考研数学必备手册

目录一、高等数学 (1)(一) 函数、极限、连续 (1)(二) 一元函数微分学 (4)(三)一元函数积分学 (11)(四) 向量代数和空间解析几何 (18)(五)多元函数微分学 (26)(六)多元函数积分学 (31)(七)无穷级数 (35)(八)常微分方程 (42)二、线性代数 (46)(一) 行列式 (46)(二)矩阵 (47)(三) 向量 (50)(四)线性方程组 (52)(五)矩阵的特征值和特征向量 (54)(六)二次型 (55)三、概率论与数理统计 (57)(一)随机事件和概率 (57)(二)随机变量及其概率分布 (61)(三)多维随机变量及其分布 (63)(四)随机变量的数字特征 (66)(五)大数定律和中心极限定理 (68)(六)数理统计的基本概念 (69)(七)参数估计 (71)(八)假设检验 (73)经常用到的初等数学公式 (75)平面几何 (80)1 / 85一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：()y f x=基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：基本初等函数包括五类函数:1幂函数:()y x Rμμ=∈;2指数函数xy a=(0a>且1a≠);3对数函数:logay x=( 0a>且1a≠);4三角函数:如sin,cos,tany x y x y x===等;5反三角函数:如arcsin,arccos,arctany x y x y x===等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限100lim()()()x xf x A f x f x A-+→=⇔==200lim()()(),lim()0 x x x xf x A f x A a x a x→→=⇔=+=其中3(保号定理)lim(),0(0),0x xf x A A Aδ→=><∃>设又或则一个, 000(,),()0(()0) x x x x x f x f xδδ∈-+≠><当且时，或无穷小和无穷大的概念及其lim)0,lim()0x xαβ==设（1 / 85关系，无穷小的性质及无穷小的比较()(1)lim0,())()xx xxααββ=若则是比（高阶的无穷小，αβ记为(x)=o((x)).()(2)lim,())()xx xxααββ=∞若则是比（低阶的无穷小，()(3)lim(0),())()xc c x xxααββ=≠若则与（是同阶无穷小，()(4)lim1,())()xx xxααββ=若则与（是等价的无穷小，αβ记为(x)(x)()(5)lim(0),0,())()kxc c k x xxααββ=≠>若则是（的k阶无穷小x→常用的等阶无穷小：当时sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭2111cos21(1)1nx xx xn-+-无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算lim(),lim().f x Ag x B==则(1)lim(()())f xg x A B±=±；2 / 853 / 85(2)lim ()()f x g x A B =；()(3)lim(0)()f x AB g x B=≠ 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1()()(),x x f x x ϕφ≤≤0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==且0lim ()x x f x A →=则2单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3两个重要极限：0sin (1)lim 1x x x→= 10(2)lim(1)e x x x →+=重要公式：0010111011,lim 0,,n n n n m m x m m a n mb a x a x a x a n m b x b x b x b n m---→∞-⎧=⎪⎪++++⎪=<⎨++++⎪⎪∞>⎪⎩ 4几个常用极限特例lim 1,n n n →∞= lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞=lim arccot x x π→-∞= lim e 0,x x →-∞=lim e ,xx →+∞=∞ 0lim 1,x x x +→+=函数连续的概念：函数间断 点的类 型：初等函数的连续性：闭连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >，对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤.(2) (最值定理)设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上区间上连续函数的性质()f x至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得: ()(){}[]max,,a x bf f x a bξξ≤≤=∈；()(){}[]min,,a x bf f x a bηη≤≤=∈.(3) (介值定理)若函数()f x在[],a b上连续,μ是介于()f a与()f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a bξμξ=≤≤(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数()f x在[],a b上连续,且()()0f a f b⋅<,则在(),a b内至少∃一个ξ,使得()()0.f a bξξ=<<(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1导数定义：00()()'()limxf x x f xf xx→+-=（1）或()()'()limx xf x f xf xx x→-=-（2）2函数()f x在x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000()()()()()lim lim,() x x xf x x f x f x f xf x x x xx x x---∆→→+∆--'===+∆∆-右导数：000()()()()()lim limx x xf x x f x f x f xf xx x x+++∆→→+∆--'==∆-函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和Th1: 函数()f x在x处可微()f x⇔在x处可导Th2: 若函数()y f x=在点x处可导，则()y f x=在点x处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:()f x'存在00()()f x f x-+''⇔=00()()(,)f x x x f x M x y=设函数在处可导，则在处的4 / 855 / 85法线0000000-'()()1-(),'()0.'()y y f x x x y y x x f x f x =-=--≠切线方程：法线方程: 导数和微分的四则运算，初等函数的导数，四则运算法则:设函数()u u x =，()v v x =在点x 可导则 (1) ()u v u v '''±=± ()d u v du dv ±=± (2) ()uv uv vu '''=+ ()d uv udv vdu =+(3) 2()(0)u vu uv v v v ''-'=≠ 2()u vdu udv d v v -=基本导数与微分表(1) y c =（常数） 0y '= 0dy =(2) y x α=(α为实数) 1y x αα-'= 1dy x dx αα-= (3) x y a = ln x y a a '= ln x dy a adx = 特例 (e )e x x '= (e )e x x d dx =(4) 1ln y x a '=1ln dy dx x a= 特例 ln y x = 1(ln )x x '= 1(ln )d x dx x=(5) sin y x = cos y x '= (sin )cos d x xdx = (6) cos y x = sin y x '=- (cos )sin d x xdx =-(7) tan y x = 221sec cos y x x '== 2(tan )sec d x xdx = (8) cot y x = 221csc sin y x x'=-=- 2(cot )csc d x xdx =-(9) sec y x = sec tan y x x '= (sec )sec tan d x x xdx = (10)csc y x = csc cot y x x '=- (csc )csc cot d x x xdx =-(11) arcsin y x = 211y x '=- 21(arcsin )1d x dx x =- (12) arccos y x = 211y x '=-- 21(arccos )1d x dx x =-- (13) arctan y x = 211y x '=+ 21(arctan )1d x dx x =+6 / 85(14) arccot y x = 211y x '=-+ 21(arccot )1d x dx x=-+ (15) y shx = y chx '= ()d shx chxdx = (16) y chx = y shx '= ()d chx shxdx =复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法，1反函数的运算法则: 设()y f x =在点x 的某邻域内单调连 续，在点x 处可导且()0f x '≠，则其反函数在点x 所对应的 y 处可导，并且有1dy dxdx dy= 2复合函数的运算法则:若()x μϕ=在点x 可导,而()y f μ= 在对应点μ(()x μϕ=)可导,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 可 导,且()()y f x μϕ'''=⋅3隐函数导数dydx的求法一般有三种方法： (1)方程两边对x 求导，要记住y 是x 的函数，则y 的函数是x 的复合函数.例如1y，2y ，ln y ，e y 等均是x 的复合函数. 对x 求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0F x y =知 (,)(,)x y F x y dydx F x y '=-',其中，(,)x F x y '，(,)y F x y '分别表示(,)F x y 对x 和y 的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数，一阶微分形式的不变性，常用高阶导数公式（1）()()()ln (0)(e )e x n x n x n x a a a a =>= （2）()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+⋅7 / 85（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+⋅（4）()()(1)(1)m n m-n x m m -m -n+x =（5）()(1)(1)!(ln )(1)n n nn x x --=- （6）莱布尼兹公式：若()()u x ,v x 均n 阶可导，则()()()()nn i i n-i n i=uv c u v =∑，其中(0)u =u ，(0)v =v 微分中值定理，必达法则，泰勒公式Th1(费马定理)若函数()f x 满足条件：(1)函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有0()()f x f x ≤或0()()f x f x ≥,(2) ()f x 在0x 处可导,则有 0()0f x '=Th2 (罗尔定理) 设函数()f x 满足条件： (1)在闭区间[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()0f ξ'= Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数()f x 满足条件：(1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导；则在(,)a b 内∃一个ξ，使()()()f b f a f b aξ-'=- Th4 (柯西中值定理) 设函数()f x ，()g x 满足条件：(1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导且()f x '，()g x '均存在，且()0g x '≠则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='- 洛必达法则：法则Ⅰ (0型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()0lim 0,lim 0x x x x f x g x →→==; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则8 / 85()()()()limlim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则I ' (0型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()lim 0,lim 0x x f x g x →∞→∞==;∃一个0X >,当x X >时,()(),f x g x 可导,且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()00limlim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则Ⅱ(∞∞型) 设函数()(),f x g x 满足条件： ()()0lim ,lim x x x x f x g x →→=∞=∞; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()00limlim.x x x x f x f x g x g x →→'='同理法则II '(∞∞型)仿法则I '可写出泰勒公式: 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少∃一个ξ，使得2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+称为()f x 在点0x 处的n阶泰勒余项.令00x =，则n 阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!!n n n f f x f f x f x x R x n '''=+++++ (1)9 / 85其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x =处的泰勒公式1211e 12!!(1)!n xn x x x x e n n ξ+=++++++或 2111()2!!n n x x x o x n =+++++1311sin sin sin()3!!2(1)!2nn x n x n x x x n n πξπ++=-+++++ 或 31sin()3!!2n n x n x x o x n π=-+++1211cos 1cos cos()2!!2(1)!2n n x n x n x x n n πξπ++=-+++++ 或 211cos ()2!!2n n x n x o x n π=-+++ 1231111(1)ln(1)(1)23(1)(1)n n n n n x x x x x x n n ξ+-+-+=-+-+-+++ 或 23111(1)()23nn n x x x x o x n-=-+-+-+ 2(1)(1)(1)(1)12!!m n m m m m m n x mx x xn ---++=++++ 11(1)(1)(1)(1)!n m n m m m n x n ξ+----++++ 或2(1)(1)12!m m m x mx x -+=+++(1)(1)()!n n m m m n x o x n --+++函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸1函数单调性的判断：Th1设函数()f x 在(,)a b 区间内可导，如果对(,)x a b ∀∈，都有'()0f x >（或'()0f x <），则函数()f x 在(,)a b 内是单调增加的（或单调减少）性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值，Th2 （取极值的必要条件）设函数()f x在x处可导，且在0x处取极值，则'()0f x=.Th3 （取极值的第一充分条件）设函数()f x在x的某一邻域内可微，且'()0f x=（或()f x在x处连续，但'()f x不存在.）(1)若当x经过x时，'()f x由“+”变“-”，则()f x为极大值；(2)若当x经过x时，'()f x由“-”变“+”，则()f x为极小值；(3)若'()f x经过x x=的两侧不变号，则()f x不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设()f x在点x处有''()0f x≠，且'()0f x=，则当''()0f x<时，()f x为极大值；当''()0f x>时，()f x为极小值.注：如果''()0f x＝，此方法失效.2渐近线的求法：(1)水平渐近线若lim()xf x b→+∞=，或lim()xf x b→-∞=，则y b=称为函数()y f x=的水平渐近线.(2)铅直渐近线若lim()x xf x-→=∞，或lim()x xf x+→=∞，则0x x=称为()y f x=的铅直渐近线.(3)斜渐近线若()lim,lim[()]x xf xa b f x axx→∞→∞==-，则10 / 8511 / 85y ax b =+称为()y f x =的斜渐近线3函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在I 上''()0f x <（或''()0f x >）， 则()f x 在I 上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理1)若在0x 处''()0f x =，（或''()f x 不存 在），当x 变动经过0x 时，''()f x 变号，则00(,())x f x 为拐点. Th3 (拐点的判别定理2)设()f x 在0x 点的某邻域内有三阶导数，且''()0f x =，'''()0f x ≠，则00(,())x f x 为拐点 弧微分，曲率的概念，曲率半径1.弧微分：21'.dS y dx =+2.曲率：曲线()y f x =在点(,)x y 处的曲率322''.(1')y k y =+对于参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩3222'()''()''()'().['()'()]t t t t k t t ϕψϕψϕψ-=+3.曲率半径：曲线在点M 处的曲率(0)k k ≠与曲线在点M 处的曲率半径ρ有如下关系：1.kρ=(三)一元函数积分学考试内容 对应公式、定理、概念 原函数和不定积分的概念，不定积分基本性质1()()kf x dx k f x dx =⎰⎰ （0k ≠为常数）21212[()()()]()()()k k f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰的基本性质3求导：[()]'()f x dx f x=⎰或微分：()()d f x dx f x dx=⎰4'()()F x dx F x C=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（C是任意常数）基本积分公式111k kx dx x Ck+=++⎰（1k≠-）211dx Cxx=-+⎰12dx x Cx=+⎰1lndx x Cx=+⎰(0,1)e elnxx x xaa dx C a a dx Ca=+>≠=+⎰⎰cos sin sin cosxdx x C xdx x C=+=-+⎰⎰221sec tancosdx xdx x Cx==+⎰⎰221csc cotsindx xdx x Cx==-+⎰⎰1csc ln csc cotsindx xdx x x Cx==-+⎰⎰1sec ln sec tancosdx xdx x x Cx==++⎰⎰sec tan sec csc cot csc x xdx x C x xdx x C=+=-+⎰⎰tan ln cos cot ln sinxdx x C xdx x C =-+=+⎰⎰2221arctan arctan1dx x dxC x Ca aa x x=+=+ ++⎰⎰222arcsin arcsin1dx x dxC x Caa x x=+=+ --⎰⎰222111ln ln2211dx a x dx xC Ca a x xa x x++=+=+----⎰⎰2222lndxx x a Cx a=+±+±⎰12 / 8513 / 85重要公式(1)()[,]f x l l -设在上连续，则()[()()]lllf x dx f x f x dx-=+-⎰⎰0,2(),lf x f x dx f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当（）为奇函数当（）为偶函数 2f x T a （）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则202()()().Ta TTT af x dx f x dx f x dx +-==⎰⎰⎰22201(3)4aa x dx a π-=⎰2200131,222(4)sin cos 1321,23n n n n n nn xdx xdx n n n n n πππ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰当为偶数当为奇数 20,5sin cos sin cos 0,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ=⎧==⎨≠⎩⎰⎰-（）20sin cos sin cos 0nx mxdx nx mxdx πππ-==⎰⎰20,cos cos cos cos 00,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ-=⎧===⎨≠⎩⎰⎰定积分的概念和基本性质，定积分中值定理1． 定积分的基本性质(1)()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ===⎰⎰⎰定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰(3)badx b a =-⎰(4)[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰(5)()()(b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）14 / 85(6)()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(7)()(),[,],()().b baaf xg x x a b f x dx g x dx ≤∈≤⎰⎰比较定理：设则()[,]()0;baf x x a b f x dx ≥∈≥⎰推论：1.当0,时，2.|()||()|b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰(8)(),[,],,()()()ba m f x M x ab m M m b a f x dx M b a ≤≤∈-≤≤-⎰估值定理：设其中为常数，则(9)()[,][,],()()()ba f x ab a b f x dx b a f ξξ∃=-⎰积分中值定理：设在上连续，则在上至少一个使1()()baf f x dx b a ξ=-----⎰平均值公式积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式Th1[][]()xaf x a b x a b F x f t dt x ∈=⎰设函数（）在，上连续，，，则变上限积分（）对可导'()()(())()x ad dF x F x f t dt f x dx dx ===⎰且有()()(),'()[()]'().x aF x f t dt F x f x x ϕϕϕ=⎰推论1 设=则()'()())[()]'()[()]'()x x x f t dt f x x f x x ϕφϕϕφφ=-⎰推论2 (()()''(()())(()())x x x x aaf tg x dt g x f t dt ϕϕ=⎰⎰推论3()'()()()[()]'()x ag x f t dt g x f x x ϕϕϕ=+⎰Th2(),,f x a b x a b ∈设在[]上连续，[],则()()[,]xaf x dt f x a b ⎰是在上的一个原函数Th3(),f x a b 牛顿-莱布尼茨公式:设在[]上连续，()F x ()f x 是的原函数，则()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰ 不定积分1不定积分：和定积分的换元积分法与分部积分法分部积分法：udv uv vdu=-⎰⎰选择u，dv的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为u换元积分法：()(),f u du F u C=+⎰设[()]'()[()]()f x x dx f x d xϕϕϕϕ=⎰⎰则()()()[()]u x f u du F u C F x Cϕϕ==+=+⎰设2．定积分换元法:f x a b x tϕ设函数（）在［，］上连续，若＝（）满足：'()0.t tϕαβϕ≠(1)()在［，］上连续，且(2)()().a ab tϕϕβαβ=⋅=并且当在［，］上变化时，t a bϕ（）的值在［，］上变化，则()[()]'().baf x dx f t t dtβαϕϕ=⎰⎰分部积分公式'(),'(), u x v x a b u x v x设（），（）在［，］上具有连续导函数则()'()()()|()'()a aabb bu x v x dx u x v x v x u x dx=-⎰⎰3．定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2a b ab+≥1(2)0,2a aa>+≥(3)柯西不等式：()()222(()())()(),b b ba a af xg x dx f x dx g x dxf xg x a b≤⎰⎰⎰其中（），（）在［，］上连续有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积1．三角函数代换函数()f x含根式所作代换三角形示意图22a x-sinx a t=15 / 85分，广义积分和定积分的应用22a x+tanx a t=22x a-secx a t=有理函数积分(1)ln||Adx A x a Cx a=-+-⎰11(2)(1)()1()n nA Adx C n x a n x a-=-+≠---⎰16 / 8517 / 852222222424(3)4()()[()]24px un n q p n a dxdx du p q p x px q u a x =-=−−−−→=←−−−−-+++++⎰⎰⎰令+ 221211(4)()()2(1)()2()n n nx a p dxdx a x px q n x px q x px q -+=-+-++-++++⎰⎰（240p q -<） 4． 广义积分（1） 无穷限的广义积分（无穷积分）f x 设（）连续，则()lim()baab f x dx f x dx∞→+∞⎰⎰+１.=()lim ()baa f x dx f x dx ∞→-∞⎰⎰b -2.=3.()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（2） 无界函数的广义积分（瑕积分） 01.()lim (),(())bb a af x dx f x dx x b f x εε+--→=→→∞⎰⎰当时，2.()lim (),(bb aa f x dx f x dx x a f x εε+++→=→→∞⎰⎰当时，（））.()lim ()lim ()(b c baac f x dx f x dx f x dxx c f x εηεη++-+→→=+→→∞⎰⎰⎰３当时，（））(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a的大小.记为a.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示{,,}a xi yj zk x y z=++=，则222a x y z=++4向量的运算法则：Ⅰ加减运算设有矢量111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212{,,}.a b x x y y z z±=±±±Ⅱ.数乘运算数乘运算∆矢量a与一数量λ之积aλ，00,0,a a aaa a aλλλλλλ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩即与同向0=0,即为零矢量-即与反向设111{,,}a x y z=，则111{,,}.a x y zλλλλ=向量的数量积和向量积，向量的混合积，1矢量的数积（点积，内积）：矢量a与b的数量积()cos,.a b a b a b⋅=设111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212.a b x x y y z z⋅=++2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量a与b，若∃一个矢量c，满足如下条件（1）sin(,)c a b a b=；（2）,c a c b⊥⊥，即c垂直于a，b所确定的平面；（3）a，b，c成右手系.则称矢量c为矢量a与b的矢量积，记c a b=⨯.18 / 8519 / 85设111{,,}a x y z =222{,,}b x y z =，则111111111222222222.i j ky z x z x y a b x y z i j k y z x z x y x y z ⨯==-+3混合积：设有三个矢量,,a b c ，若先作a ，b 的叉积a b ⨯，再与c 作点积()a b c ⨯⋅，则这样的数积称为矢量a ，b ，c 的混合积，记为(,,)a b c ，即(,,)().a b c a b c =⨯⋅设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z =，333{,,}c x y z =，则111222333(,,)x y z a b c x y z x y z =两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，1向量之间的位置关系及结论设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z =，333{,,}c x y z = （1）12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=； （2）111222//0x y z a b a b x y z ⇔⨯=⇔==； 其中222,,x y z 之中有一个为“0”，如20x =，应理解为10x =；（3）a ，b 不共线⇔∃不全为零的数,λμ使0a b λμ+=； （4）矢量a 与b 的夹角，可由下式求出121212222222111222cos()x x y y z z a b x y z x y z ∧++=++⋅++；（5）a ，b ，c 共面⇔∃不全为零的数,,v λμ，使20 / 850a b vc λμ++=或者(,,)0a b c =2单位向量：模为1的向量. 向量a 的单位向量记作0a ，022*******,,.a x y z a a x y z x y z x y z ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬++++++⎪⎪⎩⎭3向量的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos ,x y z x y zx y zx y zαβγ===++++++其中,,αβγ为向量a 与各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦：显然0{cos ,cos ,cos }a αβγ=，且有222cos cos cos 1.αβγ++=曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离1平面方程(1)一般式方程 0Ax By Cz D +++=，法矢量{,,}n A B C =，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面0//Ax Cz D y ++=轴(2)平面的点法式方程 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=000(,,)M x y z 为平面上已知点，{,,}n A B C =为法矢量(3)三点式方程 111212121313131x x y y z z x x y y z z x x y y z z ---------1111(,,)M x y z ,2222(,,)M x y z ,3333(,,)M x y z 为平面上的三个点 (4)截距式方程 1x y za b c++=，,,a b c 分别为平面上坐标轴上的截距，即平面通过三点 (,0,0),(0,,0),(0,0,)a b c21 / 852直线方程 一般式方程(两平面交线)：1111222200A x B y C x D A x B y C x D ππ+++=⎧⎨+++=⎩12平面平面 平面π1与平面π2的法矢量分别为1111{,,}n A B C =， 2222{,,}n A B C = ， 直线的方向矢量为12111222i j ks n n A B C A B C =⨯=(2)标准式方程000x x y y z z l m n---==000(,,)M x y z 为直线上已知点， {,,}s l m n =为直线的方向矢量(3)两点式方程 111212121x x y y z z x x y y z z ---==--- 其中1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z 为直线上的两点(4)参数式方程000x x lt y y mt z z nt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩000(,,)M x y z 为直线上已知点，{,,}s l m n =为直线的方向矢量 3平面间的关系设有两个平面：平面π1：11110A x B y C z D +++=平面π2：22220A x B y C z D +++=(1)平面π1//平面π2111222A B C A B C ⇔==(2)平面π1⊥平面π21212120A A B B C C ⇔++= (3)平面π1与平面π2的夹角θ，由下式确定22 / 85121212222222111222cos A A B B C C A B CA B Cθ++=++++4平面与直线间关系直线000:x x y y z z L l m n---==平面π1：11110A x B y C z D +++=(1)//0L Al Bm Cn π⇔++=(2)A B CL l m n π⊥⇔==(3)L 与π的夹角θ，由下式确定222222sin Al Bm CnA B C l m n θ++=++++5直线间关系 设有两直线：直线1111111:x x y y z z L l m n ---==直线2222222:x x y y z z L l m n ---==(1)11112222//l m n L L l m n ⇔== (2)121212120L L l l m m n n ⊥⇔++= (3)直线1L 与2L 的夹角θ，由下式确定 121212222222111222cos l l m m n n l m nl m nθ++=++++6点到平面的距离：000(,,)M x y z 到平面:0Ax By Cz D π+++=的距离为 000222Ax By Cz Dd A B C+++=++7点到直线的距离：000(,,)M x y z 到直线23 / 851111111:x x y y z z L l m n ---==距离为 0101011012221ij k x x y y z z lm nM M M Pd M Pl m n---⨯==++球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，准线为各种形式的柱面方程的求法(1) 准线为(),0:0f x y z=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//z 轴的柱面方程为(),0f x y =,准线为(),0:0x z yϕ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//y 轴的柱面方程为(),0x z ϕ=,准线为(),0:0y z xψ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//x 轴的柱面方程为 (),0y z ψ=.(2) 准线为()(),,0:,,0f x y z g x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线的方向矢量为{},,l m n 的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点(),,x y z ,则过点(),,x y z 的母线方程为X x Y y Z zl m n---==其中,,X Y Z 为母线上任一点的流动坐标,消去方程组常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.()(),,0,,0f x y zg x y zX x Y y Z zl m n⎧⎪=⎪=⎨⎪---⎪==⎩中的,,x y z便得所求的柱面方程常见的柱面方程名称方程图形圆柱面222x y R+=xyzo椭圆柱面22221x ya b+=xyz双曲柱面22221x ya b-=-a o a xyz抛物柱面()22,0x py p=>zyx标准二次方程及其图形名称方程图形24 / 85椭球面2222221x y za b c++=(,,a b c均为正数)o bczyx单叶双曲面2222221 x y za b c+-= (,,a b c均为正数)双叶双曲面2222221 x y za b c--+= (,,a b c均为正数)椭圆的抛物面22222x ypz a b+= (,,a b p为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)22222x ypz a b-= (,,a b p均为正数)25 / 85二次锥面222222x y za b c+-=(,,a b c为正数)o yxz (五)多元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，二元函数(,)z f x y=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可导←可微→函数连续“←→”表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：''(,)(,)lim0x yz f x y x f x y yρρ→∞∆-∆-∆是否为有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，基本原理''''''''1()(,)(,),(,),(,)(,)xy yxxy yxThz f x y f x y f x yD f x y f x y==求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域内连续则有2()(,)(,) ,,,Th z f x y P x yz z z zdz dx dyx y x y=∂∂∂∂=+∂∂∂∂可微与偏导存在的关系定理若在点处可微则在该点处必存在且有3()(,),(,)(,)(,)(,)Thzz f x y P x yyP x yz f x y P x y∂∂=∂∂=偏导存在与可微的关系定理z若的两个偏导数在x上的某领域内存在,且在连续,则在点处可微26 / 85多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，1复合函数微分法(1)(,),(,),(,),z f u v u x y v x yϕφ===设则z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂∂∂⎩(2)(,),(),(),,z f u v u x v xz du z dvzu dx v dxϕφ===∂∂=+∂∂设dz则称之为的全导数dx(3)(,,),(,),(,),z f x u v u x y v x yz f f u f vx x u x v xz f u f vy u y v yϕφ===∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂∂∂⎩设则注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁.2隐函数微分法'(,)(1)(,)0,'(,)xyF x ydyF x ydx F x y==-设则'(,,)'(,,)(2)(,,)0,,'(,,)'(,,)yxz zF x y zF x y zz zF x y zx F x y z y F x y z∂∂==-=-∂∂则(3)(),(),y y x z z x⎧==⎨⎩F(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组'''0:'''0x y zx y zdy dzF F Fdx dydy dzG G Gdx dx⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩''','''y z xy z xdy dzF F Fdx dxdy dzG G Gdx dx⎧+=-⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩来求解方向导数和梯度Th1设(,)z f x y=在000(,)M x y处可微，则(,)f x y在点27 / 8528 / 85000(,)M x y 沿任意方向(cos ,cos )l αβ= 存在方向导数且000000(,)(,)(,)cos cos f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂ 在平面上l 除了用方向角表示外也可用极角表示： (cos ,sin )l θθ=，[0,2]l θθπ∈是的极角，此时相应的方向导数的计算公式为000000(,)(,)(,)cos sin f x y f x y f x y l x yθθ∂∂∂=+∂∂∂ Th2设三元函数(,,)u f x y z =在0000(,,)M x y z 处可微，则 (,,)u f x y z =在点0000(,,)M x y z 沿任意方向 (cos ,cos ,cos )l αβγ=存在方向导数且有000000000(,,)(,,)(,,)cos cos f x y z f x y z f x y z l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂000(,,)cos f x y z zγ∂+∂梯度：(,)z f x y =在点0M 的方向导数计算公式可改写成 000000(,)(,)(,)(,)(cos ,cos )f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=∂∂∂ 000000((,))(,)cos ((,),grad f x y l gradf x y grad f x y l ==〈〉这里向量000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y gradf x y x y∂∂=∂∂成为 (,)z f x y =在点0M 的梯度(向量)00(,)f x y l l∂∂随而变化0000((,)((,)grad f x y l grad f x y =即沿梯度方向时，方 向导数取最大值00 (,)grad f x y空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，1． 曲线的切线及法平面方程0000()(1)()(,,)()x x t y y t x y z t t z z t =⎧⎪=↔=⎨⎪=⎩曲线在29 / 85000000'()'()'()x x y y z z x t y t z t ---==处的切线方程： 000000'()()'()()'()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=法平面方程： (2)Γ空间曲线的一般式方程为,,)0(,,)0Fx y z G x y z =⎧⎨=⎩（000,,)P x y z Γ则在曲线的（处的 000(,)(,)(,)(,)(,)(,)pppx x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂切线方程：法线方程：000(,)(,)(,))()()0(,)(,)(,)p p pF G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂（2． 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程000(1)(,),(,,)z f x y P x y z =∑∑设曲面为显示方程则在上一点处的000()()()0.p pz zx x y y z z x y ∂∂-+---=∂∂切平面方程：0001p px x y y z z z z x y ---==∂-∂∂∂法线方程：000(2),,)0,(,,)F x y z P x y z =∑∑设曲面为隐式方程（则在上一点的000'()()()0x y z p pF x x F y y F z z ''-+-+-=切平面方程：000'|'|'|x p y p z px x y y z z F F F ---==法线方程：二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极1多元函数的极值定义：00(,)(,)z f x y P x y =设函数在的某邻域内有定义，若对于该邻域 内异于00(,)P x y 点的任一(,)Q x y 点恒有0000(,)(,)((,))f x y f x y f x y ><或值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用00(,)(,)f x y f x y则称为的极小值(极大值)00'00 00'00 1(,)(,)(,)0 (,)(,)(,)0xyThz f x y P x yf x yP x y z f x yf x y=⎧=⎪=⎨=⎪⎩（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则00000 2(,)(,)',)0,'(,)0x yThz f x y P x yf x y f x y===（函数取极值的充分条件）设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且(222000000 ["(,)]"(,)"(,)0xy x yf x y f x y f x y-<00(,)(,)P x y z f x y=则是的一个极值点22000000 (1)"(,)0("(,)0),(,)x yf x y f x y P x y>>若或则为极小值点。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

考研高等数学公式手册高等数学复习公式kaoyan高等数学公式导数公式：2(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tg x(cscx)???cscx?ctgx(a)??alna(logaxx2(arc sinx)??(arccosx)???(arctgx)??11?x11?x11? x222x)??1xlna(arcctgx)???11?x2基本积分表：?tgxdx?ctgxdx?sec?a?x?a???ln cosx?C?lnsinx?C?cos?sindx2xx???sec?csc 2xdx?tgx?Cxdx??ctgx?Cdx22xdx?lnsecx?t gx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx2?secx?tgx dx?cscx?ctgxdx?ax?secx?C??cscx?C?C?x dx?adx?xdx22???1a1arctglnlnxa?C?C?Cx ?ax?aa?xa?xxadx?axlna222a12a?shxdx?ch xdx??2?chx?C?shx?C?ln(x?x?a)?C2222a? x2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??co sxdx?0nn?1naaa2In?2x?a)?Cx?axa?C2222 ???2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?22222x2x2x 2x?a?x?a?a?x?22222222ln(x?lnx?arcsin22?C2三角函数的有理式积分：sinx?，cosx?21?u1?u2，u?tg2x2，dx?2du1?u2 第 1 页共15 页高等数学复习公式一些初等函数：两个重要极限：e?e2e?e2shxchx2x?xx?x双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln 1?x1?xlimsinxx1xx?0?1)?e? 59045...lim(1?x???e?ee?exx?x?xx?1）x?1)2三角函数公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα ·和差角公式：·和差化积公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?c os??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg?? ctg??1ctg??ctg?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2???2???2cos??cos??2cos cos??cos??2sin???2cossin???2ctg(???)???? 2???2 第 2 页共15 页高等数学复习公式·倍角公式：sin2??2sin?cos?cos2??2cos??1?1?2sin??co s??sin?ctg2??tg2??ctg??12ctg?2tg?1?tg?2 22222sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos ?tg3??3tg??tg?1?3tg?2333 ·半角公式：sintg?2????1?cos?21?cos?1?cos?asinA 1?cos?sin?bsinB?cosctg?2??1?cos?21?cos?1?cos?22 ?1?c os?sin?2?2??csin?1?cos??2???sin?1?cos?·正弦定理：?sinC?2R·余弦定理：c?a?b?2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosxarctgx??2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹公式：n(uv)?u(n)??Ck?0knu(n?k)v(k)(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)2!u(n?2)v?????n(n?1)?(n?k?1)k! u(n?k)v(k)???uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。

考研数学备考各个阶段的复习建议及资料考研数学备考各个阶段的复习建议及资料推荐数学是一个比较抽象的学科，复习起来并不容易，所以基础差的同学一定要早早地开始复习。

店铺为大家精心准备了考研数学备考阶段复习意见和资料指导，欢迎大家前来阅读。

考研数学备考阶段复习意见和资料基础阶段(现在——20xx.6)基础阶段的主要任务是复习基础知识，掌握基本解题能力。

主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握，将课本例题和习题研究透彻。

复习完基础知识之后要做课后习题，进行知识巩固，确保能够准确、深刻地理解每一个知识点。

【切忌】1.先做题再看书。

2.做难题。

这一阶段不易做难题。

难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心，即使答案弄懂了也达不到复习的效果。

【复习建议】1.以教材中的例题和习题为主，不适宜做综合性较强的题目。

做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来，达到巩固基础知识的目的，切忌为了做题而做题。

2.在18考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点。

在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为后期备考的盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补。

3.准备一个笔记本，用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点。

弄懂后，写上自己的理解，并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上，定期拿出来看一下，避免遗忘出错。

4.对于基本知识、基本定理和基本方法，关键在理解，并且存在理解程度的问题。

所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上。

对一些易推导的定理，有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述，特别是微积分中的一些术语的描述，一定要自己动手写一写。

这些基本功都很重要，到临场考试时就可以发挥作用了。

PS：复习不下去的时候建议看看数学视频。

【基础阶段复习教材】数学考试大纲：可先对照17考研大纲复习，一般变动不大。

高数：同济版，讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。

考研数学零基础复习指南考研数学零基础复习指南闲话不多说，就来写写自己的数学经验。

数学考了146分，当时考完后对答案，学选择填空都是对的，大题基本都是与标准一致的，但还是扣了四分，所以这也提醒大家对题目的书写也要在日常注意，要不然一题扣一两分，到最后累计下来也是很害怕的。

我就从我认为比较重要的几点，结合我和身边的研友的经验来给大家娓娓道来。

1、心态篇对于数学而言，从心态方面可能会分成三个群体，恐惧、一般和喜欢，当初高考时所受的痛，可能现在还历历在目。

考研数学和高考数学不一样，高考数学不仅要把知识扎扎实实的学习透还要能灵活应用，题目的变化很丰富，灵活性也很大，所以高考把数学想考130还是不难达到，要想上145就需要很多因素叠加了。

考研数学的题目都是比较稳定的，题目变化的类型也就是那几种，所以考研考的是谁更扎实，能把是三本书的每个章节都扎扎实实的吃透，最后多做模拟，自己得到140以上都不是难事，所以说这些就是希望那些对考研数学没有自信的同学，一定要鼓足勇气，这个不难，但如果你怕了，那就很难了。

2、做题方法篇做数学有做数学的方法，这个自己一定要心里有数，数学就是要多练的，自己把书看的有多少遍都没用，一定要扎扎实实的把题目做出来，如果错了就把勤快点准备个错题本把题目好好记录下来，前期是会很累很折磨，坚持下来自己就会有成长和飞跃的，数学的积累就是在平时一点一点的积累的，从现在就坚持每天四个小时的学习。

再说下数学的具体做题方法，当遇到自己不会的题，自己先不要急于看答案，有很多同学都有这种坏毛病，其实如果没有深刻的教训的话，看了答案自己下次做还可能不会，对不会的题好好考虑下，分析下题目有哪些条件，如何利用这些条件来解题，实在不会时再看答案，看看答案是如何解决这些问题的，慢慢的积累自己的数学能力一定会有质的飞跃。

3、模拟在最后自己的模拟是必不可少的，前期的充实准备是代表你有多少，而考试要求是你在三个小时里能呈现多少，所以这之间的区别就要靠考前模拟提高做题速度和知识反应的速度来解决。

高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编高等数学上下册第六版第一章函数与极限7天考小题学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数一般章节函数的概念,常见的函数有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.集合、映射不用看；双曲正弦,双曲余弦,双曲正切不用看习题1－1：4,5,6,7,8,9,13,15,16重点1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极第二节：数列的极限一般章节数列定义,数列极限的性质唯一性、有界性、保号性本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求,可不看,如P26例1,例2,例3,定理1,2,3的证明都不作要求,但要理解；定理4不用看习题1－2：1第三节：函数的极限一般章节函数极限的基本性质不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等 P33例4,例5例7不用做,定理2,3的证明不用看,定理4不用看习题1－3：1,2,3,4第四节：无穷大与无穷小重要无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以及与极限的关系无穷小重要,无穷大了解例2不用看,定理2不用证明习题1－4：1,6第五节：极限的运算法则掌握极限的运算法则6个定理以及一些推论注意运算法则的前提条件是否各自极限存在定理1,2的证明理解,推论1,2,3,定理6的证明不用看P46例3,例4,P47例6习题1－5：1,2,3,4,5重点第六节：极限存在准则理解两个重要极限重要两个重要极限要牢记在心,要注意极限成立的条件,不要混淆,应熟悉等价表达式,要会证明两个重要极限,函数极限的存在问题夹逼定理、单调有界数列必有极限,利用函数极限求数列极限,利用夹逼法则求极限,求递归数列的极限准则1的证明理解,第一个重要极限的证明一定要会,另一个重要极限的证明不用看,柯西存在准则不用看P51例1习题1－6：1,2,4第七节：无穷小的比较重要无穷小阶的概念同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小,重要的等价无穷小尤其重要,一定要烂熟于心以及它们的重要性质和确定方法定理1,2的证明理解P57例1P58例5习题1－7：全做限．9．理解函数连续性的概念含左连续与右连续,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并会应用这些性质．第八节：函数的连续性与间断点重要,基本必考小题函数的连续性,间断点的定义与分类第一类间断点与第二类间断点,判断函数的连续性连续性的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性和间断点的类型;例1－例5习题1－8：1,2,3,4,5重点第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性了解连续函数的运算与初等函数的连续性包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性定理3,4的证明不用看例4－例8 习题1－9：1,2,3,4,5,6重点第十节：闭区间上连续函数的性质重要,不单独考大题,但考大题特别是证明题会用到理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法.一致连续性不用看例1－例2习题1－10：1,2,3,5要会用5题的结论自我小结总复习题一：除了7,8,9以外均做,3,5,11,14重点本章测试题－检验自己是否对本章的复习合格合格成绩为80分以上,如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑;第二章导数与微分6天小题的必考章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节: 导数的概念重要导数的定义、几何意义、物理意义数三不作要求,可不看,数三要知道导数的经济意义：边际与弹性,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系非常重要,经常会出现在选择题中,函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限. 会求平1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些面曲线的切线方程和法线方程.导数定义年年必考例1－例6习题2－1：3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,18,19,重点20物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．第二节：函数的求导法则考小题复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则,幂、指数函数求导法,反函数求导法,分段函数求导法基本求导法则与求导公式要非常熟定理1,3的证明不用看,例1,17不用做,定理2的证明理解,例6,7,8重点做习题2－2：除2,3,4,12不用做,其余全做,13,14重点做 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.第三节：高阶导数重要,考的可能性很大高阶导数和N阶导数的求法归纳法,分解法,用莱布尼兹法则用泰勒展开式求高阶导例1－例7 习题2－3：5,6,7,11不用做,其余全做,4,12重点做第四节：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数考小题由参数方程确定的函数的求导法数三不用看,变限积分的求导法,隐函数的求导法相关变化率不用看例1－例10习题2－4：9,10,11,12均不用做,数三5,6,7,8也可以不做,其余全做,4重点做第五节：函数的微分考小题函数微分的定义,微分运算法则,微分几何意义微分在近似计算中的应用不用看,考纲不作要求例1－例6 习题2－5：5,6,7,8,9,10,11,12均不用做,其余全做自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做,其余全做,2,3,6,7,14重点做,数三不用做12,13第二章测试题第三章微分中值定理与导数的应用8天考大题难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：微分中值定理最重要,与中值定理应用有关的证明题微分中值定理及其应用费马定理及其几何意义,罗尔定理及其几何意义,拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义四个定理要会证明,及其重要例1,习题3－1：除了13,15不用做,其余全部重点做1．理解并会用罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange中值定理和泰勒Taylor定理,了解并会用柯西Cauchy中值定第二节：洛必达法则重要,基本必考洛比达法则及其应用洛比达法则要会证明,重要例1－例10,习题3－2：全做,1,3,4重点做理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．5．了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．第三节：泰勒公式掌握其应用泰勒中值定理,麦克劳林展开式可不看公式的证明例1－例3 习题3－3：8,9不用做,其余全做10123重点做第四节：函数的单调性与曲线的凹凸区间考小题求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线选择题及大题会用到例1－例12习题3－4：3125,512,812,9135,102不用做,其余全做,3,4,5,6,13,15重点做第五节：函数极值与最大值最小值考小题为主函数的极值一个必要条件,两个充分条件,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题,与最值问题有关的综合题例5,6,7不用看习题3-5:123698,9,10,11,12,13,14,15,16均不用做,其余全做第六节：函数图形的描绘重要简单了解利用导数作函数图形一般出选择题及判断图形题,对其中的渐进线和间断点要熟练掌握,一元函数的最值问题三种情形;例1－例3 习题3－6：2－5第七节：曲率数三不作要求,仅数一、数二要求曲率、曲率的计算公式,与曲率相关的问题弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看例1－例3,习题3－7：1－6第八节：方程近似解不用看自我小结总复习题三：数一、数二全做,数三15不用做；其中22,3,7,8,9,10,34,113,12,17,18,20重点做第三章测试题总结第四章不定积分7天重要,本章数二考大题可能性更大学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：不定积分的概念与原函数与不定积分的概念与基本性质它们各自的定义,之间的关系,求不定积分与求微分1．理解原函数概念,理解不定积分性质重要或导数的关系,基本的积分公式,原函数的存在性,原函数的几何意义和力学意义数三不作要求例1－例16 习题4－1：1,2,3,4,6的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．第二节：换元积分法重要,第二类换元积分法更为重要不定积分的换元积分法,第二类换元法例1－例27习题4－2：1,212389101325均不用做,其余全做第三节：分部积分法考研必考不定积分的分部积分法例1－例10 习题4－3：1－24第四节：有理函数积分重要有理函数积分法,可化为有理函数的积分, 例1－例8 习题4－4：1－24不定积分计算总复习题四：1－40第五节:积分表的使用不用看自我小结总结本章第五章定积分6天重要,考研必考学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的概念与性质理解定积分的概念与性质可积存在定理定积分的7个性质理解及熟练应用,性质7积分中值定理要会证明定积分近似计算不用看习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做,其余全做,5,11,12重点做1．理解原函数概念,理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式,掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解广义反常积分的概念,会计算广义反常积分．第二节：微积分基本公式重要微积分的基本公式积分上限函数及其导数极其重要,要会证明牛顿－莱布尼兹公式重要,要会证明例5不用做,例6极其重要,记住结论习题5－2：6124567,7,8均不用做,其余全做,2数三不做,92,10,11,12,13重点做第三节：定积分的换元积分法与分部积分法重要,分部积分法更为重要定积分的换元法与分部积分法例1－例10 例5,例6,例7,例12经典例题,记住结论习题5－3：1123612141516,71389不用做,其余全做,重点做147****2526,2,6,77101213第四节：反常积分考小题反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分例1－例5习题：5－4：全做,3题结论记住第五节：反常积分的审敛法不用看总复习题五：13,2345,15,16不用做,其余全做,重点做3,5,7,8,9,101238910,13,14,17自我小结总结本章第六章定积分的应用4天考小题为主学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的元素法理解定积分元素法 1. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等及函数的平均值等．第二节：定积分在几何学上的应用面积最重要一元函数积分学的几何应用求平面曲线的弧长与曲率仅数一看,求平面图形的面积,求旋转体的体积,求平行截面为已知的立体体积数三不作要求,求旋转面的面积定积分的几何应用相关计算定积分应用的一些计算习题6－2：数一全做；数二、数三21-30不用做第三节：定积分在物理学上的应用数三不用看,数一数二了解定积分的物理应用用定积分求引力,用定积分求液体静压力,用定积分求功;综合题目的求解;数三不用看,数一数二了解例1－例5 习题6－3：数一、数二做总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三只做3,4,5自我小结总结本章第七章常微分方程 9天本章对数二相对重要,必考章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：微分方程基本概念了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解,例1、2、3、4,例2数三不用看习题7-1：134,224,32,423,51．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量第二节：可分离变量的微分方程理解可分离变量的微分方程的概念及其解法例1、2、3、4,例2,3,4数三不作要求习题7-2：1,2第三节：齐一阶齐次微分方程的形式及其解法次方程理解例2不用看,可化为齐次的方程不用看习题7－3：1,2代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列微分方程：和.5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．第四节：一阶线性微分方程重要,熟记公式一阶线性微分方程、伯努利方程仅数一考,记住公式即可,例1,3,4,习题7-4：1,2,3,8仅数一做第五节：可降解的高阶微分方程仅数一、数二考,理解全微分方程会求全微分方程会用降阶法解下列微分方程：和,例1—6习题：7-5：数三不用做、数一数二只做1,2第六节：高阶线性微分方程理解线性微分方程解的结构重要微分方程的特解、通解二阶线性微分方程举例不用看；常数变易法不用看定理1,2,3,4重点看习题7-6：1,3,4第七节：常系数齐次线性微分方程最重要,考大题特征方程,微分方程通解中对应项例1,2,3,6,7例4,5不用做习题7－7：1,2第八节：常系数非齐次线性微分方程最重要,考大题会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程例1－4,例5不用看习题7－8：1,2,6重点做第九节：欧拉方程仅数一考,了解欧拉方程的通解习题7－9：数一只做5,8 第十节不用看自我小结总复习题十二：1124,22,313578,434,5,7,8,10其中8,10仅数一做第八章空间解析几何和向量代数4天仅数一考,考小题,了解学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：向量及其向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.线性运算的模、方向、投影例1－例2.掌握向量的运算线性运算、数量积、向量积、混合积,了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系平行、垂直、相交等解决有关问题.6．会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.第二节：数量积,向量积,混合积向量的数量积,向量的向量积例1－例7习题7－2:3,4,6,9,10第三节：曲面及其方程曲面方程旋转曲面、柱面、二次曲面;旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程例1－例5 习题7－3：,8,9,10第四节：空间曲线及其方程空间直线及其方程空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角例1－例4 习题7－4：2,3,5,6第五节：平面及其方程平面, 平面方程,两平面之间的夹角例1－例5习题7－5：1,2,3,5,6,9第六节：空间直线及方程直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件,点到平面和点到直线的距离,球面,母线平行于坐标轴的柱面例1－例7 习题7－6：1－9,11,12自我小结总复习题七：1,9－21第九章多元函数微分法及其应用 10天考大题的经典章节,但难度一般不大学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：多元函数基本概念了解二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理例1—8,习题8—1：2,3,4,5,6,81．理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形第二节：偏导数理解偏导数的概念,高阶偏导数的求解重要例1—8,习题8—2：1,2,3,4,6,9第三节：全微分理解全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件全微分在近似计算中应用不用看例1,2,3,习题8—3：1,2,3,4第四节：多元复合函数求导,全微分形式的不变性多元复合函数的求导法则理解,重要例1—6,习题8—4：1—12 式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．会用隐函数的求导法则.7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题．第五节：隐函数的求导公式理解,小题隐函数存在的3个定理方程组的情形不用看例1—4,习题8—5：1—9第六节：多元函数微分学的几何应用仅数一考,考小题了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程一元向量值函数及其导数不用看例2—7,习题8—6： 1—9第七节：方向导数与梯度仅数一考,考小题方向导数与梯度的概念与计算例1—5,习题8—7：1—8,10第八节：多元函数的极值及其求法重要,大题的常考题型多元函数极值与最值的概念,二元函数极值存在的必要条件和充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值例1－9,习题8—8：1—10第九节：二元函数的泰勒公式仅数一考,了解n阶泰勒公式,拉格朗日型余项极值充分条件的证明不用看第十节最小二乘法不用看例1,习题8—9：1,2,3自我小结总复习题八：1—3,5,6,8,11—19本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格合格成绩为80分以上,如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑;第十章重积分7天重要,数二、数三相对于数一,本章更加重要,数二、数三基本必考大题学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：二重积分的概念与性质了解二重积分的定义及6个性质习题9—1：1,4,51. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标,会计算三重积分直角坐标、柱面坐标、球面坐标．3．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量曲面面积、质量、质心、形心、转动惯量、引力．第二节：二重积分的计算法重要,数二、数三极其重要会利用直角坐标、极坐标计算二重积分二重积分换元法不用看例1－6,习题9—2：1,2,4,6,7,8,12,14,15,16第三节：三重积分仅数一考,理解三重积分的概念,利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分的计算三重积分的计算重要例1－4,习题9—3：1,2,4—10第四节：重积分的应用仅数一考,了解曲面的面积、质心、转动惯量、引力第五节含参变量的积分不用看例1—7,习题9—4：2,5,6,8,10,11,14自我小结总复习题九：1,2,3,6,7,8,9,10总结第十一章曲线积分与曲面积分8天仅数一考,数二、数三均不考,数一考大题,考难题的经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：对弧长的曲线积分重要弧长的曲线积分的概念理解,性质了解及计算重要例1、2,习题10—1：1,3,4,51．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数．4．了解两类曲面积分的概第二节：对坐标的曲线积分重要对坐标的曲线积分概念理解、性质了解及计算重要,两类曲线积分的联系了解例1－5,习题10—2：3—8第三节：格林公式及掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数,其应用重要曲线积分的基本定理不用看例1－7,习题10—3：1－6念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式,斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.5．了解散度与旋度的概念,并会计算．6．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、功及流量等．第四节：对面积的曲面积分重要对面积的曲面积分的概念理解、性质了解与计算重要例1、2,习题10—4：1,4,5,6,7,8第五节：对坐标的曲面积分重要对坐标的曲面积分的概念理解、性质了解及计算重要,两类曲面积分之间的联系了解例1－3,习题10—5：3,4第六节：高斯公式重要、通量不用看与散度了解会用高斯公式计算曲面、曲线积分,散度的概念及计算沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件不用看例1－5,习题10—6：1,3第七节：斯托克斯公式重要、环流量不用看与旋度了解会用斯托克斯公式计算曲面、曲线积分,旋度的概念及计算空间曲面积分与路径无关的条件不用看例1－4,习题10—7： 1, 2自我小结总复习题十：1－4,6, 7总结第十二章无穷级数6天数二不考,数一、数三考大题,考难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：常数项级数的概念和性质一般考点级数收敛、发散的定义,收敛级数的基本性质考选择题柯西审敛原理不用看例1－3,习题11—1：1—41．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条第二节：常数项级数的审敛法理解正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法、绝对收敛与条件收敛绝对收敛级数的性质不用看例1－10,习题11—2：1—5第三节：幂级数重要函数项级数的概念了解；幂级数及其收敛性最重要；幂级数的运算乘、除不用看。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

考研数学三参考书及各阶段规划指导考研数学三参考书及各阶段规划指导我们在进行考研数学三的复习时，需要把一些参考书选好，并对各阶段的复习计划规划好。

店铺为大家精心准备了考研数学三的复习资料和复习计划，欢迎大家前来阅读。

考研数学三有哪些参考书及各阶段复习安排数学是要考研同学比较头痛的科目，一些人认为数学比较难而选择了其他专业，其实数学并没有想象中的那么难，要有科学的方法、技巧去学习。

得数学者得考研，有的同学考研数学能考满分，但有的却只能考几十分，所以数学一定要掌握好，给自己制定合理的考研数学计划。

一、参考书目1、高数(人大版微积分)2、线代(同济版)3、概率论(浙大版)4、海文考研系列：海文考研复习全书5、辅助书目：陈文灯的复习指南(模拟卷)6、历年考研数学三真题二、复习规划1、第一阶段：以前或现在至6月三本课本至少看完1~2遍课本，概念定理公式的推导等基础一定要熟知，重点的公式一定要能自己推导;做完课后习题，要先自己做，再对照答案。

在这一阶段一定要注重基础，熟练的掌握的基础知识;可以根据去年的考研大纲来复习，大纲要求的一定要复习到位;复习顺序可按高数、概率论、线性代数，高数是后两科的基础;在复习看书、做课后题时，一定要做好笔记，记录下重点、难点或很容易犯错的题，最好还能对数学的一些自己觉得很模糊的知识点做些梳理，对定义公式定理等写写自己的看法理解。

2、第二阶段：7~10月这一阶段很重要，时间比较充分，可以全身心的投入复习。

做李永乐复习全书1~2遍。

做第一遍时，可能会感觉比较难，很多题不会做，不要怕，对于不会的、不理解的做好记号，第二次重点学习;一定要先自己做，再对照答案，要有自己的解题方法、思路;做题一定要进行方法的总结;对于定理概念、公式等会有遗忘的，一定要看教材，再次记忆。

3、第三阶段：10月~11月第二次复习李永乐全书，同时开始做数学真题。

数学题一定要多做，才能掌握解题方法;做李永乐全书时，一定要再计算一遍，以前做错的要重点做一做，要查缺补漏。

《数学分析》（610）研究生入学考试大纲一、参考书目：1．《数学分析》第四版（上、下册）华东师范大学数学系编（高等教育出版社）。

2．《数学分析》（上、下册）盛炎平等编（机械工业出版社）。

二、考试大纲：（第一章～第二十二章，所有带*号的部分不用看）第一章实数集与函数数集的确界，确界原理.第二章数列极限极限定义，收敛数列性质，单调有界原理，重要极限.第三章函数极限函数极限定义，函数极限性质，两个重要极限，无穷大量与无穷小量，渐近线.第四章函数连续性函数连续概念，间断点分类，连续函数的性质，一致连续的概念.第五章导数与微分导数概念，导数几何意义，求导法则，基本求导公式，参变量函数求导，高阶导数，微分的概念，几何意义.第六章微分中值定理及其应用罗尔定理，拉格朗日定理，函数单调性的判定，柯西中值定理，不定式极限的罗必达法则，泰勒公式,，函数极值的判定，最值问题，函数凹凸性的判定.第七章实数的完备性了解刻画实数完备性定理的内容.第八章不定积分原函数与不定积分概念，基本积分公式，换元法与分部积分法.第九章定积分定积分概念，定积分性质，牛顿-莱布尼兹公式，变限积分和原函数存在定理，积分中值定理，计算积分的换元法与分部积分法.第十章定积分应用计算平面图形面积，立体体积，曲线弧长，旋转曲面面积.第十一章反常积分无穷积分和瑕积分的概念和性质，非负无穷积分和瑕积分的比较判别法，一般无穷积分和瑕积分的狄立克莱判别法和阿贝尔判别法.第十二章数项级数级数收敛的定义，级数的性质，正项级数的比较、根值、比值判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄立克雷判别法.第十三章函数列与函数项级数函数列的一致收敛性，一致收敛的柯西准则及充要条件，一致收敛函数列的极限函数的性质，函数项级数一致收敛概念，判别法，一致收敛函数项级数的性质.第十四章幂级数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域，收敛半径的计算，幂级数的性质，泰勒级数，初等函数的幂级数展开.第十五章傅立叶级数三角级数，正交系，收敛定理，周期函数的傅里叶展开，偶函数与奇函数的傅里叶级数与展开.第十六章多元函数的极限与连续二元函数的极限与连续.第十七章多元函数微分学偏导数的概念，全微分的概念，偏导数的几何意义，复合函数的求导法则，方向导数与梯度的概念，多元函数的极值问题.第十八章隐函数定理及其应用了解隐函数定理，会隐函数求导，曲线的切线，曲面的切平面与法线，条件极值问题.第十九章含参积分该章不考察.第二十章曲线积分第一型曲线积分定义与计算，第二型曲线积分的定义与计算，两类积分的联系.第二十一章重积分二重积分的概念、性质，直角坐标计算，极坐标计算，格林公式，曲线积分与路径的无关性，三重积分的定义，性质，利用直角坐标计算，柱坐标计算，球坐标计算.第二十二章曲面积分第一型曲面积分定义与计算，第二型曲面积分的定义与计算，高斯公式与斯托克斯公式三、试卷结构：1.概念简答题；2.计算题；3.证明题.。