最不利原则的讲解

最不利原则【知识点】1、当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则分析问题。

最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。

才能达到“保证”目的。

2、要求：从最不利的条件开始分析；考虑所有最坏的可能。

例题1：一个盒子中装有10个黑球、6个白球和4个红球，一次至少取出多少个球才能保证其中有白球？【答案】15个【分析】最不利的情况是每次取出的都是黑球或红球，就是没有白球。

这时取了10个黑球和4个红球。

然后第15个球就必然能取到白球。

所以一次至少取出10+4+1=15（个）球。

例题2：泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖16颗、黄色糖20颗，紫色糖3颗。

如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？【答案】20元【分析】要想保证有5颗颜色相同的糖，根据最不利原则，先把数量不够5的得到。

然后让剩下4种颜色的糖都各得到了4颗，那么再任意得到一颗糖就能达到“保证有5颗颜色相同的糖”，算式：3+4×4＋1=20（元），至少投20元钱。

例题3：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有3种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红色球和黄色球？【答案】（1）19（2）15【分析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多的取出其中某2种颜色的球，且这2种球的数量要最多。

显然红球和黄球最多，全都取出共有10+8=18个球，此时再多取1个球，就可以保证至少有3种颜色，因此取19个球即可。

（2）要使取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，然后红色和黄色的其中一种颜色的球都取出（选最多）。

算式：3+1+10+1=15个球。

例题4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

三春第4讲最不利原则一、学习目标1.理解最不利原则，学会从“最倒霉”情况思考问题。

2.利用最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

二、知识要点日常生活中，我们经常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则.最不利原则就是从“最糟糕”的情况下考虑问题，如果最不利的情况下都能满足要求，那么其他的情况下也必然能满足要求.三、例题精选【例1】教室的讲桌上放着大小及形状相同的白板笔，有5支黑笔，4支蓝笔，3支红笔．小倩蒙着眼睛从中摸笔，那么她要从中至少取出多少支笔，才能保证取出的笔中有蓝笔？【巩固1】一个口袋中装着大小及形状相同的乒乓球，有6个白球，5个黑球，10个黄球．小红闭着眼睛从中摸球，那么她要从中至少取出多少个球，才能保证取出的球中有黑球？【例2】桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车.问：（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？（2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？【巩固2】一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个．问：（1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？（2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？【例3】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、绿颜色的弹珠各10个．问：依次最少摸出几个弹珠，才能保证至少有3个弹珠颜色相同？【巩固3】有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个．问：一次至少要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？【例4】小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中．鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条．小白每次取2条鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有？【巩固4】笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的有10个，黄的有5个，绿的有3个．若每次取2个精灵球，至少取几次才能保证有4个颜色不同的精灵球？【例5】在布袋中装有18根红色的筷子，16根黑色的筷子，14根黄色的筷子，5根白色的筷子，3根蓝色的筷子：那么（1）至少取出多少根才能保证有3双同色的筷子?（2）至少取出多少根才能保证有3双颜色各不相同筷子?（3）至少取出多少根才能保证有3双筷子?【例6】桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个。

第十四讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。

只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。

因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。

本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。

例1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。

回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。

这样摸出的9个球是“最不利”的情形。

这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。

所以回答应是最少摸出10个球。

由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。

如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。

现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。

例2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出n个，为保证这n 个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。

最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。

此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。

最不利原则知识点一、知识概述《最不利原则知识点》①基本定义：最不利原则呢，简单说就是考虑最倒霉、最糟糕的情况。

打个比方，你想从一堆盒子里找一个特定的东西，最不利的情况就是你把除了这个东西在的盒子之外的所有盒子都翻了个遍。

②重要程度：在数学学科里特别是在一些概率、组合数学相关的板块中挺重要的。

它可以帮忙在一些问题中确定下限，就像兜底似的，知道最不好的情况就能有所准备。

③前置知识：要知道一些基础的计数知识，像数个数之类的，还有基本的逻辑推理就行了。

④应用价值：在生活中也有用。

比如说抽奖，商家想算一下最坏情况得准备多少奖品，就可能用到这个原则。

还有规划东西的存放等很多实际场景。

二、知识体系①知识图谱：它是数学组合学和概率论里的一个重要补充知识。

比一般的计算情况更加深入地考虑问题。

②关联知识：和概率中的一些事件关系密切，还有组合数学里的排列组合在构建最不利情况时可能会用到。

③重难点分析：难点在于准确判断什么是最不利情况，要想得很周到。

重点是清楚这个概念的核心就是想最倒霉的场景。

掌握的关键是多做实例，积累经验。

④考点分析：在考试里如果涉及到类似要找最坏情况的题目就会用到。

考查方式可能会让你计算在最不利情况下的某个数值，或者判断某个行动在最不利情况下什么时候结束。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：最不利原则的准确含义就是要找到一种情况，这种情况对达成目标来说是最不顺利的。

并不是随随便便找个不好的情况，而是那种离成功就差那么一点点的最糟状态。

②特征分析：主要特点就是它是一种极端情况。

性质上是具有唯一性或者说是极限性的，就是说这个糟糕程度在设定问题下不能再糟糕了。

③分类说明：在不同类型的题目里，比如数字抽取型，那最不利就是把所有不符合目标数字的都抽完；物品分配型，就是把最不希望的分配方式都弄完还没达到理想的分配。

④应用范围：适用在各种需要找极限情况的资源分配、搜索目标等问题。

局限性在于题目要是有明确的目标状态，如果目标很模糊那就不太适合用。

第十五讲抽屉原理与最不利原则
一、抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。

原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2: 把多于m×n+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

原理3: 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

注意以下几点：
1、抽屉原理讨论的是苹果的数目与抽屉数目之间的关系，要求苹果数大于抽屉数；
2、抽屉原理用来解决存在性的问题，“必有一个”就是必然存在的意思；存在就行，不关心满足要求的抽屉到底是哪个、有多少个；常见的提示语“保证至少有一个”
3、解决问题的关键在于分辨苹果与抽屉，经常需要构造抽屉。

二、最不利原则
最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。

行测数量关系技巧：最不利原则任何一场考试取得成功都离不开每日点点滴滴的积累，下面由小编为你精心准备了“行测数量关系技巧：最不利原则”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测数量关系技巧：最不利原则多省公务员考试通常在每年四月份进行，行测一直是公务员考试的必考科目，经过多年的发展，考试内容日趋稳定，在数学运算这一部分，常考的知识点比较多，其中就涉及到极值问题的最不利原则，小编在此做一个分享，希望大家能够掌握。

一、基础知识1.题型特征问“至少才能保证”是考虑必然性，需要考虑最不利情况，称为最不利原则，所以最不利原则问题的题型特征是含有“至少……才能保证……”字眼。

2.何为“最不利原则”?最不利原则也可以叫差一点原则，用最不利原则解题时就是考虑与成功一线之差的情况。

而题目一般是求此种情况下的具体数据，即与成功的最小量相差为1的量即为最差的量，考虑此时的情况数即可。

如某场考试的分数都是整数，且及格分数是60分，最不利情况数就是考试分数与及格分相差最小量1的分数，即59分。

3.解题原则当我们找到最不利的情况数之后，若想满足题意，只需在最不利情况数的基础上多1即可。

即最不利原则问题的解题原则是：最不利情况数+1。

二、例题【例题1】袋子中有3种颜色的筷子各10根，至少取多少根才能保证3种颜色的筷子都有被取出?A.3B.4C.20D.21【答案】D【解析】想要保证3种颜色的筷子都有被取出这件事必然出现，我们要找到的最不利情况数是两种颜色的筷子都被取完了，还没找到第三种颜色的筷子，这时只需再取一根就能凑足三种颜色，所以至少取2×10+1=21根筷子，故选择D。

【例题2】有软件设计专业学生90人，市场营销专业学生80人，财务管理专业学生20人及人力资源专业学生16人参加求职招聘会，问至少有多少个人找到工作才能保证有30名找到工作的人专业相同?A.59B.75C.79D.95【答案】D【解析】想要保证有30名找到工作的人专业相同这件事必然出现，我们要找到的最不利情况数是软件设计专业和市场营销专业学生两个专业都只有29人找到工作，财务管理专业学生20人及人力资源专业学生16人都小于29，全部取出，这时只需再多1人就可以满足题意，所以至少要有29×2+20+16+1=95人找到工作，故选择D。

第5讲最不利原则一、学习目标1.理解最不利原则，学会从“最倒霉”情况思考问题。

2.利用最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

二、知识要点日常生活中，我们经常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则.最不利原则就是从“最糟糕”的情况下考虑问题，如果最不利的情况下都能满足要求，那么其他的情况下也必然能满足要求.三、例题精选【例1】桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车.问：（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？（2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？【★★★★★】【解析】（1）最不利的情况：取出了1个水晶球和1个小汽车.在这种情况下，再取1个，必然会有两个颜色相同的礼物．故至少取出3+（个）才2=1能保证；（2）最不利的情况：取出9个都是小汽车．在这种情况下，再加1个，必然会有两个不同的礼物．故至少取出10+（个）才能保证．9=1【巩固1】一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个．问：（1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？（2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？【★★★★★】【解析】（1）最不利的情况：取出了1个黑的1个白的.在这种情况下，再加1个，必然会有两个颜色相同的球.故至少摸出3+（个）才能保证；2=1（2）最不利的情况：取出7个都是白球.在这种情况下，再加1个，必然会有两个颜色不同的球.故至少摸出8+（个）才能保证．7=1【例2】教室的讲桌上放着大小及形状相同的白板笔，有5支黑笔，4支蓝笔，3支红笔．小倩蒙着眼睛从中摸笔，那么她要从中至少取出多少支笔，才能保证取出的笔中有蓝笔？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了5支黑笔，3支红笔.在这种情况下，再加1支，必然会有蓝笔出现.故她要从中至少取出9+（支）笔才能保证．+15=3【巩固2】一个口袋中装着大小及形状相同的乒乓球，有6个白球，5个黑球，10个黄球．小红闭着眼睛从中摸球，那么她要从中至少取出多少个球，才能保证取出的球中有黑球？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了6个白球，10个黄球.在这种情况下，再加1个，必然会有黑球出现.故她要从中至少取出17++（个）球才能保证．6=110【例3】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、绿颜色的弹珠各10个．问：依次最少摸出几个弹珠，才能保证至少有3个弹珠颜色相同？【★★★★★】【解析】最不利的情况：每种颜色的小球各拿出了2个.在这种情况下，再加1个，必然会有3个小球颜色相同．故最少摸出9⨯（个）才能保证．+4=12【巩固3】有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个．问：一次至少要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？【★★★★★】【解析】5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2 个“苹果”，共有：5210⨯=个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出11个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同．【例4】 小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中．鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条．小白每次取2条鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了6条红鱼，8条蓝鱼.在这种情况下，再取1条，必然会有黄鱼出现，即3种颜色都有.故至少要取15186=++（条）才能保证，所以要取)(1(7215条次）=÷，即至少要取817=+（次）．【巩固4】笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的有10个，黄的有5个，绿的有3个．若每次取2个精灵球，至少取几次才能保证有4个颜色不同的精灵球？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了10个黑色，9个白色，5个黄色.在这种情况下，再取1个，必然会有白色精灵球出现，即4种颜色都有.故至少要取2515910=+++（个）才能保证，所以要取)(1(12225个次）=÷，即至少要取13112=+（次）．【例5】 桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个，那么，至少需要多少个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的？（每种水果足够多）【★★★★★】【解析】在取水果时，一共有10种情况：1个桔子1根香蕉、1个桔子1个梨、1个桔子1个苹果、1根香蕉1个梨、1根香蕉1个苹果、1个梨1个苹果、2个桔子、2根香蕉、2个梨、2个苹果.最不利的情况是有10个人，他们选取的水果各不相同，可是只要再有一个人，就一定会和前面的某个人选取的水果相同，所以要10+1=11人就能保证有两人取出的水果是完全相同的.【巩固5】有蓝、绿、白三种颜色的卡片各若干张，每个人可以从中任意选取两张．那么，需要多少个人才能保证至少两人选的卡片颜色相同？【★★★★★】【解析】在选取卡片时，一共有6种情况：蓝绿、蓝白、绿白、蓝蓝、绿绿、白白.最不利的情况是有6个人，他们选取卡片的颜色各不相同，可是只要再有一个人，就一定会和前面的某个人选取的卡片颜色相同，要选7张．【例6】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能够保证：（1）至少有5张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃。

四年级春季教案学员姓名：第 15 次上课时间：课题最不利原则1、学习抽屉原理的一种情况“最不利原则”，就是考虑最差的一种情况。

2、复习巩固，租车问题、消去法解题一、专题《最不利原则》1、自主探索桌子上一共有10张相同的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

闭着眼睛，一次性至少拿（）张卡片才能保证，一定有2张卡片上的数字是双数。

2、例题：有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个，混合装在一个暗盒里。

①一次性至少摸出几个，才能保证有2个小球是同色的？②一次性至少摸出几个，才能保证有4个小球是同色的？③一次性至少摸出几个，才能保证有2个小球是不同色的？④一次性至少摸出几个，才能保证有3个小球是不同色的？课堂练习1、有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各20个，混合放在一个暗盒中，一次性至少摸出几个小球，才能保证有6个球的颜色是同色的？一次性至少摸出几个小球才能保证有3种颜色的球？2、一副扑克牌共有54张（4种不同的花色和大小王各一张），至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有3种花色？奥赛训练：在盒子中有70个球,其中20个红色球、20个绿色球、20个黄色球，其余的10个是黑色及白色球，不同色的球彼此仅颜色不同，在黑暗中摸球，要使某种颜色的球不少于10个,必须最少摸取多少个球?二、复习巩固1、公园里只售两种门票：个人票每张5元，团体票（10人）每张30元。

某学校四年级有师生208人，购票最少需要多少钱？2、公园里只售两种门票：普通票每张10元，团体票（20人）打七折优惠（相当于每人7元）。

最少多少人时，购买团体票比买普通票便宜？3、商店里有大、小两种书包。

买大书包4个，小书包6个，需要392元；买大书包7个，小书包3个，需要416元。

求两种书包的价格分别多少钱？4、求角的度数。

5、在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，在等腰三角形ADC中，∠ADC=∠DAC，已知∠BAD=21°，求∠B=？∠1=（）度∠2=（）度三、课后练习1、从自然数1--20中，至少取出多少个数字才能保证一定有3的倍数？2、有红、黄、蓝三种同样大小的小球各20个，放在黑暗的盒子里。