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弹塑性力学-07 直角坐标

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其中

为
ij
kronecker
（克罗内科积）
有
ij

1

0
i j i j
23.09.2019
谢谢！
xiexie!
23.09.2019
2、张量的表示法：有三种
设ai及bi为两个矢量，定 的义 量 ai下 为 j 列 二阶张量，
（1）符号a法 (2)分量法（并矢 aijei法 e（ j e） iej不是矢量的点积）
（3）矩阵法a记 ij 或为aij
3、二阶张量的相加和相减
aijbijcij

x1 x2

c 11 c 21
y1 y1

c 12 c 22
y2 y2

c 13 y 3 c 23 y 3
x 3 c 31 y 1 c 32 y 2 c 33 y 3
23.09.2019
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
应变 x,y 分 ,z,x y 量 y,xy： z z,yzx xz
采用下标记法σ：ij,εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
23.09.2019
写成矩阵的形式
11 21
12 22
1 23 3 x yx x
33
a ij b i c j
a ij b i c j

《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
2020/10/9
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
2020/10/9
17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9

弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答

弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答

ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k

弹性力学直角坐标解答

弹性力学直角坐标解答

根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入

工程弹塑性力学课后答案

工程弹塑性力学课后答案

工程弹塑性力学课后答案【篇一：弹塑性力学思考题答案】一点的应力状态？答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。

]代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。

其中：?=?，?=?，?=?。

xzzxxyyxyzzy应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。

所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。

应力张量可分解为两个分量0???x-?m?xy?xz???m0??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx?0?m??zy?z??m??0????zx?力偏张量。

应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。

应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力11平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。

33偏应力第二不变量j2的物理意义：形状变形比能。

单向应力状态：两个主应力为零的应力状态。

纯剪应力状态的应力张量:给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

（带公式）⒋应变张量？应变张量的不变量？应变球张量？体积应变？平均应变？应变偏张量？应变张量：几何方程给出的应变通常称为工程应变，这些应变分量的整体，构成一个二阶的对称张版权所有，翻版必究量，称为应变张量，记为：即。

工程弹塑性力学---平面应力应变问题的直角坐标解

第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。

这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。

本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。

弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。

本章学习的困难是应力函数的确定。

虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。

这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。

二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。

§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。

平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。

这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。

根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。

对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。

学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

x2(y)
n
F
3. 取
Φ为三次项：
3
2
例题2 无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力P 作用。

本题采用应力函数的半逆解法。

半逆解法思路：
1. 根据受力情况和求解经验，包括材料力学的解，定性估计应力分量的变化，并根据应力分量与应力函数关系，反推出 Φ
函数的主要项。

2.
将所设Φ 代入∇ 4Φ =0和力的边界条件进行检验，如果不满足则进
行修正（适当增加项），再代入∇
4
Φ =0和力的边界条件进行检验，直
至满足所有方程为止。

本题求解的基本情况： 基本方程 ∇ 4Φ =0， 边界条件为混合边界条件：
x
y P
ql
ql
q
常微分方程积分，可得到f2 (y)的表达式。

所有待定系数由边界条件定。

例题4 楔形体受重力和液体压力作用，楔形体下端无限长。

弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法

既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4

弹塑性力学


张量场的右梯度
S∇ = T
Tijk = Sij,k
2→3
16
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 几个常用的积分公式
Vu
Sn
u 在V+S上连续可微
∫V ∇ ⋅udV = ∫S n ⋅udS ∫ ∫ V ui,idV = S niuidS
∫V ∇ o UdV = ∫S n o UdS
广义Gauss公式
8
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 张量的不变量
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 二阶对称张量的主方向和主值
三维二阶对称张量的独立不变量只有3 个，
三维二阶反对称张量的独立不变量只有1 个
9
10
笛卡儿张量简介(II)
4. 各向同性张量
T = αδ ij ei e j
⎜⎛α 0 0 ⎟⎞ ⎜0 α 0⎟ ⎜⎝ 0 0 α ⎟⎠
n个指标，n个坐标转换系数，n阶张量
2
笛卡儿张量简介(II)
商法则：如果它与一个矢量点积得到的是一个 n - 1阶张量，则该指标符号表示的是一个n 阶 张量。也可表示成，如果它连续和n 个矢量点 积得到一个标量，则该量是一个n 阶张量。
3
笛卡儿张量简介(II)
• 三、张量 2. 张量代数
4
笛卡儿张量简介(II)
பைடு நூலகம்
0 →1 1→ 0
矢量场的旋度 curlu = ω = eieijk ∂ juk = ∇ × u ωi = eijk ∂ juk
1→1
12
2
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 标量场与矢量场的微分
∇ ⋅ u = (ei∂i ) ⋅ (u j e j ) = (ei ⋅ e j )∂iu j = ∂iui = ui,i ∇ × u = (ei∂i ) × (u j e j ) = (ei × e j )∂iu j = ek ekij∂iu j = ek ekiju j,i
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x
1 E
[ x
( y
z)]
y
1 E
[
y
只考虑面内
( z应力和x )]应变
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy yz zx
1
G 1
G 1
Gxyyzzxyz zx 0
z
E
( x
y)
6.1 基本概念
2. 平面应变问题
结构内部只存在xy平面内的3个应变分量
x 、 y 、 xy
而
z yz zx 0
2. 几何方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy yz
u y v z
v x w y
zx
w x
u z
与平面应力问题相同
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x)]
z
1 E
[ z
( x
Laplace方程
平面问题直角坐标解法
1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
xy
y x
) )
E
12
1
E
7.2 基本方程-平面应变问题
4. 协调方程
平面应力
1
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
平面应变
2 x2
2 y 2
( x
y)
1
1
X x
Y y
7.2 基本方程-平面应变问题
5. 边界条件
所有边界的 外法线均与 Z轴垂直
n j ij pi
ui ui
平面问题直角坐标解法
7.1 基本概念 7.2 基本方程 7.3 应力解法 7.4 典型例解
7.1 基本概念
结构尺寸及荷载沿某个方向不变且具有
特殊的边界条件，从而结构内部的应力和应
变就与该坐标无关，而只是另外两个坐标的
函数。
与 z 坐标无关
x (x, y) y (x, y) xy(x, y)
m yx m y
n zx n zy
X Y
l
xz
m
yz
n
z
Z
n 0 l x m yx X
yz zx 0
l xy
m
y
Y
7.2 基本方程-平面应力问题 5. 边界条件
应力边界
l x m yx X
l xy
m y
Y
位移边界
u u vv
7.2 基本方程-平面应变问题
1. 平衡方程
y )]
xy
1 G
xy
yz
1
G
yz
zx
1 G
zx
z ( x y )
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
x y xy
12
E
12
E
1
G
xy
( (
x
1
y
y
1
x
2(1 E
)
xy
) )
与平面 应力问 题不同
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
平面应力问题
x y xy
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z
xz yz z Z 0
x y z
yz zx 0
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
z ( x y ) 与平面应力问题相同
7.2 基本方程-平面应变问题
1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
xy
y )
x ) 2(1
E
)
xy
7.2 基本方程-平面应力问题
4. 协调方程
x
u x
,
y
v y
,
xy
u y
v x
2 x
y2
2 y
x2
3u xy2
3v yx2
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
7.2 基本方程-平面应力问题
7.1 基本概念 3. 平面问题
只需考虑平面内的应力和应变
x 、 y 、 xy x 、 y 、 xy
其他应力和应变要么为零，要么不独立！
弹性力学平面问题
7.1 基本概念 7.2 基本方程 7.3 应力解法 7.4 典型例解
7.2 基本方程-平面应力问题
1. 平衡方程
z yz zx 0
4. 协调方程
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
x y xy
1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
x
y
y )
x ) 2(1
E
)
xy
将本构方程代入上式
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
7.2 基本方程-平面应力问题
5. 边界条件 应力边界
所有边界的 外法线均与 Z轴垂直
l x l xy
第 七
章 平面问题直角坐标解法
Orthogonal Coordinate Solution of Plane Problem
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程 4. 应力边界条件 5. 位移边界条件
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
7.1 基本概念 2. 平面应变问题
挡土墙 边坡 地基 隧道
挡土墙
x
y
7.1 基本概念
x
1 E
[ x
( y
z)]
y
1 E
[
y
( z只 应考 力虑 和x )]面 应内 变
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy yz zx
1
G 1
G 1
G
xy
yz
zx
yz zx 0 z ( x y )
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z
x yx X 0
x y
xz yz z Z 0
x y z
xy y Y 0
x y
7.2 基本方程-平面应力问题
2. 几何方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy yz
u y v z
x (x, y) u u(x, y)
y (x, y)
xy(x, y) v v(x, y)
7.1 基本概念
1. 平面应力问题
结构内部只存在xy平面内的3个应力分量
x 、 y 、 xy
而
z yz zx 0
7.1 基本概念 1. 平面应力问题
o
x
z
y
y
薄板受面内荷载作用
7.1 基本概念
n0
yz zx 0
l x l xy
m yx m y
n zx n zy
X Y
l xz
m yz
n z
Z
l x m yx X
l xy
m
y
Y
与平面应力问题相同
7.2 基本方程
常体力问题
x
x
yx
y
X
0
xy
y
Y
0
x y
2( x y ) 0
平面应变问 题平面应力
问题相同
v x w y
zx
w x
u z
z
E
( x
y)
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
7.2 基本方程-平面应力问题
3. 本构方程
x
1 E
[
x
(
y
z )]
xy
1 G
xy
y
1 E
[
y
( z
x )]
yz
1
G
yz
z
1 E
[ z
( x
y )]
zx
1 G
zx
x y xy