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2012年8月13日星期W
邳州市铁富高级中学高三数学组
数列求和的常用方法
一、公式求和法
1、 等差数列的求和公式
2、 等比数列的求和公式
Sn
n (a1 a n ) 2
na 1
n( n 1) 2
d
na 1 S n a 1 (1 q n ) 1 q
强化练习题
注:关键抓住通项的裂项方式!
练习2:
n ( n 1 )n 2 1 n1 (4) __________ n1 n
11 1 1 (1 ) __________ 2 _ ( 2 ) n n 3 2 n n n n 2 1 1 1 1 2 n( n 1) (3) __________ ( n 1)( n 2) ________
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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若 a 1 S n a 2a
2
3 a na
3
2
n
1
11 1 __________3 3 n n
n_
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练习3: 强化练习题
( 1 ) 数列 1 ,1 2 ,1 2 2 ,1 2 2 2 , ,1 2 2
2 2 3 2
2
n1
,
n
n
na
n1
n1 na na 2 1 a (1 a ) 邳州市铁富高级中学高三数学组
n 2
( n 1)a (1 a )
2
n1
a
数列求和的常用方法
四、裂项相消法
例 3 .求通项为 a n
通项 分析： an
顾名思义，“裂项相消法” 就是把数列的项拆成几项，然 后，前后交叉相消为0达到求 和目的的一种方法！
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强化练习题
8、已知数列 {an} 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2, nN*), 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn. 解: ∵(2n+1)an=(2n-3)an-1, an 2n-3 a3 3 a2 1 an-1 2n-5 ∴ an-1 = 2n+1 . 则 a = 2n-1 , „, a2 = 7 , a1 = 5 . n-2 an 3 ∴ a1 = (2n+1)(2n-1) . 1 1 3 3 ∴an= (2n+1)(2n-1) = 2 ( 2n-1 - 2n+1 ). ∴Sn=a1+a2+„+an 3 [(1- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+„+( 1 - 1 )] =2 2n-1 2n+1 3 3 5 5 7 3n = 2n+1 .
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强化练习题
4.已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 {an} 的 通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 {bn} 前 n 项和Sn.
解: (1)设数列 {an} 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12 又 a1=2, ∴d=2 ∴an=2+(n-1)2=2n. 故数列 {an} 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 {bn} 前 n 项和 Sn=23+432+„+(2n-2)3n-1+2n3n ① ∴3Sn= 232+433+„+(2n-2)3n+2n3n+1 ② 将 ① 式减 ② 式得: -2Sn=2(3+32+„+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1. 3(1-3n) ∴Sn= 2 +n3n+1. 邳州市铁富高级中学高三数学组
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数列求和的常用方法
变式: 设 a
0 ,求数列 a , 2 a , 3 a , 4 a , , na
2 3 4 n
的前n项和!
分析： 这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对 数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行! n(n1) 解：若 a 1 S n 1 2 3 n
1 1 2 ... ( n 1 ) 1
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强化练习题
3 已知数列 a n 各项依次为
试写出这个数列通项公
前 n 项和 s n n n 2
变式：已知数列 9 1 32
1 2
3 1 4 ,5 1 8 ,7 1 16 ,9 1 32 ,
又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+„+lg(xn-1y)+lgxn, ∴2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+„+lg(xnyn)+lg(xnyn) =n(n+1)lg(xy)
n(n+1) n(n+1) ∴Sn= lg(xy)= a. 2 2 注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a
1 2
2
3 2
1 2
3
2 2
2
5 2
4
2 2
3
2n3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
n
2 2
n
2 n1 2
n1
两式相减： ( 1 所以：
1 2
)Sn
1 2
)
2 2
4
2n1 2
n1
2 n1 2
n1
Sn
n
1 （1 2
2
1 n1
运算整理得： S
3
1 2n 3
2
n
1 2
数列求和的常用方法：
二、分组求和法
n 通项 a n 是若干项的代数和,如：an 2n 3 可以把它按需要拆开!
例1(1) 求数列 2 , 2
1 2
,3
1 4
,4
1 8
, , n 2
1
n1
,
的前n项和.
方法总结:
分组求和法:将数列的一项分成两项(或多项), 然后重新组合,再利用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解!
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这里等比数列的公比 q =
数列求和的常用方法
例2. 求数列
解析： 由
1 3 5 7 2n 1 , , , , , , n 2 4 8 16 2
1 2
的前n项和！
2 n1 2
n
Sn 则 1 Sn 2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
1 2
的前n 项和!
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数列求和的常用方法
五、倒序求和法
将数列的倒数第 k 项(k=1, 2, 3, …)变为正数第 k 项, 然 后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等)！
推导等差数列前n项和的重要方法！
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数列求和的常用方法
例4、已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+„+lgyn, 求 Sn=? 解: 由 Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+„+lgyn,
式 an
2 1
n1
2n 1 2
1
n1
a n 各项依次为
5 1 2 2
n1
3
1 4
,5
1 8
,7
1 16
,
, 前 n 项和 s n
1 2 n 1 2
n1
错位相减法各项特征: 等差与等比数列对 应项的积!
两边同乘a: aS
n
a 2 a ( n 1 ) a na
2 3 n
n1
两式相减： ( 1 a ) S n a a 2 a 3 a n na n 1 所以： ( 1 a ) S n 运算并整理得：S
n
a (1 a ) 1 a
a (1 a )
(q 1) (q 1)
3、1 ) 1 2 3 n (
2 2 2
n( n 1) 2
; ；
(2) 1 2 3 n
2
n ( n 1 )( 2 n 1 ) 6
2
n( n 1) (3) 1 2 3 n 2 邳州市铁富高级中学高三数学组
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强化练习题
2 2 1 n 7、数列 {an} 中, an= n+1 + n+1 +„+ n+1, 又 bn= anan+1 , 求数列 {bn} 的前 n 项的和. n 1 1 1 2 解: ∵an= n+1(1+2+„+n)= 2, ∴bn= n n+1 =8( n - n+1 ). 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=8[(1- 2 )+( 2 - 3)+( 3 - 4 )+„+( n - n+1 )] 1 =8(1- n+1) = 8n . n+1
