等腰三角形
等腰三角形的性质定理
知识点一：等腰三角形、腰、底边
在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识点二：三角形按边分类
不等边三角形
三角形
底边与腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形（正三角形）
知识点三：等腰三角形的性质
1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2、这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
∴Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性质1、性质2均得证．
3、说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；
或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
一、规律方法指导
1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
二、难点分析
1、对于“等腰三角形的三线合一”一定要注意是底边上的高线、中线和顶角平分线，其他
的高、中线、角平分线不满足三线合一。
2、分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求
其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
类型一：与度数有关的计算
1．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。思路点拨:解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。
解析：∵AB=AC
∴∠B =∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°－2∠2
∴∠2=∠1+180°－2∠2
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
举一反三：
【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。
【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。
类型二：等腰三角形中的分类讨论
2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；
当腰长为8时，周长为8+8+10=26；
当腰长为10时，周长为10+10+8=28；
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；
当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。
总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
举一反三：
【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数
【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为45°，求∠B的度数。
【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。
类型三：等腰三角形的性质定理与全等三角形的应用
3.如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD
思路点拨:要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．解析：连接AC、AD
在△ABC和△AED中，
AB=AE（已知）
∠ABC=∠AED（已知）
BC=ED（已知）
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）
∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
