2019高考数学一轮复习课件集合.ppt

第1讲集合的概念与运算板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1集合与元素1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4．常见数集的记法A B或B A∅⊆A∅B(B≠∅)[必会结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或m＝12.()(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.()(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．()(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}答案 A解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则() A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为()A．1 B．3C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0,1}，故A∩(∁B)的真子集的个数为3.故选B.R板块二典例探究·考向突破考向集合的基本概念例1(1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B ＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．3C．5 D．7答案 C解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p －q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p ＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选C.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.答案－1解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．【变式训练1】(1)[2018·昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N *}，B ＝{|y 4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 3解析 解不等式x 2－9x <0可得0<x <9，所以A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.考向 集合间的基本关系例 2 已知集合A ＝{x |x <－3或x >7}，B ＝{x |x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意知2m －1≤－3，m ≤－1，∴m 的取值范围是(－∞，－1]．本例中的B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，其余不变，该如何求解？解 当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，则m <2.当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>7， 解得m >6.综上可知m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．本例中的A 改为A ＝{x |－3≤x ≤7}，B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又该如何求解？解 当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时有m ＋1>2m －1，即m <2；当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－3，2m －1≤7，m ≥2，解得2≤m ≤4. 综上可知m 的取值范围是(－∞，4]．触类旁通根据两集合的关系求参数的方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【变式训练2】 设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B A ，求实数a 组成的集合C .解 (1)由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3,5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5.∴B ＝{5}．∴B A .(2)∵A ＝{3,5}，又B A ，故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a .∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 考向 集合的基本运算 命题角度1 集合的交集及运算例 3 [2017·山东高考]设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( )A ．(－1,1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．故选C.命题角度2 集合的并集及运算例 4 [2018·武汉模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x －x 2>0}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >1}D ．{x |x >0} 答案 D解析 由2x －x 2>0得0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}，由y ＝e x ＋1得y >1，故B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >0}．故选D.命题角度3 集合的补集及运算例 5 [2016·浙江高考]已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁R Q＝(－2,2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2,3]．故选B.命题角度4抽象集合的运算例6[2018·唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝{|x x＋1x－6≤0，B＝{x|2x<1}，则下图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x<0}C．{x|0≤x<6} D．{x|1≤x≤6}答案 C解析A＝{x|－1≤x<6}，B＝{x|x<0}，A∩(∁U B)＝{x|0≤x<6}．选C项．触类旁通集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和V enn图．核心规律解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．满分策略1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件．2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3.空集的特殊性：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列1——集合中的创新性问题[2018·吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M＝{2,3,6}，则∁U M表示的6位字符串为________；(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．解题视点考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．解析(1)由已知得，∁U M＝{1,4,5}，则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.答案(1)100110(2)4答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A．10个B．11个C．12个D．13个答案 D解析“孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}．“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}．“孤立元”是3的集合：{3}．“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}．“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}．共有13个．故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案 C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案 D解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D.5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y ＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C ．1D ．0答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.故选B.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 集合B ＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A ＝{1,2}，则集合C 的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.7.[2018·陕西模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{|x ∈Z x 3－x ≥0}，B ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x <3}D ．{x |0≤x ≤3}答案 B解析 题图中阴影部分表示的是A ∩B ，因为A ＝{|x ∈Z xx －3≤0}＝{|x ∈Z ⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤0，x －3≠0}＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z |－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.8．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.9．[2018·郑州模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －m x －2<0，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.10．设m ，n ∈R ，集合{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m ，则m －n ＝________.答案 －2解析 ∵{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m 且m ≠0，∴m ＋n ＝0, 即m ＝－n ，于是nm ＝－1.∴由两集合相等，得m ＝－1，n ＝1，∴m －n ＝－2.[B 级 知能提升]1．已知集合A ＝{|y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R }，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1}B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}答案 D解析 因为A ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y >0或y ＝－1，－2}，(∁R A )∩B ＝{－1，－2}．所以D 正确．2．[2018·湖南模拟]设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 集合A 讨论后利用数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －1≤a .解得1≤a ≤2或a ≤1，即a ≤2.故选B.3．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i 两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1答案 B解析 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误．4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解 (1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－52≤x ≤1， 所以P ＝{|x －52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{|x －52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．5．[2018·南宁段考]已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。