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弹塑性力学
弹塑性力学
绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
程。在物理学方面，则要建立应力与应变或应力与应变增量之间的关系，这种关系常称为本构关系，它描述材料在不同环境下的力学性质。在弹塑性力学中，本构关系的研究是非常重要的。由于自然界中物质的性质是各种各样的，而且它们所处的工作环境又是不同的，因而研究物质的本构关系是一件复杂但却具有根本意义的工作。由于物体是连续的，因而在变形时各相邻小单元都是相互联系的，通过研究位移与应变之间的关系，可以得到变形的协调条件。反映变形连续规律的数学表达方式有两类，即几何方程和位移边界条件。在求解一个弹塑性力学问题时，需要给出物体的形状和物体各部分材料的本构关系和物理常数，说明物体所受的荷载以及和其他物体的连接情况，即边界条件。对于动力学问题，还要给出初始条件。求解弹塑性力学问题的数学方法，就是根据几何方程、物理方程和运动方程以及力和位移的边界条件和初始条件，解除位移、应变和应力等函数。用这种方法求解一些较为简单的问题是十分有效的。在这一领域中，有两类方法：精确解法（能满足弹塑性力学中全部方程的解）和近似解法（根据问题的性质，采用合理的简化假设从而获得近似结果）。随着计算机的发展而不断开拓的有限元数值分析方法对弹塑性力学的发展提供了极为有利的条件。它一般不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复杂物理关系都能算出正确的结果。
塑性力学是一门很广泛的学科，理论研究很有必要，与我们现实生活息息相关。不管你走在城市中还是乡村街道，不管你走路还是开车，不管你使用电脑还是手机等等，几乎各个方面都要涉及到材料的强度、刚度和稳定性，而研究这些问题就需要使用力学知识来解决，我们就需要用到弹塑性力学的知识。它不但涉及面很广，而且内容也很丰富。你要描述一片森林，你不可能把每棵树木都涉及到，你写一条河流，不可能把每一滴水都写上，你描述一座山，不可能把每一个石头都画上，你只能挑一个方面，一个角度来描述。弹塑性力学也是这样，它是一片森林，一条河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一个角度来描写。利用塑性力学的基本理论，可以求解塑性力学问题。由于塑性力学基本方程的复杂性，一般的弹塑性力学边值问题的求解是相当困难的，但对于某些简单弹塑性问题，即未知量较少和边界条件较简单的弹塑性问题，有可能克服数学上的困难而获得解析解。下面我们只是通过一个矩形梁的例子来说明塑性力学所涉及到的一个方面。
§10—1 梁的弹塑性弯曲
1.假设和屈服条件
这里研究的梁其横截面具有两个对称轴，载荷作用于纵向对称平面内。仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：
①变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；
②不计各层间的相互挤压；
③小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多。
④梁长比横向尺寸大得多。
根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力σx对材料屈服的影响。因此，Tresca 和Mises屈服条件均为
σx=σs （10-1）
2．梁的纯弯曲
如图10—1 所示，研究横截面具有两个对称轴的等截面梁，设y、z为横截面的对称轴，x为梁的纵轴，xoy为弯曲平面。
图10-1 梁的纯弯曲
（1）理想弹塑性材料
纯弯曲时，随着弯矩M的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。在弹性区应力按线性分布，在塑性区按σx=σ=φ(ε)分布，而在两者的交界处，正应力σ应等于屈服应力σs。对于理想弹塑性材料，在塑性区σ=φ(ε)= σs，则沿梁横截面高度，应力分布为
()()
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤--=2/)
(2/h y y y y y y y y y h y s
s
s s s s
s s σσσσ （10-2）
式中ys 为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。应力分布情况如图所示。
10—2
图10-2 理想弹弹性弯曲应力分布
纯弯曲时横截面上正应力应满足轴力为零的条件，即
()()0
2
/2
/=σ⎰
-dy y b y h h （10-3）
由于z 轴为横截面的一对称轴，则式（10—3）自动满足。否则，将由这个条件确定中性轴的位置。横截面上正应力还应满足条件：
()()M
dy y yb y h h =σ⎰
-2
/2
/
（10-4）
即
()()⎰
⎰
+=s s
y h y s
s
s
dy
y yb dy y b y y M 0
2
/222
σσ
可以简写成
p
s e s
s
S I y M σσ+=
（10-5）
式中
()⎰
=s
y e dy
y b y I 0
22
为弹性区对中性轴的惯性矩，
()⎰
=2
/2
h ys
p dy
y yb S 为塑性区
对中性轴的静矩。因此，式（10—5）确定了弯矩M 和弹性区高度ys 的关系M=M(ys)或者ys=ys(M)。
关于梁的挠度，对弹性区而言，有
ρ
εσy
E
E ==
在弹性区的边界上y=ys 处，σ=σs ，代入上式得梁轴曲率半径为
