华东师大初中数学八年级上册等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解[精选]

等腰三角形性质定理（提高）【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°． 类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）例如，在△EFG 中，∠G =2∠F ，若△EFG 有等腰线段，请直接写出∠F 的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图； （2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F 的度数. 【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x ，则∠G=2x ， 如图2，线段EM 是等腰线段， ∵△EMG 是等腰三角形，C A∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交 AC 于F.求证：AF ＝EF.【思路点拨】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点H ，得到△ADC ≌△HDB ，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF ． 【答案与解析】证明：延长AD 到H 使DH ＝AD ，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. A BCDE FG∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决． 举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFE BFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可． 【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ， 即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

等腰三角形的判定 (提高)知识讲解：【学习目标】1. 理解等腰三角形的判定定理及其证明过程.2. 掌握等边三角形的判定定理及其证明过程．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a的等边三角形它2.【典型例题】类型一、等腰三角形的判定1、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD在△ADC和△HDB中，BD＝DC，∠BDH＝∠CDA，AD＝HD，∴△ADC≌△HDB，∴∠1＝∠H，BH＝AC∵BE＝AC，∴BE＝BH，∴∠3＝∠H，∴∠1＝∠3又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AF ＝EF【总结升华】证AF ＝EF ，只需证明∠FAE ＝∠AEF ，考虑中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ ,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴2、已知，如图，AD 为△ABC 的内角平分线，且AD ＝AB ，CM ⊥AD 于M.求证：AM ＝12(AB ＋AC) ．A B C D EF G【答案与解析】证明：延长AM 至点E ，使ME ＝AM ，连结CE.,,..,....AM ME CM AE AC CE E CAM AD BAC CAM BAM E BAM AB CE B BCE =⊥=∠=∠∠∠=∠∠=∠∠=∠∵∴∴∵平分∴∴∴∥∴ ,.,..2.AB AD B ADB CDE ADB CDE BCE DE CE AM AE AD DE AB AC =∠=∠∠=∠∠=∠===+=+∵∴又∵∴∴∴ ∴()12AM AB AC =+ ． 【总结升华】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，能推出DE=CE 是解本题的关键.3、如图，在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE交BC 于F ．求证：∠ADB ＝∠CDF ．【思路点拨】∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边的高（中线）是一条常用辅助线．【答案与解析】证明：如图，过A 作∠BAC 的平分线交BD 于点G ，又因为∠A ＝90°，所以∠BAG ＝∠GAD ＝45°．∵∠A ＝90°，AE ⊥BD ，∴∠DAE ＝∠ABE （同角的余角相等）．∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°＝∠BAG ＝∠GAD ．在△ABG 与△ACF 中，BAG=C AB=ACDAE=ABE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ABG ≌△ACF （ASA ）．∴AG ＝FC又∵D 为AC 中点，∴ AD ＝DC在△AGD 与△CFD 中，AD=DC GAD=CAG=FC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AGD ≌△CFD （SAS ）∴∠ADB ＝∠CDF【总结升华】解等腰三角形相关问题时，常用到以下知识方法：（1）作等腰三角形角顶角平分线；（2）在未指明边（角）的名称时，应分类讨论．4、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝2∠C ，求证:AB ＋BD ＝CD ．【答案与解析】证法一：如图，在DC 上取DE ＝BD ，∵AD⊥BC，∴AB＝AE ，∴∠B＝∠AEB，在△ACE 中，∠AEB＝∠C+∠CAE，又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C+∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE ，∴CD＝CE+DE ＝AB+BD ．证法二：如图，延长DB 于E ，使BE ＝AB ，连接AE ，则∠E ＝∠EAB ，∠ABC ＝2∠E ＝2∠C ，∴∠C ＝∠E ．∴AE ＝AC ．在Rt △AED 与Rt △ACD 中，AE AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）．∴DC ＝DE ＝BD ＋BE ＝BD ＋AB ．【总结升华】处理“两倍角”的基本方法有：（1）作角平分线得等角；（2）向外或向内构造等腰三角形．举一反三： 【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．已知：BD 、CE 是△ABC 的两条中线（如图），BD ＝CE ．求证：AB ＝AC ．【答案】 证明：如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，根据平移的特征，∴DF ＝EC ，而EC ＝BD ，∴BD ＝DF ．∴∠DBF ＝∠DFB,∠DFB ＝∠ECB,∴∠DBF ＝∠DFB ＝∠ECB ，在△ECB 与△DBC 中，BD CE DBF ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ECB ≌△DBC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB＝AC．【变式2】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．类型二、等边三角形的判定（2016秋•孟津县期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．5、（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【思路点拨】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD=CD，又由∠ADB=60°，△ABC 是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；（2）首先在DB上截取DE=AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．【答案与解析】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，∴∠DAC=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，∴∠ABD=90°﹣∠ADB=30°，∴BD=2AD=AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠EAD=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD，∴BD=DE+BE=AD+CD．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【389303 等边三角形：例8】6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE.求证：CE＝DE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证∠ECD＝∠EDC，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC扩展成大等边△BEF后，易证△EBC≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD至F，使DF＝AB，连结EF∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC, ∠B＝60º∵AE＝BD，DF＝AB∴AE＋AB＝BD＋DF即BE＝BF∴△BEF为等边三角形∴BE ＝EF, ∠F ＝60º在△EBC 与△EFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BC F B EF EB∴△EBC ≌△EFD∴EC ＝ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．试探究线段CN 、BM 、MN 之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1．∵ △ABC 是正三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°．∵ ∠BDC＝120°，且BD ＝CD ，∴ ∠DBC＝∠DCB＝30°．∴ ∠ABD＝∠ACD＝90°．又∵ B D ＝CD ，BM ＝CM 1，∴ Rt△BDM≌Rt△CDM 1(SAS)．∴ DM＝DM 1，∠BDM＝∠CDM 1，∴ ∠MDM 1＝∠MDC＋∠CDM 1＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．又∵ ∠MDN＝60°．∴ ∠M 1DN ＝∠MDN＝60°．又∵ DM＝DM 1，DN ＝DN ，∴ △MDN≌△M 1DN(SAS)．∴ MN＝M 1N ＝NC ＋M 1C ＝CN ＋BM ．。

等腰三角形的判定 (基础)知识讲解【学习目标】1. 理解等腰三角形的判定定理及其证明过程.2. 掌握等边三角形的判定定理及其证明过程．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 要点二、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a 的等边三角形它的高是2a，面积是24. 【典型例题】 类型一、等腰三角形的判定1、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系．因为∠BAD=∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．根据题中的条件：BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，△BDA 和△BEC 又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC ，于是∠BAC=∠BCA ，由此便可推导出∠FAC=∠FCA ，那么三角形AFC 应该是个等腰三角形．【答案与解析】 解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，B B BAD BCEBD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共角）∴△BAD≌△BCE（AAS），∴BA=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．举一反三:【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．2、（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．【思路点拨】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【答案与解析】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠AEC+∠A +∠ADB+∠EOD=360°即90°+80°+90°+∠EOD=360°∴∠EOD=100°∴∠BOC=∠EOD=100°【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．举一反三:【变式】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD 于E，交AC于F．求证：CE＝CF．【答案】证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°．∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠DBE．∴∠CFB＝∠DEB．∵∠FEC＝∠DEB（对顶角相等），∴∠CFB＝∠FEC．∴CE＝CF．类型二、等边三角形的判定3、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．（1）求证：AD=AE．（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可；（2）由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC为等边三角形．【答案与解析】证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE⊥AB，∴∠E=90°=∠ADB，∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2，在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE；（2）△ABC是等边三角形．理由：∵BE∥AC，∴∠EAC=90°，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC=∠1+∠3=60°，∴△ABC是等边三角形．【总结升华】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，要熟练掌握．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．4、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB 和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【答案与解析】证明：（1）∵O是AD的中点，∴AO＝DO又∵等边△AOB和等边△COD∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC∴∠BOD ＝∠AOC在△BOD 与△AOC 中，BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠ACO ＝∠BDO∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数.【答案】解：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，又∵∠ACB ＋∠BCD ＝∠ECD ＋∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ，设AD 与BC 相交于P 点，在△ACP 和△BFP 中，有一对对顶角，∴∠AFB ＝∠ACB ＝60°．。