齐次线性方程组的解

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组是数学中最基本的方程组，它由一组有关未知量的线性方程组成，其中每个等式都乘以一个非零常数，它们的解可以用向量表示。

齐次线性方程组的基本解是指满足方程组的所有解的一个特殊解，它可以用矩阵表示。

齐次线性方程组的基本解的求解方法有很多，其中最常用的是高斯-约旦消元法，它可以将方程组转换为一个上三角矩阵，然后利用反向消元法来求解。

另外，也可以使用行列式或矩阵分解的方法来求解齐次线性方程组的基本解。

齐次线性方程组的基本解是指满足方程组的所有解的一个特殊解，可以用矩阵表示，可以使用高斯-约旦消元法、行列式或矩阵分解的方法来求解。

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解，也称为线性代数系统，是一类在众多领域，如土木工程、信号处理、金融模式等中都重要且常用的数学模型。

齐次线性方程组由一组线性方程所组成，以及相应的非齐次方程组。

对齐次线性方程组而言，它们的解可以用“解析解和特解”的方式表达，解析解是指所有可能的通用解，而特解则指的是所有的私有解。

求解齐次线性方程组的关键是分析形式，即求解变量x1, x2, x3和xn之间的关系，而这些变量之间的关系可以用矩阵乘法的方式表达。

因此，对于齐次线性方程组，基础解可以通过以下步骤来获得：
1. 令Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数。

2.行列式求解方程A，以求出A的行列式值等于零，即A＝0，求出行列式值等于零时，系数矩阵A的解叫做齐次线性方程组的基础解。

3.A系数矩阵的行列式值不为零，即行列式值有非零解，则该齐次线性方程组没有解，或者有不唯一的解。

这里的基础解所指的是所有的满足行列式值等于零的解，而这些解实际上是系数矩阵A的所有可能解中的一部分。

因此，获得齐次线性方程组的基础解，可以通过对系数矩阵A的行列式值求解来实现，或者通过求解得到的基础解，可以构造出方程组的所有通用解。

有了基础解，我们可以计算出方程组的特解，特解可以用来表示所有的私有解，特解的计算也可以通过线性代数的一些基本概念来实现，比如运用向量的乘法和秩的定义，可以计算出方程组的所有特解。

总结以上，在求解齐次线性方程组时，需要先求出它的基础解，然后再构造出所有特解。

首先，可以通过行列式求解运算来实现，其次，也可以运用基本的线性代数概念来构造特解。

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。