一、知识梳理１．两条直线平行与垂直的判定（１）两条直线平行对于两条不重合的直线l１，l２，其斜率都存在且分别为k１，k２，则有l１∥l２⇔k１＝k２；特别地，当直线l１，l２的斜率都不存在时，l１与l２平行．（２）两条直线垂直如果两条直线l１，l２斜率都存在，设为k１，k２，则l１⊥l２⇔k１·k２＝—１，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．２．两直线相交直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0和l２：A２x＋B２y＋C２＝0的公共点的坐标与方程组错误!的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．３．两种距离点点距点P１（x１，y１），P２（x２，y２）之间的距离|P１P２|＝错误!点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!常用结论１．两个充要条件（１）两直线平行或重合的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0平行或重合的充要条件是A１B２—A２B＝0．１（２）两直线垂直的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件是A１A２＋B１B２＝0．２．六种常见对称（１）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（—x，—y）．（２）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，—y），关于y轴的对称点为（—x，y）．（３）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝—x的对称点为（—y，—x）．（４）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（２a—x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，２b—y）．（５）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（２a—x，２b—y）．（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k—y，k—x），关于直线x—y＝k的对称点为（k ＋y，x—k）．３．三种直线系方程（１）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．（２）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx—Ay＋n＝0（n∈R）．（３）过直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与l２：A２x＋B２y＋C２＝0的交点的直线系方程为A１x＋B１y ＋C１＋λ（A２x＋B２y＋C２）＝0（λ∈R），但不包括l２.二、教材衍化１．已知点（a，２）（a>0）到直线l：x—y＋３＝0的距离为１，则a＝________．解析：由题意得错误!＝１．解得a＝—１＋错误!或a＝—１—错误!.因为a>0，所以a＝—１＋错误!.答案：错误!—１２．已知P（—２，m），Q（m，４），且直线PQ垂直于直线x＋y＋１＝0，则m＝________．解析：由题意知错误!＝１，所以m—４＝—２—m，所以m＝１．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）当直线l１和l２的斜率都存在时，一定有k１＝k２⇒l１∥l２.（）（２）如果两条直线l１与l２垂直，则它们的斜率之积一定等于—１．（）（３）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（）（４）已知直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0，l２：A２x＋B２y＋C２＝0（A１，B１，C１，A２，B２，C２为常数），若直线l１⊥l２，则A１A２＋B１B２＝0．（）（５）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；（２）判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；（３）求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．１．直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则m＝________．解析：直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则有错误!＝错误!≠错误!，故m＝２或—３．答案：２或—３２．若直线（３a＋２）x＋（１—４a）y＋8＝0与（５a—２）x＋（a＋４）y—7＝0垂直，则a ＝________．解析：由两直线垂直的充要条件，得（３a＋２）（５a—２）＋（１—４a）（a＋４）＝0，解得a＝0或a＝１．答案：0或１３．直线２x＋２y＋１＝0，x＋y＋２＝0之间的距离是________．解析：先将２x＋２y＋１＝0化为x＋y＋错误!＝0，则两平行线间的距离为d＝错误!＝错误!.答案：错误!两直线的位置关系（多维探究）角度一判断两直线的位置关系（２0２0·天津静海区联考）“a＝１”是“直线ax＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】设直线l１：ax＋２y—8＝0，直线l２：x＋（a＋１）y＋４＝0．若l１与l２平行，则a（a ＋１）—２＝0，即a２＋a—２＝0，解得a＝１或a＝—２．当a＝—２时，直线l１的方程为—２x＋２y—8＝0，即x—y＋４＝0，直线l２的方程为x—y＋４＝0，此时两直线重合，则a≠—２．当a＝１时，直线l１的方程为x＋２y—8＝0，直线l２的方程为x＋２y＋４＝0，此时两直线平行．故“a＝１”是“直线ax ＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的充要条件．故选Ａ．【答案】A角度二由两直线的位置关系求参数（１）（２0２0·安徽芜湖四校联考）直线（２m—１）x＋my＋１＝0和直线mx＋３y＋３＝0垂直，则实数m的值为（）A．１Ｂ．0C．２Ｄ．—１或0（２）（２0２0·陕西宝鸡中学二模）若直线x＋（１＋m）y—２＝0与直线mx＋２y＋４＝0平行，则m的值是（）A．１Ｂ．—２C．１或—２Ｄ．—错误!【解析】（１）由两直线垂直可得m（２m—１）＋３m＝0，解得m＝0或—１．故选Ｄ．（２）１当m＝—１时，两直线方程分别为x—２＝0和x—２y—４＝0，此时两直线相交，不符合题意．２当m≠—１时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得错误!解得m＝１．综上可得m＝１．故选Ａ．【答案】（１）D （２）A角度三由两直线的位置关系求直线方程（一题多解）经过两条直线２x＋３y＋１＝0和x—３y＋４＝0的交点，并且垂直于直线３x ＋４y—7＝0的直线的方程为________．【解析】法一：由方程组错误!解得错误!即交点为错误!，因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝错误!.由点斜式得所求直线方程为y—错误!＝错误!错误!，即４x—３y＋9＝0．法二：由垂直关系可设所求直线方程为４x—３y＋m＝0，由方程组错误!可解得交点为错误!，代入４x—３y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为４x—３y＋9＝0．法三：由题意可设所求直线的方程为（２x＋３y＋１）＋λ（x—３y＋４）＝0，即（２＋λ）x＋（３—３λ）y＋１＋４λ＝0，１又因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以３（２＋λ）＋４（３—３λ）＝0，所以λ＝２，代入１式得所求直线方程为４x—３y＋9＝0．【答案】４x—３y＋9＝0错误!两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．（１）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．（２）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于—１．[提醒] 判断两条直线的位置关系应注意：（１）注意斜率不存在的特殊情况．（２）注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．１．求满足下列条件的直线方程．（１）过点P（—１，３）且平行于直线x—２y＋３＝0；（２）已知A（１，２），B（３，１），线段AB的垂直平分线．解：（１）设直线方程为x—２y＋c＝0，把P（—１，３）代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x—２y＋7＝0．（２）AB的中点为错误!，即错误!，直线AB的斜率k AB＝错误!＝—错误!，故线段AB的垂直平分线的斜率k＝２，所以其方程为y—错误!＝２（x—２），即４x—２y—５＝0．２．（一题多解）已知直线l１：ax＋２y＋6＝0和直线l２：x＋（a—１）y＋a２—１＝0．（１）试判断l１与l２是否平行；（２）当l１⊥l２时，求a的值．解：（１）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１不平行于l２；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不平行于l２；当a≠１且a≠0时，两直线可化为l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），l１∥l２⇔错误!解得a＝—１，综上可知，当a＝—１时，l１∥l２.法二：由A１B２—A２B１＝0，得a（a—１）—１×２＝0，由A１C２—A２C１≠0，得a（a２—１）—１×6≠0，所以l１∥l２⇔错误!⇔错误!可得a＝—１，故当a＝—１时，l１∥l２.（２）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１与l２不垂直，故a＝１不成立；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不垂直于l２，故a＝0不成立；当a≠１且a≠0时，l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），由错误!·错误!＝—１，得a＝错误!.法二：由A１A２＋B１B２＝0，得a＋２（a—１）＝0，可得a＝错误!.两条直线的交点和距离问题（典例迁移）（１）经过两直线l１：x—２y＋４＝0和l２：x＋y—２＝0的交点P，且与直线l３：３x—４y ＋５＝0垂直的直线l的方程为__________________．（２）（２0２0·宿州模拟）已知点P（４，a）到直线４x—３y—１＝0的距离不大于３，则a的取值范围是________．（３）（２0２0·厦门模拟）若两平行直线３x—２y—１＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为错误!，则c的值是________．【解析】（１）由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l⊥l３，所以直线l的斜率k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!x，即４x＋３y—6＝0．（２）由题意得，点P到直线的距离为错误!＝错误!.又错误!≤３，即|１５—３a|≤１５，解得0≤a≤１0，所以a的取值范围是[0，１0]．（３）依题意知，错误!＝错误!≠错误!，解得a＝—４，c≠—２，即直线6x＋ay＋c＝0可化为３x—２y＋错误!＝0，又两平行线之间的距离为错误!，所以错误!＝错误!，解得c＝２或—6．【答案】（１）４x＋３y—6＝0 （２）[0，１0] （３）２或—6【迁移探究】若将本例（１）中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解：法一：由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l∥l３，所以直线l的斜率k＝错误!，所以直线l的方程为y—２＝错误!x，即３x—４y＋8＝0．法二：因为直线l过直线l１和l２的交点，所以可设直线l的方程为x—２y＋４＋λ（x＋y—２）＝0，即（１＋λ）x＋（λ—２）y＋４—２λ＝0．因为l与l３平行，所以３（λ—２）—（—４）（１＋λ）＝0，且（—４）（４—２λ）≠５（λ—２），所以λ＝错误!，所以直线l的方程为３x—４y＋8＝0．错误!（１）求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．（２）利用距离公式应注意：１点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0—a|，到直线y＝b的距离d＝|y0—b|；２应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．１．已知A（２，0），B（0，２），若点C在函数y＝x２的图象上，则使得△ABC的面积为２的点C 的个数为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１解析：选Ａ．设点C（t，t２），直线AB的方程是x＋y—２＝0，|AB|＝２错误!.由于△ABC的面积为２，则这个三角形中AB边上的高h满足方程错误!×２错误!h＝２，即h＝错误!.由点到直线的距离公式得错误!＝错误!，即|t＋t２—２|＝２，即t２＋t—２＝２或者t２＋t—２＝—２．因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有４个．２．已知直线y＝kx＋２k＋１与直线y＝—错误!x＋２的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．解析：如图，已知直线y＝—错误!x＋２与x轴、y轴分别交于点A（４，0），B（0，２）．而直线方程y＝kx＋２k＋１可变形为y—１＝k（x＋２），表示这是一条过定点P（—２，１），斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上（不包括端点），所以动直线的斜率k需满足k PA<k<k PB.因为k PA＝—错误!，k PB＝错误!.所以—错误!<k<错误!.答案：错误!３．（一题多解）直线l过点P（—１，２）且到点A（２，３）和点B（—４，５）的距离相等，则直线l的方程为________．解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y—２＝k（x＋１），即kx—y＋k＋２＝0．由题意知错误!＝错误!，即|３k—１|＝|—３k—３|，所以k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝—１，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝—错误!，直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当l过AB的中点时，AB的中点为（—１，４），所以直线l的方程为x＝—１，故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．答案：x＋３y—５＝0或x＝—１对称问题（多维探究）角度一点关于点的对称过点P（0，１）作直线l，使它被直线l１：２x＋y—8＝0和l２：x—３y＋１0＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．【解析】设l１与l的交点为A（a，8—２a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（—a，２a—6）在l２上，把B点坐标代入l２的方程得—a—３（２a—6）＋１0＝0，解得a＝４，即点A（４，0）在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋４y—４＝0．【答案】x＋４y—４＝0角度二点关于线的对称如图所示，已知两点A（４，0），B（0，４），从点P（２，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）Ａ．２错误!Ｂ．6Ｃ．３错误!Ｄ．２错误!【解析】易得AB所在的直线方程为x＋y＝４，由于点P关于直线AB的对称点为A１（４，２），点P关于y轴对称的点为A２（—２，0），则光线所经过的路程即A１（４，２）与A２（—２，0）两点间的距离．于是|A１A２|＝错误!＝２错误!.【答案】A角度三线关于线的对称直线２x—y＋３＝0关于直线x—y＋２＝0对称的直线方程是（）Ａ．x—２y＋３＝0 Ｂ．x—２y—３＝0Ｃ．x＋２y＋１＝0 Ｄ．x＋２y—１＝0【解析】设所求直线上任意一点P（x，y），则P关于直线x—y＋２＝0的对称点为P′（x0，y0），由错误!得错误!由点P′（x0，y0）在直线２x—y＋３＝0上，所以２（y—２）—（x＋２）＋３＝0，即x—２y＋３＝0．【答案】A错误!（１）中心对称问题的２个类型及求解方法１点关于点对称：若点M（x１，y１）及N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得错误!进而求解；２直线关于点的对称，主要求解方法：（a）在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；（b）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．（２）轴对称问题的２个类型及求解方法１点关于直线的对称：若两点P１（x１，y１）与P２（x２，y２）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组错误!可得到点P１关于l对称的点P２的坐标（x２，y２）（其中B≠0，x１≠x２）．２直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l：２x—３y＋１＝0，点A（—１，—２）．求：（１）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（２）直线m：３x—２y—6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（３）直线l关于点A（—１，—２）对称的直线l′的方程．解：（１）设A′（x，y），由已知错误!解得错误!所以A′错误!.（２）在直线m上取一点，如M（２，0），则M（２，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′（a，b），则错误!解得M′错误!.设直线m与直线l的交点为N，则由错误!得N（４，３）．又因为m′经过点N（４，３），所以由两点式得直线m′的方程为9x—４6y＋１0２＝0．（３）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（—１，—２）的对称点为P′（—２—x，—４—y），因为P′在直线l上，所以２（—２—x）—３（—４—y）＋１＝0，即２x—３y—9＝0．直线系方程的应用一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．求与直线３x＋４y＋１＝0平行且过点（１，２）的直线l的方程．【解】依题意，设所求直线方程为３x＋４y＋C１＝0（C１≠１），因为直线过点（１，２），所以３×１＋４×２＋C１＝0，解得C１＝—１１．因此，所求直线方程为３x＋４y—１１＝0．先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C１＝0（C１≠C），再由其他条件求C１. 错误!二、垂直直线系由于直线A１x＋B１y＋C１＝0与A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件为A１A２＋B１B２＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．求经过A（２，１），且与直线２x＋y—１0＝0垂直的直线l的方程．【解】因为所求直线与直线２x＋y—１0＝0垂直，所以设该直线方程为x—２y＋C１＝0，又直线过点A（２，１），所以有２—２×１＋C１＝0，解得C１＝0，所以所求直线方程为x—２y＝0．错误!先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx—Ay＋C１＝0，再由其他条件求出C１.三、过直线交点的直线系求经过直线l１：３x＋２y—１＝0和l２：５x＋２y＋１＝0的交点，且垂直于直线l３：３x—５y＋6＝0的直线l的方程．【解】法一：将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２）．由题意得直线l３的斜率为错误!，又直线l⊥l３，所以直线l的斜率为—错误!，则直线l的方程是y—２＝—错误!（x＋１），即５x＋３y—１＝0．法二：由于l⊥l３，所以可设直线l的方程是５x＋３y＋C＝0，将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２），则点（—１，２）在直线l上，所以５×（—１）＋３×２＋C＝0，解得C＝—１，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．法三：设直线l的方程为３x＋２y—１＋λ（５x＋２y＋１）＝0，整理得（３＋５λ）x＋（２＋２λ）y＋（—１＋λ）＝0．由于l⊥l３，所以３（３＋５λ）—５（２＋２λ）＝0，解得λ＝错误!，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．错误!本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l１与l２的交点坐标，方便简捷，是最优解法．四、直线恒过定点已知λ∈R，求证直线l：（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0恒过定点，并求出该定点坐标．【解】将（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0化成（２x＋３y—7）λ＋（x＋y—３）＝0．要使直线恒过定点，必须错误!解得错误!即直线l恒过定点（２，１）．错误!直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax ＋By＋C＝0化为（a１x＋b１y＋c１）λ＋（a２x＋b２y＋c２）＝0．通过方程组错误!，即可求出直线恒过的定点．[基础题组练]１．已知直线l１：mx＋y—１＝0与直线l２：（m—２）x＋my—２＝0，则“m＝１”是“l１⊥l２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．充要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由l１⊥l２，得m（m—２）＋m＝0，解得m＝0或m＝１，所以“m＝１”是“l１⊥l２”的充分不必要条件，故选Ａ．２．已知直线l１：（k—３）x＋（４—k）y＋１＝0与l２：２（k—３）x—２y＋３＝0平行，则k 的值是（）Ａ．１或３Ｂ．１或５Ｃ．３或５Ｄ．１或２解析：选Ｃ．法一：由两直线平行得，当k—３＝0时，两直线的方程分别为y＝—１和y＝错误!，显然两直线平行．当k—３≠0时，由错误!＝错误!≠错误!，可得k＝５．综上，k的值是３或５．法二：当k＝３时，两直线平行，故排除B，D；当k＝１时，两直线不平行，排除Ａ．３．（２0２0·安徽江南十校二联）已知直线l１：mx—３y＋6＝0，l２：４x—３my＋１２＝0，若l∥l２，则l１，l２之间的距离为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由于两条直线平行，所以m·（—３m）—（—３）·４＝0，解得m＝±２，当m＝２时，两直线方程都是２x—３y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝—２时，l１：２x＋３y—6＝0，l２：２x＋３y＋6＝0，故l１，l２之间的距离为错误!＝错误!.故选Ａ．４．若点P在直线３x＋y—５＝0上，且P到直线x—y—１＝0的距离为错误!，则点P的坐标为（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，１）Ｃ．（１，２）或（２，—１）Ｄ．（２，１）或（—１，２）解析：选Ｃ．设P（x，５—３x），则d＝错误!＝错误!，化简得|４x—6|＝２，即４x—6＝±２，解得x＝１或x＝２，故P（１，２）或（２，—１）．５．直线ax＋y＋３a—１＝0恒过定点M，则直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为（）Ａ．２x＋３y—１２＝0 Ｂ．２x—３y—１２＝0Ｃ．２x—３y＋１２＝0 Ｄ．２x＋３y＋１２＝0解析：选Ｄ．由ax＋y＋３a—１＝0，可得a（x＋３）＋（y—１）＝0，令错误!可得x＝—３，y ＝１，所以M（—３，１），M不在直线２x＋３y—6＝0上，设直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为２x＋３y＋c＝0（c≠—6），则错误!＝错误!，解得c＝１２或c＝—6（舍去），所以所求方程为２x＋３y＋１２＝0，故选Ｄ．6．与直线l１：３x＋２y—6＝0和直线l２：6x＋４y—３＝0等距离的直线方程是________．解析：l２：6x＋４y—３＝0化为３x＋２y—错误!＝0，所以l１与l２平行，设与l１，l２等距离的直线l的方程为３x＋２y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋错误!|，解得c＝—错误!，所以l的方程为１２x＋8y—１５＝0．答案：１２x＋8y—１５＝07．l１，l２是分别经过A（１，１），B（0，—１）两点的两条平行直线，当l１，l２间的距离最大时，直线l１的方程是________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝错误!＝２，所以两条平行直线的斜率为k＝—错误!，所以直线l１的方程是y—１＝—错误!（x—１），即x＋２y—３＝0．答案：x＋２y—３＝08．已知点A（—１，２），B（３，４）．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．解析：设AB的中点坐标为M（１，３），k AB＝错误!＝错误!，所以AB的中垂线方程为y—３＝—２（x—１）．即２x＋y—５＝0．令y＝0，则x＝错误!，即P点的坐标为（错误!，0），|AB|＝错误!＝２错误!.点P到AB的距离为|PM|＝错误!＝错误!.所以S△PAB＝错误!|AB|·|PM|＝错误!×２错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．已知两直线l１：ax—by＋４＝0和l２：（a—１）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（１）l１⊥l２，且直线l１过点（—３，—１）；（２）l１∥l２，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：（１）因为l１⊥l２，所以a（a—１）—b＝0．又因为直线l１过点（—３，—１），所以—３a＋b＋４＝0．故a＝２，b＝２．（２）因为直线l２的斜率存在，l１∥l２，所以直线l１的斜率存在．所以错误!＝１—a.１又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l１，l２在y轴上的截距互为相反数，即错误!＝b.２联立１２可得a＝２，b＝—２或a＝错误!，b＝２．１0．已知直线l经过直线２x＋y—５＝0与x—２y＝0的交点P.（１）点A（５，0）到直线l的距离为３，求直线l的方程；（２）求点A（５，0）到直线l的距离的最大值．解：（１）因为经过两已知直线交点的直线系方程为（２x＋y—５）＋λ（x—２y）＝0，即（２＋λ）x＋（１—２λ）y—５＝0，所以错误!＝３，解得λ＝错误!或λ＝２．所以直线l的方程为x＝２或４x—３y—５＝0．（２）由错误!解得交点P（２，１），如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．所以d max＝|PA|＝错误!.[综合题组练]１．已知直线y＝２x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（—４，２），（３，１），则点C的坐标为（）Ａ．（—２，４）Ｂ．（—２，—４）Ｃ．（２，４）Ｄ．（２，—４）解析：选Ｃ．设A（—４，２）关于直线y＝２x的对称点为（x，y），则错误!解得错误!所以BC所在的直线方程为y—１＝错误!（x—３），即３x＋y—１0＝0．同理可得点B（３，１）关于直线y＝２x 的对称点为（—１，３），所以AC所在的直线方程为y—２＝错误!·（x＋４），即x—３y＋１0＝0．联立得错误!解得错误!则C（２，４）．故选Ｃ．２．两条平行线l１，l２分别过点P（—１，２），Q（２，—３），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l１，l２之间距离的取值范围是（）Ａ．（５，＋∞）Ｂ．（0，５]C．（错误!，＋∞）Ｄ．（0，错误!]解析：选Ｄ．当直线PQ与平行线l１，l２垂直时，|PQ|为平行线l１，l２间的距离的最大值，为错误!＝错误!，所以l１，l２之间距离的取值范围是（0，错误!]．故选Ｄ．３．在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l１：x—my＋２m—１＝0，l２：mx＋y—m—２＝0的交点为P，过点O分别向直线l１，l２引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN 面积的最大值为（）Ａ．３Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．错误!解析：选Ｄ．将直线l１的方程变形得（x—１）＋m（２—y）＝0，由错误!，得错误!，则直线l１过定点A（１，２），同理可知，直线l２过定点A（１，２），所以，直线l１和直线l２的交点P的坐标为（１，２），易知，直线l１⊥l２，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝错误!＝错误!，设|OM|＝a，|ON|＝b，则a２＋b２＝５，四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤错误!＝错误!，当且仅当错误!，即当a＝b＝错误!时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为错误!，故选Ｄ．４．如图，已知A（—２，0），B（２，0），C（0，２），E（—１，0），F（１，0），一束光线从F 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，因为点A（—２，0）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为A１（２，４），所以kA１F＝４．又点E（—１，0）关于直线AC：y＝x＋２的对称点为E１（—２，１），点E１（—２，１）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为E２（１，４），此时直线E２F的斜率不存在，所以k FD>kA１F，即k FD∈（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．正方形的中心为点C（—１，0），一条边所在的直线方程是x＋３y—５＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋３y—５＝0的距离d＝错误!＝错误!.设与x＋３y—５＝0平行的一边所在直线的方程是x＋３y＋m＝0（m≠—５），则点C到直线x＋３y＋m＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝—５（舍去）或m＝7，所以与x＋３y—５＝0平行的边所在直线的方程是x＋３y＋7＝0．设与x＋３y—５＝0垂直的边所在直线的方程是３x—y＋n＝0，则点C到直线３x—y＋n＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得n＝—３或n＝9，所以与x＋３y—５＝0垂直的两边所在直线的方程分别是３x—y—３＝0和３x—y＋9＝0．6．在直线l：３x—y—１＝0上求一点P，使得：（１）P到A（４，１）和B（0，４）的距离之差最大；（２）P到A（４，１）和C（３，４）的距离之和最小．解：（１）如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|—|PB|＝|PA|—|PB′|<|AB′|＝|P0A|—|P0B′|＝|P0A|—|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋３y—１２＝0，设B′（a，b），则a＋３b—１２＝0，１又线段BB′的中点错误!在l上，故３a—b—6＝0．２由１２解得a＝３，b＝３，所以B′（３，３）．所以AB′所在直线的方程为２x＋y—9＝0．由错误!可得P0（２，５）．（２）设C关于l的对称点为C′，与（１）同理可得C′错误!.连接AC′交l于P１，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P１C′|＋|P１A|＝|P１C|＋|P１A|，故P１即为所求．又AC′所在直线的方程为１9x＋１7y—9３＝0，故由错误!可得P１错误!.。
第2讲 两条直线的位置关系【2013年高考会这样考】1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3. 答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5. 答案 D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )．A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132.答案13 2考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交．(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二 两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 法一 先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0， 得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0， 即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎨⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎨⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3. 则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，①将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.②①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三 距离公式的应用【例3】►(2011·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.答案 －2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四 对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C .解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】►(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.【示例2】►(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。
