安徽省马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题(含答案)

马鞍山市第二中学2016—2017学年度第一学期期中素质测试高二数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线10x +=的倾斜角是（A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒ （2）在空间直角坐标系中，点(2,1,4)P -关于xOy 平面对称点的坐标是（A ）(2,1,4)-- （B ）(2,1,4)--- （C ） (2,1,4)- （D ） (2,1,4)- （3）下列能得出平面α∥平面β的一个条件是（A ）存在一条直线,a βα//,//a a（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （4）经过两点11(,)x y ,22(,)x y 的直线方程都可以表示为（A ）112121––––x x y y x x y y = （B ）221122––––x x y y x x y y =（C ）()()()()121121––––y y x x x x y y =（D ）()211121––––y y y y x x x x =（5）已知平面α，β及直线a 满足αβ⊥，AB αβ=，a α∥，a AB ⊥，则（A ）a β⊂ （B ）a β⊥ （C ）a β∥ （D ）a 与β相交但不垂直（6）圆22:68240C x y x y +-++=关于直线 :350l x y --=对称的圆的方程是（A ）22(1)(2)1x y +++= （B ）22(1)(2)1x y -+-= （C ）22(1)(2)1x y -++= （D ）22(1)(2)1x y ++-=（7）已知：空间四边形ABCD 如图所示，E F 、分别是AB AD 、的中点，G H 、分别是BC ，CD上的 点，且13CG BC =.13CH DC =，则直线FH 与直线EG（A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）垂直（8）过点()2, 1M 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P Q 、两点，O 为原点，且4OPQ S ∆=，则符合条件的直线l 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠︒＝，1AB AC AA ＝＝，则异面直线1BA 与1AC 所成的角是（A ）30︒ （B ）120︒ （C ）60︒ （D ）45︒（10）过ABC ∆所在平面α外一点P ,作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，若点O 是ABC ∆ 的内心，则（A ）PA PB PC == （B ）点P 到AB ，BC ，AC 的距离相等 （C ）PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥ （D ）PA ，PB ，PC 与平面α所成的角相等（11）Rt ABC ∆中，斜边4BC =，以BC 的中点O 为圆心，作半径为(2)r r <的圆，圆O 交BC 于,P Q 两点，则22||||AP AQ +=（A ） 28r + （B ）282r + （C ）216r + （D ）2162r + （12）设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）10π第7题图第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

马鞍山二中 - 第二学期期中考试高二数学试卷（理科）一．选择题(3× 10＝30分)1、在复平面内，复数(12i )2对应的点位于A、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限D、第四象限2、下边几种推理过程是演绎推理的是A、某校高二共有 10 个班， 1 班有 51 人， 2 班有 53 人， 3 班有 52 人，由此推断各班都超出50 人．B、两条直线平行，同旁内角互补，假如A和 B 是两条平行直线的同旁内角，则A B 180．C、由平面三角形的性质，推断空间四周体性质．D、在数列a n中a11,a n 1a n 11n 2 ，由此概括出 a n的通项公式．2a n13、用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假定的内容是A、三角形中有两个内角是钝角B、三角形中有三个内角是钝角C、三角形中起码有两个内角是钝角D、三角形中没有一个内角是钝角4、用数学概括法证明等式 1 2 3(n 3)( n4)N )时，第一步考证n1时，左侧应取的(n 3)(n2项是A、 1B、1 2C、1 23D、12345、复数z知足z 2 z 3 i ，则 zＡ、 1i ；Ｂ、 1 i ；Ｃ、 3i ； D 、3 i．6、设函数f (x)在定义域内可导，y f ( x) 的图象如下图，则导函数y f ( x) 可能为y y y y y O x O x O x O x O xA B C D y f ( x)7、若 f ( x)x33ax 23( a2) x 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是A、1a2B、 a 2 或 a1 C 、a 2 或 a1D、a1或a28、已知函数f ( x) x 3bx2cx 的象如所示，22等于yx1x2A、2B、4C、8D、16x2 3333Ox112x9、f (x), g( x)分是定在R 上的奇函数和偶函数，当 x0， f (x)g(x) f ( x) g (x)0 且f (2)0 则不等式 f (x) g( x)0 的解集A、(2,0)(2,) B 、(2,0)(0,2) C 、(,2)(2,) D、(, 2)(0,2)10、a0, f (x) ax2b x c ，曲 y f (x) 在 P( x0, y0 ) 切的斜角的取范是[0, ]，P到曲 y f ( x) 称的距离的取范是4A、[0,1]B、 [0, 1 ]C、 [0,b]D、 [0, b 1 ] a2a2a2a二、填空(3×5＝ 15 分)11、a R，且 1ai 2ai （ i 虚数位）正数，；12、 f ( x)x2 , x [0,1]，02 f (x)dx =；2 x, x(1,2]13 、利用数学法明“ (n1)( n 2) (n n) 2 n 1 3(2n 1), n N *”，从“n k” 到“n k 1；” ，左增乘的因式是 _____________________14、函数 f ( x)x3 6 x 5 ( x R)，若对于 x 的方程 f ( x) a 有三个不一样根， a 的取范是.15、如 , 数表足； (1) 第n行首尾两数均n ;(2)1表中推关系似三角22( 即每一数是其上方相两数之和), 第n(n1) 行第2 个数 f (n) . 依据 3 434774表中上下两行数据关系, 能够求适当n⋯2 , f (n)．511 14 115⋯⋯ ⋯三．解答（8+8+8+9+10+12＝55分）16、已知： a b 0 ，求证：a b a b17、已知函数 f (x) x33x（Ⅰ）求曲线在x 2处的切线方程；（Ⅱ）过点 P(2, 6) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此切线的方程.18、直线y kx 分抛物线 y x x 2与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分, 求 k 的值 .19、当n N *时， S n111111， T n11112342n 1 2n n 1 n 2 n 32n （Ⅰ）求 S1， S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想 S n与 T n的关系，并用数学概括法证明.计表示，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）对于行驶速度x（千米 / 小时）的函数分析式能够表示为： y1x33x 8(0 x 120) 已知甲、乙两地相距100千12800080米。

马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题5分，满分30分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)1．若0<x<1，则x 2，x 1x这四个数中 （ ）A 、1x 最大，x 2最小 B 、x 最大，1x最小 C 、x 2 D 、x 最大，x 2最小 2．小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸．出一张福娃纪念卡，则摸．出的福娃都是贝贝的概率是 （ ） A 、125B 、25C 、15D 、183．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、24．钟表上12点15分时，时针与分针的夹角为（ ）A 、90ºB 、82.5ºC 、67.5ºD 、60º5．使方程2x 2-5mx+2m 2=5的二根为整数的整数m 的值共有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图09-1所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则 （） A 、p>q B 、p=qC 、p<qD 、p 、q 的大小关系不能确定二、填空题 (每小题5分，满分30分)1．分解因式：x 4-x 2y 2+y 4= 2．已知x满足不等式| a x -1| > a x -1 (其中a ≠0)，那么x 的取值范围是 3．已知a 是整数，一次函数y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 4．如图09-2，已知正方形ABCD ，其边长为1，以AB 为边在形内作正三角形ABE ，则⊿ACE 的面积为5．在⊿ABC 中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是图09-26．已知：a 2+4a+1=0，且am a a m a a 2212324++++=3，则m 的值为三、解答题（本大题共7小题，1～5小题各12分；6、7小题各10分，共80分） 1．(本题12分) 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|。

安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题为A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球2.若向量与向量的夹角的余弦值为，则A. 0B. 1C.D. 23.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B.C. D.4.是直线和直线平行且不重合的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段6.如图：在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是A. B.C. D.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 108.已知菱形边长为1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点的距离为A. B. C. D.9.试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.10.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值12.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1，，0，，且与垂直，则的值为______．14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.15.如图所示，正方体中，分别是正方体和的中心，是的中点，设、与所成的角分别为、，则等于______．16.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直的直线分别交于两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题，，命题实数满足：方程表示双曲线．1若命题为真命题，求实数的取值范围；2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．18.如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．求异面直线与所成角的余弦值；求直线和平面的所成角的正弦值．20.已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点．当时，证明：若，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．1证明：；2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．求椭圆的标准方程；点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．。

2009年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）试题考生注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.1.设i 为虚数单位，则复数ii -12009在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M={}02>∈xR x ，N={}0log 2>∈x R x ,则M C R N 等于A. {}1≤∈x R xB. {}1>∈x R x C. {}10≤<∈x R xD. {}10≤≤∈x R x俯视图正视图侧视图2222223．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/x f y =的图象，下列说法正确的是A. 向左平移π个单位长度B.向左平移 2π个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2π个单位长度 4. 下列说法正确的是A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为nm ； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法；D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 21≤∆的概率为 A. 31B.21 C.32 D.436. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是A.π3B. π34C.π12D. π487． 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为A.12+ B. 3C. 2D.212+ 8.若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是A.8B.9C. 10D. 12第6题图E FDCBA直观图9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是A. 2x y =B. x y -=2C. x y 2=D. 21x y =10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有A.②B.③C.②③D.①②③11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定是A ：021>>x x B.210x x << C.21x x > D. 21x x >12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为A.121B. 101C. 61D. 41 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交点的极坐标为 ;14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x xy x 为常数(020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;15. 如图，四边形ABCD 中，=a , =b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;第15题图PABCDE F16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(22=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于 ;三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)4(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=ππ（Ⅰ）求)1217(π-f 的值; （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求x x f x g 2sin )(21)(+=的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.19. （本小题满分12分）某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2)1(4+=n n a S （n ≥1）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .21．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：8)1(22=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足→AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.22. (本小题满分14分)设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(//b f a f =，求证c b a ,,成等差数列;（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，22)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.第21题2009年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考答案二填空题 13.)6,32(π；14．－6 ； 15．43-； 16.2.三．解答题17．解：（Ⅰ）)4cos()4sin(2cos )4(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x x x x x x x f ++=++--+=ππππx xx x x 2cos 22cos 2cos 2)22sin(2cos 222==+=π………………………………………………………………4分36cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-πππππf …………………………6分 （Ⅱ）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x g …………………………………………………8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x∴28max ==）（时x g x π…………………………………………………………………………10分 12min -==）（时x g x π………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC 中，AB ＝1AC ＝2．在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝AD ＝4．∴ABCDS ＝1122AB BC AC CD⋅+⋅111222=⨯⨯⨯分则V ＝123 ……………………………………………………………… 4分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则平面PAD 的法向量为：=（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴=)1,21,23(461414323),cos(=++==,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分 19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)（Ⅰ）31)0(1311===C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分91)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分94)3(131********31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分35943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=+=≥--21121414,2）（）（时n n n n a S a S n 21221211114）（）（）（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a或111+=--n n a a 111--=--n n a a即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=212-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又q q25,5,2+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分 ⎩⎨⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧==4211b q …………………………………………………………………………………10分 12-=n n T 或)211(8n n T -=……………………………………………………………………12分21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分又C （-1，0），A （1，0）所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分a=2，c=1，所以1222=+y x 为所求………………………………………………………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2+2y 2=2得 （1+2k 2）x 2-4k 2x+2k 2-2=0 (1)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.2221222121)1(2,214k k x x k k x x +-=+=+…………………………………………………………7分依题0>⋅02121>+y y x x0)()1(2212212>++-+k x x k x x k021421)1(2)1(2222222>++-+-+k kk k k k k ………………………………………………………9分解得：22-<>k k 或………………………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--a c ≠ ab bc ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列……………………3分（Ⅱ）依题意2()(2),28()a b a b c a b P +--- 2222222222()4'()a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-== ∴切线22()()42()(2):8a b a bx a b c a b l y -+=------令0y =得222c a b a b x --+=-，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）0,c a b ==，则2()()f x x x a =-∴2'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=-- ①0a >时：3(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数； 3(,)ax a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.而34,(1)1327()a a f a a f +=+=，依题意有322422721a a a a ⎧>⎪⎨⎪>+⎩2721a ∴<<………………10分 ②0a <时：()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--=∴22(1)(12)2a a a >-- 即3265104a a a -+->……（☆）记32651()4a a U a a -+-=，则22112512()202'()12a a U a a -+=-+>=∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时， 326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解. 综上，2721a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。

安徽省马鞍山市第二中学 2015-2016 学年高二数学下学期入学考试试题 文满分 150 分，考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1. 函数 f ( x) ax 3 3x 2 2 ，若 f ( 1) 4 ，则 a 的值等于 ()DA ． 19B 16 错误！未找到引用源。

C 13 103 ． ． D ．33 3 2．下列函数求导运算正确的个数为 ( )B① 3x3x log 3 e ；② log 2 x1 ③ e x e x ；④ 1 x ；1． 2x ln 23 D ． 4ln xA ．B 错误！未找到引用源。

C ．3．设函数y f (x) 的图像如右图，则导函数 y f '( x) 的图像可能是下图中的 ()D4．如图， 在长方体 ABCD -A 1B 1 C 1D 1 中， AB =BC =2, AA 1=1, 则 BC 1 与平面 BB 1D 1D 所成角的正弦值为（） DA.6 B.26C.15 D.10 3555D1C1 A1B1D C AB5. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形，俯视图是半径为 1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ） AA ．3 B． 3C ．3D3 1264．x3．．．．36．原命题“若，则 x） C”的逆否命题 是（A ．若 x3 ，则 x 0 B．若 x3 ，则 x 0C ．若 x 0 ，则 x 3D ．若 x 0 ，则 x 37． “ x 2 1 0 ”是“ x 1 ”的（）BA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件8 已知点 P 是椭圆x 2 y 2 1上任 意一点，则点 P 到直线 xy 7 0 的距离最大值为169（） AA ．6 2B ．4 2C ．6 3D ． 69． 已知F,F 是 的两个焦点,F 且与 垂直的直 交 于A, B 两点 , 若121△ ABF 2 是正三角形 , 个 的离心率 （ ） CA ．2B ．2C ．3D ．323323 与抛物 y 210．直 yx 4x 交于 A 、B 两点， A 、B 两点向抛物 的准 l 作垂 ，垂足分 P 、Q ， 梯形 APQB 的面 （） AA ． 48 B． 36C． 56 D． 6411. 已知定 在 R 上的可 函数 f x 的 函数 f (x) ， 足 f xf x ，且 f ( x 2)偶函数，f (4) 1 ， 不等式 f (x)e x 的解集 ( )BA ． ( 2, )B ． (0, )C ． (1, )D ． (4,)12． ： x2y 2 1 上的一点 A 关于原点的 称点B ， F 2 它的右焦点，y25 16A 若 A F 2 ⊥B F 2 ， 三角形△ A F 2 B 的面 是（） CoA ． 15B．32 C．16 D． 18xF 2B第Ⅱ卷（非 共90 分）二、填空 （本大 共 4 小 ，每小 4 分，共 16 分．把答案填在答 卡相 位置）[13．命 p : xR, sin x 1的否定p 是.p : xR, sin x 114．如 ，直三棱柱- 1 11的六个 点都在半径2 的半球面上，＝ ， 面1 1ABCA B CAB AC BCCB是半球底面 的内接正方形， 面 ABB 1A 1 的面4 215．函数 f ( x)x 3 ax 2 bx a 2 在 x 1 有极10，求 ab 的-7 .16．已知 M ( 5,0) ， N (5,0)是平面上的两点，若曲C 上至少存在一点 P ，使|PM | | PN|6 ， 称曲 C “黄金曲 ” ．下列五条曲 ：① y 2 x 21；② y 24 x ；③ x 2 y 21 ；16 94 9④ x 2y 2 1；⑤ x 2y 2 2x 3 049其中 “黄金曲 ”的是.三、解答 （本大 共 6 小 ，共17．（ 12 分）抛物 的 点在原点，（Ⅰ）求抛物 的 准方程；②⑤.（写出所有 “黄金曲 ”的序号）．．76 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ）焦点在 y 的正半 的抛物 的焦点到准 的距离 2.（Ⅱ）若直 l : y 2x 1与抛物 相交于 A ， B 两点，求 AB 的 度． 17. 解（ 1）由 意可知p=2。

马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生英语素质测试题注意事项：1．先将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。

考试结束后，应将试卷和答题卷一并交回。

2．本试卷共8页，满分100分，答题时间90分钟。

3．所有选择题的答案都必须在所给的四个选项中进行选择，选对给分；不选、错选或多选，均不给分。

4．所有答案用钢笔或圆珠笔写在答题卷上，注意字迹清楚，卷面整洁。

一、单项选择 (每小题1分,共20分)1. —— How often do you and your family eat out?—— _____, but usually once a week.A. Have no ideaB. It dependsC. As usualD. Generally speaking2. This is an independent local factory to produce iron and steel, _________ no foreign ownership.A. byB. inC. underD. with3. The weather here in Nanjing is much the same as __________ in my hometown.A. oneB. itC. suchD. that4. ——So you have met Linda ?——Yes, it was last week______ we attended John’s party.A. whereB. whenC. thatD. why5. ——You look troubled.——The director asked me to finish this task by Sunday. How can I________ to?A. attemptB. manageC. decideD. happen6. ——How about the concert last night?——Well, at least it’s_________ the one I attended last time.A. not as good asB. no better thanC. as bad asD. no worse than7. You will find the map of great________ in helping you to travel around London.A. priceB. costC. valueD. usefulness8. The hospital nearby has just got a, _______ you’d call it, er…a scanner.A. thatB. whichC. whatD. how9. When it was his turn to deliver his speech, _______, he walked towards the microphone.A. nervously and excitinglyB. nervously and excitedlyC. nervous and excitingD. nervous and excited10. ——Have you ever seen that movie?——Yes. When I was in Ma’anshan, I _________ it three times.A. sawB. had seenC. have seenD. would see11. The computer programs are a puzzle to me. The more I think of them, the more questions Ithink of_____.A. askB. askedC. being askedD. to ask12. ________, and then we were taken to see the gym.A. We had been shown the classroomB. Being shown the classroomC. having been shown the classroomD. Having shown the classroom13. With proper measures, the economy in China is beginning to______.A. rise upB. hold onC. pick upD. take on14. ——May I take your order now?——We’d like three black____________.A. coffeeB. coffeesC. cups of coffeesD. cup of coffees15. ——Why______ you be talking so loudly while others are studying?——I am terribly sorry.A. shallB. mustC. willD. may16. In_______ city of Paris, _____ most ancient one, stands______ famous Eiffel Tower.A. /, the, aB. the, the, theC. the, a, theD. the, the, /17. The war and the suffering_______ caused affected Einstein greatly.A. thatB. whichC. itD. who18. Nobody knows_______ his situation then was, but he succeeded____________.A. how difficult, after allB. however difficult, at allC. what difficult, at lastD. no matter how, in the end19. Tom as well as two other boys_______ for having broken the rules of the school.A. was punishedB. punishedC. were punishedD. are being punished20. There______ a church behind the cemetery, didn’t there?A. wasB. used to haveC. used toD. used to be二、完形填空(每小题1分，共20分)阅读下列短文, 从每小题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：安徽省马鞍山市第二中学20XX-20XX 学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p 为()A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，(3)“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B ．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2. 若向量a ⃗ =(1,0，z)与向量b ⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，则z 等于()A. 0B. 1C. −1D. 2【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,0，z)与向量b ⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√1+z 2⋅4+1+4=23，解得z =0．故选：A ．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3. 以双曲线x 24−y 212=−1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. x 216+y 212=1B. x 212+y 216=1C. x 216+y 24=1D. x 24+y216=1【答案】D【解析】解：双曲线x 24−y 212=−1的顶点为(0,−2√3)和(0,2√3)，焦点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆的焦点坐标是为(0,−2√3)和(0,2√3)，顶点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆方程为x 24+y 216=1．故选：D ．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．4. a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a −1)y =a −7平行且不重合的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：当a =3时，两直线分别为：3x +2y +9=0，3x +2y +4=0，∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则a3=2a−1≠3a−7−a ∴a =3综上所述，a =3是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C ．两个方面分析本题，分别当a =3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围．本题以直线为载体，考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式． 5. 平面内一点M 到两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹是()A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段【答案】D【解析】解：根据题意，两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)则|F 1F 2|=10，而动点M 到两定点F 1(0,−5)和F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹为线段F 1F 2，故选：D ．根据题意，由定点F 1和F 2的坐标可得|F 1F 2|的长，结合椭圆的定义分析可得M 的轨迹为线段F 1F 2，即可得答案．本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析． 6. 如图：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是()A. −12a⃗ +12b ⃗ +c B. 12a ⃗ +12b ⃗ +c C. −12a ⃗ −12b ⃗ +c D. 12a −12b +c【答案】A【解析】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c 故选：A ．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=()A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：由题意，p =2，故抛物线的准线方程是x =−1，∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点∴|AB|=x 1+x 2+2，又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8故选：B ．抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8. 已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，则B ，D 两点的距离为()A. √32B. 12C. 32D. 34【答案】B【解析】解：菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，取AC 中点O ，连结DO ，BO ，BD ，则AO =BO =12AB =12，DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600的二面角的平面角，∴∠DOB =60∘，∴B ，D 两点的距离为BD =12．故选：B ．取AC 中点O ，连结DO ，BO ，BD ，则AO =BO =12AB =12，DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600的二面角的平面角，由此能求出B ，D 两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 试在抛物线y 2=−4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A(−2,1)的距离之和最小，则该点坐标为()A. (−14,1)B. (14,1)C. (−2,−2√2)D. (−2,2√2)【答案】A【解析】解：∵y 2=−4x ∴p =2，焦点坐标为(−1,0)依题意可知当A 、P 及P 到准线的垂足Q 三点共线时，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x =−14，则该点坐标为：(−14,1)．故选：A ．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P ，A 和焦点三点共线且点P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．10. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，如果AB =BC =1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为()A. 2√63B. 3√62C. 2√33D. √63【答案】C【解析】解：由题意可得：连接A 1C ，AC ，过A 作AE ⊥A 1C ，如图所示：根据长方体得性质可得：A 1A ⊥平面ABCD ．因为AB =BC =1，AA 1=2，所以AC =√2，A 1C =√6，根据等面积可得：AE =A 1A⋅AC A 1C=2√33．故选：C ．由题意可得：连接A 1C ，AC ，过A作AE ⊥A 1C ，根据长方体得性质可得：A 1C ⊥平面ABCD ，即可得到AC =√2，A 1C =√6，再根据等面积可得答案．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22，则下列结论中错误的是()A. AC ⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A −BEF 的体积为定值D. 异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D【解析】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF//平面ABCD ，故B 正确；∵EF =√22，∴△BEF 的面积为定值12×EF ×1=√24，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A −BEF 的高，∴三棱锥A −BEF 的体积为定值，故C 正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sinα=12，α=30∘；当F 与B 1重合时tanα=√22，∴异面直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误；故选：D ．利用证线面垂直，可证AC⊥BE ；判断A 正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B 正确；根据三棱锥的底面面积与EF 的位置无关，高也与EF 的位置无关，可判断C 正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D 错误．本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12. 若直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A. (−√153,√153)B. (0,√153)C. (−√153,0)D. (−√153,−1)【答案】D【解析】解：渐近线方程为y =±x ，由{x 2−y 2=6y=kx+2消去y ，整理得(k 2−1)x 2+4kx +10=0设(k 2−1)x 2+4kx +10=0的两根为x 1，x 2，∵直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点，∴{x 1+x 2=−4k k 2−1>0x 1x 2=10k 2−1>0，∴k <−1，∴{△=(4k)2−40(k 2−1)>0k<−1⇒−√153<k <−1故选：D ．根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y ，利用判别式大于0和k <−1联立求得k 的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)，且k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直，则k 的值为______． 【答案】75【解析】解：∵a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)，∴k a ⃗ +b ⃗ =k(1,1，0)+(−1，0，2)=(k −1，k ，2)2a ⃗ −b ⃗ =2(1,1，0)−(−1，0，2)=(3，2，−2)，∵k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直，∴3(k −1)+2k −4=0，∴k =75，故答案为：75根据所给的两个向量的坐标，写出k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k 的方程，得到结果．本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目． 14. 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点，则l 的方程是______．【答案】x +2y −8=0【解析】解：设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12．由点斜式可得l 的方程为x +2y −8=0．设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，由“点差法”可求出直线l 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12.再由由点斜式可得l 的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15. 如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方体ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是C 1C 的中点，设GF 、C 1F 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于______．【答案】π2【解析】解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(0,2，0)，A(2,2，0)，G(0,0，1)，F(1,1，0)，C 1(0,0，2)，E(2,1，1)，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，GF ⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，∴cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GF ⃗⃗⃗⃗ )=√3cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=√2√3∴cosα=√3cosβ=√63，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√63×√63+√33×√33=1，又0<α+β<π，∴α+β=π2．故答案是π2．本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF 、C 1E 与AB 的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．16. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且BF ⃗⃗⃗⃗ 与FA ⃗⃗⃗⃗ 同向，则双曲线的离心率______． 【答案】√52【解析】解：设双曲线方程为x 2a 2−y2b 2=1,c 2=a 2+b 2由BF ⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗ 同向，∴渐近线的倾斜角为(0,π4)，∴渐近线斜率为：k 1=b a <1∴b 2a 2=c 2−a 2a2=e 2−1<1，∴1<e 2<2∴|AB|2=(|OB|−|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|−|OA|)2|AB|，∴|AB|=2(|OB|−|OA|)∴{|OB|−|OA|=12|AB |OA|+|OB|=2|AB∴|OA|=34|AB|∴|OA|2=916|AB|2可得：|AB||OA|=43，而在直角三角形OAB 中，注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB =43而由对称性可知：OA 的斜率为k =tan(π2−12∠AOB)∴2k1−k 2=43，∴2k 2+3k −2=0，∴k =12(k =−2舍去)；∴ba =12∴b 2a 2=c 2−a 2a =14，∴e 2=54∴e =√52故答案为√52．由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据|AB||OA|=43，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0，命题q ：实数m 满足：方程x 2m−1+y 24−m =1表示双曲线．(Ⅰ)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若命题“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0恒成立，∴△=1+4m ≤0，解得m ≤−14，∴实数m 的取值范围是(−∞,−14]；(Ⅱ)∵“p 或q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题，当q 为真命题时，则(m −1)(4−m)<0，解得m >4或m <1．∴q 为假命题时，1≤m ≤4．由(1)知，p 为假命题时m >−14．从而{m >−141≤m ≤4，即1≤m ≤4．∴实数m 的取值范围为1≤m ≤4．【解析】(Ⅰ)∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0恒成立，可得△=1+4m ≤0，从而求得m 的范围；(Ⅱ)由“p 或q ”为假命题，可得p ，q 均为假命题，求出当q 为真命题时m 的范围，再由交集与补集的运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．18. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点(1,32)到焦点F 1，F 2两点的距离之和为4．(1)求椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．【答案】解：(1)由题设知：2a =4，即a =2，将点(1,32)代入椭圆方程得 122+(32)2b 2=1，得b 2=3∴c 2=a 2−b 2=4−3=1，故椭圆方程为x 24+y 23=1，焦点F 1、F 2的坐标分别为(−1,0)和(1,0)．(2)由(1)知A(−2,0), B(0,√3)，∴k PQ =k AB =√32，∴PQ 所在直线方程为y =√32(x −1)，由{y =√32(x −1)x 24+y 23=1得 8y 2+4√3y −9=0设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−√32, y 1⋅y 2=−98，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√34+4×98=√212，∴S △F 1PQ =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12×2×√212=√212． 【解析】(1)由椭圆定义可得a =2，将点(1,32)代入椭圆方程求得b 2=3，从而得到c =1，写出椭圆方程和焦点坐标；(2)由条件求出直线PQ 的方程，联立椭圆方程，消去x ，得到y 的二次方程，运用韦达定理，可求|y 1−y 2|，再由面积公式12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|计算即得．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．19. 如图，已知三棱锥O −ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．【答案】解：(1)以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有A(0,0，1)、B(2,0，0)、C(0,2，0)、E(0,1，0)…(3分)∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)∴COS <<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >>=√5⋅ √5=−25…(5分)所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25…(6分)(2)设平面ABC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z) 则n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −z =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −z =0取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，…(8分)则sin <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ >=√320XX…(10分)故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为√320XX 0…(12分)【解析】根据题中的条件可建立以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：(1)根据建立的空间直角坐标系求出EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >然后根据cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >≥0则异面直线BE 与AC 所成角即为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ><0则异面直线BE 与AC 所成角即为π−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >进而可求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值．(2)由(1)求出EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面ABC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >再根据若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >≥0则直线BE 和平面ABC 的所成角为π2−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ ><0则直线BE 和平面ABC 的所成角为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >−π2然后再根据诱导公式和cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >的值即可求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难.解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20. 已知直线y =x −m 与抛物线y 2=2x 相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O 为坐标原点．(1)当m =2时，证明：OA ⊥OB(2)若y 1y 2=−2m ，是否存在实数m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)m =2时，联立{y 2=2x y=x−2得x 2−6x +4=0，则x 1+x 2=6，x 1x 2=4，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1−2)(x 2−2)=2x 1x 2−2(x 1+x 2+4=2×4−2×6+4=0,∴OA ⊥OB ．(2)假设存在m 使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则x 1x 2+y 1y 2=y 122⋅y 222+y 1y 2=(−2m)24−2m =m 2−2m =−1，解得m =1．故存在m =1符合题意．【解析】(1)问题转化为证明OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；(2)假设存在m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1⇔x 1x 2+y 1y 2=−1⇔y 122⋅y 222+y 1y 2=−1，代入y 1y 2=−2m 即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 21. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =60∘，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE ⊥PD ；(Ⅱ)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，求二面角E −AF −C 的余弦值．【答案】证明：(Ⅰ)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，可得△ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ．又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ，所以AE ⊥平面PAD.又PD ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PD ．解：(Ⅱ)设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ．由(Ⅰ)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt △EAH中，AE =√3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大．此时tan∠EHA =AEAH=√3AH =√62，因此AH =√2.又AD =2，所以∠ADH =45∘，所以PA =2．因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO =AE ⋅sin30∘=√32，AO =AE ⋅cos30∘=32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ⋅sin45∘=3√24，又SE =√EO 2+SO 2=√34+98=√320XX，在Rt △ESO 中，cos∠ESO =SOSE =3√24√320XX=√155，即所求二面角的余弦值为√155．高中时间 仅供参考11 / 11【解析】(1)要证明AE ⊥PD ，我们可能证明AE ⊥面PAD ，由已知易得AE ⊥PA ，我们只要能证明AE ⊥AD 即可，由于底面ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明AE ⊥BC ，由已知易我们不难得到结论．(2)由EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，我们分析后可得PA 的值，由(1)的结论，我们进而可以证明平面PAC ⊥平面ABCD ，则过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，然后我们解三角形ASO ，即可求出二面角E −AF −C 的余弦值．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，通过解∠AOC 所在的三角形求得∠ESO.其解题过程为：作∠ESO →证∠ESO 是二面角的平面角→计算∠ESO ，简记为“作、证、算”．22. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于√32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P(2,√3)，Q(2,−√3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当A ，B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 【答案】解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，∴−b =−2，解得b =2．又ca =√32，a 2=b 2+c 2，∴a =4，c =2√3，可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，联立{y −√3=k(x −2)x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0，∴x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2，∴x 1+x 2=16k 2−41+4k 2，x 1−x 2=−16√3k1+4k 2，k AB=y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=√36．∴直线AB 的斜率为定值√36．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，可得−b =−2，解得b.又ca=√32，a 2=b 2+c 2，联立解得即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，与椭圆的方程联立化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学 试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线和平面，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．长方体的一个顶点上三条棱长为 ，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ）A ．BCD5．在中，若，且，那么一定是（ ）A．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的,a b ,,a b ααα⊄∥a b ∥a α∥A B C D ''''ABCD 22A D B C '=''='1A B ''=ABCD 345、、50π200π2,,AB BC CD AB BC AC CD ===⊥⊥DB AB AC λμ=+λμ+=ABC △sin cos a B A =sin 2sin cos C A B =ABC △1AA 15AA =π2AD BC 2CD =是（ ）A ．曲池的表面积为B．曲池的体积为C ．曲池的表面积为D ．曲池的体积为7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A ．BC ．D ．8．已知的内角所对的边分别为，，且的周长为（ ）A ．B．CD ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．复数与的积是纯虚数，则需满足下列哪些条件（ ）A ．B ．C ．D ．10．在中，是边上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）107π+10π32014π+15πABC △O 2,OA OC OA OB OA OBOC OC AB ⋅+⋅=+⋅= ABBC14BCBC14BC-ABC △,,A B C ),,sin sin sin a b c A C B -=2252cos a c ac B =+ABC △ABC △6+443+i a b +i c d +ac bd=ac bd≠bc ad=-bc ad≠-ABC △2,3,60,AB AC A D ∠===BC B 1233AD AC AB=+ ABD S =△AD =2214AD A AC CBB ⋅=- O 2AB =C OA ．B ．的最大值为6C．D ．满足的点只有一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量满足，则______．13．设复数满足，则______．14．已知是表面积为的球体表面上四点，若的体积为长度的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．16．（15分）已知复数，并且．（1）若为虚数，求的取值范围；（2）求的取值范围．17．（15分）已知分别是三个内角．2BA BO ⋅= AB AC ⋅[]0,4OC AB AO --∈0AB AC ⋅=C ,a b 1,2,,60a b a b ===a b -= 12,z z 12122,i z z z z ==-=+12z z +=,,,A B C D 20π4,2,AB AC BC ===A BCD -CD 111ABC A B C -AB BC ⊥12,,,AB BC BB M N P ===11,,A B AC BC MN ∥11BCC B B PMN -()()()()2124i ,2cos 3sin i ,z m mm R zR θλθλθ=+-∈=++∈12z z =1z m λ,,a b c ABC △,,A B C sin cos A a C b c +=+（1）求；（2）若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求．18．（17分）如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点．（1），求的值；（2）求的余弦值．19．（17分）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②方程（为正整数）有个不同的复数根；（1）求证：（2）设，求；（3）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合．马鞍山二中高一下学期期中检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A 4BC =BA CA ,BC 15,30D 30DBC ∠=AD ABC △2,6AB AC ==60,BAC M ∠=BC N AC A ,AM BN P AP mAB nAC =+m n +MPN ∠i z a b =+()cos isin r θθ+r z θx OZOZ i z a b =+()cos isin r θθ+i z a b =+1nx =n n ()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦12ω=-2024ω61x =x题号12345678答案ACCBDCCA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ADABCAB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1213．14．11．【详解】A 选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，取的中点，连接，则，由数量积公式及投影向量可得，A 正确；选项，过点作平行于，交圆与点，过点作，交延长线于点，连接，则四边形为菱形，由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，此时，故的最大值为，B 正确；C 选项，，因为四边形为菱形，所以，且，因为为定值，故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，O 2AB =ABO △AB D OD OD AB ⊥2BA BO BA BD ⋅=⋅=B O OE AB E E EG AB ⊥G EB OABEC E AB AC ⋅123DG AD DG =+=+=AB AC ⋅ 236AB AG ⋅=⨯=OC AB AO OC OA BA --=++OABE OA BA EA += 2EA MA ==2OC =OC EA OC AB AO --2+OC EA OC AB AO --2-故，C 错误；D 选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，又当时，满足，故满足的点有2个，D 错误．故选：AB14．【详解】由球的表面积为，可得球的半径，，则外接圆的半径为．设到平面的距离为，则，解得，则点与平面在球心的异侧．设球心到平面的距离为，则，设在球的截面圆所在的平面为，故球心到平面的距离为2，．设在平面上的投影为，当最长时最长，则，故．故答案为：2OC AB AO ⎡⎤--∈+⎣⎦C O ,C A 0AB AC ⋅=AC AB ⊥0AB AC ⋅=0AB AC ⋅=C 20π4,2,R AB AC BC ====222π1,,222ABC AB AC BC ACB S ∠∴=+∴=∴=⨯=△ABC △122AB =D ABC h 13h ⨯⨯=3h =>ABC O ABC d 11d OO ===D αα1=D ABC E CE CD max 213CE =+=CD =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）（1）直三棱柱中，为的中点，所以，且，因为分别的中点，，，四边形为平行四边形，，又平面平面，故平面（2）因为直三棱柱，则平面平面，因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，又因为底面，则点到底面的距离即为长，又因为分别为的中点，且，则16．（本小题满分15分）111ABC A B C -M 11A B 1111122B M A B AB ==1B M AB ∥ ,P N ,BC AC 1,2PN AB PN AB ∴=∥11,PN B M PN B M ∴=∥∴1B MNP 1MN B P ∴∥MN ⊄ 111,B C CB B P ⊂11B C CB MN ∥11B C CB111ABC A B C -ABC ∥111A B C M ∈111A B C M ABC 1B ABC 1BB ⊥ABC 1B ABC 1BB ,N P ,AC BC AB BC ⊥111111123323B PMN M PBN PBN V V S BB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△（1），且（2）消去可得．17．（本小题满分15分）（1，因为，所以，，因为，所以，因此．（2）由（1）可知，由题意可知，而，所以，[]2cos 2,2m θ=∈- ()22,2m m ≠±∴∈-12z z = 243sin 2cos m m λθθ⎧-=+∴⎨=⎩m 2223944cos 3sin 4sin 3sin 4sin 816λθθθθθ⎛⎫=--=-=--⎪⎝⎭91sin 1,,716θλ⎡⎤-≤≤∴∈-⎢⎥⎣⎦sin cos sin sin cos sin sin A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()sin sin cos sin sin C A A C A C Cπ⇒+=--+()sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++sin cos sin sin C A A C C ⇒=+()0,πC ∈sin 0C ≠sin cos sin sin πn cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭1sin 62πA ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈5ππ,66π6A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭663πππA A -=⇒=π3A =,126ππABD ACD ∠∠==π6DBC ∠=5π5π7ππ4341212612ππππABC ACB BCD ∠∠∠=⇒=--=⇒=+=，在中，由正弦定理可知：在中，由正弦定理可知：在中，由余弦定理可知：18．（本小题满分17分）（1）设则，且则解得，故．（2）易知则；；所以19．（本小题满分17分）（1）证明：（2）依题意，，7ππ6124ππBDC ∠⇒=--=ABC△sin sin 3π4πBC AC AC =⇒=⇒=DBC △1sin sin 462ππBC CD CDCD =⇒=⇒=DAC △AD ==,AP AM BP BNλλ==1122AP AM AB AC λλλ==+ ()113AP AB BP AB BN AB ACμμμ=+=+=-+ 1223λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12m n +=111223AM AB AC BN AB AC =+=-+；1122A AC M AB =+= 123BN AB AC =-+=2AM BN ⋅= cos cos ,AM BN AM BN AM NM N B P ∠⋅===()()111222cos isin cos isin r r θθθθ+⋅+()1212121212cos cos sin sin cos sin sin cos i r r θθθθθθθθ⎡⎤=-++⎣⎦()()121212cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦12π2πcos isin233ω=-+=+所以．（3）设，则，因此，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是202420242π2π40484048π4π4πcos isin cosisin cos isin 333333πω⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭cos isin x θθ=+()66cos isin cos6isin61x θθθθ=+=+=sin60,cos61,62π,k k Z θθθ===∈π,3k k Z θ=∈0,1,2,3,4,5k =θ2π4π5π0,,,π,,333π3x 11111,1,2222-+---11111,1,2222⎧⎫⎪⎪+---⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生物理素质测试题一、填空题（每小题4分，共20分）1．湿泡湿度计是用两个相同的温度计并列制成的，在使用时，其中一个温度计下端的玻璃泡包着湿布，因为水在蒸发时要吸热，所以这个温度计的读数要比另一个的读数______。

在相同室温下，两个读数的差值大，就表明空气的水蒸气含量_________。

2．2003年10月16日6时54分，“神舟”五号飞船成功完成了我国第一次载人航天飞行，返回舱在内蒙古主着陆场地安全着陆。

（1）火箭发射时发生的能量转化主要是由__________能转化内能，再转化为机械能。

（2）在飞船关闭发动机后绕地球飞行时，如果在舱内进行下列实验，与在地面相比，其中最难完成的是________（填字母）：A ．用温度计测温度；B ．用显微镜观察洋葱表皮；C ．用漏斗、滤纸过滤，除去水中的泥沙。

3．一块均匀的木板长16m ，重400N ，对称地放置在相距8m 的A 、B 两个支架上，如图1所示。

一个体重为500N 的人，从木板中点以1．2m/s右走去，至木板翘起，此人能够走到B 点以外 m 处， 他行走的时间是 s 。

4．如图2所示的电路，闭合开关S 后，两灯都正常发光，两 电表的指针都有偏转，且示数稳定，已知电源电压为8V ，灯L 1 的电阻为12Ω，灯L 2 的电阻为16Ω，则甲电表的示数为 ，乙电表的示数为 。

5．风洞实验室中可以产生方向水平、速度大小可调节的风，用来研究处在流动气体中物体的受力情况。

将一个套有木球的细直杆放入风洞实验室，球受到的重力为G 。

球在杆上运动时，球与杆之间的滑动摩擦力跟它们之间的压力成正比， 比例系数是k 。

如图3甲所示，将杆沿平行风速的方向固定， 调节风速的大小，使球恰能沿杆匀速运动。

再将杆沿竖直方 向固定，如图3乙所示，将球从杆的上端由静止释放，保持 球下滑过程中所受风力与杆处于水平方向时受到的风力大小 相同．则球下滑过程中受到的滑动摩擦力为________。

安徽省马鞍山二中2009-2010学年下学期高二年级期中素质测试化学试卷（理科）全卷满分：100分。

考试时间：90分钟。

可能用到的相对原子质量：H:1 N:14 O:16 Na：23 I：127选择题（50分）一、选择题（每小题3分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意）1、下列液体pH＞7的是（）A.人体血液B.蔗糖溶液C.橙汁D.胃液2、下列事实可证明氨水是弱碱的是（）A.氨水能跟氯化亚铁溶液反应生成氢氧化亚铁B.铵盐受热易分解C.0.1 mol·L－1氨水可以使酚酞试液变红D.0.1 mol·L－1氯化铵溶液的pH约为53、一定量的盐酸跟过量的铁粉反应时，为了减缓反应速率，且不影响生成氢气的总量，可向盐酸中加入适量的（）A.NaOH(s)B. CH3COONa(s)C.NH4Cl(s)D. NaHSO4溶液4、酸和碱恰好中和时，它们起反应的（）一定相等。

A．体积B．物质的量C．H+和OH-的物质的量D．物质的量浓度5、化学用语是学习化学的重要工具，下列用来表示物质变化的化学用语中，正确．．的是（）A．在AgCl悬浊液中加入KI溶液充分振荡Ag+ + I- = AgI↓B．HS-的水解方程式：HS-＋H 2O H2S＋OH－C.NaHCO 3在水溶液中的电离方程式：NaHCO3 Na＋＋HCO3－D．氢氧燃料电池的负极反应式：O2 + 2H2O+ 4e- == 4OH－6、将0.lmol·1L-醋酸溶液加水稀释，下列说法正确的是（）A．溶液的pH增大B．溶液中c(H+)增大OH)都减小C．醋酸电离平衡向左移动D．溶液中c(H+)和c(-7、如图所示，杠杆A、B两端分别挂有体积相同、质量相等的空心铜球和空心铁球，调节杠杆并使其在水中保持平衡，小心地向水槽中滴入CuSO4浓溶液。

(该过程中不考虑两球浮力的变化)下列说法正确的是（）A．若杠杆由绝缘体材料制成，一段时间后，杠杆一定B端高A端低B．若杠杆由导体材料制成，一段时间后，杠杆一定B端高A端低C．若杠杆由导体材料制成，一段时间后，杠杆一定A端高B端低D．杠杆一定A端高B端低，与其材质无关8、一元强酸X和一元弱酸Y，pH值均等于2，各取1L与足量的Mg反应，下列叙述正确的是（）A．X产生的H2多B．反应开始瞬间X反应速度快C．两者产生的H2一样多D．反应开始瞬间两者速度相等9、叠氮酸（HN3）与醋酸酸性相似，下列叙述中不正确的是( )A．NaN3水溶液中离子浓度大小顺序为：c(Na+)＞c(N3－)＞c(OH－)＞c(H+)B．HN3水溶液中微粒浓度大小顺序为：c(HN3)＞c(H+)＞c(N3－)＞c(OH－)C．HN3与NH3作用生成的叠氮酸铵是弱电解质D．叠氮酸是共价化合物10、蒸干并灼烧下列物质的水溶液，仍能得到该物质的是（）A．氯化铝B．碳酸钠C．硫酸亚铁D．碳酸氢钠二、选择题（每小题3分，共30分。

马某某市第二中学2010年实验班招生数学素质测试题（本卷共8页,满分150分，答题时间120分钟）一、选择题 (每小题6分，满分36分。

以下每小题均给出了代号为A、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)1、计算11111335579799+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= （ ）A 9998B 9749C 94D 99492、已知y x ,是互不相等的实数，且使等式03,0322=-+=-+y y x x 成立， 则2222xy y x += （ ）A 3B 4C 6D 6-3、如图，圆内两条弦互相垂直，其中一条被分成2和6两段， 另一条被分成3和4两段，此圆的直径为( )A 9D 10CABD.O4、将一颗质地均匀的骰子（一种各面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是（ ）A 41B 81C 121D 1615、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，,90AB BC ABC =∠=，3DE cm =4,5EC cm DC cm ==，那么这个梯形ABCD 的面积是（ ）A 152172cmB 195202cmC 12 2cm D 13 2cm6、已知实数,,x y z 满足5x y z ++=，3xy yz zx ++=，则z 的最大值是 （ ）A 3B 4C 619D 313二、填空题（每小题6分，满分36分）7、设0,0a b c abc ++=>，则||||||a b c a b c ++的值是8、若531-的整数部分为a ,小数部分为b ，则2(21)a b b -+=9、如图, 已知：1,2AD AB ==，DC BC =，60DAC CAB DCB ∠=∠=∠=︒， 则AC =AD BCEDC10、计算32322010220102008201020102011-⨯-=+-_____________11、对于每个x ，函数y 是642,6221++-=+-=x x y x y 这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是_______________12、某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了90秒，而他沿同一扶梯从底朝上走到顶只用了10秒，那么此人不走动，乘该扶梯从底到顶所需的时间是_________秒。

2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则复数z的虚部为( )A. 32B. −32C. 32i D. −32i2.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,−1)，则|AC|=( )A. 2B. 3C. 2D. 223.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )比赛成绩678910班级数35444A. 8.5B. 9C. 9.5D. 104.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m//α，则m⊥βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β5.一个射手进行射击，记事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，A3=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )A. A1与A2B. A1与A3C. A2与A3D. 以上都不对6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，cos C=−13，则边c上的高为( )A. 62B. 63C. 32D. 337.如图，△A′O′B′是由斜二测画法得到的△AOB 水平放置的直观图，其中O′A′= O′B′=2，点C′为线段A′B′的中点，C′对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是( )A. OC ⋅AB =0B. △AOB 的面积为2C. OC 在OB 上的投影向量为2OBD. 与AB 同向的单位向量为8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处(B,C,N 三点共线)测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为α和β，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为γ，则钟楼的高度为( )米．A. a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ) B. a +a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ)C. a sin (α+γ)sin βsin αsin (β−γ)D. a +a sin (α+β)sin γsin βsin (β−γ)二、多选题：本题共3小题，共18分。

安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题为A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.若向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，则z等于A. 0B. 1C.D. 2【答案】A【解析】解：向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，，解得．故选：A．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：双曲线的顶点为和，焦点为和．椭圆的焦点坐标是为和，顶点为和．椭圆方程为．故选：D．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．4.是直线和直线平行且不重合的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：当时，两直线分别为：，，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C．两个方面分析本题，分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．本题以直线为载体，考查四种条件判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．5.平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段【答案】D【解析】解：根据题意，两定点，则，而动点M到两定点和的距离之和为10，则M的轨迹为线段，故选：D．根据题意，由定点和的坐标可得的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段，即可得答案．本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．6.如图：在平行六面体中，M为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：故选：A．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：由题意，，故抛物线的准线方程是，抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，又故选：B．抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，故，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8.已知菱形ABCD边长为1，，将这个菱形沿AC折成的二面角，则B，D两点的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：菱形ABCD边长为1，，将这个菱形沿AC折成的二面角，取AC中点O，连结DO，BO，BD，则，，，是将这个菱形沿AC折成的二面角的平面角，，，D两点的距离为．故选：B．取AC中点O，连结DO，BO，BD，则，，，是将这个菱形沿AC折成的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，焦点坐标为依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得，则该点坐标为：．故选：A．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．10.在长方体中，如果，，那么A到直线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD．因为，，所以，，根据等面积可得：．故选：C．由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是A.B. 平面ABCDC. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】解：在正方体中，，平面，平面，，故A正确；平面平面，平面，平面ABCD，故B正确；，的面积为定值，又平面，为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故C正确；利用图形设异面直线所成的角为，当E与重合时，；当F与重合时，异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．利用证线面垂直，可证；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：渐近线方程为，由消去y，整理得设的两根为，，直线与双曲线的右支交于不同的两点，，，故选：D．根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和联立求得k的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1，，0，，且与垂直，则k的值为______．【答案】【解析】解：1，，0，，1，，0，，k，1，，0，，2，，与垂直，，，故答案为：根据所给的两个向量的坐标，写出与的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k的方程，得到结果．本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目．14.已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是______．【答案】【解析】解：设直线l与椭圆交于、，将、两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率．由点斜式可得l的方程为．设直线l与椭圆交于、，由“点差法”可求出直线l的斜率再由由点斜式可得l的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15.如图所示，正方体中，E、F分别是正方体和ABCD的中心，G是的中点，设GF、与AB所成的角分别为、，则等于______．【答案】【解析】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则2，，2，，0，，1，，0，，1，，则，1，，1，，，，又，．故答案是．本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．16.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点F垂直的直线分别交，于A，B两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率______．【答案】【解析】解：设双曲线方程为由，同向，渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即而由对称性可知：OA的斜率为，，舍去；，故答案为．由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：，，命题q：实数m满足：方程表示双曲线．Ⅰ若命题p为真命题，求实数m的取值范围；Ⅱ若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ，恒成立，，解得，实数m的取值范围是；Ⅱ“p或q”为假命题，，q均为假命题，当q为真命题时，则，解得或．为假命题时，．由知，p为假命题时．从而，即．实数m的取值范围为．【解析】Ⅰ，恒成立，可得，从而求得m的范围；Ⅱ由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．18.如图所示，，分别为椭圆C：，的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到焦点，两点的距离之和为4．求椭圆C的方程和焦点坐标；过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求的面积．【答案】解：由题设知：，即，将点代入椭圆方程得，得，故椭圆方程为，焦点、的坐标分别为和．由知，，所在直线方程为，由得设P ，Q ，则，，．【解析】由椭圆定义可得，将点代入椭圆方程求得，从而得到，写出椭圆方程和焦点坐标；由条件求出直线PQ的方程，联立椭圆方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，可求，再由面积公式计算即得．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．19.如图，已知三棱锥的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，，E是OC的中点．求异面直线BE与AC所成角的余弦值；求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．【答案】解：以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有0，、0，、2，、1，分，分所以异面直线BE与AC所成角的余弦为分设平面ABC的法向量为则知知取，分则分故BE和平面ABC的所成角的正弦值为分【解析】根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式求出然后根据则异面直线BE与AC所成角即为，若则异面直线BE与AC 所成角即为进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．由求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式求出，再根据若，则直线BE和平面ABC的所成角为，，若，则直线BE和平面ABC的所成角为，然后再根据诱导公式和，的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20.已知直线与抛物线相交于，两点，O为坐标原点．当时，证明：若，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：时，联立得，则，，．假设存在m使得，则，解得．故存在符合题意．【解析】问题转化为证明，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；假设存在m，使得，则，代入即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21.如图，已知四棱锥，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．因为E为BC的中点，所以．又，因此．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．而平面PAD，平面PAD且，所以平面又平面PAD，所以．解：Ⅱ设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．由Ⅰ知平面PAD，则为EH与平面PAD所成的角．在中，，所以当AH最短时，最大，即当时，最大．此时，因此又，所以，所以．因为平面ABCD，平面PAC，所以平面平面ABCD．过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，在中，，，又F是PC的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．【解析】要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论．由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，简记为“作、证、算”．22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．求椭圆C的标准方程；点，在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】解：设椭圆C的标准方程为，椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，，解得．又，，，，可得椭圆C的标准方程为．设，，，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，联立，化为，，同理可得：，，，．直线AB的斜率为定值．【解析】设椭圆C的标准方程为，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，可得，解得又，，联立解得即可．设，，由，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。