模糊关系及其合成

2021/3/12
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模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
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模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
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模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
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A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
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模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·

2014年6月26日
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模糊等价关系
若论域X上的模糊关系R同时满足自反性、对称性、 传递性，则称R为X上的一个具有等价性的模糊关系， 简称模糊等价关系。
举例：？
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11
。
2014年6月26日
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举例：“相似关系”
既有自反性、又具有对称性的模糊关系 称为模糊相（等）容关系。如相似关系
2014年6月26日
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反对称性
如果模糊关系R满足
R(x, y) = R(y, x) R(x, y) = R(y, x) = 0，
则称R具有反对称性。
反对称性对应的矩阵为反对称矩阵，即满足RRT I 举例：“父子关系”，验证其反对称性
零关系：对应的矩阵为零矩阵 全称关系：对应的矩阵为全矩阵
2014年6月26日
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模糊关系的性质与合成
1、自反性：R(x, x) = 1 2、非自反性: R(x, x) = 0 3、对称性: R(x, y) = R(y, x) 4、反对称性: R(x, y) = R(y, x) R(x, y) = R(y, x) = 0 5、传递性: R(x, z) y(R(x, y) R(y, z))
内容回顾：
定义：设X, Y是两个非空集合，则直积X Y = {(x, y) x X, y Y}中的一个模糊子集R称为从X到Y的一个 模糊关系。 关模糊系——例
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普通关系：元素之间是否关联； 模糊关系：元素之间关联程度。
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三个特殊模糊关系
恒等关系对应的矩阵为单位矩阵，即
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自反性
具有自反性的模糊关系，简称自反关系。 自反矩阵：R 如果R(x, x) = 0, 则称R具有非自反性。

第三章 模糊关系在第二章中介绍了模糊集合的基本概念，本章将进一步讨论集合之间，或集合中元素之间的模糊关系。

事实上，模糊关系是普通关系概念的扩展。

3.1 模糊关系基本概念由普通关系的讨论可知它们都是二值的，换言之，对于任意两个元素，在它们之间或者存在关系，或者不存在关系，两者必居且仅居其一。

这种关系适合于描述“清晰确定”的关系。

但是，在实际中，有不少关系很难简单的用“有”或“无”来衡量，而必须引入一定的量来表示两元素间具有这种关系的程度。

例如，正常人的身高与体重之间是有一定关系的，但这个关系是不清晰的。

譬如对于一个169厘米高的健康人来说，一般不能断定他的体重必定是多少，而只能根据正常人身高与体重的关系表估计他的体重大约是多少。

又如，正方形的四边是等长的，但在日常生活中，我们判断一个四边形物体的形状通常并不总是用尺子度量四条边后才给出是否为正方形的结论的。

当四条边的长度在一定范围内有差异时，很可能不同的人会得出不同的结论。

另外，“远远大于”、“充分小”等都是些“不清晰”的关系。

这类需要有描述关系程度的量来补充描述的关系就是模糊关系，而其中的关系程度通过隶属度来表示。

定义3-1 集合X 到集合Y 的一个“二元模糊关系”R 是给定论域X ×Y 中的模糊集合，并可记为：Y X R−→−模糊关系R 的隶属函数R （x , y ）是X ×Y 到实数区间[0 , 1]的一个映射。

特别的，当Y=X时，称R 为“论域X 中的模糊关系”。

对于任意x ∈X ，y ∈Y ，隶属函数R （x ，y ）事实上表示了x 、y 之间存在关系R 的程度。

在同一个论域上，可以存在着各种各样的模糊关系。

例如，在人与人的关系中，可以有“相互理解”、“友好”、“性格相似”、“程度相当”等模糊关系。

例3－1 设X 、Y 均为实数集合，对于任意x ∈X ，y ∈Y ，“x 远大于y ”是X 到Y 的一个模糊关系R ，它的隶属函数可以描述为：R （x ，y ）⎩⎨⎧-+≤-yx y x y x 12)/(1001[0例3－2 在医学上通常用公式体重（公斤）＝身高（厘米）－100来描述正常人的体重与身高间的关系。

k k=1 ∞ ~ ~ k=1 ∞ ~
∞
k
(3)UR 是 含 的 小 模 传 关 . 包 R 最 的 糊 递 系
1.定义 设R∈F(X×Y), S∈F(Y ×Z), 定义
~ ~
R
X
R S o
~ ~
~
Y
S
~
Z
R对S的 成 o S∈F(X×Z). 合 R
~ ~ ~ ~
第三章
模糊关系
复合） 定义 （复合） 设R∈F(X×Y), S∈F(Y ×Z), R对S的 成 合
~ ~ ~ ~
R S∈F(X×Z),其 属 数 o 隶 函 为
~
记作 X到 Y的模糊关系， 的模糊关系，
X ~ → Y
称隶属度 R( x , y )为( x , y )关于模糊关系 R 的
~ ~
R
相关程度（关系强度） . 相关程度（关系强度）
第三章
模糊关系
三、截关系
1.定义 定义
定 糊 系 给 模 关 R∈(X×Y),对 意 任 的
λ ∈[0,1], R的 −截 R 是 个 典 系 λ 集λ 一 经 关 , 称 λ −截 系 为 关 .
第三章 模糊关系
H 令 (λ) = R o Sλ ,(λ ∈[0,1]). λ
H X × Z的 个 合 . 是 一 集 套
由表现定理， 可以唯一确定一个模糊集 可以唯一确定一个模糊集. 由表现定理，H可以唯一确定一个模糊集
Uλ(Rλ o Sλ ) λ
[ 1] λ∈ 0，
定理1 定理 设R∈F(X×Y), S∈F(Y ×Z),则 ~ ~
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