必修2数学直线的倾斜角与斜率试题

第八章 第一讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程

一 教材分析

1、地位和作用

直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用。本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.

2、教学目标

（1）对本节的知识进行梳理总结，使学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程。

（2）通过复习本节知识点，帮助学生对本节的知识有一个系统的了解，使学生从题海中脱离出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质

（3）通过几何问题与代数问题的相互转化培养学生数形结合的思想方法，使学生学会将“数”与“形”有机的结合起来。

3、教学重难点：

重点：学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程的五种形式。

难点：对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。 二、教学过程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_____ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴_____时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l倾斜角的范围是_________ 。

2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝_________。

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝_________。

3．直线方程的五种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) 不含直线x＝x0

斜截式 斜率k与截距b 不含垂直于x轴的直线

1．已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k的值为( )

A．0 B.33 C.3 D．1

解析：k＝tan30°＝33.

答案：B

2．若直线l经过点M(2,3)，N(2，－1)，则直线l的倾斜角为( )

A．0° B．30° C．60° D．90°

解析：M，N的横坐标相同，所以l的倾斜角为90°.

答案：D

3．已知直线l的斜率k满足－1≤k<1，则它的倾斜角α的取值范围是( )

A．－45°

B．－45≤α<45°

C．0°

D．0°≤α<45°或135°≤α<180°

答案：D

4．已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________．

解析：设Q(x,0)，则由tan150°＝－2x－3＝－33可求之．

答案：(3＋23，0)

5．如图，已知△ABC三个顶点坐标A(－2，1)，B(1,1)，C(－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．

解：由斜率公式知直线AB的斜率

kAB＝1－11－－＝0.

直线BC的斜率kBC＝4－1－2－1＝－1. 由于点A，C的横坐标均为－2，

所以直线AC的倾斜角为90°，其斜率不存在．

又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，

∴AB的倾斜角为0°，∴tan135°＝－tan45°＝－1，

∴BC的倾斜角为135°.

∴直线AB的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC的斜率为－1，倾斜角为135°，直线AC的斜率不存在，倾斜角为90°.

课堂小结

——本课须掌握的两大问题

1.倾斜角

理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x轴的交点；②角的一条边的方向是指向x轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．

2．斜率公式

(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝y1－y2x1－x2＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)．

数学关于《直线的倾斜角与斜率》测试题及答案

一、选择题

1.顺次连接A(-4，3)，B(2，5)，C(4，3)，D(-2，1)四点所组成的图形是( ).

A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.直角梯形

考查目的：考查直线的斜率计算公式及由斜率判断两条直线的位置关系的方法.

答案：C.

解析：由直线的斜率计算公式得，，，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形.

二、填空题

4.(2010湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .

考查目的：考查相互垂直的.两条直线的斜率关系与直线的斜率计算公式.

答案：-1.

解析：∵过P，Q 两点直线的斜率为，又∵直线(设其斜率为)是线段PQ的垂直平分线，∴，∴.

5.已知直线的斜率为3，直线经过点(1，2)，(2，).若直线∥，则 ；若直线⊥，则 .

考查目的：考查相互垂直和平行的两条直线的斜率关系及其应用.

答案：5，.

解析：∵，，∴若∥，则，即，解得；若⊥，则，即，解得.

6.下列命题正确的有 .

⑴任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；⑵平行于轴的直线的倾斜角是或；⑶直线的斜率范围是；⑷过原点的直线，斜率越大越靠近轴；⑸两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；⑹两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等.

考查目的：考查直线的倾斜角和斜率的概念，及相互间的关系. 答案：⑶⑸.

解析：⑴倾斜角为的直线没有斜率；⑵直线的倾斜角取值范围是；⑷斜率的绝对值越大，其对应的直线越靠近轴；⑹倾斜角为的直线没有斜率.

三、解答题

7.(2011安徽文改编)设直线，，其中实数，满足.求证：直线与相交.

考查目的：考查利用斜率判断两条直线位置关系的基本方法和反证法.

解析：(反证法)假设与不相交，则与平行，∴，代入得，，此时方程中，没有实数解，与题目条件“为实数”相矛盾，∴，即与相交.

8.已知两点(-3，4)，(3，2)，过点(2，-1)的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率的取值范围.

第1页

第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

一、基础达标

1．下列说法中，正确的是 ( )

A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0

D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

答案 D

解析 对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.

2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是 ( )

A．45°，1 B．135°，－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

答案 C

解析 由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.

3．(2014·乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于 ( )

A．1 B．5

C．－1 D．－5

答案 D

解析 由斜率公式可得：y＋34－2＝tan 135°，

∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D. 第2页

4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )

A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180°

C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°

答案 C

解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．

5．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )

A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3

答案 C

解析 由题意，得 kAC＝2，kAB＝2，即 b－5－1－3＝2，7－5a－3＝2.