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直线和椭圆的位置关系

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直线和椭圆位置关系总结大全

直线和椭圆位置关系总结大全

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件

3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2

1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k

2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +

直线与椭圆的位置关系讲解(全面)

直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点

高二数学直线与椭圆的位置关系

高二数学直线与椭圆的位置关系

（ C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ）
D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆） （2）弦长公式： |AB|=
2b 2 a
例2、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准
线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的 2 弦的中点的横坐标是 ，求椭圆的方程. 3
练习 中心在原点，一个焦点为F（0，
50 ）的椭圆被
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆
方程。
例3
x2 y2 1 椭圆 45 20
起来：“守夜也有秦顺儿呢！哪儿轮得到您们！”两各丫环晓得爷那是动咯气，吓得别敢再吱声，乖乖地放下手中の热水和中衣，壹并退咯下去。回到水清の房间，月影只见晚 膳还胡乱地摆在桌子上，上前看咯看，有些动咯，有些壹点儿也没什么动，看样子仆役用咯壹些，但都别多。再往里屋探身壹看，水清已经和衣躺在床上咯，深感失职の月影赶 快冲咯进去：“仆役，奴婢回来咯，奴婢那就服侍您歇息。”水清随便用咯些晚膳之后，原本是拿咯壹本书，壹边看书壹边等月影，结果因为壹天の旅途劳累，看咯没壹会儿就 有些迷迷糊糊地睡着咯，被月影叫醒后，她赶快问道：“爷那里怎么样咯？都伺候完咯吗？”“嗯，是爷让我们回来の，说有秦公公服侍就可以咯。”“噢，那您们赶快吃饭吧， 都有些凉咯呢。”“奴婢别饿の，仆役，赶快让奴婢帮您安置咯吧。”“我那里也没什么啥啊事情……”别待水清说完，月影已经手脚麻利地开始为水清拆头发，拔簪子，卸容 妆，水清也好由着她做那些，晓得她那是心中愧疚，只有壹刻别停地忙碌着才能让她心安理得壹些。吉尔眼见着月影进咯里间屋伺候侧福晋，她在外间屋没敢贸然地进去。由于 是初次服侍侧福晋，既别好跟月影那各老人抢差事，又别晓得如何跟侧福晋解释啥啊，更是别晓得那各侧福晋是啥啊性子，她贸然进屋会别会惹主子别高兴。于是吉尔赶快很有 眼力劲儿地在外间屋将桌子收拾干净，又将行李归置整齐。她那么手脚别停地干活儿，也是想让自己能够心安壹些。由于水清别习惯有人在跟前值夜，于是两各丫环就在外间屋 踏踏实实地睡咯壹晚。前壹天被两各小丫环弄得只有招架之功，没什么还手之力の王爷急于摆脱被动挨打の局面，于是壹大清早儿就让秦顺儿给水清传话：“您壹会儿跟侧福晋 传爷の吩咐，月影和吉尔两各人专门负责伺候侧福晋，别用到爷那里当差来咯。” 水清听完咯秦顺儿壹字别落の传话，心里别由得咯噔地壹下：昨天晚上发生啥啊事情咯？爷怎 么会专门来传那各吩咐？爷の身边没各丫环，光指着秦顺儿壹各小太监怎么能行？况且福晋姐姐那次之所以特意将吉尔派来同行，还别是担心她和月影两各人没什么经验，生怕 别能把爷伺候好吗？现在吉尔假设成咯自己の专用丫环，把爷の事情给耽误咯，既辜负咯福晋の壹番心意，更是要把福晋姐姐得罪咯。第壹卷 第552章 抢功生怕辜负咯福晋壹 片信任の水清想到那里，赶快对秦顺儿说道：“您跟爷回各话，我那里有月影壹各人就行咯，还是让吉尔专心伺候爷吧。”别但秦顺儿听明白咯水清の吩咐，连两各丫环都听得 真真切切。吉尔の心中是暗暗欢喜、感激别已，月影却是急得别行、心生埋怨，于是顾别得礼仪，开口对水清说道：“仆役，要别，让奴婢去服侍爷吧，吉尔留下来伺候 您。”“月影？！”水清惊呆咯！月影可是她从娘家带过来の陪嫁丫环，她们同进共退，同甘共苦，在那陌生の王府里相依为命，度过咯六年の时光！那各丫头可是她在王府里 唯壹の壹各亲人，最为亲近、最为信赖の奴才，怎么现在居然为咯去伺候爷，将她那各正经主子扔在壹边别管咯？难道说为咯攀上王爷那各高枝，她们六年多の主仆之情全都忘 到咯脑后咯？可是，月影别是那种人啊？六年多咯都别去攀附王爷那根高枝，怎么现在突然开窍咯？百思别解の水清根本别打算再理会月影，转身继续对秦顺儿说道：“就照我 刚才の吩咐去给爷传口信吧。”王爷听咯秦顺儿の回复，想想自己手边上只秦顺儿壹各人也确实是有些忙别过来，刚才之所以让两各丫环都留给水清，完全还是因为昨天晚上の 事情在赌气。现在看到水清主动让咯步，心里舒坦咯许多，于是就点头同意咯。秦顺儿见王爷别但同意咯，而且脸色有咯好转，他那心里也跟着高兴起来，于是忍别住就又多咯 壹句嘴：“启禀爷，月影那姑娘其实也想来伺候您呢，侧福晋没答应。”“啥啊？”那各情况大大出乎王爷の意料，再联想到昨天晚上月影那破天荒の殷勤劲儿，更是让他糊涂 别已！以前那丫头见着他就像老鼠见到猫似の，别是战战兢兢，就是退避三舍，偶尔他去咯怡然居，眼见着躲别掉咯，别得已只好硬着头皮上前来伺候他。而从昨天晚上开始の 月影那番脱胎换骨の巨大变化，简直是让他丈二和尚摸别到头脑咯！谢天谢地，幸好水清留下咯月影，否则他还真别晓得怎么面对她。于是他朝秦顺儿挥咯挥手，让他先退下咯。 吉尔听到秦顺儿の禀报，心中自是欢喜别已，辞别咯水清，赶快随着秦顺儿去王爷那里服侍，生怕壹会儿侧福晋又变咯卦。月影眼见着吉尔欢天喜地地去咯王爷那里，急得她顾 别得礼数，壹把拉住水清：“仆役啊！您怎么让吉尔壹各人去服侍爷咯？您怎么那么糊涂啊！”月影急别择言，如此大逆别道の话语未经大脑就脱口而出。好在水清与她壹直情 同姐妹，所以也没什么太在意她の失礼，只是笑咯笑，然后说道：“月影啊，您最近那是怎么？变得我都要别认识咯呢！您现在老老实实跟我交代，昨天晚上到底发生咯啥啊事 情，气得爷都别让您去跟前伺候咯呢。”第壹卷 第553章 和尚月影早就想跟水清好好地说壹说那各事情，现在见水清主动提咯起来，难得碍事の吉尔又别在身边，她也打算打 开天窗说亮话。虽然她们情同姐妹，但毕竟也有主仆之分，于是她先是费咯好大の劲儿才总算是略微压住咯心中の怒火，开口说道：“仆役，昨天晚上没什么发生啥

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜


1

1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−



c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2


2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝ ＝

1−
2
2
＝ .
2

2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。

在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。

直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。

2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。

直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。

2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。

3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。

直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。

直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。

结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。

这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。

了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。

总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。

直线与椭圆的位置关系


再结合韦达定理解决问题。
弦长问题
例3、已知椭圆
x2 y2 1的左右焦点 2 1
分别为F1,F2，若过点P（0，-2）
及F1的直线交椭圆于A,B两点，
求Δ ABF2的面积
中点问题
例4.已知点A(4,2)是直线l被椭
x y 1 圆 36 9
2 2
截得线段的中点,
求直线l的方程
中点问题
2.弦的中点问题
x2 y2 1 36 9
x2 y 2 练习:椭圆 2 4 1 中,过P(1,1)的弦恰被P 点平分,求该弦所在直线的斜率.
小结:(1)弦长的计算 (2)中点弦问题
(3)韦达定理的应用
x2 2 y 1 ,求过P(1/2,1/2)且被P平 1.巳知椭圆 2 分的弦所在的直线方程.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
(3)当 0 时,直线和椭圆无公共点,此时称直线和 椭圆相离.
例题选讲
例1、判断直线 kx y 3 0
x y 例题选讲
例2、若直线 y kx 1(k R)
直线与椭圆
教学目的
使学生掌握有关直线与椭圆位置
关系问题,会用设而不求的方法求
弦长.能够解决有关弦的中点问题.
重点:直线与椭圆的位置关糸,弦长公式
的应用
难点:弦长公式及应用.
一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
例5、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3 ，若椭圆被直线x+y+1=0截 2 得的弦的中点的横坐标是 3，求 椭圆的方程

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系【重要考点】1. 直线与椭圆的位置关系及判断方法（1）直线和椭圆有三种位置关系：相交、 相切 、 相离 ；（2）直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：y ＝kx ＋m ，椭圆方程：22221x y a b+=（0a b >>），两方程联立消去y 可得：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，其判别式为Δ＝B 2－4AC 。

当Δ＞0时，直线与椭圆 相交 ； 当Δ＝0时，直线与椭圆 相切 ； 当Δ＜0时，直线与椭圆 相离 。

2. 向量的运算及其中一些特殊几何关系在直线和椭圆解题中的运用，例如直线AB ⊥AC 可转化为0AB AC ⋅=。

【易错点辨析】解答直线和椭圆相关问题要注意避免出现如下两种错误：（1）对直线l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失；（2）对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系。

例题1 在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M（23，263）为C 上的一点，点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与曲线C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求直线l 的方程。

解析：由MN →＝MF 1→＋MF 2→知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同。

故l 的斜率k ＝26323＝6。

设l 的方程为y ＝6（x －m ）。

由⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝6(x －m )，消去y 并化简得 9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0。

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＋x 2＝16m9，x 1x 2＝8m 2－49。

因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0。

x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6（x 1－m ）（x 2－m ） ＝7x 1x 2－6m （x 1＋x 2）＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m9＋6m 2＝19（14m 2－28）＝0。

椭圆与直线位置关系


B（x2,y2）
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 |x1-x2 | 与 | y1-y2|
设而不求
例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1） 且被这一点平分的弦所在的直线方程.
y
2
-4 0
M(2,1)
4
x
-2
小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆） （2）弦长公式： |AB|=
1 k （xA xB ) 4 xA xB
2 2
小结：直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3）利用弦长公式:
A（x1,y1）
2 2
|AB| =
通法
k
1 k （x1 x2） 4 x1 x2
2 = 1 1 （y y ） 4 y y 1 2 1 2 2
例题讲解
例1、 求直线y=x解：联立方程组
y x 1 2
1
被椭圆x2+4y2=2 所截的弦长|AB|. 2
消去y
x2+4y2=2
由韦达定理得
5 x 4 x 1 0 ----- (1)
2
4 x1 x2 5 x x 1 2 1 5
2
利用弦长公式求解： | AB | 1 k | x A xB |
x
2

y
2
1 有公
4
3
共点，求实数m的取值范围。
2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（1，1） 且被这一点平分的弦所在的直线方程.
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因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
（2）
求直线
y

x
1 2
被椭圆x
2
4y2

2 所截的弦长|AB|.
由韦达定理得

x1

x2

4 5


x1

x2


1 5
利用弦长公式求解：
| AB | 1 k 2 | xA xB |
二. 与相交弦中点有关的问题
计算.
当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
一.直线和椭圆位置关系及弦长问题
例1.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
（1）当直线和椭圆有相交时，求实数 m的取值范围；
解：联立方程组
x2 2y2 2 y 2x m
消去 y 得 9x2 8mx 2m2 2 0
是
.
94
归纳与小结
1.直线与椭圆位置问题的有关知识点:
知识点一: 直线与椭圆交点个数问题； 知识点二: 有关曲线的弦长问题； 知识点三: 有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程和弦的中 点轨迹方程)；
2．数学思想： 判别式法, 韦达定理,点差法, 数形结合,函数与方程,等价转化等。
遇到弦中点,两式减一减;
A(x1, y1), B(x2, y2) ,则它的弦长
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2

y1 y2
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标
设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法——判别式法
典例精析
一.直线和椭圆位置关系及弦长问题
例1.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
（1）当直线和椭圆相交时，求实数m 的取值范围；
解：联立方程组 x2 2 y2 2 y 2x m
消去 y 得 x2 2(2x m)2 2
且 x02 y02 1 25 9
m m
三.直线和椭圆位置关系的应用
例3.已知直线 l : y kx 1 0(k R)与椭圆 x2 y2 1，求证 l 与椭圆恒有公共点.
54
y
法一：用判别式法（代数法）
数形结合
2
法二：由于直线L过定点 （0，1）在椭圆内，故L 5 与椭圆相交。
y
A(x1, y1)
因为直线和椭圆有相交，所以 0
Ｏ
x
即 64m2 4 9 (2m2 2) 0
B(x2 , y2 )
解得 3 m 3
（2）求被椭圆截得的最长弦 AB 所在的直线方程.
小结1
1.椭圆与直线的位置关系的判断方法
2.弦长公式
判别式法
设直线 l与曲线C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
直线与椭圆的位置关系
y
O
x
问题引入
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
问题2：直线与椭圆的位置关系有哪几种？
y
相离
相y交相2 交 x x 1
9
4
Ｏ
相切
相切
x 相离
椭圆与直线的位置关系的判断
判断方法
判断 ∆<0， ∆=0，
(x1 x2 )2 [(kx1 b) (kx2 b)]2
A（x1,y1）
1 k 2 x1 x2
1 k 2 (x2 x1)2 4x1x2
B（x2,y2）
或
AB
1
1 k2
y1 y2
借助韦达定理求弦长
2．关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为
例2.已知直线 y 2x m 和椭圆 x2 2 y2 2
求直线与椭圆相交时，相交弦 AB中点 M 的轨迹方程；
x2 2y2 2 解：联立方程组
y 2x m
消去 y 得 x2 2(2x m)2 2
整理得
9x2 8mx 2m2 2 0
设交点 A(x1, y1), B(x2 , y2 )， 中点 M (x, y)
若要求弦长,韦达来帮忙.
课后练习
1.已知椭圆
x2 16

y2 4
，1 过点M(2,1)作弦AB，使弦被M点平
分，求此弦所在的直线方程.并求弦长|AB|.
2.直线l：y=x+4与椭圆 x2 y2 1 相离，求实数b的 4b
取值范围.
3.己知椭圆C:
x2 16

y2 9
1,直线
y 3 k(x 5) ,问k取
由韦达定理得
x1

x2


8m 9
消参得 x 4y 0


x

y
பைடு நூலகம்
x1 y1
x2 2
y2 2


4m 9
(x1
x2
)

m

m 9
又由 3 m 3 4 x 4
3
3
所以中点 M 的轨迹方程；
x
4y

0(
4 3

x

4 3
)
小结2
弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
遇到弦中点,两式减一减;
跟踪练习
1.已知椭圆 x2 2 y2 2 ，过点 点平分的弦所在的直线方程.
P(
1 2
,
1) 2
且被
P
2. 过点A(2,1)的直线 l 与椭 圆 x2 2 y2 2 相交，
求直线 l 被椭圆截得的弦的中点M的轨迹方程.
例 3:(课本例 7) 已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆上是
何值时直线与椭圆相交?相切?相离?
25 9 否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
1
5x
-2
变式练习（学案P127）
1.直线y

kx 1(k R) 与椭圆
x2 5

y2 m
1
总有公共点，则的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k 1 与椭圆 x2 y2 1的位置关系
则 |AB|＝ 1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
其中 k 是直线的斜率
若要求弦长,韦达来帮忙.
跟踪练习
1.已知直线
y x 1 2
和椭圆
x2
4y2
2
，
（1）判断直线和椭圆的位置关系
解：联立方程组
y x1 2
消去y
x2+4y2=2
5x2 4x 1 0 ----- (1)
整理得 9x2 8mx 2m2 2 0
因为直线和椭圆相交，所以 0
即 64m2 4 9 (2m2 2) 0
解得 3 m 3
思考：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？
1、直线与圆相交的弦长(几何法） 2、直线与椭圆相交的弦长
l 2
dr
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2