全国大学生数学建模比赛答辩储油罐的变位识别与罐容表标定PPT课件
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储油罐的变位识别与罐容表标定
R R c
2 2 2 3 ( R y ) dy （ 3 Rc c ）。
3
为了使这种代替更合理且精度更高， 可选用与球冠体相等体积的半旋转椭球体替 代，如图 6 所示。设椭球面方程为
x z
2 2
则半椭球体的体积是 为此，令
2 3
V
a 2
3
2
2
y c'
2 2
1 ( y 0)
“配套”的管理系统 “地下”意味看 罐容表——是油位高度和储油量的 流量计和油位计是精度固定的 在变位后会误差加大 函数关系的一种表示， 不见变位情况 “预先标定”——正常位态(图A)
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形 等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转 等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改 变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标 定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其 主体为圆柱体，两端为球冠体，图2是其罐体纵向倾 斜变位的示意图。
注： 1）储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系： 储油量=F(油位高度,变位参数)，显然是一个体积表 达式（函数关系）！基本模型！ 2）罐体变位后：进/出油过程中的实际检测数，根 据数学模型，确定变位参数==反问题！求解一般用 搜索和逼近，就是到解空间去找！ 3）根据模型，计算标定，即函数的数值计算； 模型检验，这是用外部数据的检验方法，方法的内 因检验法。
地平线 油位探测装 置 油 浮 子 油位探针 地平线
注 检 油 查 口 口
油 位 探 针
出 油 管
油位探测装 置
注 检 油 查 口 口
出油 管
油浮 子
3m
1m
2m
油 位 高 度
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定收集资料
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
2010年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛获奖作品——储油罐变位识别与罐容表标定
【关键词】变位识别；罐容表标定；纵向倾斜；横向偏转 ；分割；微元； 最小二乘法 ；误差分析
一、问题分析 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐， 并且一般都有与之配套 “油位计量管理 系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐 容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量 的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵 向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定， 需 要定期对罐容表进行重新标定。 首先， 我们可以用微积分的基本思想对小椭圆型储油罐未发 生变位时罐体中的储油量与油位高度的关系进行分析与研究。 然而由于储油罐变位后的油的 体积形状不统一， 因此我们需要对由油位高度的不同导致储油罐中几种不同情形的体积状态 进行分类讨论， 在建立三种相应的积分模型的过程中， 我们还可以对这三种情况进行联系和 区分。 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 对储油罐变位前和变位后的误差分析是必须的， 这里通过选取不同范围内的数据， 对实测值和理论上数据的多次比较， 来体会和分析产生误 差的原因。之后利用罐体变位后的具体模型，可以求解出油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。 因为储油罐的形状为带冠状的储油罐体， 而单独求解每个冠状体中油的体积是不方便的， 因而我们可以利用分割的思想将储油罐体分成三个部分（两个冠状体和一个椭圆柱体）， 两 个冠状体合并成一个椭球体，通过这种方法求解会简便许多。而当储油罐发生变位时，会出 现纵向倾斜和横向偏转， 为了模型的包容度， 我们将讨论只发生纵向倾斜、 只发生横向偏转， 既发生纵向倾斜又发生横向偏转的三种不同情况来总结罐内储油量与油位高度及变位参数 （纵向倾斜角度和横向偏转角度 ） 之间的一般关系。 在确定所求模型中的变位参数方面， 我们将根据实测数据进行相应的误差分析， 如果模型推导式比较复杂， 我们将估计变位参数 的值， 采用最小二乘的方法向实测数据进行逼近， 来使得实测值与理论值的误差的平方和达 到最小，此时的变位参数即被确定。当变位参数确定后，我们将根据模型求解出罐体变位后 油位高度间隔为10cm的罐容表标定值， 接着与实际数据相结合， 通过误差分析来验证模型的
2022年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文储油罐的变位识别与罐
2022年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文储油罐的变位识别与罐承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：江西师范大学参赛队员(打印并签名)：1.洪情指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2022年9月12日摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
对于问题二中的储油罐，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系；并在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分成三类讨论，这三类又可以分成八种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。
数学建模A题解析PPT课件
为什么设第一部分？实验数据多余？还是误导？
第12页/共39页
二、问题的立意与背景
实际中产生误差的原因主要有三个方面： （1）在进/出油的过程中会造成少量的挥发耗散； （2）加油机本身的计量精度误差； （3）环境温度变化造成的误差。
根据经验，在常温下汽油的挥发率大约0.1%； 国家有关规定（国标JJG443-2006）加油机的最大 允许误差为±0.3%，重复性误差最大不超过0.15%。 问题：实际中那么大的误差究竟是怎么造成的？
r2
arccos
h
h
r, r]
3
r
z
2 r (R2 z2) arccos
R 1
dz,
hr
R2 z2
h r.
y
o
h
x
其中 r 1.5, L 8, R r2 1 1.625（单位 m）， 2
第21页/共39页
四、实际油罐的变位识别与标定方法
表 1：正常情况下油罐的罐容表 油位高度 h(m) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 油量值 V(L) 590.71 1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88 油位高度 h(m) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 油量值 V(L) 21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.19 35163.15 37978.76 40763.45 43501.41 46176.46 油位高度 h(m) 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 油量值 V(L) 48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45
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二、问题的立意与背景
实际中产生误差的原因主要有三个方面： （1）在进/出油的过程中会造成少量的挥发耗散； （2）加油机本身的计量精度误差； （3）环境温度变化造成的误差。
根据经验，在常温下汽油的挥发率大约0.1%； 国家有关规定（国标JJG443-2006）加油机的最大 允许误差为±0.3%，重复性误差最大不超过0.15%。 问题：实际中那么大的误差究竟是怎么造成的？
r2
arccos
h
h
r, r]
3
r
z
2 r (R2 z2) arccos
R 1
dz,
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R2 z2
h r.
y
o
h
x
其中 r 1.5, L 8, R r2 1 1.625（单位 m）， 2
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四、实际油罐的变位识别与标定方法
表 1：正常情况下油罐的罐容表 油位高度 h(m) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 油量值 V(L) 590.71 1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88 油位高度 h(m) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 油量值 V(L) 21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.19 35163.15 37978.76 40763.45 43501.41 46176.46 油位高度 h(m) 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 油量值 V(L) 48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定
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代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
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储油罐的变位识别与罐容表标定
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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分别以小椭圆型油罐和实际卧式储油罐为研究对象，运用高等数学的积分的知识，分别建立罐体变位前后罐内油体积与油高读数之间的积分模型，使用Matlab 软件得出结论。
对于问题一，以小椭圆型储油罐为研究对象，在无变位时，小椭圆型储油罐为规则的椭球柱体，可利用解析几何与高等数学的知识建立油罐内体积与油高读数之间的积分模型，得出罐体无变位时的理论值。
当罐体发生纵向变位时，小椭圆型储油罐的截面不再是规则的几何形体，但根据倾角α及所给小椭圆型罐体的尺寸，可得其截面面积的表达式，利用高等数学中积分的方法，根据不同油高，建立了模型一，得到了储油量和油高的关系公式。
最后，根据实验数据的处理，用拟合的方法，修正了某些系统误差的影响，计算出罐体变位后油位高度间隔1cm 的罐容表的标定值。
储油罐的变位识别与罐容表标定
V (h) 2l a bh b2 (b h)2 dh.
b b (2)当罐体变位时，设横截面椭圆方程为
x2 a2
(y
b）2 b2
1(a
b
0),
a=0.89,b=0.6,l=2.45. 由(9)式得 | x | a b2 (y b)2 . b 当油浮标的观测高度为 h 时，横截面面积
平面上的 n 个点（hi,Vi），i=1,2,…,n。需要寻找一个函数 f(x)，使其在最小二乘 准则下与所有数据点最为接近。
设
f (x ) a0 a 1r 1x( )a r2 x2 ( ) amrm x ( ) ,
(1)
其中 rk (x) xk 是一组线性无关的函数， ak 是待定系数。 (k 1, 2, , m; m n)
A=(RTR)-1RTY. 4.2.2 体积的计算 (1)当罐体无变位时，设罐体横截面椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0),
(6)
其中 a=0.89,b=0.6.
解得| x | a b2 y2 a b2 (b h)2 .当油浮标的观测高度为 h 时，横截面
b
将(18)代入(11)，得
S (z,h) 2 a (1.2h)(2.05z)tan b2 (y b)2 dy,
b0
(20)
将(20)代入(19)得罐体油量体积的表达式
1.2h2.05
V (h) ab l 2 tan dz
a (1.2h)(2.05z) tan
（2）S——只考虑纵向变位时，油面假想高度为 h 时，在罐体的 z 轴某点上平行 于罐底面圆作一横截面，所得油的横截面积，如图 5 所示。考虑罐体纵向变位时，
b b (2)当罐体变位时，设横截面椭圆方程为
x2 a2
(y
b）2 b2
1(a
b
0),
a=0.89,b=0.6,l=2.45. 由(9)式得 | x | a b2 (y b)2 . b 当油浮标的观测高度为 h 时，横截面面积
平面上的 n 个点（hi,Vi），i=1,2,…,n。需要寻找一个函数 f(x)，使其在最小二乘 准则下与所有数据点最为接近。
设
f (x ) a0 a 1r 1x( )a r2 x2 ( ) amrm x ( ) ,
(1)
其中 rk (x) xk 是一组线性无关的函数， ak 是待定系数。 (k 1, 2, , m; m n)
A=(RTR)-1RTY. 4.2.2 体积的计算 (1)当罐体无变位时，设罐体横截面椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0),
(6)
其中 a=0.89,b=0.6.
解得| x | a b2 y2 a b2 (b h)2 .当油浮标的观测高度为 h 时，横截面
b
将(18)代入(11)，得
S (z,h) 2 a (1.2h)(2.05z)tan b2 (y b)2 dy,
b0
(20)
将(20)代入(19)得罐体油量体积的表达式
1.2h2.05
V (h) ab l 2 tan dz
a (1.2h)(2.05z) tan
（2）S——只考虑纵向变位时，油面假想高度为 h 时，在罐体的 z 轴某点上平行 于罐底面圆作一横截面，所得油的横截面积，如图 5 所示。考虑罐体纵向变位时，
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
数学建模储油罐的变位识别与罐容表的标定
储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文运用定积分、重积分，数理统计等知识研究储油罐变位后对罐容表的影响。
观测油罐探针的变化，分情况讨论变位油罐进/出油的罐内油液体积。
采用图形结合建立数学模型。
用定积分求解椭圆面积，进而求出油位高对应储油罐（无变位）的油容量的对应关系，利用数理统计与Excel 2003对数据分析并绘制图形，建立当前最优的实验储油罐无变位模型（模型一）。
模型二即是实验储油罐纵向倾斜（固定角）的数学模型。
对模型一、二两组数据进行对比，估算出油位高度相同时不变位以及变位后储油罐内油容量，再将两部分的油容量相减可算出油位高度和油容量的函数，得出罐体变位后油位高度间隔为1厘米的罐容表的标度。
模型四采用大量图形分析和数学知识，建立空间直角坐标系，将问题分出四种情况讨论。
建立当前最优的实际储油罐无变位模型（模型三），并与模型四进行对比可得关于油位高度和油容量的函数，那么将相隔10cm油位高的油容量代入模型即求得。
关键词：定积分重积分数理统计图形结合一、问题重述加油站的储油罐是大家非常熟悉的一种储油罐，就目前世界各地来看，它不能脱离我们的现实生活。
所以我们有必要对储油罐进行彻底的了解。
根据我们所学的知识，用数学模型方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
通常加油站的储油罐都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用专业的测量仪器测出罐内的储油体积与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但是，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会地基变形发生纵向倾斜和横向偏转等变化（称为变位），从而导致罐容表发生改变。
根据以上的情况，为了掌握罐体变位后对罐容体的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的圆柱体）做了罐体无变位和倾斜角为一定角的纵向变位两种情况的实验，且得到了实验数据。
在实验图形的基础上，我们深入了实际油罐的变位分析。
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sH 2 hz a b2 z 2 dz b b
hx tan x H b
（5） （6）
s z 2 a x tan H b b2 z 2 dz
b
b
2 a x tan H b b 2 z 2 dz b b
（7）
3.2.2油罐内油品体积与油液面高度的关系式
对储油体积与油位高度几何关系的分析，发现的被积函数 椭圆弓形面积的积分域随高度的变化而发生变化，分五种情况 讨论
a b
LH
b
2bH
H
2
b2
arcsin
H b b
1 2
b
2
（4）
由上式油罐内油品体积与油液面高度的关系式可以确定罐 内油品体积是随着油品液面高度的增高而增多，降低而减 少。
3.1.1结果分析：椭圆储油罐水平实测值与理论值的对比
由下图我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合，说 明我们建立的模型精度较好。（程序见附录一）
738 774.9 812.2
850 888.2 926.7
高度 / c m 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
容积/L
965.7 1005 1044.6 1084.5 1124.8 1165.3 1206.2 1247.2 1288.6 1330.1 1371.9 1413.9 1456 1498.4 1540.9 1583.5 1626.3 1669.2 1712.2 1755.3
则得到 z a b2 y2 b
sH 2 a Hb b2 y2 dy b b
ab H b
1
H
b
2
arcsin
H
b
2 b
b
b
（1） （2）
（3）
设 z H b 由0 H 2b,可知1 z 1，油罐长度为L ，
b 储油体积为 V(H) ,可得到
L
V(H) 0 S(H) dz
储油罐的变位识别与罐容表标定
目录
1 引言 2 问题分析 3 模型的建立与求解 4 结果的分析与检验 5 结论 6 模型的推广与改进
1. 引言
储油罐在使用一段时间后，由于地基 变形等原因，使罐体变位，需对罐容表重 新标定。
针对卧式储油罐油量与变位参数、油 位高度关系，进行几何分析，建立储油罐 的油位高度与储油量的函数关系的微分方 程模型，列出罐容表，并作出误差图像， 检验模型的精度和稳定性。
第二问在第一问的基础上，进一步分 析加上横向倾角变位后油位高度与油量的 关系。
通过几何关系分析和数值计算，得到 油位高度与油量的一般关系，最后将实际 数据代入关系式求出变位参数，并将理论 值与实际值比较，检验模型。
3．模型的建立与求解 模型假设 1 忽略油罐内总油量由于非进出油因素引起 的总油量的变化 2 油罐里的油质均匀 3 油罐上方的三个管口直径忽略不计 4 在较短时间内纵向和横向倾角可认为不变
高度 /c m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
容积 / L
不定 3.5 6.3 10 14.8 20.7 27.9 36.3 46.1 57.4 70.1 84.4
100.3 117.7 136.9 157.8 180.3
204 228.9 254.9
高度 / c m 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
容积/L
281.9 309.8 338.5 368.1 398.5 429.7 461.5
494 527.1 560.9 595.2 630.1 665.6 701.5
b d
b
b2 z2dzdx
（ 5）当 2bdtanH2b,即油浮子的2b最 ，
具体情况如下图所示
可以求得
V
H cota
s x dx
d
a H cota
2
tanxH b b2 z 2 dzdx （10）
b d
b
3.2.3模型求解
根据油罐内油品体积与油液面高度的 关系式，带入数据求得油位高度间隔为 1cm的罐容表如下：
3.1油罐没有倾斜变位时的研究
卧式储油罐为两边平头的椭圆柱体图像：
3.1油罐没有倾斜变位时的研究
讨论储油罐平卧未变位时，某一液面高度下，油罐内油品体积与油
液面高度的关系式 VfH,设储油罐里的油的高度为H，图中阴影为储油
横截面，设椭圆弓形面积为。sH
V f H 积分求解过程如下：
y2 z2
椭圆方程为 a 2 b2 1
3.2小椭圆油罐倾斜变位模型
设油罐轴线与与水平线的夹角为 （小椭圆型油罐
绕水平线逆时针旋转角），情况如下图所示：
3.2.1求解椭圆弓形面积
讨论储油罐平卧纵向倾斜 角变位后，油罐内油品体积与油液面高度的函数关
系式V f H ,设储油罐里的油位高度为 H ,图中阴为储油横截面，设椭圆弓
形面积为 sH ， sH 积分求解过程如下：
（1）当H=0，即储油量非常少，油浮子处油位高度为零，V 不能确定。具体情况如下图所示：
(2)当H=2b,即储油罐几乎装满，油浮子处的高度达到 上限，V不能确定。具体情况如下图所示：
(3)当 0H(Ld)tan时，即最右 最端 高油 时液 刚面 好
右端最下方 况的 如点 下具 图体 所情 示
(4)
高度 / c m 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
容积/L
1798.5 1841.8 1885.1 1928.5 1971.9 2015.4 2058.8 2102.3 2145.7 2189.1 2232.5 2275.8 2319.1 2362.3 2405.4 2448.4 2491.3
(4)
V
H cot
s x dx
d
（9） 2 a H cot
b d
tan x H b
b
b2 z 2 dzdx
（8）
(4)当 (Ld)tanH2bdtan时，即油面点 左为 端
左端面最,上 具方 体的 情点 况如下图所示
（9）可以求得
V Ld sxdx d
a Ld
tanxHb
2
2．问题分析
2.1问题一的分析
本文关键是求出储油罐变位参数和罐 容表之间的关系，因同时考虑油位高度与 变位参数较复杂，故将问题分步讨论。
第一问根据几何关系进行积分，首先 讨论小椭圆储油罐无变位情况，得到油位 高度与油量的关系；然后讨论纵向倾斜变 位时油位高度与油量的函数关系，并作出 罐容表。
2.2问题二的分析
hx tan x H b
（5） （6）
s z 2 a x tan H b b2 z 2 dz
b
b
2 a x tan H b b 2 z 2 dz b b
（7）
3.2.2油罐内油品体积与油液面高度的关系式
对储油体积与油位高度几何关系的分析，发现的被积函数 椭圆弓形面积的积分域随高度的变化而发生变化，分五种情况 讨论
a b
LH
b
2bH
H
2
b2
arcsin
H b b
1 2
b
2
（4）
由上式油罐内油品体积与油液面高度的关系式可以确定罐 内油品体积是随着油品液面高度的增高而增多，降低而减 少。
3.1.1结果分析：椭圆储油罐水平实测值与理论值的对比
由下图我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合，说 明我们建立的模型精度较好。（程序见附录一）
738 774.9 812.2
850 888.2 926.7
高度 / c m 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
容积/L
965.7 1005 1044.6 1084.5 1124.8 1165.3 1206.2 1247.2 1288.6 1330.1 1371.9 1413.9 1456 1498.4 1540.9 1583.5 1626.3 1669.2 1712.2 1755.3
则得到 z a b2 y2 b
sH 2 a Hb b2 y2 dy b b
ab H b
1
H
b
2
arcsin
H
b
2 b
b
b
（1） （2）
（3）
设 z H b 由0 H 2b,可知1 z 1，油罐长度为L ，
b 储油体积为 V(H) ,可得到
L
V(H) 0 S(H) dz
储油罐的变位识别与罐容表标定
目录
1 引言 2 问题分析 3 模型的建立与求解 4 结果的分析与检验 5 结论 6 模型的推广与改进
1. 引言
储油罐在使用一段时间后，由于地基 变形等原因，使罐体变位，需对罐容表重 新标定。
针对卧式储油罐油量与变位参数、油 位高度关系，进行几何分析，建立储油罐 的油位高度与储油量的函数关系的微分方 程模型，列出罐容表，并作出误差图像， 检验模型的精度和稳定性。
第二问在第一问的基础上，进一步分 析加上横向倾角变位后油位高度与油量的 关系。
通过几何关系分析和数值计算，得到 油位高度与油量的一般关系，最后将实际 数据代入关系式求出变位参数，并将理论 值与实际值比较，检验模型。
3．模型的建立与求解 模型假设 1 忽略油罐内总油量由于非进出油因素引起 的总油量的变化 2 油罐里的油质均匀 3 油罐上方的三个管口直径忽略不计 4 在较短时间内纵向和横向倾角可认为不变
高度 /c m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
容积 / L
不定 3.5 6.3 10 14.8 20.7 27.9 36.3 46.1 57.4 70.1 84.4
100.3 117.7 136.9 157.8 180.3
204 228.9 254.9
高度 / c m 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
容积/L
281.9 309.8 338.5 368.1 398.5 429.7 461.5
494 527.1 560.9 595.2 630.1 665.6 701.5
b d
b
b2 z2dzdx
（ 5）当 2bdtanH2b,即油浮子的2b最 ，
具体情况如下图所示
可以求得
V
H cota
s x dx
d
a H cota
2
tanxH b b2 z 2 dzdx （10）
b d
b
3.2.3模型求解
根据油罐内油品体积与油液面高度的 关系式，带入数据求得油位高度间隔为 1cm的罐容表如下：
3.1油罐没有倾斜变位时的研究
卧式储油罐为两边平头的椭圆柱体图像：
3.1油罐没有倾斜变位时的研究
讨论储油罐平卧未变位时，某一液面高度下，油罐内油品体积与油
液面高度的关系式 VfH,设储油罐里的油的高度为H，图中阴影为储油
横截面，设椭圆弓形面积为。sH
V f H 积分求解过程如下：
y2 z2
椭圆方程为 a 2 b2 1
3.2小椭圆油罐倾斜变位模型
设油罐轴线与与水平线的夹角为 （小椭圆型油罐
绕水平线逆时针旋转角），情况如下图所示：
3.2.1求解椭圆弓形面积
讨论储油罐平卧纵向倾斜 角变位后，油罐内油品体积与油液面高度的函数关
系式V f H ,设储油罐里的油位高度为 H ,图中阴为储油横截面，设椭圆弓
形面积为 sH ， sH 积分求解过程如下：
（1）当H=0，即储油量非常少，油浮子处油位高度为零，V 不能确定。具体情况如下图所示：
(2)当H=2b,即储油罐几乎装满，油浮子处的高度达到 上限，V不能确定。具体情况如下图所示：
(3)当 0H(Ld)tan时，即最右 最端 高油 时液 刚面 好
右端最下方 况的 如点 下具 图体 所情 示
(4)
高度 / c m 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
容积/L
1798.5 1841.8 1885.1 1928.5 1971.9 2015.4 2058.8 2102.3 2145.7 2189.1 2232.5 2275.8 2319.1 2362.3 2405.4 2448.4 2491.3
(4)
V
H cot
s x dx
d
（9） 2 a H cot
b d
tan x H b
b
b2 z 2 dzdx
（8）
(4)当 (Ld)tanH2bdtan时，即油面点 左为 端
左端面最,上 具方 体的 情点 况如下图所示
（9）可以求得
V Ld sxdx d
a Ld
tanxHb
2
2．问题分析
2.1问题一的分析
本文关键是求出储油罐变位参数和罐 容表之间的关系，因同时考虑油位高度与 变位参数较复杂，故将问题分步讨论。
第一问根据几何关系进行积分，首先 讨论小椭圆储油罐无变位情况，得到油位 高度与油量的关系；然后讨论纵向倾斜变 位时油位高度与油量的函数关系，并作出 罐容表。
2.2问题二的分析