齐次线性方程组

齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。

2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：Ax=b。

在一个线性代数方程中，如果其常数项(即不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。

线性方程也称一次方程式。

指未知数都是一次的方程。

其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。

线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。

因为在笛卡尔坐标系上每一个一次方程的表示都是一条直线。

组成一次方程的每个项须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。

且方程中须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。

即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。

即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。

(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。

解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。

注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。

证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。

什么是齐次线性方程组
齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。

微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。

2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',......的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'', 0
项，因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax^2+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项
齐次线性方程组是指有几个齐次线形方程组成的方程组。

可以,直接对非齐次线性方程组用高斯消元法解,即对增广矩阵用初
等行变换化为阶梯阵,再分析系数矩阵和增广矩阵的秩,必须两者相等,再继续求出全部解(一组或无穷多组)。

齐次线性方程组基础解
本文主要讨论齐次线性方程组的基本解的概念，并分析了三种常见的解法方法，诸如高斯消元法、克莱默法等，以便让读者更好地理解求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。

首先，什么是“齐次线性方程组”？齐次线性方程组是指由n 个线性方程组组成的方程组，即：a1x1 + a2x2+...+anxn=0齐次线性方程组的n个未知数x1，x2...，xn的一组解称为它的基本解，我们可以将它表示为x=(x1，x2，...，xn)。

接下来，我们来讨论求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。

主要有：
（1）高斯消元法：此方法是由德国数学家高斯在19世纪发明的，它是最简单、最常用的求解齐次线性方程组基本解的方法。

在此方法中，将所有未知数按先后次序，依次用高斯算法和高斯切线法解出。

（2）克莱默法：这是另一种求解齐次线性方程组基本解的方法，克莱默法采用矩阵分解的思想，将一个齐次线性方程组拆分成两个矩阵，分别为系数矩阵和常数项矩阵，通过矩阵分解求解基本解。

（3）其他方法：除了上述的两种解法外，另外还有一些求解齐次线性方程组基本解的方法，如凯莱默法、乔姆斯基降幂法，还有一些基于数值计算的方法，如Gauss-Seidel迭代法、SOR （Successive Over Relaxation）方法等。

最后，本文就以齐次线性方程组基本解为标题，介绍了三种求解齐次线性方程组基本解的方法，希望能对读者有所帮助。

第二节齐次线性方程组齐次线性方程组解的存在性 齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的存在性o x A n m =×021===n x x x 必有零解有无非零解？方程组用向量形式表示o x x x n n =+++ααα 2211显然，有非零解n ααα ,,21⇔线性相关nR A R n <=⇔),,()(21ααα 定理（P89）o x A n m =×齐次线性方程组有非零解nA R <⇔)(只有零解nA R =⇔)(推论：当A 为方阵时o x A n n =×有非零解0=⇔A 只有零解0≠⇔A 例1==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=t o Ax t A 有非零解，则，且已知313121014二、齐次线性方程组解的结构性质1（P90）若12,ξξ是o Ax =的两个解，则12ξξ+也是它的解.性质2（P90）若ξ是o Ax =的一个解，则()k k R ξ∈也是它的解.即若12,,,n ξξξ 都是o Ax =的解，则也是它的解.1122n n k k k ξξξ+++ 由性质1和性质2可知：齐次线性方程组Ax o =解的线性组合仍是它的解.由此可知，若齐次线性方程组有非零解必有无穷多非零解；如何表示出所有非零解呢？若将齐次线性方程组的每个解看成向量（解向量），则所有解就是一个n 维向量组；若找出其最大线性无关组即可用其线性组若找出其最大线性无关组，即可用其线性组合来表示齐次线性方程组所有的解；此最大线性无关组在线性方程组的理论中称为基础解系。

定义（P91）设s ξξξ,,,21 是齐次线性方程组o Ax =的解，且满足：s ξξξ,,,21 (1)线性无关；(2)=的任一解 则称s ξξξ,,,21 为o Ax =的一个基础解系；()o Ax 的任解x 都可由sξξξ,,,21线性表示；即n n k k k x ξξξ+++= 2211为o Ax =的通解公式.n n k k k x ξξξ+++= 2211定理（P91）若n 元齐次线性方程组o Ax =的系数矩阵的秩,)(n r A R <=则此方程组的基础解系含有r n −个解向量.简证注(1)基础解系不唯一，但所含向量个数确定()(2) 若,)(n A R =方程组只有零解，没有基础解系.任意r n −个线性无关的解向量都是其基础解系；例1求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系和通解.注意书写格式齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；1221⎟⎞⎜⎛−−5201r r −⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221解13122r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000034210⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎝0000342103r −32213212r r −故基础解系有4-2=2个解向量.,42)(<=A R ∵行最简形矩阵同解方程组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=432431342352xx x x x x x x ==33⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201行最简形矩阵左边未知量补齐右边未知量对齐⎩.103435012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k k x x x 44故基础解系为：.103435,012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴ξξ通解为：),(21R k k ∈例2（练习）求齐次线性方程组⎪⎪⎨⎧=−+−−=+++=−−+05420332032432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩=−++032324321x x x x 的基础解系和通解.解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=3232542131321321A 122r r −13r r +24r r −⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−6100610057101321r r −⎤⎢⎡−19021r ⎡75001故基础解系有4-3=1个解向量.,43)(<=A R ∵327r r −313r r +34⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣−−0000610047010212r +)1(2−×r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣−−000610047010同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−=43424164775x x xx x x 44x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−000061004701075001.1647751⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k x 故基础解系为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴1647751ξ通解为：)(1R k ∈例3⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2510322189523221A .2)(2489523221==×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=B R O AB B A ，且使，的矩阵，求一个设解的解向量的列向量是O Ax B =⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−→25101801x x x x x x xx x x=+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩于是1342343344852个解向量，故基础解系有因22442)(=−<=A R 所以基础解系为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1021 ,015821ξξ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==1001251821ξξB 取.2)(==B R O AB ，且则齐次线性方程组0=Ax ()n A R =⇔;0只有零解=Ax 小结()n A R <⇔.0有非零解=Ax 且基础解系含有r n −个解向量.。