2010年数学建模全国一等奖论文储油罐的变位识别与罐容表标定

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针对问题一，我们利用积分的方法推导出小椭圆储油罐在无变位和发生纵向倾斜变位时的一般公式。

讨论了在储油罐发生纵向倾斜变位后对罐容表的影响，定义了平均影响率η(变位前后储油量之差绝对值的平均值占总罐体容积的比例)作为评价罐体变位对罐容表的影响程度的大小的指标，求出 4.87%η=。

并分别给出了小椭圆储油罐在无变位和在纵向倾斜变位角取4.1︒的罐容表。

表1 小椭圆储油罐罐容表(纵向变位 4.1α=︒)针对问题二，将储油罐分为5个区域分别进行讨论，考虑到在球冠处的体积表达式过于复杂，我们省略了球冠处的一小部分体积，进行了近似求解，得出了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。

在利用储油罐的实际测量值估计变位参数时，我们建立了最小二乘拟合模型，得到了最佳的变位参数为：纵向倾斜变位 2.16α=︒，横向偏转变位 4.50β=︒。

并据此对储油罐的罐容表进行了标定(见表3)。

在模型验证中，我们又采用蒙特卡洛模拟的方法对在问题二的模型中忽略的部分球冠体积进行了模拟计算。

得到用问题二模型中求出的总储油量与模拟得出的总储油量一致度达到了99%，误差非常小，验证了我们所建立的模型的合理性和准确性。

关键词 平均影响率 最小二乘参数估计法 蒙特卡洛模拟一问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

问题一为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1的纵向变位两种情况做了实验。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

问题二对于实际的储油罐，试建立罐体变位后罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

然后进一步用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二模型假设1、假设题中所给数据均为储油罐内壁测量值；2、不考虑由于温度、压强变化等原因而引起储油罐的体积变化；3、油位探针被固定在储油罐上，其上油浮子能够准确测量油位高度；三符号说明注：未说明符号在文中用到时注明四问题一的解答小椭圆储油罐罐体变位前后都可以应用积分的方法求出罐体的储油量和油位高度之间的关系。

对于纵向倾斜的小椭圆储油罐，考虑分段求出其储油量和油位高度之间的关系，从而得到重新标定后的罐容表。

4.1 小椭圆储油罐无变位时的模型由于此时的椭圆无变位，考虑先对二维椭圆进行积分。

为方便表示油位高度，建立如图所示的坐标系，椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，则椭圆方程为2222() 1 0x y b a b a b -+=>>图1 对椭圆的积分示意图在y 方向上取椭圆面中的一微元dy 积分得到油的侧面积022h hDs dxdy dy ===⎰⎰⎰⎰⎰储油罐内油的体积为02hV s L L =⋅=⎰ 查积分表得到arcsin()2h b V abL b π⎤⎥⎦-=+ (1) 利用matlab 计算得到152232(2aL V h h b b b⎡⎢⎢⎣=-经验证两种方法得到的体积公式完全等价，(1)式即为小椭圆储油罐无变位时的储油量和油位高度关系的模型。

根据此模型，我们可以求出小椭圆储油罐无变位时罐容表标定值(油位高度间隔取1cm ，结果见附录一)。

4.2 小椭圆储油罐纵向倾斜变位时的模型储油罐纵向倾斜之后，油位计在油位过高或者过低时将不起作用(如图2所示的1v 和5v 区域)，考虑到倾斜角α变化一般不会很大，所以我们可以将储油罐按液面高低分成五个部分15~v v ，来求其储油量和油位高度之间的关系。

我们讨论的是小椭圆储油罐纵向倾斜变位为逆时针旋转，如图2。

对于储油罐顺时针旋转变位(即α为负值)时的情况与此非常类似，在此不再详细讨论。

图2 储油罐分区示意图4.2.1 对区域1v 的讨论在区域1v ，其油位低于油位探针的油浮子，所以油位计量系统中显示油位高度为零。

当油位计刚开始有示数时，计算其储油体积。

将区域1v 放大得到图3图3 区域1v 的放大图图中，从原点纸面向里为x 轴，利用三重积分可以得到tan tan 1tan 02y b l bb l DV dxdydz dy dz ααα-+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中l 为油位探针到储油罐左侧的距离 积分得到1tan 2bb l V a α-=⎰(2)4.2.2 对区域2v 的讨论由区域1v 很容易得到区域2v 的储油量和油位高度的变化关系，直接给出结论：tan tan 2(tan )2y h l bbb h l DV dxdydz dy dzααα++--+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以2(tan 2bb h l V a α-+=⎰ (3)4.2.3 对区域3v 的讨论图4 区域3v 示意图在小椭圆储油罐无变位模型中我们已经求出了v 的计算公式，同区域1v 中的积分原理可以计算出a b v v 和，我们就可以得到此时的油量体积为3a b v v v v =+- (4)其中tan tan tan 02h y l h l a hv dy dz ααα-++=⎰⎰⎰arcsin()2h b v abL b π⎤⎥⎦-=+tan ()tan 0tan 2hLb h y l h L l v dy dz ααα-+--=⎰⎰⎰4.2.4 对区域4v 的讨论由区域4和区域2的相似性，将(3)式中的h 换为(2)b h -，将l 换为()L l -，并用总体积减去2V 即为区域4的储油体积和油位高度的变化关系。

1.2()tan tan 4 1.2()tan 02y h L l bbT T b h L l DV V dxdydz V dy dz ααα⎡⎤⎣⎦+-+----+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中T V 为小椭圆储油罐的总体积 化简并积分可得4()tan 2bT h b L l V V a α---=-⎰(5)4.2.5 对区域5v 的讨论在此区域中油浮子到达油位探针顶点，无法进一步测量油位高度。

无法测量的总体积为：5()tan 2bb L l V a α--=⎰(6)4.2.6 综合各区域的罐容表标定的数学模型综上所述，我们得到了储油量V 和油位高度h 、纵向倾斜角α之间的分段函数关系式：表2 (,)V h α分段函数关系根据储油量和油位高度的分段函数关系我们可以得到罐体纵向倾斜变位( 4.1α=︒)后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值(见附录一)。

当 4.1α=︒时，各区域油位高度及体积变化范围为：表3 各区域油位高度和储油量变化范围4.3 罐体变位后对罐容表的影响为了能更加准确地刻画罐体的纵向倾斜变位对罐容表的影响，我们分别对罐体变位前后的理论值和测量值进行多方面的比较。

4.3.1 罐体变位前理论值与测量值比较根据附件一中所给数据，我们计算出在附件中所给的油位高度下理论值和测量值，并画出其曲线。

0.20.40.60.81 1.2 1.400.511.522.533.544.5油位高度h/m储油量V /m 3图5 罐体变位前的V h -曲线对比通过对比我们发现，对于任意h ，储油量的理论值和实际值始终成如(7)式的比例关系。

0.9663V V =测量理论(7) 4.3.2 罐体变位后理论值与测量值比较同样根据附件一中所给数据，我们计算出在附件中所给的油位高度下理论值和测量值，并画出其曲线，如图6。

0.40.50.60.70.80.91 1.10.511.522.533.54油位高度h/m储油量/m 3图6 罐体变位后的V h -曲线对比从图6中可以看出测量值仍然始终小于理论值，进一步求得理论值与测量值之差的变化范围为[0.0454,0.0910]，测量值的相对误差范围为[1.56%，5.18%]。

4.3.3 罐体纵向倾斜变位 4.1α=︒前后理论值比较00.20.40.60.81 1.2 1.4油位高度h/m变位前后储油量V /m 3图7 罐体变位前后的V h -曲线对比图8 同一高度下储油量的理论值与测量值之差变化关系图9 储油量的测量值的相对误差随油位高度的变化关系由以上各图可以清晰地看出纵向倾斜变位后，使得在同一个油位高度下，变位后比变位前的储油量减小。

但是这样仍不够直观，我们需要找到一个指标来定量刻画罐体变位后对罐容表的影响。

从图9中可以看出，当油位高度h较小时(0.1m附近)，变位后相对于变位前的相对误差几乎达到了60%以上，但是此时的储油量的差别并不大，鉴于此，我们定义平均影响率：0ni V V n V η=-⎡⎤⎣⎦=∑（变位前）（变位后）（总）来刻画罐体变位后对罐容表的影响。

可以求出在纵向倾斜变位 4.1α=︒时，η=4.87%。

五 问题二的解答如图8实际的储油罐示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体，在储油罐无变位时我们计算其各部分体积。