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弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学弹塑性力学绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。
它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。
在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。
材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。
但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。
有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。
在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。
在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。
反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。
以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方程。
在物理学方面，则要建立应力与应变或应力与应变增量之间的关系，这种关系常称为本构关系，它描述材料在不同环境下的力学性质。
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
§7.3 Mises 流动理论（2J 流动理论）1．各向同性硬化1.4 屈服面的形状在应力偏张量空间中讨论屈服面的形状为球体，随着硬化参数()p Y Y ε=的变化屈服面为不断均匀膨胀的球体。
在一般应力空间中讨论屈服面的形状比较复杂，下边我们讨论在在主应力空间中初始屈服面的形状。
在主应力空间中，Mises 屈服条件(7.57)可以表示为()()()2222232Y σσσσσσ1231−+−+−=习题已经证明：塑性变形无体积变化（即0p ii ε=&）的充分必要条件为在屈服条件0),,,(1=n Y Y f L σ中与应力张量的第一不变量1()J σ无关，即对于任意参数a ，都有：11(,,,)(,,,)n n f a Y Y f Y Y +=σI σL L 。
这意味着如果σ在屈服面上，对于任意参数a ，a σ也在屈服面上。
所以在主应力空间()123,,σσσ中Mises 屈服条件为一个柱面。
柱面的中心线通过应力零点，方向为(1,1,1)，其方程为123σσσ==，通常称作等倾线。
通过应力零点与等倾线垂直的平面称作π平面，其方程为1230σσσ++=，三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。
根据上述分析，屈服面与π平面的交线为圆，圆的半径为Y ，见图7.11。
图7.11 π平面上的屈服条件所以在主应力空间中，Mises 屈服条件所表示的屈服面为以等倾线为中心线半径为Y 的圆柱面,随着硬化参数()p Y Y ε=的变化该圆柱面不断均匀向外膨胀。
2．混合硬化在初始状态为各向同性材料中，材料的拉伸曲线与压缩曲线形状相同。
拉伸屈服极限与压缩屈服极限的数值是相同的，记作s σ，见图7.12所示的单向拉伸（压缩）曲线的A 与A 点。
如果材料属于各向同性硬化，当拉伸到达屈服后的B 点（应力为B σ）时开始卸载并反向加压应力，在图7.12中表示应力与应变对应的点从B 沿一斜率为杨氏模量E 的直线BC 变化；当B σσ=−时出现反向屈服，这时材料的屈服限由初始值s σ增大至B σ，屈服面的大小由初始的2s σ增大为2B σ。
弹塑性力学弹塑性力学绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。
它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。
在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。
材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。
但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。
有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。
在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。
在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。
反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。
以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方程。
在物理学方面，则要建立应力与应变或应力与应变增量之间的关系，这种关系常称为本构关系，它描述材料在不同环境下的力学性质。
在弹塑性力学中，本构关系的研究是非常重要的。
由于自然界中物质的性质是各种各样的，而且它们所处的工作环境又是不同的，因而研究物质的本构关系是一件复杂但却具有根本意义的工作。
由于物体是连续的，因而在变形时各相邻小单元都是相互联系的，通过研究位移与应变之间的关系，可以得到变形的协调条件。
反映变形连续规律的数学表达方式有两类，即几何方程和位移边界条件。
在求解一个弹塑性力学问题时，需要给出物体的形状和物体各部分材料的本构关系和物理常数，说明物体所受的荷载以及和其他物体的连接情况，即边界条件。
对于动力学问题，还要给出初始条件。
求解弹塑性力学问题的数学方法，就是根据几何方程、物理方程和运动方程以及力和位移的边界条件和初始条件，解除位移、应变和应力等函数。
用这种方法求解一些较为简单的问题是十分有效的。
在这一领域中，有两类方法：精确解法（能满足弹塑性力学中全部方程的解）和近似解法（根据问题的性质，采用合理的简化假设从而获得近似结果）。
随着计算机的发展而不断开拓的有限元数值分析方法对弹塑性力学的发展提供了极为有利的条件。
它一般不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复杂物理关系都能算出正确的结果。
塑性力学是一门很广泛的学科，理论研究很有必要，与我们现实生活息息相关。
不管你走在城市中还是乡村街道，不管你走路还是开车，不管你使用电脑还是手机等等，几乎各个方面都要涉及到材料的强度、刚度和稳定性，而研究这些问题就需要使用力学知识来解决，我们就需要用到弹塑性力学的知识。
它不但涉及面很广，而且内容也很丰富。
你要描述一片森林，你不可能把每棵树木都涉及到，你写一条河流，不可能把每一滴水都写上，你描述一座山，不可能把每一个石头都画上，你只能挑一个方面，一个角度来描述。
弹塑性力学也是这样，它是一片森林，一条河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一个角度来描写。
利用塑性力学的基本理论，可以求解塑性力学问题。
由于塑性力学基本方程的复杂性，一般的弹塑性力学边值问题的求解是相当困难的，但对于某些简单弹塑性问题，即未知量较少和边界条件较简单的弹塑性问题，有可能克服数学上的困难而获得解析解。
下面我们只是通过一个矩形梁的例子来说明塑性力学所涉及到的一个方面。
§10—1 梁的弹塑性弯曲1.假设和屈服条件这里研究的梁其横截面具有两个对称轴，载荷作用于纵向对称平面内。
仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：①变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；②不计各层间的相互挤压；③小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多。
④梁长比横向尺寸大得多。
根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力σx对材料屈服的影响。
因此，Tresca 和Mises屈服条件均为σx=σs （10-1）2．梁的纯弯曲如图10—1 所示，研究横截面具有两个对称轴的等截面梁，设y、z为横截面的对称轴，x为梁的纵轴，xoy为弯曲平面。
图10-1 梁的纯弯曲（1）理想弹塑性材料纯弯曲时，随着弯矩M的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。
在弹性区应力按线性分布，在塑性区按σx=σ=φ(ε)分布，而在两者的交界处，正应力σ应等于屈服应力σs。
对于理想弹塑性材料，在塑性区σ=φ(ε)= σs，则沿梁横截面高度，应力分布为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤--=2/)(2/h y y y y y y y y y h y sss s s ss s σσσσ （10-2）式中ys 为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。
应力分布情况如图所示。
10—2图10-2 理想弹弹性弯曲应力分布纯弯曲时横截面上正应力应满足轴力为零的条件，即()()02/2/=σ⎰-dy y b y h h （10-3）由于z 轴为横截面的一对称轴，则式（10—3）自动满足。
否则，将由这个条件确定中性轴的位置。
横截面上正应力还应满足条件：()()Mdy y yb y h h =σ⎰-2/2/（10-4）即()()⎰⎰+=s sy h y sssdyy yb dy y b y y M 02/222σσ可以简写成ps e ssS I y M σσ+=（10-5）式中()⎰=sy e dyy b y I 022为弹性区对中性轴的惯性矩，()⎰=2/2h ysp dyy yb S 为塑性区对中性轴的静矩。
因此，式（10—5）确定了弯矩M 和弹性区高度ys 的关系M=M(ys)或者ys=ys(M)。
关于梁的挠度，对弹性区而言，有ρεσyEE ==在弹性区的边界上y=ys 处，σ=σs ，代入上式得梁轴曲率半径为ssEy σρ=（10-6a ）考虑到梁的曲率与梁挠度v 的关系，有221dx v d -=ρ则得梁轴的挠曲线方程为ssEy dx v d σ-=22 （10-6b ）现取梁的横截面是高为h,宽为b 的矩形，则有332se by I =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=224sp y h b S将它们代入（10—5）式，则得出⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-σ=223414h y bh M s s（a ）在上式中令2hy s =，即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为se bh M σ62=（b ）如果令0y s =,即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限弯矩：ss bh M σ=42（c ）而有5.1=esM M（d ）说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发挥材料的作用。
利用式（b ），可以将式（a ）改写为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22/31123h y M M s e（e ）设与Me 相应的梁的曲率半径为ρe ，此时ys=2h，由式（10—6a ）得s ss s e yh Ey Eh 2/2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ=ρρ（f ）将式（f ）代入式（e ）即得eeM M 231-=ρρ （g ）这就是纯弯梁屈服以后曲率半径ρ与弯矩M 之间的关系。
而在屈服前，它们服从线性的弹性关系，即ee M M =ρρ （h ）由式（h ）和（g ）可以绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图10—3 所示。
如果梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力。
应用卸载定律，可以计算此残余应力。
卸载过程中弯矩改变值为s bh σ42，利用此值按弹性计算即得应力改变量为h y bh y bh I y M s s z /3121432σσσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∆=∆卸载前的应力σ=±σs 则残余应力为σ*=σ-Δσ=±σs-3σsy/hσs 前正负号：y>0时取正，y<0时取负。
残余应力沿截面高度分布情况如图10-4所示。
图10-3 曲率与弯矩的关系图10-4 残余应力分布 （2）线性强化弹塑性材料图10-5 线性强化弹塑性材料若梁为图10-5（a ）所示的线性强化弹塑性材料，强化阶段则有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+==1111s s s s EE E εεσεεσεϕσ（|ε|≥εs ）根据平截面假设应有ss y y =εε将此式代入前式,则梁内应力分布为()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤--≤≤-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2/11)(2/1111h y y y y E E y y y y y y y h y y E E ss s s s s ss sσσσσ （10-7）如图10-5（b ）所示。
将（10-7）式代入（10-4）式，则得ys 与M 的关系式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=p s p e s s I Ey E S E E I y M 1111σ（10-8）式中：()⎰=sy oe dy y b y I 22——弹性区对中性轴惯矩；()⎰=2/2h y p sdyy yb S ——整个塑性区对中性轴静矩；()⎰=2/22h y p sdyy b y I ——整个塑性区对中性轴惯矩。
如果梁横截面为b ×h 的矩形，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==33223832;4,32s p s p s e y h b I y h b S y b I将它们代入（10-8）式，则有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=s s s y h E E y h E E b M 31221123141σ(10-9)即为矩形截面线性强化弹塑性梁M 与ys 的关系式。
3. 梁的横力弯曲梁在横向载荷作用下的弯曲较纯弯曲复杂。
采用上述的假设和屈服条件，针对纯弯曲导出的有关结果基本上仍然可用。
