第2讲等腰三角形的性质和判定
教学目标：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
难点是利用定理解决实际问题
. 教学过程：
（一）知识梳理
知识点1：等腰三角形的性质定理1
（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C
（3）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2
（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）
（2）符号语言：
∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC
∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC
∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2
BD=DC AD⊥BC
（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理
（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
（2）符号语言：在△ABC中
∵∠B=∠C ∴AB=AC
（3）证明：
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】
基础知识应用题：
例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：
解答此类题的步骤如下：
（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：
综合应用题：
例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD
证明：
例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
证明一：
证明二：
说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB
法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线
求证：BD=CE
证明：
说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。
例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
（1）求证AN=BM
（2）求证△CEF为等边三角形
证明：
例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120°，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
解略
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A. 60°
B. 120°
C. 60°或150°
D. 60°或120°
2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A. 30°
B. 36°
C. 95°
D. 70°
3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
4. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：。
5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度。
6. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为。
7. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。
（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。
等边三角形的判定练习
一、填空题
1.已知，如右图，等腰△ABC，AB=AC：
（1）若AB=BC，则△ABC为__________三角形；
（2）若∠A=60°，则△ABC为__________三角形；
（3）若∠B=60°，则△ABC为__________三角形.
2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.
3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.
(1) (2)
4.如图（2），已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D、E为AC的中点，AD=DE=6 cm则∠ACD=（__________）°,AC=__________cm,∠DAC=(__________)°，△ADE是__________三角形.
5.如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB= 8 cm，则BD=__________cm，∠BDE=（__________）°,BE=__________cm.
6.如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12 cm，则AB=__________cm.
二、选择题
1.下列说法不正确的是
A.等边三角形只有一条对称轴
B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
2.下列命题不正确的是
A.等腰三角形的底角不能是钝角
B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3.在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于
A.3.8 cm
B.7.6 cm
