【2020年高考必备】辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)及解析

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）若集合 A={x|x 2- 2x -3V 0}，集合 B={x|x v 1}，则 A H B 等于（ ）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D . （- 3, 1）2. （5分）已知i 为虚数单位，复数「’的共扼复数在复平面内对应的点位于 l+2i（ ） A •第一象限B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知平面向量〔一，；，；•— 一，且 -:■，则实数x 的 值为（）A . 二B .二C.；二D . 二 4. （5分）已知tan 9 =2则，:J ':：•:的值为（sin v 17 105. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0时，输入的x 的值为（）A. - 3 B . - 3 或 9 C. 3 或-9D. - 9 或-36 . （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U 该四棱锥的侧面积是（A .A . — -B .】二-：C.「- D .37. (5分)在等差数列｛a n ｝中，若S n 为前n 项和，2为=&+5,则S i 的值是()A. 55B. 11C. 50 D .60 8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知： 丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况， 下列判断正确的是()A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师 9.(5分)已知函数以下命题中假命题是()A .函数f (x )的图象关于直线打二对称 B^ 是函数f (x )的一个零点6JTC.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移 个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数10. (5 分)设函数 f (x ) =xe <+1，则( )A . x=1为f (x )的极大值点 B. x=1为f (x )的极小值点C. x=- 1为f (x )的极大值点11. (5分)已知双曲线：—a止(主鴻ff! 蝴左)视Ifi 備按圏D. x=- 1为f (x)的极小值点2'■ I，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若讣厂二，则双6曲线C的离心率为（）A. 2B. 「C. -D.二312. （5分）设函数f （x）是定义在R上的偶函数，且f （x+2）=f （2-x）,当x€ [ - 2,0]时, ；---i，则在区间（-2, 6）内关于x的方程f （x）-2log8 （x+2）=0解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）Qx13. ______________________________________________________________（5 分）设变量x, y满足约束条件：,则z=x- 3y的最小值为___________________ . 14 . （5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P （1,1）为中点，则弦AB所在直线方程是 _______ .15 . （5 分）在数列｛a n｝中，a1=1, a2=2, a n+1 =3a n —2a n-1 （n》2）,则a n= .16. （5分）已知正四棱锥S- ABCD中，」二「定，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .（12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足工J _ 一,2 5AB-AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.18 . （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占'、个人空间占'.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占「个人空间占I •555(I)请根据以上调查结果将下面 2X2列联表补充完整；并判断能否有 95%的 把握认为恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在 个人空间 感到幸福的学生的概率.CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD(2) 若AD=2, PD=3, .si!——，求三棱锥P-ADM 的体积.2 220. (12分)已知椭圆的左、右焦点分别为 Fi 、F2，点a b M j 在椭圆上，且有■- I II--<.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过F2的直线I 与椭圆交于A 、B 两点，求△ AOB 面积的最大值.21. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R .附_ - ' I ■' (a+b) (c+d) (a+c) (b+ d)'其中 n=a+b+c+d . 19. (12分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2,(1)求函数f ( X)图象经过的定点坐标；(2)当a=1时，求曲线f (X)在点(1, f (1))处的切线方程及函数f (X)单调区间；(3)若对任意x€ ［1, e］, f (x)<4恒成立，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为"(t(y=l+sint为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2+ (y- 2) 2=4.以直角坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线I的极坐标方程为9 =a (O v av n)(1)求曲线G、C2的极坐标方程；(2)设点A、B为射线I与曲线G、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =| x- a|+ 3x，其中a€ R.(1)当a=1时，求不等式f (x)> 3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f (x)< 0的解集为｛x|x<- 1｝，求a的值.2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）若集合A={x|x2- 2x-3V 0}，集合B={x|x v 1}，则A H B 等于（）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D. （- 3, 1）【解答】解：A={x| x2- 2x- 3v 0}={x| —1v x v 3}，集合B={x| x< 1}，则A H B={x| - 1<x< 1}= （- 1，1），故选：C2. （5分）已知i为虚数单位'复数占的共扼复数在复平面内对应的点位于A•第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解答】解.… I j = _，. 一，一.【解答】解：•..=「.「.,，「.复数「的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（==），位于第二象限.故选：B.3. （5分）已知平面向量.,且：2-：I 7,则实数x的值为（）A. 二B. 二C. ；UD. 二【解答】解：根据题意，向量...；，’「「L，-,则-=（-3, X- ,又由（a~b）_L b,贝U （吕-b） ?b=（— 3）X 1+ （x-J^）X馅=0, 解可得x=2二，故选：B.4. （5分）已知tan 9 =2则'' :.的值为（）sin HA.匕B.上C.D. 15 5 10 10■-I _【解答】解：：tan 9 =2 则" .■ J =1+ 1 + :::'sin0 +Sin ° tanB=1+丨+ —」+丄；2 ta n2e+i 2 4+1 105故选：C.5. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A.- 3B.- 3 或9C. 3 或-9D.- 9 或-3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y= （TT） X- 8=0时，解得选x=- 3；当y=2 - log3X=0,解得x=9.综上，有x=- 3,或者9.故选：B.6. （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U该四棱锥的侧面积是（A. — -B.：宀=匚C. 「-D.3【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P-ABCD其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC丄平面ABCD如图,止（主）規阳蝴左）视IfiPB=PD=[—壬=2 二，•••该四棱锥的侧面积是：S=S PBC+S\PDC+S\PAB+S PCD= '■：-：l77 ■■ ■. -■：I T7 ■■■.=4+4 ■:.故选：A.7. （5分）在等差数列｛a n｝中，若S n为前n项和，2內=宪+5,则S i的值是（）A. 55B. 11C. 50D. 60【解答】解：设等差数列｛a n｝的公差为d，v 2巾=88+5,二2a i+12d=d+7d+5,• a i+5d=5=a s，11（玄]+ “1）则Si i= =11a s=55.故选：A .8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知: 丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况, 下列判断正确的是( )A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除B 和D ;由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生. 故选：C.9. (5分)已知函数：，：匚，以下命题中假命题是( )A. 函数f (x )的图象关于直线严二对称B.——是函数f (x )的一个零点C.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移 个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数【解答】解：对于A ，当x= 时，函数f (x ) =sin (2X +) =1为最大值,丄乙丄£ J••• f (x )的图象关于直线.， 对称，A 正确；丄£TT TT 7T对于 B ，当 x=- 时，函数 f (x ) =sin (- 2 X +) =0,66 3••• x=- 一是函数f (x )的一个零点，B 正确; 6其图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移一个单位得到,对于 C ,函数 f (x ) =sin (2x+C 错误;)=sin2 (对于D, x€ [0, 一]时，2x+_ € [三，—],12 3 3 2•••函数f (x) =sin (2x+…)在「.…一上是增函数，D正确.3 12故选：C.10. (5 分)设函数f (x) =xe x+1，则( )A. x=1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x=- 1为f (x)的极大值点D. x=- 1为f (x)的极小值点【解答】解：由于f (x) =xe x，可得f'(x) = (x+1) e x，令f'( x) = (x+1) e x=0 可得x=- 1，令f' (x) = (x+1) e x>0可得x>- 1，即函数在(-1，+x)上是增函数令f' (x) = (x+1) e x v0可得x v- 1，即函数在(-x，- 1)上是减函数所以x=- 1为f (x)的极小值点.故选：D.2 211. (5分)已知双曲线：'■- ，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点人，若•…，则双6曲线C的离心率为( )A. 2B.「C. "■D.亠【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得/ OAF=90,在△ OAF中，亠_匚订、一'6可得AF=OFcos30= - c,2由AF为焦点(c，0)到渐近线bx- ay=0的距离，即为' ==b，Vb2+a2 c即有b=^c.故选A.12. (5分)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+2) =f (2-x),当x € [ - 2,0]时, ；---i，则在区间(-2, 6)内关于x的方程f (x)-2log8 (x+2) =0解的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】解：对于任意的x€ R,都有f (2+x) =f (2-x),••• f (x+4) =f[2+ (x+2) ] =f[ (x+2)- 2] =f (x),•••函数f (x)是一个周期函数，且T=4.又‘当x e [ -2, 0]时，f(x)=(二)x- 1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (6) =1,则函数y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6)上的图象如下图所示：根据图象可得y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6) 上有3个不同的交点. 故选：C.、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5分)设变量x, y满足约束条件：*时y< 2,则z=x- 3y的最小值为_10 .【解答】解：画出约束条件：，时y<2可行域如下图，由z=x- 3y 得y= x-；3 3平移直线y-x—,3 3由图象可知当直线经过点B时，直线y= x--匚的截距最大，此时z最小，33由丫：解得，h+y=2B (- 1, 3);故此时z=- 1 - 3X3=- 10;14. (5分)已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线方程是2x- y - 1=0 .【解答】解：设A (为，yd, B (X2, y2),代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，yi-y?a①-②整理得k= = =2,H 严2 V] +^2则弦AB所在直线方程为y-仁2 (x- 1),即为2x- y-仁0.故答案为：2x- y -仁0.15. (5 分)在数列｛a n ｝中，a i =1, a 2=2, a n +i =3a n — 2a n -1 (n 》2),贝U a n = 2 (n € N *).【解答】解：t an +i =3a n - 2a n -i (n >2), --a n +i — a n =2a n — 2a n -1=2 (a n — a n -1) (n 》2), 可得：a 3 - a 2=2 (a 2 - a i )a 4 -出=2 (a 3 - 02) a n +1 - a n =2 ( a n - a n -1)相加可得：a n +i - a 2=2 (a n - a i ),可得：a n +i - 2=2 (a n - 1),即：a n +i =2a n , •••数列｛a n ｝是等比数列，n € N *, • 一【厂.故答案为：2n -1 (n € N *).16. (5分)已知正四棱锥S- ABCD 中，：「•二「门，那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 6【解答】解：设正四棱锥S - ABCD 的底面边长为a ,则高设 y=108a 4- - a 6,2则 y ' =432- 3a 5,由 y ' =432-3a 5=0,解得 a=0或 a=12, •••当a=12时，体积最大， 此时[ “工=6, 故答案为：6.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）体积V= a 2h= |10817. （12分）在厶ABC中，角A，B, C所对的边分别为a, b, c,且满足:.'--2 5AB*AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求 a 的值.【解答】解：（1）因为:-'--,2 5所以il li ]',二丄丄「又由「・得bccosA=3,所以bc=5（2）由（1）知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理，得-1' _ ' ! - ' -—- ，所以-=-'打18. （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占：、个人空间占I .5 5 b（I）请根据以上调查结果将下面2X2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；从被调查的不 恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4人接受进步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在 个人空间”【解答】解：由已知得,•••有95%的把握认为 恋家”与否与国别有关；(U)用分层抽样的方法抽出4人，其中在 朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人, 在个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a i , a 2, a 3, b ；T (a i , a 2), (a i ,氏)，(a i , b ), (a 2, a 3), (a 2, b ), (a 3, b ) } , • n=6；设含有在个人空间”感到幸福的学生”为事件A , A={ (a i , b ), (a 2, b ) (a 3, b ) } , • m=3; 则所求的概率为-i :.n 62i9. (i2分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2, CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD (2)若AD=2, PD=3, ,|，求三棱锥P-ADM 的体积.附其中 n =a+b+c+d -感到幸福的学生的概率.n(adHoc) 2【解答】（1）证明：法一、过M 作MN //CD 交PD 于点N ,连接AN .又I .'-一八.，且 AB//CD,••• AB// MN , AB=MN,则四边形ABMN 为平行四边形， ••• BM // AN.又••• BM?平面 PAD, AN?平面 PAD, ••• BM // 平面 PAD.法二、过点M 作MN 丄CD 于点N , N 为垂足，连接BN. 由题意，PM=2MC,贝U DN=2NG又••• DC=3 DN=2,「. AB=DN, AB// DN , •••四边形ABND 为平行四边形,贝U BN// AD . ••• PD 丄平面 ABCD DC?平面 ABCD , /• PD 丄 DC. 又 MN 丄 DC,二 PD// MN .又••• BN?平面 MBN , MN?平面 MBN , BNP MN=N ; ••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD AD P PD=D •••平面MBN //平面PAD.••• BM?平面 MBN ,二 BM // 平面 PAD (2)解：过B 作AD 的垂线,垂足为E.••• PD 丄平面 ABCD BE?平面 ABCD /• PD 丄 BE 又••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD, AD P PD=D. ••• BE!平面 PAD 由(1)知,BM //平面PAD,••• M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE•••PM=2MC,在厶ABC中，AB=AD=2 BEf/瓦31^+；，得(m 2+2) y 2+2my - 1=0, + +2y —2 -2ID 珥+y 于-n/ + 2，mm +12 _(m^+1) +2(n^+l) +1---- <V2>< 9 -- .— -------- 2 〔『+1)1座7^ T 2 ，(w 2+l)―—+2当且仅当-.-一，即m=0时，等号成立.ID‘ + 1•••△ AOB 面积的最大值为匸.221. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R . (1) 求函数f (x )图象经过的定点坐标； (2)当a=1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程及函数f (x )单 调区间；(3) 若对任意x € [1，e]，f (x )<4恒成立，求实数a 的取值范围. 【解答】解：(1)当x=1时，In 仁0，所以f (1) =4， 所以函数f (x )的图象无论a 为何值都经过定点(1, 4).(2)当 a=1 时，f (x ) = (x+1) 2 - 3Inx . f (1) =4，F t 厂.，f (1) =1,x则切线方程为 y -4=1 x(x - 1)，即 y=x+3. 在 x €(0，+x )时，如果:• J ，.：, I : ：. I ，x即:时，函数f (x )单调递增； 如果 L 'J ' . j I ■■ ■'，即一一;时，函数f ( X )单调递减.2(3)'', x >0.当 a <0 时，f (x )>0, f (x )在［1, e ］上单调递增.f (X )min =f (1) =4, f (x ) < 4不恒联立*由韦达定理，得* ¥ m +2ID 十 J成立.当a>0 时，设g (x) =2X2+2X-3a, x>0.•••g (x)的对称轴为、,g (0) =- 3a v0,2••• g (乂)在(0, +x)上单调递增，且存在唯一x°€( 0, +x),使得g (X0)=0.•••当x€(0, X。

2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第1题5分已知集M={x|(x−2)2<4,x∈R}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=（）．A. {0,1,2}B. {1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2,3}2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第2题5分若复数z满足(1−√3i)z=|√3+i|，则z的虚部为（）．A. √32B. √3C. −√32D. −√33、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第3题5分，则f(0)+f(1)=（）．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+2xA. −2B. 0C. 1D. 24、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第4题5分)，则下列结论错误的是（）．设函数f(x)=cos⁡(2x−π3A. f(x)的一个周期为−πB. y=f(x)的图像关于直线x=2π对称3C. f (x +π2)的一个零点为x =−π3D. f (x )在区间[π3,π2]上单调递减5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第5题5分2019~2020学年山西太原晋源区山西大学美术学院附属中学高一月考2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高三下学期期中2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高一下学期期中2018年高考真题天津卷文科已知a =log 372，b =(14)13，c =log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a >b >c B. b >a >c C. c >b >a D. c >a >b6、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第6题5分已知a 、b 、c ∈R ，则“b 2−4ac <0”是“函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象恒在x 轴上方”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第7题5分已知函数f(x)=x 3+x +1+sin⁡x ，若f(a −1)+f(2a 2)⩽2，则实数a 的取值范围是 （ ）．A. [−1,32]B. [−32,1]C. [−1,12]D. [−12,1]8、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第8题5分2017~2018学年10月山东济南历城区济南外国语学校高三上学期月考文科第8题5分2cos⁡10°−sin⁡20°sin⁡70°的值是（）．A. 12B. √32C. √2D. √39、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第9题5分2020~2021学年宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三下学期开学考试理科第8题5分2019~2020学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高三上学期月考第10题4分若a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，则1m +1n的取值范围是（）．A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第10题5分2018~2019学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高三上学期期中理科第6题5分2018~2019学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三月考在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin⁡α−cos⁡α= 2√33，则sin⁡(α−β)=()A. 13B. −13C. −16D. 2√2311、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第11题5分2010年高考真题江西卷文科第11题5分四位同学在同一个平面直角坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin⁡2x，y=sin⁡(x+π6)，y=sin⁡(x−π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）．A.B.C.D.12、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第12题5分在△ABC中，a2+b2+c2=2√3absin⁡C，则△ABC的形状是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第13题5分在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cos⁡B=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第14题5分2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高一上学期期末已知sin⁡α+2cos⁡α=0，则2sin⁡αcos⁡α−cos2α的值是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第15题5分已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=1e ，对任意实数x都有f(x)−f′(x)>0，设F(x)=f(x)e x，则F(x)>1e2的解集为．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第16题5分设α∈(0,π2)，若cos⁡(α+π6)=45，则sin⁡(2α+π12)的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第17题已知学校高三年级有学生1000名．经调查研究，其中750名同学经常参加体有最炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学）．现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级学生中共抽查100名同学，测得这100名同学的身高（单位：cm）频率分布直方图如图：(1) 以同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160,170)的中点值为165）作为代表，计算这100名学生身高数据的平均值．(2) 如果以身高不低于170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生．得到以下列联表：完成上表，并判断是否有75%的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0.01）？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第18题如图所示，函数y=2cos⁡(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0⩽θ⩽π2)的图象与y轴交于点(0,√3)，且该函数的最小正周期为π．(1) 求θ和ω的值．(2) 已知点A(π2,0)，点P是该函数图象上的一点，点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0=√32，x0∈[π2,π]时，求x0的值．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第19题在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a2c=b(a2+c2−b2)（其中b≠c）．(1) 求证：A=2B．(2) 若f(x)=sin⁡x+cos⁡x，求f(B)的取值范围．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第20题已知函数f(x)=ln⁡x−a2x（a为常数）．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 设函数g(x)=xf(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第21题已知函数f(x)=(x+a−1)e x，g(x)=12x2+ax，其中a为常数．(1) 当a=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 若对任意的x∈[0,+∞)不等式f(x)⩾g(x)恒成立，求实数a的取值范围．选做题：（本大题共2小题，选做1小题）[选修4-4：坐标系与参数方程]22、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第22题2017年辽宁沈阳高三三模文科第22题2019~2020学年5月陕西延安宝塔区陕西延安中学高三下学期月考理科第22题10分2017年辽宁沈阳高三三模理科第22题已知曲线C的参数方程为{x=2cos⁡θy=√3sin⁡θ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=12xy′=√3得到曲线C′，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求曲线C′的极坐标方程．(2) 若过点A(32,π)（极坐标）且倾斜角为π6的直线l与曲线C′交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第23题设函数f(x)=|x+1|+|x−4|−a．(1) 当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2) 若f(x)⩾4a+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】2√23;14 、【答案】 -1;15 、【答案】(−∞,1);16 、【答案】17√250;17 、【答案】 (1) 170cm．;(2) 有．;18 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 1<f(B)<√2．;20 、【答案】 (1) 若a⩽0，函数在(0,+∞)上单调递增；若a>0，函数在(0,2a )上单调递增，在(2a,+∞)上单调递减．;(2) (0,1)．;21 、【答案】 (1) 2x−y+1=0．;(2) [1,+∞)．;22 、【答案】 (1) C′:ρ=1．;(2) |AP||AM|⋅|AN|=3√35．;23 、【答案】 (1) f(x)min=4．;(2) a的取值范围为(−∞,0)∪{2}．;。

2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g （x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2020年7月29日第21页（共21页）。

2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}2．（5分）已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →，则实数m ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．任意实数3．（5分）已知i 是虚数单位，z =2i1+i−3i 2017，且z 的共轭复数为z ，则z •z =（ ） A ．√3B ．√5C ．5D ．34．（5分）从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．125．（5分）如果2，a ，b ，c ，10成等差数列，那么c ﹣a ＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为y =0.042x −a ．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月7．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与圆x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则p ＝（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．48．（5分）已知实数a ，b 满足等式log 12a =log 13b ，下列五个关系式：①0＜a ＜b ＜1；②0＜b ＜a ＜1③1＜a ＜b ；④1＜b ＜a ；⑤a ＝b ．其中不可能成立的关系式有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．（5分）已知两个平面α、β，直线a ⊂α，则“α∥β”是“直线a ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）设函数f （x ）＝cos 2x +b cos x +c ，则f （x ）的最小正周期（ ） A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关11．（5分）已知函数f （x ）={(1−3a)x +2a(x ＜0)(a −3)x 2+2(x ≥0)，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，3）B ．[1，3）C ．（1，3）D ．[1，3]12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，S n =32n 2−12n ，设b n =1a n a n+1，则数列{b n }的前n 项和为（ ） A ．n 3n+1B ．3n3n+1C ．n−13n−2D ．−3n+33n−2二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1，则z =y x的最小值是 ．14．（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害． （1）k ＝ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间．15．（5分）设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P（1，4）的直线l与抛物线相交于A，B 两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝．16．（5分）设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；（2）若CD＝2，求四棱锥C1﹣A1B1CD的体积．18．（12分）2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A +2sin 2B ＝3sin 2C ，a ＝3sin A ．（1）求△ABC 外接圆的面积； （2）求边c 的最大值． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +alnx +a （a ∈R ），g （x ）＝f （x ）﹣（a +1）e x ﹣a ． （1）讨论函数f （x ）的零点的个数；（2）当函数f （x ）有两个零点时，证明：g （x ）＞2e ． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P （2，0），直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求1|PM|+1|PN|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |的最小值为2． （1）求a +b 的值；（2）若a ＞0，b ＞0，求证：a +b ≥5−log 2(9a +1b )．2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}． 故选：D ．2．（5分）已知向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →，则实数m ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．任意实数【解答】解：∵向量a →=(1，2)，b →=(−1，1)，c →=(m ，2)，且(a →−2b →)⊥c →， ∴（a →−2b →）•c →=（3，0）•（m ，2）＝3m +0＝0， 则实数m ＝0， 故选：B ．3．（5分）已知i 是虚数单位，z =2i1+i −3i 2017，且z 的共轭复数为z ，则z •z =（ ） A ．√3B ．√5C ．5D ．3【解答】解：z =2i1+i −3i 2017=2i(1−i)(1+i)(1−i)−3i =1+i −3i =1−2i ， 则z =1+2i ，故z ⋅z =|z|2=5． 故选：C ．4．（5分）从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【解答】解：从1，2，3，4中任取两个数，有（1，2），（1，3）， （1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况， 其中一个数是另一个数两倍的为（1，2），（2，4）共2个， 故所求概率为P =26=13故选：C．5．（5分）如果2，a，b，c，10成等差数列，那么c﹣a＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：由题意可得，公差d=10−25−1=2，故c﹣a＝2d＝4，故选：C．6．（5分）5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（）（精确到月）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得x=1+2+3+4+55=3，y=15（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，∴0.1＝0.042×3﹣a，a＝0.026，所以线性回归方程为y＝0.042x﹣0.026，由0.042x﹣0.026＞0.5，得x≥13，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%，故选：C．7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与圆x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，则p＝（）A．√2B．1C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）与圆x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，由抛物线和圆都关于x轴对称，可得A，B的纵坐标为2，﹣2，可设A（2p ，2），代入圆的方程可得4p2+4＝5，可得p＝2．故选：C．8．（5分）已知实数a，b满足等式log12a=log13b，下列五个关系式：①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1③1＜a＜b；④1＜b＜a；⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=log12x，y=log13x的图象如下图所示：由图可得：当①0＜a＜b＜1时，log12a=log13b，不可能成立；②0＜b＜a＜1时，log12a=log13b，可能成立；③1＜a＜b时，log12a=log13b，可能成立；④a＞b＞1时，log12a=log13b，不可能成立；⑤a＝b＝1，log12a=log13b，可能成立；故选：C．9．（5分）已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据面面平行的定义可知α与β无公共点，而a⊂α，则a与β无公共点，则直线a ∥β即“α∥β”⇒“直线a ∥β”是真命题；直线a ⊂α，直线a ∥β⇒两个平面α、β可能平行也可能相交， 即“直线a ∥β”⇒“α∥β”是假命题；根据充要条件的判定可知“α∥β”是“直线a ∥β”的充分不必要条件， 故选：A ．10．（5分）设函数f （x ）＝cos 2x +b cos x +c ，则f （x ）的最小正周期（ ） A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解答】解∵f （x ）＝cos 2x +b cos x +c =cos2x+12+b cos x +c =12cos2x +b cos x +c +12； b ＝0时，f （x ）=12cos2x +c +12的最小正周期为π；b ≠0时，显然有f （x +π）≠f （x ），（x +2π）＝f （x ）其最小正周期为2π； 而c 不影响周期∴f （x ）的最小正周期与b 有关，但与c 无关； 故选：A ．11．（5分）已知函数f （x ）={(1−3a)x +2a(x ＜0)(a −3)x 2+2(x ≥0)，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，3）B ．[1，3）C ．（1，3）D ．[1，3]【解答】解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∴{1−3a ＜0a −3＜02≤2a，解得1≤a ＜3，∴a 的取值范围为[1，3）． 故选：B ．12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，S n =32n 2−12n ，设b n =1a n a n+1，则数列{b n }的前n 项和为（ ） A ．n 3n+1B ．3n3n+1C ．n−13n−2D ．−3n+33n−2【解答】解：由题意，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=32n 2−12n ﹣[32（n ﹣1）2−12（n ﹣1）]＝3n ﹣2，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式． ∴a n ＝3n ﹣2，n ∈N *． 则b n =1a n a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13（13n−2−13n+1）．设数列{b n }的前n 项和T n ，则 T n ＝b 1+b 2+…+b n=13（1−14）+13（14−17）+⋯+13（13n−2−13n+1）=13（1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1） =13（1−13n+1） =n3n+1． 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1，则z =yx的最小值是13．【解答】解：不等式|x ﹣3|+|y ﹣2|≤1可表示为如图所示的平面区域．z =y x为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x ＝3，y ＝1时，z =y x取得最小值13．故答案为：13．14．（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害． （1）k ＝ 2 ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 40 分钟人方可进入房间．【解答】解：（1）由图象可知，当t =12时，y ＝1， ∴2k =1，∴k ＝2；（2）由（1）可知：y ={2t ，0＜t ＜1212t ，t ≥12， 当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23， ∴t ＞23，∴在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间，故答案为：2，40．15．（5分）设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P （1，4）的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |＝ 10 ． 【解答】解：抛物线x 2＝4y 的准线方程为l ：y ＝﹣1；如图，过A ，B ，P 分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，PP 1⊥l ，垂足分别为A 1，B 1，P 1；由抛物线的定义可知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|； 所以|AF |+|BF |＝|AA 1|+|BB 1|；又在梯形ABB 1A 1 中，PP 1 为中位线，且PP 1＝5； 所以|AA 1|+|BB 1|＝2|PP 1|＝10； 所以则|AF |+|BF |＝10； 故答案为：10．16．（5分）设△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2．现将△ABC （及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为2π3．【解答】解：等腰直角三角形的直角边为√2，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为V ＝2×13×π×12=2π3． 故答案为：2π3．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图所示的几何体中，ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°． （1）求证：AB ⊥平面ACC 1A 1；（2）若CD ＝2，求四棱锥C 1﹣A 1B 1CD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∵几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1，∵AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面ACC1A1．（2）解：连结A1C，∵AB⊥平面ACC1A1，CD∥AB，∴CD⊥平面CC1A1，∴四棱锥C1﹣A1B1CD的体积：V=V D−CC1A1+V C−A1B1C1=13×CD×S△A1C1C +13×CC1×S△A1B1C1=13×2×12×2√3×2√3+13×2√3×12×2×2√3＝8．18．（12分）2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≤k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：非“环保关注者”“环保关注者”合计女104555男153045合计2575100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值K2=100×(45×15−30×10)225×75×55×45=30099≈3.030＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的；（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人．设女“环保达人”3人分别为A，B，C；男“环保达人”2人为D，E．从中抽取两人的所有情况为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共l0种情况．既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），共6种情况．故所求概率为P=610=35．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+2sin2B＝3sin2C，a ＝3sin A ．（1）求△ABC 外接圆的面积； （2）求边c 的最大值．【解答】解：（1）．设△ABC 外接圆的半径为R ，由a ＝3sin A ，有2R =asinA =3，R =32，外接圆的面积为94π（2）．由a 2+2b 2＝3c 2及余弦定理，得a 2+2b 2＝3（a 2+b 2﹣2ab cos C ）， 整理得6ab cos C ＝2a 2+b 2，即c osC =a 3b +b6a ≥√23，sinC =√1−cos 2C ≤1−(√23)2=√73，当且仅当b =√2a 时取等号，由正弦定理得c =2RsinC =3sinC ≤√7，边c 的最大值为√7． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{c a=√22b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝2．∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 直线l 与椭圆C 的交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0．由已知，△＞0恒成立，且x 1+x 2=4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，①直线F 1A 的方程为y =y1x 1+1(x +1)，令x ＝0，得M （0，y 1x 1+1），同理可得N （0，y 2x 2+1）．∴F 1M →⋅F 1N →=1+y 1y 2(x 1+1)(x 2+1)=1+k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+1)(x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+(1−k 2)(x 1+x 2)+1+k2x 1x 2+x 1+x 2+1，将①代入并化简得：F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1，依题意，∠MF 1N 为锐角，则F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1＞0，解得：k 2＞17或k 2＜18．综上，直线l 的斜率的取值范围为（﹣∞，−√77）∪（−√24，0）∪（0，√24）∪（√77，+∞）．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +alnx +a （a ∈R ），g （x ）＝f （x ）﹣（a +1）e x ﹣a ． （1）讨论函数f （x ）的零点的个数；（2）当函数f （x ）有两个零点时，证明：g （x ）＞2e ． 【解答】解：（1）令f （x ）＝0，得e x ＝﹣a （lnx +1）， 很明显x =1e 不是该方程的解，所以x ＞0且x ≠1e， 则﹣a =e x lnx+1，令h （x ）=e xlnx+1（其中x ＞0且x ≠1e ）， 则h ′（x ）=e x (lnx−1x +1)(lnx+1)2，令t （x ）＝lnx −1x +1，则t （x ）在（0，+∞）上是增函数，又因为t （1）＝0，所以当x ∈(0，1e)，（1e，1）时，h ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）在（0，1e）（1e ，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，又h （1）＝e ，且x →0时h （x ）→0，x →+∞时，h （x ）→+∞，同时当x 在（0，1e）上时，x →1e，h （x ）→﹣∞，当x 在（1e，1）上时，x →1e时，h （x ）→+∞，所以h （x ）的大致图象如右图所示： 则﹣a ＜0，即a ＞0时，f （x ）有一个零点， 0≤﹣a ＜e ，即﹣e ＜a ≤0时，f （x ）无零点， ﹣a ＝e ，即a ＝﹣e 时，f （x ）有一个零点， ﹣a ＞e ，即a ＜﹣e 时，f （x ）有两个零点，综上，当a ＜﹣e 时，f （x ）有两个零点；a ＝﹣e 或a ＞0时，f （x ）有一个零点；﹣e ＜a ≤0时，f （x ）无零点；（2）由（1）可知，当a ＜﹣e 时，g （x ）＝alnx ﹣ae x ＝﹣a （e x ﹣lnx ），g ′（x ）＝﹣a （e x −1x ），令F （x ）＝e x −1x，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，又F （12）=√e −2＜0，F （1）＝e ﹣1＞0，所以存在x 0∈(12，1)使得F （x 0）＝0，所以g （x ）在（0，x 0）上时减函数，在（x 0，+∞）上是增函数， 所以g （x ）≥g （x 0）＝﹣a （e x 0−lnx 0）， 因为e x 0=1x 0，即lnx 0＝﹣x 0，所以g （x 0）＝﹣a （1x 0+x 0）， 因为x 0∈（12，1），所以1x 0+x 0＞2，又﹣a ＞e ，所以g （x 0）＞2e ，所以g （x ）＞2e ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P （2，0），直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求1|PM|+1|PN|的值．【解答】解：（1）线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2，整理得：ρ2+2（ρsin θ）2＝6，转换为直角坐标方程为：x 26+y 22=1．直线l 的极坐标方程是ρcos （θ−π4）−√2=0．转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0． （2）由于点P （2，0）在直线l 上，所以可设直线的参数方程为{x =2+tcos 3π4y =tsin 3π4（t为参数），即{x =2−√22ty =√22t（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程为12t 2−2√2t +4+3×12t 2=6，化简得：t 2−√2t −1=0．所以t 1+t 2=√2，t 1t 2＝﹣1， 故：1|PM|+1|PN|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√6．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |的最小值为2． （1）求a +b 的值；（2）若a ＞0，b ＞0，求证：a +b ≥5−log 2(9a +1b )．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|2x +a |+|2x ﹣b |≥|（2x +a ）﹣（2x ﹣b ）|＝|a +b |， 当且仅当（2x +a ）（2x ﹣b ）≤0时，取等号，此时函数f （x ） 最小值为|a +b |， ∴由题意有|a +b |＝2，∴a +b ＝±2．（2）由（1）可知a +b ＝2，∴要证a +b ≥5−log 2(9a +1b )成立， 只需证log 2(9a +1b )≥3成立，即证9a+1b≥8，由柯西不等式，得(a +b)(9a +1b )≥(3+1)2，∴9a+1b≥162=8，当且仅当a =32，b =12时，取等号． ∴a +b ≥5−log 2(9a +1b )．。

辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…。