概率的几个基本性质

（2）从6名学生中选出4人参加数学竞赛， 共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，

例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（事件A） 的概率是1/4，取到方块（事件B）的概率是1/4。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 解： （1）因为C=AUB,且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根 据概率的加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)的并事件发生的概率，会等于 思考： 事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？ （2）概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P( A B) P( A) P( B)
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件，则
P( A) 1 P( B)
（2）因为C与D是互斥事件，又由于 CUD 为必然事件，所以 C与D互为对立事件，所以P(D)=1-P(C)=0.5
练习： 1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。 2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。 解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋”与“乙获胜”是互 斥事件 所以 甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2 (2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件， 所以 甲不输的概率:P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
1因为caub且a与b不会同时发生所以a与b是互斥事件根据概率的加法公式得pcpapb052因为c与d是互斥事件又由于cud为必然事件所以c与d互为对立事件所以pd1pc05练习

一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.

《概率》知识清单一、什么是概率概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

它的范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生。

比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05，因为硬币只有正反两面，而且两面出现的机会均等。

再比如，从一副完整的扑克牌中随机抽取一张红桃牌，其概率就是 13/54，因为一副扑克牌有 54 张牌，其中红桃牌有 13 张。

二、概率的计算方法1、古典概型在古典概型中，假设试验中所有可能的结果总数为 n，其中某个事件 A 包含的结果数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n。

例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球是红球的概率，总共有 8 个球，红球有 5 个，所以取出红球的概率就是5/8。

2、几何概型对于几何概型，通常是考虑某个区域的面积、长度或者体积等。

假设区域 D 的测度（比如面积、长度等）为 M，其中某个子区域 A 的测度为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ M。

比如，在一个半径为 1 的圆中，随机取一点，该点落在半径为 05的同心圆内的概率，就是两个圆的面积之比，即025π ／π ＝ 025 。

3、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

用 P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。

计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

举个例子，已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率。

这里先计算总共有多少种可能的情况（男男、男女、女男、女女），然后计算已知一个是女孩的情况下（男女、女男、女女），另一个也是女孩（女女）的概率。

三、概率的基本性质1、非负性任何事件的概率都大于等于 0，即0 ≤ P(A) ≤ 1 。