高中数学 1.3.2球的体积与表面积教案 新人教A版必修2

1.3.2球的体积和表面积（2）教学目的：使掌握了解球的表面积公式的推导过程，能记住球的表面积公式，并会用公式解决问题。

教学重点：掌握球的表面积公式及其应用。

教学难点：球的表面积公式推导是教学的难点。

教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么？二、新课设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法。

（1）分割。

把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，……Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。

例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。

这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。

如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。

（2）求近似和。

设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2， (V)那么球的体积为：V＝V1＋V2＋ (V)由于“小锥体”近似于棱锥，所以我相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。

第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。

设它的高为h i，底面面积为S’i，于们用是，它的体积为：V ’i ＝31h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） 这样就有：V i ≈31h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ① （3）转化为球的表面积。

分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥， 如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么h i （i ＝1,2,…，n ）就趋 向于R ，S ’i 就趋向于 S i ，于是，由①可得： V ＝31RS 又V ＝334R π，所以，有334R π＝31RS 即： S ＝4πR 2例、图1.3－10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m ，高为 3m 的圆柱形物体，上面是一个半球体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）？分析：花柱的表面积是圆柱的表面积和半球的表面积，求出总面积乘于150朵， 就是大约需要的鲜花朵数。

科目：数学
（
（
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？
思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），
已知A、B、C为球面上三点，
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题。

《1.3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆LL∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式 小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为 自变量的函数。

教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.教师引导学生共同完成让学生巩固加深所学内容并灵举例（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，图1 图2图3RA 'C 'CAOA 'B 'C 'D 'D C BAO准备 课堂小结 1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π= 3．熟练掌握球的内切、外接问题解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.学生小结,教师完善.学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.作业1、课本P29B12、《世纪金榜》 P16例23、《世纪金榜》P17 基础自主演练64、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 6，求半球的表面积和体积。

1.3.2 球的体积与表面积【教学目标】1．会求球体的表面积和体积．2．理解球体的切接问题．3. 培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4. 激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【教学重点】会求球体的表面积和体积【教学难点】理解球体的切接问题【教学过程】一、导入新课问题1：一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题2：如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？ 我们今天就来学习: 1.3.2 球的体积与表面积二.新知探究与解题研究（认真阅读教材，完成下列各题）(一)问题导学探究1：阅读教材第27页，完成以下填空题：1.球的体积公式为334R V π= (其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式为24R S π=.探究2.球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？球没有底面，球的表面不能展开成平面.（二）知识运用与解题研究题型一 球的表面积和体积例 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积. （1）【解析】设球的半径为R ，则4πR2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π. （2）【解析】设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR2＝4π×52＝100π.【点评】1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.变式 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )π π【答案】D三、当堂检测1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )π，144π π，36ππ，36π π，144π【答案】B【解析】 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π. 2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )【答案】D【解析】设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3. 四、课堂小结（引导学生总结本节课内容与方法）球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.五、课后作业教材必修二：第28页 练习1，2。

1．3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 [导入新知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． [化解疑难]1．一个关键 把握住球半径 2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 题型一 球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3题型二 根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[类题通法]计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18πB．30πC．33πD．40π题型三球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．题型四 1．探究与球有关的组合问题[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π63．球的内接正四面体问题若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[方法感悟] 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a . [随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶12．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12πD ．16π3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为36π，求它的表面积．一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 23．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶44．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．。

高中数学新人教A版必修二教案：1.3.3球的表面积与体积第三课时球的表面积与体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）. （2）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合[来源:Z教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1．球的体积：2．球的表面积：师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，，所以，.（2）因为，，所以，S球 = S圆柱侧.例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A．6:13 B．5:14C．3:4D．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4(r1 + r2)2 =V球∶V圆台 ==故选A.例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.∴.∴教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）[来源:学|科|网]教师投影例2并读题，师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？[来源:学#科#网]生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P - ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力. 通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.[来源:学#科#网]本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？[来源:Z一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).参考答案：1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1．球的体积和表面积2．等积变换3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业1.3 第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．【分析】可以用球的截面性质。

2019-2020学年高中数学 §1.3.2 球的体积和表面积教案 新人教A 版必修2一、教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 二、教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式） （2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系. （3）培养学生空间想象能力和思维能力. 2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算. 3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. 三、重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 四、课时安排约1课时 五、教学设计 （一）导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.（二）推进新课、新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.（三）应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA ′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9. ∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2), 半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R330tan =︒,圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ， ∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -， 解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.33为S=4πR 2=27π.答案：27π 点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π.答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)20(π=100πx （ cm 3）.所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没. 解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π（四）知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.59倍 D.47倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+rr r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A.32π B.3π C.32π D.322π分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π 分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC ＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C（五）课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.（六）作业课本本节练习 1、2、3.。

备课人授课时间课题§1.3.2 球的体积和表面积课标要求通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”.教学目标知识目标能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.技能目标培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

情感态度价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力.重点引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程及方法教学内容教学环节与活动设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面。

学生回答教学过程及方法计如图：得)1(])1(1[232nininRnRrV ii⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ππ第二步：求和]6)2)(1(1[113321nnnRvvvv---≈++++π＝Ｖ半球第三步：化为准确的和当n→∞时，n1→0 （同学们讨论得出）所以3332)6211(RRππ=⨯-＝Ｖ半球得到定理：半径是Ｒ的球的体积334Rπ=球Ｖ练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二） 探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR ，底面是“小圆片”的底面。

科目：数学
（
（
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？
思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），
已知A、B、C为球面上三点，
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题。

1 球的体积和外表积宁夏同心县豫海回民中学韩雪【教材分析】本节课内容结合数学文化，借助小实验给出了球体的体积和外表积公式，病通过实际例题加以对公式的应用。

本班学生根底知识薄弱，空间想象能力差，所以本节课更侧重于公式的实际应用。

借助电子白板教学的优势，攻克教学过程中的重难点，提高教学效果。

【学情分析】本节课考查球的体积和外表积，由于学生空间想象能力弱，根底知识弱，没有通过极限和微积分的角度去学习球体的体积和外表积公式，而是通过数学史开展的角度结合小实验让学生体会数学的美，同时借助三维动画进行演示，帮助想象和理解。

【教学目标】知识与技能〔1〕了解球的外表积和体积公式。

〔2〕能运用球的外表积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题。

〔3〕培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法通过数学史开展的角度结合小实验让学生掌握球体的体积和外表积公式，体会数学的美。

情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，渗透数学文化，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】一、问题导入问题1：圆柱和圆锥的体积公式是什么？问题1：日常生活中常见的球体有哪些？问题2：球体如何形成？〔学生总结球体概念,教师模型展示加深记忆〕二、新课讲授1.球体的概念问题3：球被平面所截得到什么样的图形？2.大圆和小圆问题4：球体有没有底面，能不能展成平面图形？球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么如何求球体体积呢？〔介绍古今中外研究球体体积的数学文化开展〕3 球的体积〔等积原理〕方法1：“祖暅原理〞求球体体积〔幂势既同，那么积不容异〕所以，〔实验证明〕，定理：半径为R的球体的体积为例1 钢球直径是5cm,求它的体积〔解略〕稳固练习：1 将一个球的半径扩大为原来的一倍，那么它的体积是原来的〔〕倍2 两个球的体积之比是8:27，那么它们的半径之比是〔〕方法2：分割---近似---求和---求极限〔借用刘辉的“倍边割圆术〞思想〕〔让学生展示分割的小实验，体会数学的美〕方法3：阿基米德排水法原理〔曹冲称象的视频引入〕问题5：如何求球体的外表积？4 球的外表积又∵，且∴可得，又∵，∴，∴即为球的外表积公式定理：半径为R的球体的外表积为例2：火星的半径约是地球的一半，地球外表积是火星的多少倍？〔解略〕练习稳固：3 假设球的外表积变为原来的2倍，那么半径变为原来的_____倍小结：球的体积公式、外表积公式都是以R为自变量的函数。