3)“恒成立”和“能成立”问题都可以转化为函数最值问题.|跟踪训练|1.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A.(－2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析：选D.由题意知x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2].故选D.2.若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________.解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，03.若mx 2－mx －1＜0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围.解：设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＜0，2x 2－2x －1＜0，解得1－32＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.考点三 一元二次不等式的实际应用(综合研析)复习指导：体会建立不等式模型解决实际问题的方法.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电量为a kW ·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价). 【解】 (1)下调电价后新增的用电量为k x －0.4，所以下调电价后的总用电量为a ＋kx －0.4， 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋k x －0.4(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫a ＋0.2a x －0.4（x －0.3）≥[a ×（0.8－0.3）]×（1＋20%），0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1 x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75.当电价最低定为0.60元/kW ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.求解不等式应用题的四个步骤|跟踪训练|若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1 x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50 x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台.答案：150[A基础达标]1.(2022·铜仁市思南中学期中考试)不等式－x2－3x＋10≥0的解集为()A.{x|－5≤x≤2}B.{x|x≤－5或x≥2}C.{x|－2≤x≤5}D.{x|x≤－2或x≥5}解析：选A.－x2－3x＋10≥0可化为x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2.2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A.{x |x <－n 或x >m }B.{x |－n <x <m }C.{x |x <－m 或x >n }D.{x |－m <x <n }解析：选B.原不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0， 因为m ＋n >0，所以m >－n ， 所以原不等式的解为－n <x <m .3.关于x 的不等式(ax －b )(x ＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为( )A.(－∞，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析：选A.由题意可得a <0，且1，－3是方程(ax －b )(x ＋3)＝0的两实数根， 所以x ＝1为方程ax －b ＝0的根，所以a ＝b ， 则不等式ax ＋b >0可化为x ＋1<0，即x <－1， 所以不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，－1).4.若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞)D.(－∞，13)解析：选B.m ＞x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，若∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，即m ＞f (x )min ，所以m ＞5.故选B.5.(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A.(－2，－1)B.(－3，－6)C.(2，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 解析：选AD.不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，所以方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6.不等式x ＋2x －1>2的解集为________. 解析：原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即（x ＋2）－2（x －1）x －1>0，即4－x x －1>0， 即(x －1)(x －4)<0， 解得1<x <4，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}. 答案：{x |1<x <4}7.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a8.(2022·河南温县一中10月月考)已知定义在R 上的运算“⊗”： x ⊗y ＝x (1－y )，关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0.(1)当a ＝2时，不等式的解集为________________；(2)若∀x ∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________， 解析：(1)当a ＝2时，不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －2)(1－x －2)>0， 即(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2，所以不等式的解集为{x |－1<x <2}.(2)不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －a )(1－x －a )>0， 即－x 2＋x ＋a 2－a >0，不等式对∀x ∈[0，1]恒成立，设y ＝－x 2＋x ＋a 2－a ， 则只要∀x ∈[0，1]，y min >0，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋a 2－a ，当x ＝0或x ＝1时，y min ＝a 2－a ，所以y min ＝a 2－a >0， 解得a <0或a >1.答案：(1){x |－1<x <2} (2)a <0或a >1 9.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12. 10.(2022·重庆九校联考)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1 x＋0.01 x2，s乙＝0.05 x＋0.005 x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1 x＋0.01 x2>12，即x2＋10 x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05 x＋0.005 x2>10，即x2＋10 x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速.故甲车没有超速，乙车有超速现象.[B综合应用]11.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是()A.(－3，5)B.(－2，4)C.[－1，3]D.[－2，4]解析：选C.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1＜a≤3或－1≤a＜1，所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.12.(多选)(2022·淄博高三一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.10B.3C.－4.5D.－5解析：选BC.因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x ]－3)([x ]＋4)≤0，所以－4≤[x ]≤3，又因为[x ]表示不小于实数x 的最小整数，结合选项， 所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3和－4.5. 故选BC.13.(2022·山东泰安一中月考)设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx ＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则m 的取值范围为( )A.[4，6]B.(4，6)C.(4，6]D.[4，6)解析：选A.函数f (x )＝x 2－mx ＋2的对称轴为直线x ＝m2， 由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，即m ≥4； 因为m ≥4，m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1且m 2＋1－m 2≤m2－1，故当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1时，f (x )max ＝f (1)＝3－m ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24＋2，由|f (x 1)－f (x 2)|≤4，可得3－m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2≤4，化简可得m 2－4m －12≤0，可得－2≤m ≤6， 综上可得4≤m ≤6，故选A.[C 素养提升]14.(2022·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________.解析：由题可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝b2，－3＝－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0].令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案： 4 (－∞，－2]15. (2022·浙江诸暨中学高三模拟)设函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，若不等式f (x )<0的解集是(1，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意x ∈[1，3]，不等式f (x )≤2＋t 有解，求实数t 的取值范围. 解： (1)由题意知1和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝6，c2＝5，解得b ＝－12，c ＝10，所以f (x )＝2x 2－12x ＋10.(2)不等式f (x )≤2＋t 在x ∈[1，3]时有解，等价于2x 2－12x ＋8≤t 在x ∈[1，3]时有解，只要t ≥(2x 2－12x ＋8)min 即可，不妨设g (x )＝2x 2－12x ＋8，x ∈[1，3]，则g (x )在[1，3]上单调递减，所以g (x )≥g (3)＝－10，所以t ≥－10.。

第2讲 二次函数与二次不等式本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。

二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解，是相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，函数值为0时x 的值，即此二次函数的图象在x 轴上的截距（函数图象与x 轴的交点的横坐标）。

二次不等式)0(02>>++a c bx ax的解，是相应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 中，函数值大于0时x 的值，即此二次函数的图象在x 轴上方时x 的取值范围；同样的，二次不等式)0(02><++a c bx ax 的解，是相应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 中，函数值小于0时x 的值，即此二次函数的图象在x 轴下方时x 的取值范围。

因此，0>∆ 0=∆ 0<∆的图象)0(2>++=a cbx ax y的解)0(02>>++a c bx ax 21x x x x ><或 R x x x ∈≠且0 一切实数 的解)0(02><++a c bx ax 21x x x << 无解 无解高次不等式可以先进行因式分解，再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。

A 类例题例1 设二次函数)0(2222<++=a a ax x y 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,，当ABC ∆为等边三角形时，求a 的值。

分析 欲求a 的值，需得到一个关于a 的方程。

因为A是抛物线的顶点，所以AC AB =。

由ABC ∆是等边三角形，得BC AD 23=。

只要以a 表示BC AD 和，则a 的值可求。

例2 当0<a时，解关于x 的二次不等式 （1）05422≥--a ax x； （2）0)13()1(222<+-++-a a x a x ；（3）04)4(22>++-a x a ax 。

第二讲 二次函数、二次方程和二次不等式【学法点拨】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。

函数的研究离不开方程和不等式，方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质。

主要理解三者间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法1、二次函数的表达式有三种形式：一般式，顶点式和两根式，求函数值问题常用一般式；求最大值最小值或值域问题常用顶点式；确定函数值符号及方程的根有关的问题常用两根式。

2、二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值：最值只能在区间端点或图象顶点处取得，求最值时，要根据图象的开口方向和对称轴与区间端点的相对位置关系来确定，必要时应分类讨论。

3、二次不等式转化策略：求0y >，0y <时x 的取值集合，利用二次函数的图像及穿根法求解。

【常用结论】1、二次函数的三种表示法①一般式：y=ax 2+bx+c; ②顶点式：y=a(x －x 0)2+n; ③两根式：y=a(x －x 1)(x －x 2) 2、二次函数在闭区间上必存在最值：当a>0,f(x)在区间［p,q ］上的最大值M ，最小值m,令x 0=21(p+q) 若－a b 2<p,则f(p)=m,f(q)=M; 若p ≤－a b 2<x 0,则f(－ab 2)=m,f(q)=M; 若x 0≤－a b 2<q,则f(p)=M,f(－a b 2)=m; 若－ab2≥q,则f(p)=M,f(q)=m3、若二次函数()y f x =恒满足()()f x m f n x +=-，则其对称轴是2m nx +=。

4、二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是R 等价于00a >⎧⎨∆<⎩或0a b c ==⎧⎨>⎩；当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立转化为f(x 0)> 0( f(x 0)是f(x)在区间［p,q ］上的最小值)。

二次函数与二次不等式的关系考纲要求：理解二次函数、二次方程与二次不等式的关系，并能利用它们的关系解决相关问题知识梳理：1、二次函数的解析式一般式: y=ax 2+bx+c(a ≠0);顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);两根式: y=a(x -x 1)(x -x 2)(其中x 1, x 2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);2、二次函数的图象有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.诊断练习： 1、解不等式：(1) x 2-7x+12>0 (2)x 2-2x+1<0 (3) -x 2-2x+3≥02、求函数 86)(2+-=x x x f 的定义域。

3、已知不等式ax 2+bx+6>0的解集是{x|-2<x<3}，求a.b 的值4、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.易错点透析：1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.2、函数()86)(2++-=k kx kx x f （K ＞0）的定义域为R ， 求K 的取值范围3、m 是什么实数时，关于x 的方程mx 2-（1-m ）x+m=0没有实数根？巩固练习：1、x 2-3x-4≥0的解集是 (x-1)(2-x) ≥0的解集是 x 2<9的解集是2、求函数()23223log 32)(x x x x x f -++-+=的定义域3、*已知A=｛x │－1≤x ≤1｝ B=｛x │x 2+(a+1)x+a ≤0｝若A ∩B=B ，求a 的取值范围小结：作业：1、 已知集合M={x|3x-x 2>0}, N={x|x 2-4x+3>0},求 M ∩N MUN2、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.3、求函数y=x 2+ax －3 ， x ∈［0,2］的最小值。

高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳1 二次函数的基本性质二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q )若－ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b2)=m ; 若－ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小Ûa ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r Ûïïîïïíì>×>->-=D 0)(,2,042r f a r a bac b(3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根ïïïîïïïíì>×>×<-<>-=D Û;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根Ûf (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )Ûîíì>×<×0)(0)(q f a p f a3 二次不等式转化策略二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是的解集是+)生可能走入误区，老c)=4)3))4[()]))c13,3115,22或≤∵21-1oyx1oyx925=2－3 解析解析 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3, 23) 答案答案 (－3，23） 4 解析解析 由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 答案－2＜x ＜05 解 (1）由log a 33log ay a t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -, ∴log a y =x 2－3x +3，即y =a332+-x x (x ≠0) (2)令u =x 2－3x +3=(x －233)2+433(x ≠0),则y =a u①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值上不存在最大值②若a >1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16∴所求a =16,x =23 6 解 ∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意轴两侧，符合题意(2）当m >0时，则ïîïíì>-³D 030mm 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0} 7 证明证明 (1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m mpf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m )＜0 (1(1+m m )(1+m m ,1)－65)。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。