齐次线性方程组基础解

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。

其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】 解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的 通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。

线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。

此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组是一类重要的数学问题，它可以用于描述系统所受的投影决定解决内部状态变化和外部力量作用，也可以描述物理系统状态的变化，是很多工作所充分利用的常见模型。

齐次线性方程组也是一类经典数学问题，是数学分析中经常遇到的问题。

齐次线性方程组可以被表示为Ax=0,中，A是一个n×n的实矩阵，x是n维实向量，0是n维零向量。

要求Ax=0的解，就是要求A的特征根和特征向量，并解决Ax=0的基础解问题。

解决齐次线性方程组的基础解问题，主要分为以下三个步骤： 1.解A的特征根和特征向量，也就是找出A的特征值和特征向量。

这是解齐次线性方程组基础解的基础，找到了A的特征值和特征向量，才能解决齐次线性方程组基础解问题。

2.据A的特征值，将齐次线性方程组化简为若干个非齐次线性方程组。

3.分别求解若干个非齐次线性方程组的基础解，最后将所有的解组合起来，就是齐次线性方程组的基础解。

以上是说明齐次线性方程组基础解的解法。

在实践中，我们可以使用数学软件，如matlab、mathcad等，以更快的速度求解齐次线性方程组。

此外，在求解齐次线性方程组的基础解时，我们还可以采取其他的方法，如利用矩阵的分解、变换和特征向量法等。

这些方法都可以较快地求解齐次线性方程组的基础解，且无需太多的计算，可
以更好地服务现代工程。

综上所述，齐次线性方程组的基础解是一类重要的数学模型，主要用于描述物理系统状态的变化，在工程中具有重要的应用价值。

只有正确掌握了齐次线性方程组的基础解，才能够充分发挥它的优势，为更多的工程工作做出贡献。

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解，也称为线性代数系统，是一类在众多领域，如土木工程、信号处理、金融模式等中都重要且常用的数学模型。

齐次线性方程组由一组线性方程所组成，以及相应的非齐次方程组。

对齐次线性方程组而言，它们的解可以用“解析解和特解”的方式表达，解析解是指所有可能的通用解，而特解则指的是所有的私有解。

求解齐次线性方程组的关键是分析形式，即求解变量x1, x2, x3和xn之间的关系，而这些变量之间的关系可以用矩阵乘法的方式表达。

因此，对于齐次线性方程组，基础解可以通过以下步骤来获得：
1. 令Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数。

2.行列式求解方程A，以求出A的行列式值等于零，即A＝0，求出行列式值等于零时，系数矩阵A的解叫做齐次线性方程组的基础解。

3.A系数矩阵的行列式值不为零，即行列式值有非零解，则该齐次线性方程组没有解，或者有不唯一的解。

这里的基础解所指的是所有的满足行列式值等于零的解，而这些解实际上是系数矩阵A的所有可能解中的一部分。

因此，获得齐次线性方程组的基础解，可以通过对系数矩阵A的行列式值求解来实现，或者通过求解得到的基础解，可以构造出方程组的所有通用解。

有了基础解，我们可以计算出方程组的特解，特解可以用来表示所有的私有解，特解的计算也可以通过线性代数的一些基本概念来实现，比如运用向量的乘法和秩的定义，可以计算出方程组的所有特解。

总结以上，在求解齐次线性方程组时，需要先求出它的基础解，然后再构造出所有特解。

首先，可以通过行列式求解运算来实现，其次，也可以运用基本的线性代数概念来构造特解。

齐次线性方程组基础解线性方程组解法是数学中一个重要的方面，它主要是用来解决一类特殊的方程及其特征。

例如，当某类线性方程组有无穷多个解时，它们可以求出该方程组的基础解，即齐次线性方程组的基础解。

齐次线性方程组是一种比较特殊的线性方程，它要求所有变量的系数都相等，并且右边的常数项也相等。

这种形式的线性方程组是直接可以解出基本解的，且求出的解是无穷多个。

定义：若给定方程组为a1x1+a2x2+...+anxn=b (1)其中a1=a2=...=an=a 且 b=0,称方程组(1)为齐次线性方程组。

解齐次线性方程组时，容易发现系数a1, a2,, an是相等的，这意味着齐次线性方程组的变量x1, x2,, xn都是按照一定比例变化的，即有以下解：x1=k1x2=k1x2……xn=k1xn其中k1为任意实数，x1, x2,, xn则是它们之间的比例参数。

所以对于齐次线性方程组，解可以用如下形式表示：X=(k1,k2k1,…,knk1)即齐次线性方程组一共有无穷多个基础解，它们是以k1为基本解，其中k1为任意实数而定义的。

除此以外，还可以通过矩阵乘法的方法求解齐次线性方程组。

例如：a1x1+a2x2+...+anxn=b (2)将方程组(2)变换为矩阵形式[a1,a2,...,an][x1,x2,...,xn]T=[b]T即可以得到[x1,x2,...,xn]T=1/a[b]T从而求得基础解[x1,x2,...,xn]T，也就是齐次线性方程组的基础解。

综上所述，齐次线性方程组的基础解具有如下特点：1.系数要求相等；2.变量之间要求有一定比例；3.有无穷多个解；4.可以用矩阵乘法的方式求解齐次线性方程组的基础解。

齐次线性方程组的基础解，在实际的解决工程问题中，可以节省计算机的开销，减少计算量，提高问题的解决速度。

此外，其解可以用于求解决策问题、分析复杂的数据关系，为经济管理决策提供有力的支持。

总之，在计算机科学及现代统计学中，齐次线性方程组基础解是一种极其重要的概念，它不仅能够简化线性方程组的求解，而且解的结果能够更好地映射到实际的世界中，因此非常有用。

齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案一、教学目标1. 让学生理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 让学生掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 齐次线性方程组的定义与特点2. 基础解系的定义与性质3. 齐次线性方程组的求解方法4. 实际应用举例三、教学重点与难点1. 教学重点：齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 教学难点：齐次线性方程组的求解方法及实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 通过例题演示法引导学生掌握齐次线性方程组的求解过程。

3. 利用小组讨论法让学生探讨实际应用问题，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

2. 讲解齐次线性方程组的定义与特点，引导学生理解基础解系的概念。

3. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

4. 设计练习题，让学生巩固所学知识。

5. 组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。

教案示例：课题：齐次线性方程组基础解系讲课课型：新授课课时：1课时教学目标：1. 理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 学会运用数学知识解决实际问题。

教学重点：1. 齐次线性方程组的定义、特点。

2. 基础解系的概念及求解方法。

教学难点：1. 齐次线性方程组的求解方法。

2. 实际应用举例。

教学过程：一、导入新课回忆线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

二、新课讲解1. 讲解齐次线性方程组的定义与特点。

2. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

3. 讲解基础解系的概念及性质。

三、课堂练习设计练习题，让学生巩固所学知识。

四、小组讨论组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。

二次型与正定矩阵1．二次型及其标准形1．1二次型的矩阵表示n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式：212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n n a x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型，当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型.取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n nn nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n n ij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵.例1：二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=用矩阵可表示为X X x x x f T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020211011),,(321二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1中二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=的的秩是3. 1．2二次型的标准形对于二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n n f y y y λλλ=+++ ，称为二次型f 的标准形. 即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ x x =y y =y y λλλλλλ实二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所含项数（即二次型的秩）却是唯一的.定理（惯性定理） 对任何实二次型，其标准形中系数为正的平方项个数和系数为负的平方项个数都是唯一确定的，不随可逆线性变换的不同而改变.在秩为r 的二次型的标准形中，正平方项的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数r p -称为二次型的负惯性指数，它们的差()2p r p p r --=-称为二次型的符号差.1．3矩阵的合同求二次型的标准形转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同.（1）合同是矩阵间的等价关系具有:反身性：对称性：和传递性：（2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵.2.化二次型为标准形2.1 配方法配方法就是应用中学代数中配平方的方法来逐次消去二次型中的交叉项，使得最后只剩下平方项，从而将二次型化为标准形.下面通过例子说明这种方法.例2 化二次型121323262f x x x x x x =-+为标准形，并求所用的变换矩阵.解 由于f 中不含平方项，不能直接配方，但含有乘积项12x x ，故令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入可得221213232248f y y y y y y =---.再依次关于12,y y 配方，得222132332()2(2)6f y y y y y =--++.再令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩即112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.代入后即得f 的标准形222123226f z z z =-+.所用的变换矩阵为110101111110012113,001001001C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（||20C =-≠）.2.2正交变换法对任何实对称矩阵A ，总有正交阵P ，使1P AP P AP-'==Λ为对角矩阵，于是有定理:任给二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑（ij ji a a =），总有正交变换P x =y ，将f 化为标准形2221122n n f y y y =+++ λλλ， 其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的n 个特征值.例3设二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（1） 求a 的值；（2） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；【分析】 （1）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（2）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得a=0.（II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα， 解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α 由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +3.正定二次型3.1正定二次型的概念定义 设实二次型f A '=x x ，若对任何12(,,,)n x x x '=≠0 x ，都有(1)()0f >x ，则称f 为正定二次型，称f 的矩阵A 为正定矩阵；(2)()0f <x ，则称f 为负定二次型，称f 的矩阵A 为负定矩阵；(3)()0f ≥x ，则称f 为半正定二次型，称f 的矩阵A 为半正定矩阵；(4)()0f ≥x ，则称f 为半负定二次型，称f 的矩阵A 为半负定矩阵(5)如果f 既不是半正定又不是半负定，则称f 为不定的.3.2正定二次型的判别法正定二次型的判别法1--用定义判定例4. 设A 是n m ⨯的实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知A A E B T +=λ，证明当0>λ时，B 为正定矩阵。