弹塑性力学第06章

E p 0
E p V v dV V Fi ui dV f i ui dS （6-11） S

（6-12）
在所有几何可能的位移中，真实的 位移使总势能Ep取最小值。
i V

V
Fi u i dV
f u dS
i S
ij ij dV
（6-10）
E p V v dV V Fi ui dV f i ui dS （6-11） S

E p V v dV V Fi ui dV f i ui dS
S
总势能Ep取极值的条件为
E p Am E p Bm E p C m 0 0 0
fi fi
s
在Su上
u ui
k i
在弹性体上，外力在 任意一组几何可能位移 上作的功，等于任意一 组静力可能的应力在与 上述几何可能位移所对 应的应变上所作的功。
讨论
功的前面加一个“虚”字，只是用以指 明作功的双方彼此独立无关这一特征，而没 有别的含义。
注意！
第一，在证明弹性体的虚功原理时，只用到小变形 假设，而未涉及到材料的性质，因此，在小变形的 前提下，这个原理适用于任何性质的材料。 第二，从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程 和位移边界条件出发，可证明虚功原理的成立，反 之，也可利用虚功原理推导平衡微分方程、应力边 界条件、几何方程和位移边界条件。 第三，式（6-8）中的静力可能的应力和几何可能的 位移及其对应的应变，可以是同一弹性体的两种不 同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而无任何 的关系。这正是虚功的含义。
u i 0 （在Su上）
（b）
u ui ui
k i
k ij
（a)
将式（a）代入几何方程
1 k (u i , j u k,i ) j 2 1 1 (u i , j u j ,i ) (u i , j u j ,i ) 2 2
真实应变 虚应变
将式（a）和式（c） 代入式（6-8），并 取真实应力作为静 力可能的应力
V
（f） 虚功原理是弹性力学中的一个普遍的能量原理，我们将由此 导出弹性力学的两个重要的变分原理。
§6-3 位移变分方程 最小势能原理
如果取真实的应力为静力可能的应力，则可导出弹 性体的虚位移原理。 k ui ui ui （a） 设几何可能的位移为
这里的ui为真实位移，而 u表示真实位移邻近的位 i 移的微小改变量，我们称之为虚位移。因为真实位 移ui 满足位移边界条件，所以，要求 k 满足位移 ui 边界条件，必须有
ij
n j u i dS ij ij dV
V
（f）
最小势能原理
从位移变分方程出发，可以推出弹性力学中一个重要的原理， 即所谓的最小势能原理。


V
Fi u i dV
f u dS
i i S
S
V
v dV
（6-10）′
V v dV V Fi u i dV f i u i dS 0
u0 u um 0
v0 v vm 0
w0 w wm 0
变泛函极值问题为求函数的极值问题
现在的问题是要适当地选择Am，Bm和Cm，使总势 能在以式（6-13）所表示的这簇位移中取最小值。 为此，先将式（6-13）代入几何方程求应变分量， 再代入总势能Ep的表达式（6-11）中，注意到右边 的第一个积分中vε 是应变分量的齐二次函数，因此， 代入后，这个积分是Am，Bm和Cm的齐二次函数。 于是，总势能Ep本来是自变函数u，v，w的泛函，而 现在变成待定系数Am，Bm和Cm的二次函数。这样， 就把求泛函的极值问题变成求函数的极值问题。
讨论
综上所述，以位移作为基本未知函数求解弹性力学 问题时，按过去的方法是要求解以位移表示的平衡 微分方程，使所求的位移分量，在Su 上满足位移边 界条件，在Sσ 上满足以位移表示的应力边界条件。 而现在可归结为求解位移变分方程（6-10）′，或 者去求总势能Ep 的极值。在利用方程（6-10）′和 （6-12）时，所设的位移毋须事先满足应力边界条 件，而只要满足位移边界条件就可以了，因应力边 界条件是会自动满足的。 最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和 以位移表示的应力边界条件。(平衡律）
第六章 弹性力学问题的变分解法
§6-l 基本概念 §6-2 弹性体的虚功原理 §6-3 位移变分方程 最小势能原理 §6-4 基于最小势能原理的近似计算方法 §6-5 应力变分方程 最小余能原理 §6-6 基于最小余能原理的近似计算方法 §6-7 弹性力学边值问题的两种描述方法
§6-l 基本概念
余能的概念
当应力、应变之间呈 线性关系时： vc v 对于线性弹性关系的 问题，对于复杂应力 状态下的应变余能密 度可以表示为
v ( x ) x d x
0
x
v vc x x
vc ( x ) x d x
0
x
1 1 2 2 2 2 2 ( x y z2 ) ( x y y z z x ) ( xy yz zx ) 2E E E 1 1 2 2 2 2 2 v ( x y z2 ) ( x y y z z x ) ( yz xz xy ) 2E E 2G V c vc dV vc
例6-1 图示为一直梁，其横截面有一铅直的 对称轴，分布荷载q(x)就作用在包含该轴的铅 直平面内。在梁的端面上，施加适当的约束， 使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适 当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。现在，要 用最小势能原理推导用梁的挠度表示的平衡 微分方程和应力边界条件。
§6-4 基于最小势能原理的近似计算方法
ij
s ij
k ij
ij ij
ij
（c）
位移变分方程

V
Fi (u i u i )dV
f (u
i S
i
u i )dS ij n j u i dS V ij ( ij ij )dV
Su
将上式与§6-2中的式（f）相减，得
真实应力、应变和位移情况
但当静力可能的应力和几何可能的应变服从物理方 程时，即为真实的应力、应变和位移。
k ij , ij ij
s ij
u ui
k i
此时，式（6-8）变为
F u dV f u dS
i i i i V S Su
ij
n j u i dS ij ij dV
一、弹性力学中的变分法
变分法主要是研究泛函及其极值的求解方法。 所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单 地讲，泛函就是函数的函数。弹性力学变分法中所 研究的泛函，就是弹性体的能量。因此，弹性力学 中的变分法又称为能量法。这种方法就其本质而言， 是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函 的极值（或驻值）问题。而在求问题近似解时，泛 函的极值（或驻值）问题又进而变成函数的极值 （或驻值）问题。因此，最后把问题归结为求解线 性代数方程组。 弹性力学的变分法建立在能量守恒定律的基础上。 W=Vε
1 ij (u i , j u j ,i ) 2
ui ui
u
k i

k ij
三、弹性体的虚功原理
恒等式 （证明略）

V
Fi u dV
k i
S
f i u d S V dV
s k i s ij k ij
（6-8）
其中
fi n j
s s ij
在Sσ 上
（一）瑞利-李兹法
由式（6-13） 给出的位移， 不论Am，Bm 和Cm取何值， 它们在Su上总 是满足位移边 界的。
u u 0 ( x, y, z ) Am u m ( x, y, z ) m v v 0 ( x, y , z ) B m v m ( x, y , z ) m w w0 ( x, y, z ) C m wm ( x, y, z ) m （6-13）

根据最小势能原理，首先必须列出所有满足位移边界 条件的位移(可能位移），然后求出其中使总势能 Ep取最小 值的那组位移，就是所要求的真正的位移。但问题在于要列 出所有满足位移边界条件的位移是非常困难的，甚至是不可 能的。因此，在计算工程实际问题时，只能根据受力特点和 边界条件，凭经验和直觉在缩小范围内寻找一簇位移，从中 求得一组使总势能Ep取得最小值的位移。虽然，一般来说， 这组位移不是真正的位移，但可以肯定它是在缩小范围后的 一簇位移中与真正位移最接近的一组，从而可以作为问题的 近似解。下面介绍基于最小势能原理的两种近似解法——瑞 利-李兹（Rayleigh-Ritz）法和伽辽金（Γ aл ё pkи и ）法。
V Fiui dV

S
f i u i dS V ij ij dV
（6-10）
F u dV f u dS
i i i i V S Su
式（6-10）称为位移变分方程，又称虚位移方程。它表示外力 在虚位移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上 作的虚功。从§6-2中的论述和本节的推导可知，它等价于平衡 微分方程和应力边界条件。
vc ij ij
§6-2 弹性体的虚功原理
一、静力可能的应力 二、几何可能的位移 三、弹性体的虚功原理
一、静力可能的应力
静力可能的应力 未必 是真实的应力，因为 真实的应力在体内还 须满足以应力表示的 应变协调方程，而对 应 的 位 移 还 须 满 足 Su 上的位移边界条件。 但反之，真实的应力 必然是静力可能的。