高二、等差数列练习题有答案
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高二、数列
等差数列知识点及例题
一、数列
1、数列练习题
1．已知数列na，1()(2)nanNnn，那么1120是这个数列的第 （ ）项.
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2．已知数列na，22103nann，它的最小项是 （ ）
A. 第一项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第二项或第三项
3．已知数列na，13a，26a，且21nnnaaa，则数列的第五项为（ ）
A. 6 B. 3 C. 12 D. 6
2、由na与nS的关系求na
由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。
例1．(14分)已知数列的通项公式123nann，求前n项的和。
例2.(14分)（1）已知nnSn22，求na；（2）已知132nnSn，求na
变式1．(16分) 数列na为正项数列且2)1(4nnaS，求通项na。
变式2.已知数列的通项公式123nann，求前n项的和。
典型※例题解析※
〖例〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。
思路解析：（1）可用构造等比数列法求解； 2 （2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。
解答：（1）
（2）
……累乘可得，故
（3）
注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由1a和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想na的方法，以及累加na=（na-1na）+（1na-2na）+……+（2a-1a）+1a；累乘：na=121121nnnnaaaaaaa等方法。
二、等差数列及其前n项和 3 （一）等差数列的判定
※相关链接※
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为……………………………… （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60
9.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
※例题解析※
〖例〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna
（1）求证：{1nS}是等差数列；
（2）求na的表达式。
思路解析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；
（2）由1nS的关系式nS的关系式na
解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n≥2）.∴{1nS}是以11S=11a=2为首项，以2为公差的等差数列。 4 （2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS=12n,当n≥2时，na=2nS·1nS=12(1)nn。又∵112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnannn。
（二）等差数列的基本运算
※相关链接※
1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n, nS,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。
※例题解析※
〖例〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：
（1）,pq的值；
（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。
思路解析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由1x=3得23pq……………………………………①
又454515424,25,2xpqxpqxxx且，得5532528pqpq…………………②
由①②联立得1,1pq。
（2）由（1）得2nnnx， 5
（三）等差数列的性质
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1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
2、等差数列的简单性质：
已知数列{na}是等差数列，nS是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则mnpqaaaa,特别：若m+n=2p，则2mnpaaa。
（2）23,,,,mmkmkmkaaaa仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列232,,,mmmmmSSSSS也是等差数列；
（4）1(21)nnSna；
（5）若n为偶数，则2nSSd偶 奇；若n为奇数，则SSa偶 奇中（中间项）；
（6）数列,,nnnncacapaqb也是等差数列，其中cpq、、均为常数，是nb等差数列。
典型例题
1．等差数列na中, 若100,252nnSS，则nS3＝________；225
2.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若714S，则35aa的值为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
答案 B
3.（2009厦门一中文）在等差数列na中， 284aa,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
答案 A
4.（2009长沙一中期末）各项不为零．．．的等差数列}{na中，02211273aaa，则7a的值为 （ ） 6 A．0 B．4 C．04或 D．2
答案 B
5、（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=
答案 24
6、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
8、等差数列{an}的公差为21，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( )
(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值
9.(2007湖北)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
10．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_ ______．
11.若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足733nnSnTn，则88ab .
12．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（ ）
（A）97 （B）78 （C）2019 （D）87
13已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
14．已知数列{an}的通项公式为an=nn11且Sn=1101,则n的值为（ ）
（A）98 （B）99 （C）100 （D）101
15．在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式是项数n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项. 7
16．（2010北京）（16）（本小题共13分）
已知||na为等差数列，且36a，60a。
（Ⅰ）求||na的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。
因为366,0aa
所以112650adad 解得110,2ad
所以10(1)2212nann
（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q
因为212324,8baaab
所以824q 即q=3
所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq
3、等差数列的最值：
若na是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d>0,且满足100nnaa，前n项和nS最大；
（2）若a1<0,d>0，且满足100nnaa，前n项和nS最小；
（3）除上面方法外，还可将na的前n项和的最值问题看作nS关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。
※例题解析※
〖例1〗在等差数列na中，161718936aaaa，其前n项和为nS。
（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n的值；
