高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想

数学中的化归思想文章摘要：化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。

在中考中几乎都要用到化归思想。

化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。

总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

关键词：未知熟悉化难为易化繁为简数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。

化归思想是一种重要的数学思想，包括转化和归结。

所谓化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。

如将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将二元方程组化为一元方程，将四边形问题化为三角形问题等等。

实现这种转化和归结的方法有；换元法、待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到抽象等等方法。

化归思想是一种非常重要的数学思想，抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高和解决数学问题的根本所在，所谓化归思想，就是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易。

化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。

在中考中几乎都要用到化归思想。

化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。

总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。

因此，我们应始终“盯住目标”。

即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。

例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。

知识的丰富和发展是离不开化归这一思想方法的，它使后继的知识找到发展的根基，找到解决问题的方向。

然而，化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题，而是需要通过长期的培养，逐渐形成的。

化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是一种在数学中常用的解题方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决。

在高中数学函数学习中，化归思想可以帮助学生更好地理解和应用函数的性质和特点，提高解题的效率和准确性。

化归思想可以帮助学生理解函数的定义和性质。

通过将函数表示为关系式或图像的方式，学生可以更直观地理解函数的本质。

对于线性函数y=kx+b，可以通过化归思想将其表示为y=ax，其中a=k，b=k+b。

这样的转化可以帮助学生理解线性函数的斜率和截距与函数图像的关系。

同样，对于二次函数y=ax²+bx+c，化归思想可以将其表示为y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。

这样的转化可以帮助学生理解二次函数的顶点和对称轴与函数图像的关系。

通过化归思想，学生可以更深入地了解函数的性质和变化规律。

化归思想可以帮助学生解决函数的特殊问题。

在函数学习中，常常会遇到一些特殊的函数形式或问题类型，如分式函数、绝对值函数、一元n次方程等。

对于这些特殊问题，化归思想可以将其转化为更简单的问题来解决。

对于分式函数，可以通过分解为部分分式来简化计算；对于绝对值函数，可以通过定义绝对值的性质来分情况讨论；对于一元n次方程，可以通过换元法或配方法来化简方程，从而求解。

通过化归思想，学生可以将复杂的函数问题转化为简单的问题，提高解题的效率和准确性。

化归思想还可以帮助学生发现和利用函数的隐藏规律。

在函数学习中，函数的图像、性质和变化规律是学生需要重点掌握的内容。

通过化归思想，学生可以通过转化函数的形式或参数来发现函数的隐藏规律。

对于一元n次方程ax^n+bx^{n-1}+...+k = 0，可以通过换元法将其转化为(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) = 0的形式，从而发现方程的根和系数之间的关系。

通过发现和利用函数的隐藏规律，学生可以更好地理解函数的性质和变化规律，提高解题的能力和灵活性。

化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想是高中数学函数学习中的重要内容之一，通过运用化归思想，可以将复杂的问题化简为简单的形式，从而更容易解决问题。

在高中数学的函数学习中，化归思想主要运用在以下几个方面。

在函数的定义和性质的学习中，化归思想可以用来证明和推导函数的一些重要性质。

可以通过化归思想证明函数的奇偶性、周期性等性质，从而更深入地了解函数的特点和性质。

化归思想还可以用来求解复合函数的值域和定义域等问题，通过化归的方法，将复杂的函数化简为简单的形式，从而更易解决问题。

化归思想在函数的图像的研究中也起到了关键作用。

通过将函数进行化归，可以将其图像与标准函数进行比较，从而更加清晰地了解函数的性质和变化规律。

通过将函数进行平移、伸缩和翻转等变换，可以研究函数的平移、伸缩和翻转对其图像的影响，从而进一步深入地理解函数的性质。

在函数的应用问题中，化归思想也发挥着重要的作用。

通过将复杂的实际问题进行化归，可以将其化简为简单的数学模型，从而更轻松地求解实际问题。

在最优化问题中，可以通过将目标函数进行化归，将约束条件进行化简，从而更容易求解最优解。

高考数学复习专题讲座 化归思想高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值； （3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a（舍去） 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2 ∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况， 可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t )=0,解得t =1 的变化情况如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–33所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A （0，1）B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3） 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<1 7 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y=1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ①设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k -- 又N 为AB 中点， 有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4）得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点课前后备注。

高中数学解题中化归思想的运用1. 引言1.1 引言化归思想在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的问题解决方法和思维方式。

化归思想源于古代数学思想，是通过将一个复杂问题化简为一个更为简单的问题进行求解的方法。

在现代高中数学教学中，化归思想被广泛运用于各种数学题目的解决中，不仅能够提高学生的问题解决能力，还能够培养学生的逻辑思维和创新意识。

在数学解题中，化归思想可以帮助学生快速找到解题的思路和方法，将复杂的问题简化为易解的小问题。

通过将问题进行化简，学生能够更深入地理解问题本质，找到问题的关键点，从而更快地找到解题的方法。

化归思想的运用不仅可以提高解题的效率，还可以帮助学生更好地理解数学知识，培养他们的问题解决能力和逻辑思维能力。

本文将就化归思想在高中数学解题中的运用进行详细介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的问题解决方法。

通过学习本文，希望能够帮助学生在数学学习中更好地运用化归思想，提高解题能力，取得更好的学习成绩。

2. 正文2.1 化归思想的概念化归思想是数学解题过程中一种重要的思维方法，也是高中数学中常见的解题技巧。

其核心思想是将复杂的问题转化为简单的问题，从而更容易解决。

化归思想能够帮助我们理清问题的逻辑关系，找到问题的本质，从而更加高效地解决数学问题。

在数学中，化归思想通常可以分为两种情况：一种是将复杂的问题化归为已知的问题，通过逐步分解、转化为已知条件来解决；另一种是将问题简化，通过一系列变化和等价性的变换使得问题更容易被理解和解决。

化归思想的关键在于找到问题中的共性或者规律，将问题进行归纳或者简化，从而减少问题的复杂性。

通过化归，我们可以更好地理解问题的本质，找到解题的途径，提高解题效率。

2.2 化归思想在代数方程中的运用化归思想在代数方程中的运用非常重要，它能够帮助我们简化复杂的方程，找到解题的突破口。

在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如高次方程或者多项式方程。

化归思想在高中数学函数学习中的运用分析我们来介绍一下化归思想。

化归思想是一种通过将问题进行归纳、分类和转化，然后再进行逻辑推理和综合分析的数学思维方法。

它要求学生从宏观上分析问题，找到共同的规律和特点，从而将原问题转化为更简单、更易解的问题。

化归思想在高中数学函数学习中的应用主要体现在以下几个方面。

其一，化归思想在函数定义和性质的学习中的应用。

在学习函数的定义和性质时，学生往往会感到抽象和难以理解。

而通过化归思想的应用，可以将函数问题进行分类和归纳，找到函数之间的共同特点和规律，从而更清晰地理解函数的本质和性质。

对于一元二次函数，可以通过将其分为开口向上和向下两种情况，再通过分类讨论的方式，清晰地了解其特点和性质。

其三，化归思想在函数求导和积分的学习中的应用。

函数的求导和积分是高中数学函数学习中的重要内容之一，而通过化归思想的应用，可以将不同的函数进行分类和归纳，找到它们之间的共同规律和特点，从而更深入地理解和掌握函数的求导和积分的方法和技巧。

在学习函数的求导和积分时，可以通过将函数分为多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等不同类别，然后分别讨论其求导和积分的技巧和方法，使学生更快速地掌握函数的求导和积分。

通过上述分析，我们可以看到，化归思想在高中数学函数学习中的应用是非常广泛和重要的。

它能够帮助学生更快速地理解和掌握函数的定义、性质、图像、求导、积分等内容，培养学生的逻辑思维和综合分析能力，提升他们的数学素养和创造力。

在教学实践中，教师可以通过引入化归思想的应用，帮助学生更好地理解和掌握函数的知识，提升他们的学习兴趣和成绩。

化归思想的应用还能够帮助学生在解决数学问题时更好地运用数学方法和技巧，创造性地解决实际问题。

这种综合运用数学知识的能力对于学生的未来学习和工作都具有重要的意义。

在高中数学函数学习中，化归思想的应用不仅有助于学生的学习，也有助于培养他们的创新和实践能力。

化归思想在高中数学函数学习中的运用一、化归思想的概念化归思想源于数学中的等价关系，是一种抽象的思维方式和分析方法。

在数学中，化归思想是指将一个复杂的问题或者命题归结成一个简单的、易于理解的问题或者命题，从而加深对问题本质的理解。

化归思想在数学中的运用非常广泛，尤其在函数学习中更是不可或缺的学习方式。

在函数学习中，化归思想常常应用于函数的性质、特征和变换的研究中。

利用化归思想可以把复杂的函数问题化归为简单的基本函数问题，通过对基本函数性质的研究，进而推导出更加复杂的函数性质。

化归思想还可以帮助学生理清函数关系中的复杂因果关系，从而更好地掌握函数的性质和特征。

二、化归思想在函数学习中的应用1. 探索函数性质2. 研究函数变换化归思想在函数变换的研究中也有着重要的作用。

通过化归思想，学生可以将函数变换问题化归为基本函数的变换问题，从而更好地理解函数的变换规律和特点。

对于平移变换来说，可以通过化归思想将平移变换问题化归为对基本函数的平移问题，从而更好地理解平移对函数图像的影响。

化归思想帮助学生将复杂的函数变换问题简化为基本函数变换问题，从而更好地掌握函数的变换规律。

3. 深入理解函数性质在帮助学生学习函数时，老师可以通过以下方式引导学生运用化归思想：1. 引导学生提出问题老师可以通过举一些具体的函数问题，鼓励学生提出问题，并从问题出发引导学生运用化归思想进行研究。

老师可以给出一个函数的图像，让学生分析函数的性质，并提出对应的问题，从而引导学生通过化归思想来深入理解函数的性质。

2. 分析问题本质3. 引导学生总结规律老师可以通过引导学生总结规律的方式，加深学生对函数的理解。

对于不同函数的性质，老师可以引导学生将这些性质化归为更一般的规律，并帮助学生通过总结规律来解决具体问题。

通过总结规律，学生可以更好地理解函数的性质，并加深对函数的认识。

四、总结化归思想在高中数学函数学习中具有重要的作用，通过化归思想，学生可以更好地理解和应用函数的性质、特征和变换。

题目 高中数学复习专题讲座 高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x 1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式 错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(a a 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a- 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0解得a ≤2（舍去）或a故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程 故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a=(23,21) （1）证明a ⊥b;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b(2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数 于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t=1 的变化情况如下表当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( ) A （0，1） B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3）2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94 3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率 即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k -- 又N 为AB 中点，有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4） 得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点 课前后备注。

高中数学的化归思想摘要：化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。

关键词：高中数学化归思想化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。

化归思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略。

笔者结合自己多年的教学经验浅谈以下几点看法，供大家参考：一、对化归思想的认识化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。

他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

那么，到底什么是化归思想呢？它怎么有如此大的“本事”呢？所谓化归思想，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。

应用化归思想时要遵循三个基本原则：熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则，即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则，即将抽象问题转化为具体问题。

数学的化归思想包涵化归的对象、目标和方法三要素。

其中化归方法是实现化归的关键。

化归思想方法的实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。

这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。

化归思想的实质是通过事物内部的联系将将待处理问题规范化、模式化，从而得到解决。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

化归思想在高中数学中的应用化归思想是高中数学中一种重要的思想方法，它是一种转化和归结的思想，在解决数学问题时，通过不断的转化和归结，将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而使问题得到解决。

在高中数学中，化归思想的应用非常广泛，本文将从以下几个方面探讨化归思想在高中数学中的应用。

一、化未知为已知未知数的求解是高中数学中的一个难点，而化归思想的应用可以将未知数转化为已知数，从而降低求解难度。

例如，在解方程时，可以将方程转化为标准形式，从而更容易求解；在解不等式时，可以将不等式转化为等价方程或不等式组，从而更容易求解。

二、化复杂为简单高中数学中，有些问题比较复杂，需要使用化归思想将复杂问题简单化。

例如，在求解函数的最值时，可以将函数转化为简单函数，再通过函数的单调性来求解；在解三角形时，可以将三角形的形状和位置转化为正弦定理和余弦定理的形式，从而更容易求解。

三、化抽象为具体高中数学中有些问题比较抽象，需要使用化归思想将抽象问题具体化。

例如，在研究函数的性质时，可以将函数图像转化为具体的图像形式，从而更容易观察和研究函数的性质；在研究数列的性质时，可以将数列转化为具体的数轴形式，从而更容易观察和研究数列的变化规律。

四、化一般化为特殊化在高中数学中，有些问题比较一般化，需要使用化归思想将一般化的问题特殊化。

例如，在研究等差数列的性质时，可以先研究特殊等差数列的性质，再通过特殊到一般的规律来研究一般等差数列的性质。

除了以上几个方面外，化归思想在高中数学中的应用还有很多。

例如，在解决几何问题时，可以将几何问题转化为代数问题；在解决排列组合问题时，可以将排列组合问题转化为组合数学问题；在解决概率问题时，可以将概率问题转化为统计问题等等。

五、小结综上所述，化归思想在高中数学中的应用非常广泛，它可以帮助学生将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化，将一般化的问题特殊化。

通过化归思想的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学解题能力和思维能力。

化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是数学中一个重要的思维方式。

它的运用不仅可以简化复杂的数学问题，而且可以帮助我们深入理解某些数学概念和定理。

在高中数学函数学习中，化归思想同样发挥着重要的作用。

一、化归思想的应用在高中数学函数学习中，经常会遇到形如f(x+a)和f(ax+b)的函数变换问题。

这时，我们可以运用化归思想，将变换后的函数还原为原来的函数，以便更好地进行分析和求解。

具体而言，采用以下方法：1. 对于f(x+a)类型的函数变换：设x+a=t，则x=t-a。

即化归为g(t)的平移变换问题，可以利用平移公式解决。

则f(ax+b)=f(t)=g((t-b)/a)。

此外，在高中数学函数学习中，化归思想也常常用于函数性质的推导和证明。

例如，当我们需要证明一个函数的奇偶性、周期性或单调性等性质时，可以采用化归思想，将函数化为简单的形式，以便分析性质。

具体而言，可以采用以下方法：1. 对于奇偶性的证明：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数；若f'(x)<0，则函数f(x)在x处单调递减。

化归思想的优势在于能够将较为复杂的问题转化为简单的形式，以便更好地进行分析和求解。

具体而言，可以体现在以下几个方面：1. 简化问题：采用化归思想可以将复杂的问题转化为简单的形式，降低难度，使得问题更易于处理。

2. 深入理解：化归思想可以使我们更深入地理解某些数学概念和定理。

例如，在函数学习中，化归思想可以帮助我们更好地理解函数的平移、伸缩、对称等变换。

3. 推广思维：采用化归思想可以推广我们的思维方式，使我们更具有解决问题的能力。

在化归思想的引导下，我们可以发现问题本质和规律，从而更好地处理问题。

在高中数学函数学习中，化归思想是一个重要的思维方式。

我们应该在学习中注重化归思想的应用，提高自己的化归思维能力。

具体而言，我们可以采用以下方法：1. 熟练掌握变换公式：变换公式是化归思维的基石。

化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是数学中一个重要的概念，在高中数学函数学习中也有广泛的运用。

化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题或者将一个问题转化为另一个问题的过程。

在高中数学函数学习中，化归思想被广泛运用于函数的定义、性质和应用等方面。

本文将从函数的定义、函数的性质和函数的应用三个方面分析化归思想在高中数学函数学习中的运用。

一、函数的定义在高中数学中，函数的定义是学生首先学习的内容之一。

函数的定义是将一个自变量和因变量之间的映射关系表达出来，通常表示为 y=f(x)。

但在实际问题中或者在求解复杂函数关系时，往往需要利用化归思想将问题简化。

对于一些复杂的函数问题，可以先考虑其特殊情况，通过化归思想将问题分解成更为简单的问题，然后再逐步解决。

以求函数的值为例，可以使用化归思想将问题转化为求已知函数值的问题。

当遇到计算 f(x) = g(x)+h(x) 这样的复杂函数时，可以先将 g(x) 和 h(x) 分别计算出来，然后再将结果相加得到最终的函数值。

这样就将一个复杂的函数计算问题化归为求两个简单函数的计算问题，便于学生更好地理解和解决问题。

二、函数的性质在高中数学函数学习中，函数的性质是学生需要掌握的重要知识点之一。

函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质的运用需要化归思想的帮助。

化归思想可以帮助学生将问题简化，并且提供更加直观的角度去理解函数的性质。

三、函数的应用在高中数学函数学习中，函数的应用是一个重要的环节。

函数的应用广泛地涉及到各个方面，包括生活中的实际问题、物理问题、化学问题等。

在解决这些应用问题时，化归思想同样能够发挥作用。

以函数的最大值最小值问题为例，当需要求解一个函数在一定范围内的最大值或最小值时，可以利用化归思想将问题简化。

对于 f(x) = x^2+2x+3 这样的函数，可以通过将其表示为完全平方的形式，然后再通过平方差公式求得最值点。

这种化归思想的运用能够帮助学生更加理解最值问题，以及拓展了其解题的思路和方法。

高中数学解题中化归思想的运用
首先，化归思想在高中数学解题中是一种常见的解题思路。

所谓化归，指的是将问题转化为更为简单、易于处理的形式，便于解题。

在高中数学中，化归思想主要应用于以下几个方面。

一、化归为已知问题
化归为已知问题指的是将待求问题转化为已知问题，以便于求解。

例如，在解决直角三角形的问题中，有时需要求某条边的长度，而这条边不是已知的边，这时可以将问题化归为已知问题，通过已知边长和角度的关系，求出待求边的长度。

再比如，在解决函数的极值问题中，我们可以将函数的极值问题化归为求导数为零的问题，以便于求解。

化归为整体问题指的是将问题拆分成若干小问题，将问题的整体性质与局部性质相结合，以便于解决。

例如，在解决三角函数解析式的问题中，我们可以将三角函数的图像、周期、对称性等整体性质与三角函数的基本定义式相结合，讨论不同情况下三角函数解析式的形式。

再比如，在解决数列的极限问题中，我们可以将数列的整体趋势与局部性质相结合，利用极限定义及其性质求出数列的极限值。

化归为特殊问题指的是将问题简化为特殊情况，以便于求解。

例如，在解决二次方程的问题中，我们可以将二次方程化归为完全平方的形式，消去二次项，从而将问题简化为一次方程的形式。

再比如，在解决概率问题中，我们可以将问题化归为样本空间为有限集合的情况，从而利用计数原理求解概率问题。

综上所述，化归思想是高中数学解题中非常重要的解题思路之一。

通过将问题化归为已知问题、整体问题或特殊问题，可以简化问题的难度，便于求解。

在实际解题过程中，我们可以根据不同的问题特点来选择合适的化归方法，并将化归思想与其他解题思路相结合，以便更好地解决问题。

高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中经常运用的一种方法。

它通过将复杂问题转化为简单问题来进行求解，从而简化问题的处理过程，提高问题的解决效率。

在高中数学中，化归思想主要应用在代数、几何和数列等知识点的解题过程中。

在代数方面，化归思想通常用于化简问题中的复杂式子。

在求解复杂的方程或不等式时，我们可以通过适当的变量代换或等式变形，将原来复杂的式子化简为简单的形式。

这样可以减少计算的复杂性，更容易找到问题的解。

化归思想还可以帮助我们发现问题中的规律和性质，从而更加深入地理解数学中的代数概念。

在几何方面，化归思想主要用于解决几何问题中的相似性和等价性。

在证明几何定理时，我们可以通过构造新的几何图形，将原问题转化为已知的几何定理或已有的几何性质来证明。

这样，可以将原来复杂的证明过程简化为已知的结论，提高证明的效率。

化归思想还可以帮助我们发现几何图形之间的关系，从而辅助我们解决几何问题。

数学教学过程中的化归思想1. 引言1.1 数学化归思想的定义化归思想是指将一个较为复杂的问题或表达式通过合理的变换、规约或等价转化，化简为相对简单且易于处理的形式。

在数学教学中，化归思想是一种重要的思维方法和策略，通过对问题的重新理解和转化，帮助学生更好地理解和解决数学问题。

化归思想的本质在于通过适当的变换或等价替换，将问题简化为已知的或易于解决的情形，从而使问题的解决变得更加直观和便捷。

化归思想的核心是通过逐步简化和变换问题，逐步追溯到问题的根源，找到问题的本质，并逐步解决问题，达到解题的目的。

在数学教学中，在教师的引导下，学生通过实际问题的分析与解决，逐渐培养和提高化归思想，从而在解决更加复杂和抽象的数学问题时，能够灵活应用化归思想，找到解题的关键和方法。

化归思想不仅有助于提高学生的数学解题能力，还可以帮助学生培养逻辑思维能力和分析问题的能力，对学生的整体数学素养和思维能力的提高具有积极的促进作用。

1.2 数学教学中的重要性数要求、格式要求等。

以下是您所需的内容：化归思想在数学教学中扮演着至关重要的角色。

化归思想可以帮助学生更好地理解数学概念和原理。

通过将复杂的问题简化为易于理解的形式，化归思想可以帮助学生建立起对数学知识的整体框架，从而提高他们的学习效率和理解深度。

化归思想可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

在数学教学中，经常需要学生运用化归思想将问题分解、归纳、推理，这不仅能锻炼学生的逻辑思维，还能培养其解决问题的能力和方法论。

化归思想还可以激发学生的学习兴趣和探究欲望。

通过化归思想，学生可以发现问题之间的内在联系和规律，体会到数学的美妙和深刻，从而激发对数学的兴趣和热情，促进他们对数学的深入学习和探索。

化归思想在数学教学中的重要性不言而喻。

它不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养其逻辑思维能力和问题解决能力，激发学习兴趣，为他们未来的学习和发展打下坚实的基础。

在数学教学中应该重视并积极倡导化归思想的应用与培养。

高中数学问题解决中的化归思想及教学数学问题解决是高中数学教学中重要的一环，高中数学中的各种问题，如何以科学、合理的方法解决等，极大地考验学生的解题能力。

而在数学问题解决中，化归思想是解决数学问题的重要思想之一。

化归思想的重要性，在于它可以帮助学生设定一个有序的解题思路，形成一个完整的解题模型，从而提高学生解题的能力和水平。

二、化归思想在高中数学问题解决中的应用1.实例分析法。

这是一种循序渐进的方法，即将问题的解决过程分解成若干个实例，从简单的实例开始，一步步推导解决过程，从而推广到复杂的问题。

实例分析法有利于培养学生归纳假设、运用定理、勾画推广规律的思维方式，提高学生的解题能力。

2.步骤分析法。

这是一种以步骤为单位的方法，它认为，数学问题必须按照规律分解，解决的过程也是一系列的步骤，每一步都严格使用数学原理和公式来解决。

步骤分析法可以帮助学生掌握解题的步骤：勾画问题的思路，设计出解题的步骤，按照步骤一步一步推进，最终解决问题。

三、化归思想在高中数学问题解决中的教学1.提高解题意识。

解题是解决实际问题的过程，数学学习只有将学习的知识运用到解决实际问题中，才能发挥其真正的作用。

因此，培养学生解题的意识是高中数学解题教学的基础。

老师在教学中应注重引导学生树立解题意识，引导学生正确、客观地看待解题，激励学生勇于挑战，不畏惧失败。

2.分析问题结构。

在教学中，老师要注重引导学生详细分析题目，理清题意，弄清题目的内涵，理解问题中给出的信息。

这一过程关键在于引导学生用逻辑思维去分析题目，帮助学生熟悉数学问题的基本结构，从而完善学生的解题能力。

3.制定解题路线。

此外，在教学中也要让学生熟悉化归思想的运用方法。

可以采用动作操练的方式，引导学生在解题中运用假设、定理等，让学生掌握解题的步骤，制定出合理的解题路线，以提高学生的解题能力。

四、结语化归思想是解决数学问题的重要思想，在高中数学问题解决中有着重要的作用，它可以帮助学生设定一个有序的解题思路，形成一个完整的解题模型，从而提高学生解题的能力和水平。

一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

数学教学过程中的化归思想
化归思想是数学教学中的一种重要思维方式。

它通过将复杂的问题转化为简单的形式，从而使得问题更易于理解和解决。

化归思想在数学教学中应用广泛，可以用于各个数学分
支的学习和解题中。

下面我将从几个方面介绍数学教学中的化归思想。

第一，化归思想在数学教学中的应用。

化归思想可以帮助学生将抽象的数学概念转化
为具体的问题，从而增强学生对数学知识的理解。

在解一元一次方程时，可以通过化归思
想将方程转化为求等式两边的相等性，从而更容易理解和解决问题。

又如，在解二次方程时，可以通过化归思想将方程转化为求解平方数的问题，从而使得解题过程更加简单和直观。

化归思想在数学教学中的引导。

化归思想可以引导学生从不同的角度思考问题，从而
激发学生的创造力和思维能力。

在解几何问题时，可以通过引导学生运用化归思想，提出
多种可能解法，并比较它们的优劣；在解代数问题时，可以通过引导学生运用化归思想，
提出不同的变量代换，从而找到更简单和直观的解决方法。