九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高测量物高的常用方法和原理素材北师大版课件

利用相似三角形测高
课 题 通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的物高与影长成比例”的应用。

=B A B A 物高物高物影长物影长 或
例题讲解：
、如图，阳光通过窗口照射到室内（太阳光线是平行光线），在地面上，求窗口底边离地面的高
课中作业
小丽利用影长测量学校旗杆的高度
刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上
长BC为16m,在墙上的影长同
长为1.6m,请帮助小丽求出旗杆的高度
（1）学生先尝试完成，然后2个学生用两种方法板演，师生共同订正（2）让学生根据例1自己设计问题考其他同学，其他学生解答
课中作业米，乙身高
板书设计：
=B A B A 物高物高物影长物影长 或
与影长的关系，并解决有关的实际问题，其实。

4。

6利用相似三角形测高【教学目标】知识与技能。

通过测量旗杆的高度的活动,巩固相似三角形有关知识,积累数学活动的经验。

熟悉测量工具的使用技能,了解小镜子使用的物理原理。

过程与方法能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量物体高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．情感、态度与价值观通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力．【教学重难点】教学重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【导学过程】【创设情景,引入新课】今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度。

请同学们回答如何判定两三角形相似的有关条件。

【自主探究】外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度。

首先我们应该清楚测量原理。

请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理。

甲组:利用阳光下的影子。

图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－36）,即△EAD ∽△ABC ,因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出,根据BC AD AB EA =可得BC =EAAD BA ⋅,代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度。

因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB我认为还可以这样做。

过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ,交BC 于M ,因标杆与旗杆平行,容易证明 △DHF ∽△FMC ∴由DH M FH MC = 可求得MC 的长。

于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF 。

乙组代表：如果这样的话,我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法。

测量物高的常用方法和原理古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔顶部的影子处立一根竹竿，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与竿高之比等于两者影长之比，由此便可算出金字塔的高度.测量物体高度的方法究竟有哪些呢？本文试图作一简要归纳，供同学们参考：方法一：利用太阳光的影子测量示意图：如图1所示.测量数据：标杆高DE ，标杆影长EF ，物体影长BC.测量原理：因为太阳光AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.又因为∠B＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF. 所以EFBC DE AB =. 例1 阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m.析解：设树高为x m ，则有6.32.16.1x =，解得8.4=x . 即这棵树的高度约为4.8m.方法二：利用标杆测量示意图：如图2所示.测量数据：眼（E ）与地面的距离EF ，人（EF ）与标杆（CD ）的距离DF ，人（EF ）与物体（AB ）的距离BF.测量原理：因为CD∥AB，所以△AEG∽△CEH.所以EHEG CH AG =. 所以AB ＝AG ＋EF.其中DF ＝FH ，BF ＝EG.例2 如图3，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m ，丙在C 1处也直立3m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处后退6m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1=4m ，求旗杆AB 的高.析解：设BG=x ，GM=y ， 由△FDM∽△FBG，可得yx +=335.1，① 由△F 1D 1N∽△F 1BG ，可得3635.1++=y x ，② 由①②联立方程组，解得⎩⎨⎧==.15,9y x 故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）.方法三：利用镜子的反射测量示意图：如图4所示.测量数据：眼（D ）到地面的距离DE ，人（DE ）与平面镜（C ）的距离CE ，平面镜（C ）与物体的距离BC.测量原理：因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E＝90°，所以△ABC∽△DEC.所以CE BC DE AB =. 例3 如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米析解：由△ABP∽△CDP，可得PD PB CD AB =，即128.12.1=CD ，解得CD=8. 故选B.。

知识点总结
测量原理：同一时刻物高与影长成比例，即相似三角形的对应边成比例。

测量方法：在同一时刻测量出人高、人的影长和旗杆的影长，再计算出旗杆的高度。

可测数据：人高、人的影长和旗杆的影长。

【注意】
1.太阳光可近似看成平行光线。

2.同一时刻，同一地点，在太阳光下：
1
典例解析
某同学的身高为1.66m,测得他在地面上的影长为4.98m,如果这时测得操场上旗杆的影长为42.3m,那么该旗杆的高度是多少米?
【分析】本题主要考察了同一时刻,不同物体的高度与影长之比为定值,即
.例如本题,在设出旗杆的高度为xm后,结合上述知识即可得到关于x的方程,解方程即可解答此题
1、观察题目信息,设旗杆的高度为x米,想一想人的高度、人的影长、旗
杆高度、旗杆影长有什么关系?
2、根据
即可列出关于x的方程,解方程即可解答本题。

【解答】
解:设旗杆的高度为xm,则
解得x=14.1
答:旗杆的高度为14.1m.
2
拓展提升
如图，两根木竿A B、Q P在平行的太阳光线AC、Q N下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木竿P Q的影子有一部分MN落在墙上，P M=1.2米，MN=0.8米，求木竿P Q的长度。

【分析】过点N作ND⊥QP于D，则△A BC∽△Q DN，根据相似三角形的性质即可求出QD的长度，将其代入Q P=Q D+DP即可求出木竿P Q的长度．
【解答】
过点N作ND⊥Q P于D,则△AB C∽△Q DN,如图所示。

∴
∴Q D=1.5，
∴QP=QD+DP=2.3.
答：木杆长2.3米。

测量物高的常用方法和原理古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔顶部的影子处立一根竹竿，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与竿高之比等于两者影长之比，由此便可算出金字塔的高度.测量物体高度的方法究竟有哪些呢？本文试图作一简要归纳，供同学们参考：方法一：利用太阳光的影子测量示意图：如图1所示.测量数据：标杆高DE ，标杆影长EF ，物体影长BC.测量原理：因为太阳光AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.又因为∠B＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF. 所以EFBC DE AB =. 例1 阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m.析解：设树高为x m ，则有6.32.16.1x =，解得8.4=x . 即这棵树的高度约为4.8m.方法二：利用标杆测量示意图：如图2所示.测量数据：眼（E ）与地面的距离EF ，人（EF ）与标杆（CD ）的距离DF ，人（EF ）与物体（AB ）的距离BF.测量原理：因为CD∥AB，所以△AEG∽△CEH.所以EHEG CH AG =. 所以AB ＝AG ＋EF.其中DF ＝FH ，BF ＝EG.例2 如图3，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m ，丙在C 1处也直立3m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处后退6m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1=4m ，求旗杆AB 的高.析解：设BG=x ，GM=y ， 由△FDM∽△FBG，可得yx +=335.1，① 由△F 1D 1N∽△F 1BG ，可得3635.1++=y x ，② 由①②联立方程组，解得⎩⎨⎧==.15,9y x 故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）.方法三：利用镜子的反射测量示意图：如图4所示.测量数据：眼（D ）到地面的距离DE ，人（DE ）与平面镜（C ）的距离CE ，平面镜（C ）与物体的距离BC.测量原理：因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E＝90°，所以△ABC∽△DEC.所以CE BC DE AB =. 例3 如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米析解：由△ABP∽△CDP，可得PD PB CD AB =，即128.12.1=CD ，解得CD=8. 故选B.。

《利用相似三角形测高》教学设计说课稿各位各位领导、评委老师：大家好！我说课的内容是义务教育教科书北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》中第六节教学内容《利用相似三角形测高》。

本节课利用相似三角形测高，将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究并归纳不同的解决问题的方案加以解决。

本教学设计以新课程理念为指导，以素质教育为目标，发展学生分析讨论、合作探究、实践操作能力为手段，通过应用相似三角形的性质和判别条件，归纳利用相似三角形测高的一般方法。

为提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力奠定基础，以便有效的积累数学活动经验，应用数学知识为现实生活服务。

教学《利用相似三角形测高》一课，是对学生知识技能和活动经验进行充分了解、分析的前提下进行设计的。

在知识技能基础方面，学生通过对相似三角形的判定和性质的学习，学生已经初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实问题的基础知识。

但是，学生综合运用相似三角形知识解决问题不一定熟练，将实际问题抽象为数学问题的能力也比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。

在活动经验基础方面，学生平时学习过程中经历过一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验，已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯，具有了一定的合作学习的经验以及合作与交流的能力。

生活中的一些不同情境的实际问题常常可以归纳为同一数学模型，本节利用相似三角形测高就是相似三角形数学模型，由题意所画出的图形和解题思路都是相似的，只要掌握了基本图形和解法，就会融会贯通，将问题迎刃而解。

本节课的教学内容有着较强的实践性与探究性，同时渗透数学建模思想，从而提高学生认知能力和解决实际问题的能力，增强数学应用意识。

为此我确定了以下教学目标：1）知识与技能：使学生进一步熟悉三角形相似的判定条件和性质，掌握测量的原理和方法，会实地测量并计算一些物体的高度或长度，积累数学活动经验，运用数学知识解决实际一些问题。

4.6 利用相似三角形测高一、学习任务分析：利用相似三角形测量是被广泛应用于实际生活中的数学知识。

学会利用相似三角形对事物进行测量，不仅可以使学生更好的认识图形的相似，也能培养学生通过数学知识解决实际问题的数学素养，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。

《利用相似三角形测高》是在学生已经较为系统的研究了相似三角形的判定和应用的基础上进行学习和探究的。

本课立足于学生已有的相似三角形的知识和已有的生活经验，对如何利用相似三角形测量旗杆的方法进行了充分的讨论，从而以小组为单位，经过讨论、人员分工、测量数据等逐步探索，进行了较为完整的方案制定。

让学生通过自己的努力，完全参与，让学生加深认识和理解相似三角形的相关知识，也通过实地测量、计算、比较，体验成功的快乐。

《利用相似三角形测高》也为九年级下册学生利用三角函数测高垫下了坚实的基础，积累数学活动经验。

二、学情分析：学生在七年级下册学习过了图形的全等和全等三角形的相关知识，也经历过利用三角形全等测量不能直接测量的相关数据，即相似三角形的特殊情况，这对本节学生的理解和方案制定有了一定的基础知识和基本活动经验。

但本节的是测量像旗杆一样，不能直接度量的物体的高度，这为如何将物体与三角形结合起来，如何构造两个看不见的相似三角形，就是本节学生障碍所在。

在不同的方案制定前，首先要明白一些物理知识，如利用太阳光测量‘旗杆' 高度时，要明白在同一时刻同一地点，太阳光线是平行的，即能与地面形成的角度一样；利用平面镜侧高时，要用到光入射角等于反射角等等。

为了学生更科学更顺利的完成测量，本节课共分两课时，第一课时我组织学生进行充分讨论，并对学生提出的一些方法进行展示，进行了科学指导。

学生在课下又进行了方案制定，人员分工。

之后我对对每组的测高方案进行了审查，并进行了细节处理。

学生最后又打印成电子稿，以便在课上进行展示。

三、教学定位：教学目标：1、熟练应用三角形相似的判定掌握测量旗杆（或其他建筑物）高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案和实地测量、计算，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；3、发展学生合作交流意识，培养学生勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。

利用相似三角形测高学习目标：（1）掌握几种测量旗杆高度的方法与原理（2）解决一些较简单的相关生活实际问题学习重难点：（1）通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法（2）体会将实际问题转化成数学模型的转化思想预习案一、预习教材 P 103—P104二、感知填空1、相似三角形的定义：三角 相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。

2、三角形相似的判定：三、自主提问探究案探究问题：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？探究一：利用阳光下的影子测量旗杆的高度：让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。

原理：∵太阳是平行光线∴AB ∥CD ，∠B=∠DCE∵∠ACB=∠DEC=90°∴△ACB ∽△DEC∴BCCE AC DE CE BC DE AC •==即, 结论：同一时刻，参照物体影子的长度参照物体高度被测物体影子长度被测物体实际高度= 探究二：利用标杆测量旗杆的高度工具：皮尺、标杆步骤：（1）测量出标杆CD 的长度，测出观测者眼部以下高度EF ；（2）让标杆竖直立于地面，调整观测者EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离FD 和距旗杆底部的距离FB ；（3）根据EHEG AH CG =,求得AH 的长，再加上EF 的长即为旗杆AB 的高度。

依据：如图，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G∵CD ∥AB ∴∠ECG=∠EAH∵∠CEG=∠AEH ∴△ECG ∽△EAH∴EHEG AH CD = ∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,且FD ，FB,CD,EF 可测∴可求AH 的长度∴AB=AH+HB=AH+EF探究三：利用镜子的反射杆测量旗杆的高度工具：皮尺、镜子步骤：（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；（2）测出观测者眼睛到地面的距离；（3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上标记O 到人脚底D 的距离OD 及镜子上的标记O 到旗杆底部的距离OB ；（4）把测得的数据代入OB OD AB CD =,即可求得旗杆的高度AB 。