等差数列练习题有答案

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1 / 131 / 131 / 131 数列

A、等差数列知识点及例题

一、数列

由na与nS的关系求na

由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。

〖例〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。

解答：（1）

（2）

……累乘可得，故

（3）

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2 / 132 / 132 / 132

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；

（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna

（1）求证：{1nS}是等差数列；

（2）求na的表达式。

分析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；

（2）由1nS的关系式nS的关系式na

解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n≥2）.∴{1nS}是以11S=11a=2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS=12n,当n≥2时，na=2nS·1nS=12(1)nn。又∵……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

3 / 133 / 133 / 133 112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnannn。

【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．

∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，

即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2Sn＝2a2n＋an－1.

当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2n－2a2n－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－12)＝0.

又∵an>0，∴an－an－1＝12，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·12＝n＋12.

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n, nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。

〖例〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：

（1）,pq的值；

（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。

分析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x=3得23pq……………………………………① ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

4 / 134 / 134 / 134 又454515424,25,2xpqxpqxxx且，得5532528pqpq…………………②

由①②联立得1,1pq。

（2）由（1）得2nnnx，

（三）等差数列的性质

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：

已知数列{na}是等差数列，nS是其前n项和。

（1）若m+n=p+q,则mnpqaaaa,特别：若m+n=2p，则2mnpaaa。

（2）23,,,,mmkmkmkaaaa仍是等差数列，公差为kd;

（3）数列232,,,mmmmmSSSSS也是等差数列；

（4）1(21)nnSna；

（5）若n为偶数，则2nSSd偶 奇；若n为奇数，则SSa偶 奇中（中间项）；

（6）数列,,nnnncacapaqb也是等差数列，其中cpq、、均为常数，是nb等差数列。

典型例题

1．等差数列na中, 若100,252nnSS，则nS3＝_____225___；

2.（厦门）在等差数列na中， 284aa,则 其前9项的和S9等于 （ A ）

A．18 B 27 C 36 D 9

3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa= 24

4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)160

5.(湖北卷)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（ D ） ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

5 / 135 / 135 / 135 A．2 B．3 C．4 D．5

6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.

由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，

即an＋1＋3an＋3＝2.

所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.

7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|的值等于________．

如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

因为xA＝14，则xD＝74.

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝34，xC＝54.

故|m－n|＝|14×74－34×54|＝12.

8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，

∴d＝59.

∴数列{an}为递增数列．

令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325，

∵n∈N*. ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

6 / 136 / 136 / 136 ∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－293.

6.若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足733nnSnTn，则88ab 6 .

7．（北京卷）（16）（本小题共13分）

已知||na为等差数列，且36a，60a。

（Ⅰ）求||na的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式

解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。

因为366,0aa

所以112650adad 解得110,2ad

所以10(1)2212nann

（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q

因为212324,8baaab

所以824q 即q=3

所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq

★等差数列的最值：

若na是等差数列，求前n项和的最值时，

（1）若a1>0,d>0,且满足100nnaa，前n项和nS最大；

（2）若a1<0,d>0，且满足100nnaa，前n项和nS最小；

（3）除上面方法外，还可将na的前n项和的最值问题看作nS关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。

〖例〗在等差数列na中，161718936aaaa，其前n项和为nS。 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

7 / 137 / 137 / 137 （1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n的值；

（2）求12nnTaaa。

分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；

（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

解答：（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，∵

1791617181717336,12,3,179aaaaaaad91(9)363,360nnaandnan，令13630,:2021,3600nnannan得

202120[60(3)]6302SS，∴当n=20或21时，nS最小且最小值为-630.

（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。

∴2(60363)312321.222nnnnnSnn当时，T

2212122(60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn当时，综上，

〖例〗已知数列na是等差数列。

（1）若,(),;mnmnanammna求