高中数学第二章同步检测2-5-2新人教A版必修5

第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

人教A高中数学必修5同步训练1．在等比数列{a n}中a1＝8，q＝12，a n＝12，则S n等于( )A．31 B.31 2C．8 D．15 答案：B2．数列12，14，18，…地前10项和等于( )A.11024B.511512C.10231024D.1512答案：C3．在等比数列{a n }中，q ＝12，S 5＝2，则a 1等于________．答案：32314．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，求数列{a n }地前4项之和．解：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 5＝243，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝9a 1q 4＝243，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3q ＝3.所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.一、选择题1．已知S n 是等比数列{a n }地前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．－218C.178D ．－178解析：选 A.设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝－2，a 1q 7＝16，解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝218.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a1地值为( )A．4 B．－4C．2 D．－2解析：选A.S5＝a1(1－q5) 1－q，∴44＝a1[1－(－2)5]1－(－2)，∴a1＝4，故选A.3．设S n为等比数列{a n}地前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝( )A．11 B．5C．－8 D．－11解析：选D.由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.4．1＋2＋2＋22＋…＋128地值是( ) A．128＋64 2 B．128－64 2C．255＋127 2 D．255－127 2答案：C5．若等比数列{a n}地前n项和为S n＝32n＋m(n∈N*)，则实数m地取值为( )A．－32B．－1C．－3 D．一切实数解析：选C.a1＝S1＝32＋m，又a1＋a2＝34＋m，所以a2＝－34 .又a1＋a2＋a3＝38＋m，所以a3＝－38.所以a22＝a1a3，即916＝(32＋m)(－38)，解得m＝－3.6．已知{a n}是首项为1地等比数列，S n是{a n}地前n项和，且9S3＝S6，则数列{1a n}地前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C.若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比地等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.二、填空题7．设等比数列{a n }地前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________.解析：设等比数列地公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.∴S6＝1－q61－q＝4(1－q3)1－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.答案：38．等比数列地公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．解析：S8－S4＝q4·S4＝24·10＝160，S8＝170.答案：1709．等比数列{a n}地公比q>0.已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}地前4项和S4＝__________.解析：∵{a n}是等比数列，∴a n＋2＋a n＋1＝6a n可化为a1q n＋1＋a1q n＝6a1q n－1，∴q 2＋q －6＝0.又∵q >0，∴q ＝2. ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝12(1－24)1－2＝152.答案：152三、解答题10．在等比数列{a n }中，a 3＝－12，前3项和S 3＝－9，求公比q .解：法一：由已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1·q 2＝－12， ①S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝－9. ②②÷①得1＋q ＋q2q2＝34，即q 2＋4q ＋4＝0. 所以q ＝－2.法二：a3，a2，a1成等比数列且公比为1q .所以S3＝a3＋a2＋a1＝a3[1－(1q)3]1－1q＝－12(q3－1)q2(q－1)＝－9.所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0.所以q＝－2.11．等比数列{a n}地前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{a n}地公比q；(2)若a1－a3＝3，求S n.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1(－12)2＝3，故a1＝4.从而S n＝4[1－(－12)n]1－(－12)＝83[1－(－12)n]．12．一个等比数列地首项为1，项数是偶数，其奇数项地和为85，偶数项地和为170，求此数列地公比和项数．解：设该等比数列有2n项，则奇数项有n项，偶数项有n项，设公比为q，由等比数列性质可得S偶S奇＝17085＝2＝q.又∵S奇＋S偶＝a1(1－q2n)1－q＝255，a1＝1，∴2n＝8.∴此数列地公比为2，项数为8.。

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199a52=a3·a8,公差d≠0,a1=2,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据可得d=189.故选C.(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1,∴S18=18a1+18×1722.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16=b92=4.3.已知在递减的等差数列{a n}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为() A.-14 B.-9C.-5D.-1{a n}的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,a42=a1·(-a6),即(a1+3d)2=a1·(-a1-5d),且{a n}为递减d=7-21=-14.数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+7×624.等差数列{a n}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=()A.8B.9C.16D.17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{a n}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.5.(2020·全国Ⅱ高考,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n=()a nA.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1{a n}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a4=q=2.a5-a3又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,∴a 1=1.∴a n =a 1·q n-1=2n-1,S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1. ∴S na n=2n -12n -1=2-12n -1=2-21-n.故选B .6.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A.5 B.72C.92D.132a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n ={-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×(-32)+10×2=72.故选B .7.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得a 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031. 故选D .8.在各项都为正数且不相等的等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a m ·a 2m+2=a 72=642(m ∈N *),且a m =8,则S 2m =( ) A.127 B.255 C.511D.1 023{a n }的公比为q ,则a 1q m-1·a 1q 2m+1=(a 1q 6)2.因为等比数列{a n }的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a 4=8.又因为a 72=642,所以a 7=64,q 3=a7a 4=8,解得q=2,所以a 1=a 423=1.故S 2m =S 8=1-281-2=255.9.已知在各项均为正数的数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),b n =1a n +an+1,记数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n =3,则n 的值是( ) A.99B.33C.48D.92a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),∴数列{a n 2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2.又a n >0,∴a n =√3n -2,∴b n =1an +a n+1=√3n -2+√3n+1=13·(√3n +1−√3n -2), 故数列{b n }的前n 项和S n =13[(√4−√1)+(√7−√4)+…+(√3n +1−√3n -2)]=13·(√3n +1-1).由S n =13(√3n +1-1)=3,解得n=33.故选B 10.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n3(n ∈N *),则a n =( ) A.13n B.13n -1C.13nD.13n+1a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n 3,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=n -13(n ≥2),② ①-②,得3n-1a n =n3−n -13=13(n ≥2),∴a n =13n (n ≥2).由①得a 1=13,经验证也满足上式,∴a n =13n (n ∈N *).故选C .11.对于正项数列{a n },定义:G n =a 1+2a 2+3a 3+…+na nn为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n=a1+2a2+3a3+…+na n,G n=n+2,∴n·G n=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+na n,∴n.故10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10·a10=21,∴a10=2110选D.12.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为+a2=n.奇数时,a n=a1;当n为偶数时,a n=2×n-22所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(2+4+ (100)=2 600.=50+50×(100+2)2二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为.,当n=1时,a1=S1=-7,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-9.而a1=2×1-9=-7.综上,a n=2n-9.,又因为n∈N*.由2n-9>0,得n>92故满足a n>0的n的最小值为5.14.已知在公差不为零的正项等差数列{a n}中,S n为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.{a n}的公差为d,则d>0.由lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,则a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×4×d=30.215.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=0,S5=10,数列{b n}满足b1=0,且b n+1=a n+1+b n,则数列{b n}的通项公式为.{a n }的公差为d ,则{a 1+d =0,5a 1+10d =10,解得{a 1=-2,d =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+216.(2020·全国Ⅰ高考,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .n 为偶数时,有a n+2+a n =3n-1,则(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92, 因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448.当n 为奇数时,有a n+2-a n =3n-1,由累加法得a n+2-a 1=3(1+3+5+…+n )-1+n2=34n 2+n+14,所以a n+2=34n 2+n+14+a 1,所以a 1+34×12+1+14+a 1+34×32+3+14+a 1+34×52+5+14+a 1+34×72+7+14+a 1+34×92+9+14+a 1+34×112+11+14+a 1+34×132+13+14+a 1=448,解得a 1=7.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,且满足a 2+a 7=23,S 7=10a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列,求k 的值.设等差数列{a n }的公差是d.根据题意有{a 1+d +a 1+6d =23,7a 1+7×62d =10(a 1+2d ), 解得{a 1=1,d =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 2=4,a k =3k-2,a k+5=3(k+5)-2, 由于a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列, 所以(3k-2)2=4[3(k+5)-2],整理得3k 2-8k-16=0,解得k=4(舍去k =-43). 故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 2=S 2+12,a 3=2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 2a n +3,数列1b n b n+1的前n 项和为T n ,求满足T n >13的正整数n 的最小值.由题意知,2a 2=S 2+12,∴2a 2=a 1+a 2+12,得a 2=a 1+12.设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 3=2,∴2q =2q 2+12,化简得q 2-4q+4=0,解得q=2, ∴a n =a 3·q n-3=2·2n-3=2n-2.(2)由(1)知,b n =log 2a n +3=log 22n-2+3=n-2+3=n+1,∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2, ∴T n =1b1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n+1=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2). 令T n >13,得n2(n+2)>13,解得n>4,∴满足T n >13的正整数n 的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *),且a 3=15,a 2=3a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .由2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *)可知数列{1a n}为等差数列.由已知得1a 3=5,1a 2=13·1a 5, 设其公差为d ,则1a 1+2d=5,1a 1+d=13(1a 1+4d),解得1a 1=1,d=2,于是1a n=1+2(n-1)=2n-1,整理得a n =12n -1.(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(2n -1)(2n+1)=32(12n -1-12n+1), 所以S n =32(1-13+13−15+…+12n -1−12n+1)=3n2n+1. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列.(3)求数列{n+12c n}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n ,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,①∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,即c n =2n ,∴cn+1c n=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n ,∴n+12c n=n+12n+1.∴数列{n+12c n}的前n 项和T n =222+323+424+…+n+12n+1,12T n =223+324+…+n 2n+1+n+12n+2,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12n+1−n+12n+2=12+123×(1-12n -1)1-12−n+12n+2=34−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2.∴T n =32−n+32n+1. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n ={1(a n -1)(a n +1),n 为奇数,4·(12)a n,n 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1,所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(n+1)(n+3),n 为奇数,(12)n ,n 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ).因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=14[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]=14(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=n 4(n+1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2n =14[1-(14)n ]1-14=13[1-(14)n],于是T 2n =n4(n+1)+13[1-(14)n].22.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3(n+1)a n =na n+1(n ∈N *),且a 1=3. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和; (3)若a nb n=2n+3n+1,求证:56≤1b 1+1b 2+…+1b n<1.3(n+1)a n =na n+1,所以an+1a n=3(n+1)n(n ∈N *), 则a2a 1=3×21,a 3a 2=3×32,a 4a 3=3×43,……a n a n -1=3×n n -1,累乘可得an a 1=3n-1×n. 又因为a 1=3,所以a n =n×3n (n ∈N *).{a n }的前n 项和为S n ,则S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n ,①3S n =1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n +n×3n+1,② ①-②,可得-2S n =3+32+33+…+3n -n×3n+1=3(1-3n )1-3-n×3n+1=32(3n -1)-n×3n+1 =(12-n)×3n+1-32. 所以S n =(n 2-14)×3n+1+34.因为an b n=2n+3n+1, 所以1b n=2n+3n+1×1n×3n =2n+3n (n+1)×13n=3(n+1)-nn (n+1)×13n =(3n -1n+1)×13n =1n ×13n -1−1n+1×13n , 则1b 1+1b 2+…+1b n=(1×13-12×131)+(12×131-13×132)+…+(1n×13n -1-1n+1×13n )=1-1n+1×13n .因为n ∈N *,所以0<1n+1×13n≤16,即56≤1-1n+1×13n <1, 于是56≤1b 1+1b 2+…+1b n <1.。

人教A 高中数学必修5同步训练1．设数列{(－1)n －1·n }的前n 项和为S n ，则S 2011等于( )A ．－2011B ．－1006C ．2011D ．1006答案：D2．已知数列{1n (n ＋1)}的前n 项和为S n ，则S 9等于( ) A.910 B.710C.109D.107答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n 为__________． 答案：1204．求数列112，314，518，…，[(2n －1)＋12n ]的前n 项和． 解：S n ＝112＋314＋518＋…＋[(2n －1)＋12n ] ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(12＋14＋18＋…＋12n ) ＝(1＋2n －1)·n 2＋12[1－(12)n ]1－12＝n 2＋1－12n .一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则前9项和S 9＝( )A ．45B ．52C ．108D ．54答案：D2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＝( )A ．－29B ．29C ．30D ．－30解析：选B.S 15＝1－5＋9－13＋…＋57＝－4×7＋57＝29.3．数列9,99,999,9999，…，的前n 项和等于( )A ．10n －1 B.10(10n －1)9－n C.109(10n －1) D.109(10n －1)＋n 解析：选B.a n ＝10n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)＝(10＋102＋…＋10n )－n ＝10(10n －1)9－n . 4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33C ．31D ．29解析：选C.设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16[1－(12)5]1－12＝31. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A.设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值，故选A. 6．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n 项的和为( )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1) C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1 解析：选A.∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)． ∴S n ＝4(1－1n ＋1)． 二、填空题7．已知a n ＝n ＋13n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 解析：S n ＝(1＋2＋…＋n )＋(13＋132＋…＋13n ) ＝12(n 2＋n ＋1－13n )． 答案：12(n 2＋n ＋1－13n ) 8．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n 2＋3n ＋2，则数列的前n 项和S n ＝__________.解析：a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， S n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2) ＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 答案：n 2n ＋49．已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 (n 为正奇数)，2n －1 (n 为正偶数)，则a 9＝________(用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________(用数字作答)．解析：a 9＝29－1＝256.S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝1－451－4＋4×(3＋15)2＝377. 答案：256 377三、解答题10．已知数列{a n }的通项a n ＝2·3n ，求由其奇数项所组成的数列的前n 项和S n .解：由a n ＝2·3n 得a n ＋1a n ＝2·3n ＋12·3n＝3，又a 1＝6， ∴{a n }是等比数列，其公比为q ＝3，首项a 1＝6，∴{a n }的奇数项也成等比数列，公比为q 2＝9，首项为a 1＝6，∴S n ＝6(1－9n )1－9＝34(9n －1)． 11．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由a n ＋1＝2a n ＋2n ，两边同除以2n ，得a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1.∴a n ＋12n －a n 2n －1＝1，即b n ＋1－b n ＝1， ∴{b n }为等差数列．(2)由第(1)问得，a n 2n －1＝120＋(n －1)×1＝n . ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1.①∴2S n ＝21＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n .②∴①－②得－S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1. ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1. 关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章 同步练测（人教A 版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.数列{}21n +的第40项40a 等于( )A.9B.10C.40D.412.在等差数列{23}n －中，公差d 等于( ) A.2 B.3 C.－1 D.－33.已知数列{}n a 的通项公式是2n n a ＝，n S 是数列{}n a的前n 项和，则10S 等于( ) A.10 B.210C.210－2D.211－24.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a成等差数列．若11a ＝，则4S 等于( ) A.7 B.8C.15D.166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋等于( )A.120B.105C.90D.758.数列是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6709.已知三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab等于( )A.－2B.2C.－4D.410．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n ＝1,2，…，且25252n n a a －＝（n ≥3)，则当n ≥1时，2123log log a a ＋＋…＋221log n a －等于( ) A.(21)n n － B.2(1)n ＋C.2nD.2(1)n －11.在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.412.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，20072008a a >＋0， 2 007 2 0080a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若数列{}n a 的前n 项和222n S n n ＝－＋，则通项公式n a ＝________.14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若 2 006a 和 2 007a 是方程24830x x －＋＝的两根，则 2 008 2 009a a ＋＝_____. 15.在等差数列{}n a 中，若1248S S ＝，且0d ≠，则1a d＝________．16.在等比数列{}n a 中： (1)若345a a a ⋅⋅＝8，则234a a a a a⋅⋅⋅⋅＝ ；(2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝ ；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和， 4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++=a a a a .三、解答题(共70分)17．(10分)已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．18．(12分) (1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝232-，n n 求证：数列{}n a 是等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列.19．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．20．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？21．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝531n a +－23na*()n ∈N ．(1)令1n n n b a a ＋＝－*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .22．(12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．第二章同步练测（人教A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章 同步练测（人教A 版必修5）答案一、选择题1.A 解析：40a ＝2×40＋1＝81＝9.2.D 解析：设23n a n ＝－，则1[23(1)](23)3n n a a n n ＋－＝－＋－－＝－. 3.D 解析：∵ 11222n n n n a a ++==，∴ 数列{}n a 是公比为2的等比数列且1a ＝2，∴ 1011102(12)2212S -==--. 4.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)， 由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84．5.C 解析：设公比为q ，由于1234,2,a a a 成等差数列，则21344a a a ＝＋， 所以244q q ＝＋，解得2q ＝.所以4414(1)1215112a q S q --==--＝. 6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ 12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，∴ 2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16.又数列{}n a 是公差为正数的等差数列，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.8. C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．9.D 解析：∵ 2b a c ＝＋，∴ 2c b a ＝－.∵ 2c ab ＝，∴ 22540a ab b －＋＝，∴ a b ＝(舍去)或4a b ＝，∴ ab＝4.10.C 解析：设公比为q ，则42622225251112n n n n a a a q a q a q ---=⋅==，所以112n n a q -=，即2n n a =，所以原式=2132122132122log ()log 2log 2n n n a a a n +++--===.11.A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处的来回路程为20×2 m ，….总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－ 10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅ ＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ *x ∈N ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短． 12.B 解析：由已知10a >， 2 007 2 0080a a <，可得数列{}n a 为递减数列，即0d <， 2 0070a >， 2 0080a <.利用等差数列的性质及前n 项和公式，得1 4 014 2 007 2 0084 014()4014() 4 014022a a a a S +⨯ +⨯==>，1 4 0154 015() 4 0152a a S +⨯== 2 0084 0150a <，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4 014，故选B.二、填空题13.1,1,23,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：当n ＝1时，11a S ＝＝1；当n ≥2时，221(22)[(1)2(1)2]23n n n a S S n n n n n －＝－＝－＋－－－－＋＝－. 又当n ＝1时，2n －3≠1a ，所以1,1,23, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.18 解析：方程24830x x －＋＝的两根是x =12或x =32.又1q >，所以 2 00612a =.所以 2 0072 0063a q a ==.所以2 008 2 009a a +=2 2 006 2 007()18q a a +=.15.910解析：∵ 1211266S a d ＝＋，4146S a d ＝＋，又124=8S S ，∴ 1112663248a d a d ＋＝＋.∴12018a d ＝.∴1910a d =.16.（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4． （3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．三、解答题17.解：设这三个数分别为,,a a aq q .由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18. 分析：判定给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5*()n ∈N ．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴a cb ＋，b ac ＋，cba ＋也成等差数列．19.(1)解：设{}n a 的公差为d ，则116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－. (2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝；当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ 数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．20.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以*2(N )3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝nn b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以*123(N )3-=-∈n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n nn n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⋅⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+⋅=+++=++++-=++-）2.22. 解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21． （2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于*∈N n ，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

高二数学同步测试 时间：100分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题6分。

每道小题中都只有一个正确答案，请填在答题卷上）1．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于 ( )A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+3．已知{}n a 是等比数列，22=a ，415=a ，则公比q = ( )A ． 21- B ．2- C ．2 D ．214．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a Λ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．355．△ABC 中，A 、B 的对边分别为a 、b ，5=a ，4=b ，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC ( ) A ．有一个解 B ．有两个解C ．无解D ．不能确定6.若△ABC 的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.7．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且132+=n n T S n n ，则55b a（ ） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．978．设{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 （ ）A ．1B ．2C ．2±D ．49．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为 （ ）Am 3400 Bm 33400 Cm 33200 D m 320010. 在数列{}n a 中，411-=a ，111--=n n a a )1(>n ，则2011a 的值为 （ ）A ．41-B. 5C.54D.以上都不对二、填空题：（本大题共4道小题，每小题5分。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章 同步练测（人教A 版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.数列{}21n +的第40项40a 等于( )A.9B.10C.40D.412.在等差数列{23}n －中，公差d 等于( ) A.2 B.3 C.－1 D.－33.已知数列{}n a 的通项公式是2n n a ＝，n S 是数列{}n a的前n 项和，则10S 等于( ) A.10 B.210C.210－2D.211－24.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a成等差数列．若11a ＝，则4S 等于( )A.7B.8C.15D.166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋等于( )A.120B.105C.90D.758.数列是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6709.已知三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab等于( )A.－2B.2C.－4D.410．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n ＝1,2，…，且25252n n a a －＝（n ≥3)，则当n ≥1时，2123log log a a ＋＋…＋221log n a －等于( )A.(21)n n －B.2(1)n ＋C.2nD.2(1)n －11.在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.4 12.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，20072008a a >＋0， 2 007 2 0080a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若数列{}n a 的前n 项和222n S n n ＝－＋，则通项公式n a ＝________.14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若 2 006a 和 2 007a 是方程24830x x －＋＝的两根，则 2 008 2 009a a ＋＝_____.15.在等差数列{}n a 中，若1248S S ＝，且0d ≠，则1ad＝________． 16.在等比数列{}n a 中： (1)若345a a a ⋅⋅＝8，则234a a a a a⋅⋅⋅⋅＝ ；(2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝ ；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和，4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++=a a a a .三、解答题(共70分)17．(10分)已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．18．(12分) (1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝232-，n n 求证：数列{}n a 是等差数列. (2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列. 19．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}nb 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．20．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？21．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝531n a +－23na*()n ∈N ．(1)令1n n n b a a ＋＝－*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .22．(12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．第二章同步练测（人教A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章 同步练测（人教A 版必修5）答案一、选择题1.A 解析：40a ＝2×40＋1＝81＝9.2.D 解析：设23n a n ＝－，则1[23(1)](23)3n n a a n n ＋－＝－＋－－＝－. 3.D 解析：∵ 11222n n n n a a ++==，∴ 数列{}n a 是公比为2的等比数列且1a ＝2，∴ 1011102(12)2212S -==--. 4.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)， 由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84．5.C 解析：设公比为q ，由于1234,2,a a a 成等差数列，则21344a a a ＝＋，所以244q q ＝＋，解得2q ＝.所以4414(1)1215112a q S q --==--＝.6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ 12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，∴ 2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16.又数列{}n a 是公差为正数的等差数列，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.8. C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．9.D 解析：∵ 2b a c ＝＋，∴ 2c b a ＝－.∵ 2c ab ＝，∴ 22540a ab b －＋＝，∴ a b ＝(舍去)或4a b ＝，∴ ab＝4.10.C 解析：设公比为q ，则42622225251112n n n n a a a q a q a q ---=⋅==，所以112n n a q -=，即2n n a =，所以原式=2132122132122log ()log 2log 2n n n a a a n +++--===.11.A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处的来回路程为20×2 m ，…. 总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ *x ∈N ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短． 12.B 解析：由已知10a >， 2 007 2 0080a a <，可得数列{}n a 为递减数列，即0d <， 2 0070a >， 2 0080a <.利用等差数列的性质及前n 项和公式，得1 4 014 2 007 2 0084 014()4014() 4 014022a a a a S +⨯ +⨯==>，1 4 0154 015() 4 0152a a S +⨯== 2 0084 0150a <，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4 014，故选B.二、填空题13.1,1,23,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：当n ＝1时，11a S ＝＝1；当n ≥2时，221(22)[(1)2(1)2]23n n n a S S n n n n n －＝－＝－＋－－－－＋＝－. 又当n ＝1时，2n －3≠1a ，所以1,1,23, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.18 解析：方程24830x x －＋＝的两根是x =12或x =32.又1q >，所以 2 00612a =.所以 2 0072 0063aq a ==.所以2 008 2 009a a +=2 2 006 2 007()18q a a +=.15.910解析：∵ 1211266S a d ＝＋，4146S a d ＝＋，又124=8S S ，∴ 1112663248a d a d ＋＝＋.∴12018a d ＝.∴1910a d =. 16.（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4． （3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．三、解答题17.解：设这三个数分别为,,a a aq q .由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18. 分析：判定给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5*()n ∈N ．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴ a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列．19.(1)解：设{}n a 的公差为d ，则116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－.(2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝；当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ 数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．20.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以*2(N )3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝nn b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以*123(N )3-=-∈n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n n n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⋅⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+⋅=+++=++++-=++-）2.22. 解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21． （2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于*∈N n ，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．。