高中数学复习专题讲座(第14讲)构建数学模型解数列综合题和应用性问题

高中数学中的数学建模详细解析与实践数学建模在高中数学教学中起着重要的作用，它既能锻炼学生的数学思维能力，又能帮助他们将数学知识应用于实际问题解决中。

本文将详细解析数学建模的基本概念与步骤，并通过实例来展示如何进行数学建模的实践。

一、数学建模的基本概念数学建模是指把实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解的过程。

它涉及到问题的分析、建立模型、求解模型和验证模型等步骤。

数学建模既包括定性描述问题的抽象模型，也包括定量描述问题的数学模型。

二、数学建模的步骤1. 问题分析在进行数学建模之前，我们首先需要对问题进行全面的分析。

这包括对问题的背景和条件进行了解，明确问题的目标和要求，确定问题的限制和假设等。

通过问题分析，我们可以更好地理解问题，并为建立数学模型做好准备。

2. 建立模型建立数学模型是数学建模的核心任务之一。

在建立模型时，我们要根据问题的特点选择合适的数学方法和技巧。

常见的数学模型包括函数模型、方程模型、几何模型等。

建立模型时，我们要尽量简化问题，将其转化为易于处理的数学形式。

3. 求解模型求解模型是数学建模的关键步骤之一。

在求解模型时，我们要运用适当的数学工具和方法，进行数学推理和计算。

这包括利用数学公式和定理进行推导，运用数值计算和图形分析方法进行求解。

通过求解模型，我们可以得到问题的数学解，从而得出实际问题的解答。

4. 验证模型验证模型是数学建模的最后一步。

在验证模型时，我们要对模型的有效性进行检验，并与实际数据进行比对。

如果模型能够准确地描述实际问题，并与实际数据相吻合，那么我们可以认为模型是有效的。

否则，我们需要对模型进行修正和优化，以提高模型的精确度和适用性。

三、数学建模的实践为了更好地理解和掌握数学建模的实践方法，我们以一个实例来进行说明。

假设现有一艘船在湖中航行，我们需要确定船的航线。

通过对问题的分析，我们可以明确问题的目标是找到船的最短航线。

在建立模型时，我们可以将湖面看作一个平面直角坐标系，船的起始点为坐标原点，湖中的岛屿和障碍物为坐标系中的点。

教学·策略提升高中生数学建模素养———以“数列的概念”为例文|李峰数学建模是解决实际问题的关键能力，对于培养学生的综合素质和未来的职业发展具有重要意义。

本文以湘教版高中数学选择性必修第一册第1章“数列的概念”为例，提出引导学生树立建模意识、创设情境让学生在探究中掌握建模知识、结合实际生活分析数学知识等策略，提高学生的数学建模素养。

通过实践活动，学生能够更好地理解和应用数列的概念，培养数学建模能力和问题解决能力。

一、数学建模能力概述数学建模能力是一种运用数学语言、符号、公式等工具，对现实世界中的问题进行抽象、简化，并建立数学模型的能力。

它是一种综合性的思维能力，需要学生具备扎实的数学基础知识、良好的分析问题能力以及一定的创新能力。

在数学建模过程中，学生需要将实际问题转化为数学问题，并运用数学方法进行分析和解决，这有助于提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。

数学建模能力是培养学生创新精神和实践能力的重要途径之一，也是当前高中数学教育中的重要任务。

二、高中生数学建模素养提升策略（一）引导学生树立建模意识，学习建模知识在高中教育阶段，提升学生的数学建模素养是至关重要的。

数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。

为了培养学生的建模素养，教师需要引导学生树立建模意识，让他们认识到建模在解决实际问题中的作用和意义。

教师需要注重基础知识的讲解，包括代数、几何、概率统计等基础知识。

只有掌握了这些基础知识，学生才能更好地理解和掌握建模方法。

同时，教师还需要注重培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

★情景导入教师：同学们，大家好！今天我们将学习一个新的数学概念———数列。

在我们的日常生活中，数列有着广泛的应用，如工资、奖金、存款等都是按照数列的方式进行计算的。

那么，数列的概念是什么呢？让我们一起来探索吧！学生：老师，数列是不是一组数排列起来？教师：是的，数列是一组有序的数，按照一定的规律排列。

高中数学考试题型解题技巧专题讲座数学冲刺复习一定要把大纲中规定的核心重要考点进行梳理，结合做题来进一步的巩固，熟练把握。

下面是为大家整理的关于，希望对您有所帮助!高中数学选择题的解题方法方法一：直接法所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.方法二：特例法特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.注意：在题设条件都成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的较佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法来解答的约占30%.因此，特例法是求解选择题的好招.方法三：排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.注意：排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中占有很大的比重.方法四：数形结合法数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.方法五：估算法在选择题中作准确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的准确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.方法六：综合法当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解.根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选项里找解题灵感.高中数学的证明题的推理方法一、合情推理1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

高中数学复习专题讲座综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题高考要求*函数综合问题是历年高考的热点和重点内容么一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样》木节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进-步深化综合运用知识的能力，掌握基木解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力・重难点归纳？在解决函数综合问题时，耍认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用，综合问题的求解往往需要应川多种知识和技能，因此，必须全而掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题口的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，学法指导*怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题*准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识（一）准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的慕础，而函数是数学中最主要的概念之一，苗数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数，近十年來，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线，（二）揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容，在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此牛动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑，高考试题涉及5个方血* （1）原始意义上的函数问题；（2）方程、不等式作为函数性质解决；（3）数列作为特殊的函数成为高考热点:（4）辅助函数法；（5）集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中，（三）把握数形结合的特征和方法函数图象的儿何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方而精确地观察图形、绘制图形，乂要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换，（四）认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点捉出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决，纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识，典型题例示范讲解例1设几r）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线*1对称，对任意［0,1］,都有f（x}+X2）=fi X［）・ /（兀2）,且几1）=0>0・（1）求/（*）、几扌）；⑵证明/⑴是周期函数；（3）记 a n =f （2n+^-\求 li m （Ina”）.2n 斤一＞8命题意图匚本题主要考查函数概念，图彖函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识, 还考查运算能力和逻辑思维能力・知识依托；认真分析处理好各知识的和互联系，抓住条件f （x l+x 2） = 几V|）・沧2）找到问题的突破口，错解分析】不会利用f （Xi+X2）=f （X\）・/（兀2）进行合理变形'Y YYY技巧与方法f 由.心代）*1）•.心2）变形为/« = /（- + -）= /（-）•焉）是解决问题的关键又因为用嗨+ *）歸）.硝）=呜）]2 硝)站+ A 妨)叫)="中]2 又 /U)=a>0⑵证明*依题意设）今＞）关于直线x=l 对称，故/（x ）〒/（1+1—兀）， 即 fM=f （2 ~x ）yX R«又rtl/U ）是偶函数知 f （-x ）=f （x ）yX ^Rx ）=f （2~x ）^c^R ＞将上式中一兀以x 代换得/W=/U+2）,这表明血:）是R 上的周期函数，且2是它的一个 周期，（3）解£ 山⑴知f （x ）[0,1]・・・/（£）* •亠）钦亠+5-1）丄）曲亠）・人5—1） • -!-）=……2 2n 2n 2n 2n 2n 审右）•心） .........時）2n 2n2n=”(*)]2n1 — 2/7又・・7U ）的一个周期是2 ・・・畑+丄）=A 丄），2n 2n(1)解? 因为对Xi/2 W[0, * ]，都有 ・ /（也），所以的=/（2+2）= /（2）/（2）»0,xe [o,l]・"□+存/（存用因此a n=a 2n・，・lim（lna“）= lim（；^-lna） = O.“TOO n->oo 2n例2甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小吋，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）rh对变部分和固定部分组成，对变部分与速度v（km/h）的平方成止比，比例系数为b,固定部分为u元・⑴把全程运输成本），（元）表示为Wkm/h）的两数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成木最小，汽车应以多人速度行驶？命题意图匸本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运川所学数学知识解决实际问题的能力，知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法，错解分析；不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变•最的限制条件・技巧与方法；四步法「（1）读题；⑵建模；（3）求解；⑷评价，解法一F⑴依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为纟,全程运输成本为vy=a ・—+bv2・—=5（—+/?v）v v v・・・所求函数及其定义域为y=S（ - +加）,y e （O,c]>v（2）依题意知,S、a、b、u均为正数・・・S（?+Zn，）22sV^ ①v当且仅当-=/7V,即V」回时，①式中等号成立・O c "x o C若 J—则当时'右ymin = 2S Jab；若、3 >c，贝lj当y W(O,c ]时，有S(£ +bv)—S( — +bc)V b v c=S [( ——— )+(Z?v—/?c)] =一(c—v)(a~bcv)v c vcVc —v&O,XL ohc1, a—bcv^a — bc2>0:.S(-+hv)^S(-+bc),当且仅当v=c时等号成立,V c也即当xc 时，有y min=s( — +bc)；c综上可知，为使全程运输成本y城、，当匝 Wc时,行驶速度应为g逅，当娅>。

高三数学教师如何引导学生进行数学建模数学建模在高中数学教学中扮演着重要角色，它不仅能加深学生对数学知识的理解，还能培养学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。

作为高三数学教师，如何有效地引导学生进行数学建模，具备一定的技巧和方法是至关重要的。

本文将从准备工作、引导过程和评价方法三个方面，为大家介绍高三数学教师如何引导学生进行数学建模。

准备工作：1. 深入了解教学大纲：数学建模作为一种教学方法，需要与教学大纲紧密结合。

教师应该仔细研读教学大纲中有关数学建模的内容，明确建模目标和要求，从而更好地指导学生进行数学建模。

2. 选择适合的建模主题：建模主题既要符合教学大纲的要求，又要与学生的实际生活相关。

教师可以结合学生的兴趣和实际需求，选择适合的建模主题，激发学生的学习热情和积极性。

3. 整理和准备相关资料：教师在引导学生进行数学建模之前，要提前准备与建模主题相关的资料。

这些资料可以来自于教科书、互联网、实地调查等，以便学生在建模中能够准确获取和分析相关信息。

引导过程：1. 问题提出与分析：教师首先要向学生明确说明建模的问题，并协助学生对问题进行深入分析。

教师可以引导学生进行讨论，通过提问、解释等方式帮助学生逐步理解问题的意义和复杂性。

2. 建立数学模型：一旦问题分析清楚，教师应该引导学生根据实际情况，选择合适的数学方法和公式来建立数学模型。

教师可以通过例子和练习，帮助学生理解各种数学模型的建立思路和方法。

3. 使用数学工具和技术：教师应该引导学生熟练掌握数学工具和技术，如计算机软件、数据采集设备等，以便更加高效地进行数学建模过程。

教师可以组织学生进行实验、数据采集和数据分析，培养学生运用数学工具解决实际问题的能力。

4. 分析和解释结果：在数学建模过程中，教师应该培养学生良好的分析和解释结果的能力。

学生需要能够通过结果分析，对研究问题提出合理的结论，并能用通俗易懂的语言向他人解释建模过程和结果。

评价方法：1. 综合评价：教师可以制定综合评价标准，从问题的分析、模型的建立、结果的分析等多个方面对学生的建模过程进行评价。

构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学胡雪芹摘要：随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。

本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。

数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。

关键词：函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。

”《九年制义务教育数学课程标准（实验稿）》基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。

”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。

”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。

可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。

进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。

随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。

中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题。

特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。

一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。

综合性问题高考数学专题讲座新课标人教版高考风向标高考数学跨章节的综合性问题的命题方向一般是：三角函数与向量，解析几何与向量，函数与向量，函数与不等式，概率与实际应用性问题，递推数列与不等式证明，解析几何与数列等等．典型题选讲例1 已知向量，，，其中．（１）当时，求值的集合；（２）求的最大值．讲解（１）由，得，即．则，得．∴为所求．（２），所以有最大值为3．点评向量与三角函数的结合是高考命题的一个亮点，２００４年的高考当中已经有类似的考题．例2 已知函数的定义域为，且.设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．讲解（1）∵，∴.（2）设点的坐标为，则有，，由点到直线的距离公式可知：，故有，即为定值，这个值为1.（3）由题意可设，可知.∵与直线垂直，∴，即，解得，又，∴.∴，，∴，当且仅当时，等号成立．∴此时四边形面积有最小值．点评本题是２００５年上海市春季高考试题，它将函数、解析几何与不等式综合，题目新颖，但并不是难题．＂对号＂函数是历年高考命题的热门话题．例３已知，奇函数在上单调．（1）求的值及的范围；（2）设，且满足，求证：．讲解（1）因为，为奇函数，恒成立，．又在上单调，若在上单调递减，则恒成立但在上不恒成立；若在上单调递增，则恒成立．在上最小值为，故只要，即．综上可知，，．（2）假设，若，由（1）知在上单调递增，则且有，与矛盾；若，同理有且有，与矛盾；所以假设错误．因此．点评第（2）小题也可以给出下面的证明：由（1）知．设，由有于是两式相减，得，即．即．请你思考：哪一个证法比较简单呢？例４M(互相垂直的弦MP、MQ，求证：PQ恒过定点M'（（2）直线点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？讲解（1）设PQ的方程为，得，于是其中．，即，∴，直线PQ的方程为即．（2）设M（上，所以的解，消去x得．点评消元思想是解答解析几何试题的基本方法，它的程序是：代入消元，产生一元二次方程，韦达定理，判别式等．例５已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上．（１）求数列的通项公式；（２）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（３）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围．讲解（１）将点代入中得（２）（３）由，点评解析几何中曲线上的点列是高考的命题的一个新的亮点，而这种题型已经是上海高考命题的一个热点．针对性演练1.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金() A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于2.在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期。

高三数学主题发言材料主题：数列与数列的性质数列是数学中常见的一种数学对象，是按照一定规律排列的数的集合。

数列可以描述各种实际问题并应用于许多领域，如物理学、经济学等。

在高中数学中，我们学习了数列的性质和应用，下面将介绍数列的一些重要性质。

首先，数列可以按照元素之间的关系进行分类。

常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

等差数列指的是数列中的每一个项与前一项之差都相等，而等比数列指的是数列中的每一个项与前一项之比都相等。

斐波那契数列是数列中的每一项都是前两项之和，这种数列在自然界中广泛存在。

其次，数列的通项公式是一个重要的概念。

通项公式可以用来计算数列中任意一项的值，它能够将数列的规律简洁地表示出来。

通过观察数列中的元素之间的关系，我们可以找到通项公式。

对于等差数列，通项公式可以写成An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差。

对于等比数列，通项公式可以写成An = A1 * r^(n-1)，其中r表示公比。

另外，数列的求和是数列中元素求和的一种方法，也是数学中的重要概念。

对于等差数列，求和可以通过等差数列的性质和公式来进行计算，即Sn = n/2 * (A1 + An)，其中Sn表示前n 项和。

对于等比数列，求和可以通过公式Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)来进行计算，其中Sn表示前n项和。

最后，数列的应用广泛且重要。

数列可以用来描述自然界中的现象，如植物的花瓣数、光线在水滴中的反射等。

数列还可以用来解决一些实际问题，如经济学中的财富积累问题、物理学中的运动问题等。

通过学习数列的性质和应用，我们可以提高数学思维能力，培养逻辑思维和解决问题的能力。

综上所述，数列是数学中的重要概念，通过学习数列的性质和应用，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高自己的数学水平。

数列不仅仅是高中数学的一部分，更是我们生活中的一种数学模型，通过数列的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。

高中数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度重难点归纳1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系(3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 典型题例示范讲解例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上41 (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型 知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点错解分析(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧解 (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，… 第n 年投入为800×(1－51)n －1万元， 所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］ 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+41)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元 所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1=1600×［(45)n －1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0， 令x =(54)n ，代入上式得 5x 2－7x +2＞0 解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去) 即(54)n ＜52，由此得n ≥5 ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入例2已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力 知识依托本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙 错解分析本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2 解 ∵S n =1+3121++…n1 (n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又 ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可 由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0 于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［log m (m －1)］2＜1解得m ＞251+且m ≠2 例3 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0 (1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n 解 (1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1 ∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2， 又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上， 又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1 设{r n }的公比为q ，则12112(1)2(1)n n n n n n r r q t r r q t ++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ① ② ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n ∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］。

1 数学知识和方法迅速确定解题的方向以提高解数列题的速度 典型题例示范讲解高三数学第二轮专题讲座复习：构建数学模型解数列综合题和应用性问题纵观近几年的高考 在解答题中 有关数列的试题出现的频率较高 不仅可与函数、方 程、不等式、复数相联系而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数在实 际问题中有着广泛的应用 如增长率 减薄率 银行信贷 浓度匹配 养 老保险圆钢堆垒这就要求同学们除熟练运用有关概念式外 还要善于观察题设的特征 联想有关重难点归纳解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关2(1)事理关需要读懂题意明确问题的实际背景即需要一定的阅读能力需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言用数学式子表达数学关系在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力认定或构建构建出数学模型后 要正确得到问例 1 从社会效益和经济效益出发某地投入资金进行生态环境建设并以此发展旅游产业 根据规划 本年度投入 800 万元以后每年投入将比上年减少 5本年度当地旅游业收入估计为 400 万元由于该项建设对旅游业的促进作用预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 14 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 a n 万元旅游业总收入为 b n 万元写出 a n ,b n 的 表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力 本题有很强的区分度 属于应用题型 正是近几年高考本题以函数思想为指导 以数列知识为工具 涉及函数建模、数列 求和、高考要求等问题 等差(比)数列、递推数列模型再综合其他相关知识来解决问题纵观近几年高考应用题看解决一个应用题重点过三关(2)文理关 (3)事理关 相应的数学模型 完成用实际问题向数学问题的转化 题的解还需要比较扎实的基础知识和较强的数理 能力命题意图 的热点和重点题型知识依托 不等式的解法等知识点错解分析1第 n 年投入为 800×(1－ 1)n －1 万元 所以 n 年内的总投入为n n (1)问 a 、b实际上是两个数列的前 n 项和易与“通项”混淆；(2)问是既正确审题、深刻挖掘数量关系建立数量模型是本题的灵魂 (2)问中指(1)第 1 年投入为 800 万元 第 2 年投入为 800×(1－ 1)万元 …55解一元二次不等式又解指数不等 式易出现偏差技巧与方法 数不等式采用了换元法是解不等式常用的技巧解2 ［log (m －1)m ］ 恒成立1 a n =800+800×(1－ 5)+…+800×(1－ 15 )n －1n=∑k =1800×(1－ 1 ) 5 k －1=4000×［1－( 4)n ］5第 1 年旅游业收入为 400 万元 第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 1) …4第 n 年旅游业收入 400×(1+ 1)n －1 万元1 b n =400+400×(1+ 4 4)+…+ 400×(1+ 1 4)k －1n=∑k =1400×( 5 ) 4 k －1=1600×［( 5)n －1］45(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入由此 b n －a n ＞0即 1600×［( )n4－1］－4000×［1－( 4 )n ］＞0 令 x =( 4 )n代入上式得5x 2－7x +2＞05 解此不等式得 x ＜ 5或 x ＞1(舍去)5 5 5∴至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入例 2 已知 S n =1+ 1 + 1 +…+ 12 3 n,(n ∈N *) 设 f (n )=S 2n +1－S n +1 ,试确定实数 m 的取值范围11 使得对于一切大于 1 的自然数 n 不等式 f (n )＞［log m(m －1)］2－202本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题 需较强的综合分析本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起构思巧妙本题学生很容易求 f (n )的和但由于无法求和故对不等式难以处理 解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是 n 的函数此时不等式的恒成立 11函数 f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－1 ∵S n =1+ + 1+…+ 120(n ∈N *)∴ f (n ) = S 2 3- S = n1 + 1 + + 1 2n +1 n +1n + 2 n + 3 2n + 1又f (n + 1) - f (n ) =1 + 2n +2 1 - 2n +3 1 = n + 2 1 + 2n + 2 1 - 2n + 3 2 2n +4 = ( 1 - 2n + 21 2n + 4 命题意图 问题、解决问题的能力知识依托错解分析 技巧与方法 就转化为［log (m －1)m ］2解) + (1 - 2n + 312n + 4) > 0119∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于 n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=+ 2 + 2 =2 +3 20t 2 2 m ⎨ 2 2 11∴要使一切大于 1 的自然数 n f (n )＞［log m (m －1)］2－ 20［log (m －1)m ］2 恒成立只要 9 ＞［log (m －1)］2－ 11［log m ］2 成立即可m20⎧m > 0, m ≠ 1 (m －1)20由 ⎨⎩m - 1 > 0, m - 1 ≠ 1得 m ＞1 且 m ≠2⎧ 9 此时设［log (m －1)］2=t 则 t ＞0 于是 ⎪ 20 > t - 11 20 解得 0＜t ＜1 ⎪⎩t > 0由此得 0＜［log m (m －1)］2＜1 解得 m ＞2 例3 已知二次函数 y =f (x )在 x = t + 2 处取得最小值－ t(t ＞0),f (1)=02 (1)求 y =f (x )的表达式；4(2)若任意实数 x 都满足等式 f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式n ∈N *),试用 t 表 示 a n 和 b n ；(3)设圆 C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 圆 C n 与 C n +1 外切 (n =1,2,3,…);{r n }是各项都(1)设 f (x )=a (x － t + 2 )2－由 f (1)=0 得 a =1∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +12 4(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a x +b =x n +1nn上式对任意的 x ∈R 都成立 取 x =1 和 x =t +1 分别代入上式得⎪⎧a n + b n= 1 ⎨且 t ≠0 ⎪⎩(t + 1)a n 1+ b n = (t + 1)n +1t + 1 解得 a n = t［(t +1)n +1－1］b n = t［1－(t +1 ] n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 又由(2)知 a n +b n =1故圆 C n 的圆心 O n 在直线 x +y =1 上又圆 C n 与圆 C n +1 相切故有 r n +r n +1= 设{r n }的公比为 q 则｜a n +1－a n ｜= (t +1)n +1 ⎧r + r q = (t +1)n +1 ① ⎪ n n ⎨②÷①得 q = rn +1 =t +1⎪⎩r n +1+ r n +1q = (t +1)n +2②r n代入①得 r n =t + 2πr 2 (q 2n - 1)2π(t + 1)4 2 2 212n∴S n =π(r 1 +r 2 +…+r n )=q 2- 1= t (t + 2)3 ［(t +1) －1］已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1当 a =12…n …时其抛物线在 x 轴上 1 + 5 2 2 2 2 (t + 1)n +1且 m ≠2是正数的等比数列记 S n 为前 n 个圆的面积之和求 r n 、S n解 (2)将 f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得学生巩固练习1 2∆ 1 2 2 2 2 2 1 21 1 1n1 2 1 2 1 2 12截得的线段长依次为 d 1,d 2… ,d n ,…,则 lim n →∞(d 1+d 2+…+d n )的值是()1B2C3D 42在直角坐标系中 O 是坐标原点P (xy )、P (xy )是第一象限的两个点若 12 22x 1x 2 4 依次成等差数列而 1y 1y 28 依次成等比数列则△OP 1P 2 的面积是从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升然后再用水加满 再倒出 b 升再用水加满； 这样倒了 n 次 则容器中有纯酒精升4“2001 年国内生产总值3%”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长 那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为亿参考答案:解析当 a =n 时 y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=得 d =1 an (n + 1)111∴d 1+d 2+…+d n =++ += 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1- 1 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n (n +1) 2 2 3 n n +1 n +1∴lim (d + d + + d ) = lim (1-1 ) = 1答案 12 n →∞nn →∞n +1由 1,x 1 21 2122,x ,4 依次成等差数列得 2x =x +1,x +x =5 解得 x =2,x =3又由 1y 1,y 2,8 依次成等比数列得 y 1 =y 2,y 1y 2=8,解得 y 1=2,y 2=4,∴P 1(2,2),P 2(3,4)∴ OP = (2,2),OP =(3,4)∴ OP OP = 6 + 8 = 14,OP = 2,| OP |= 5,∴cos P 1OP 2 OP OP 14 = = | OP 1 || OP 2 | 7 = ,∴sin P 1OP 2 = 10101 ∴ S = | OP || OP | sin P OP = 1 ⨯2 ⨯ 5⨯= 1 ∆OP 1P 2 21 2 1 22 103第一次容器中有纯酒精 a － b 即 a (1－ b )升 第二次有纯酒精 a (1－ b)－a (1 - b)aaa b 即a (1－b )2 升 故第 n 次有纯酒精 a (1－ b )n 升 a a aa5⨯ 2 2 2A 3 据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》达到 95933 亿元比上年增长 7 元解析解析答案 4 解析A答案 1比的等比数列∴a5=95933(1+73%)4 ≈120 000(亿元)120000答案。