概率的基本性质

10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).教材拓展补遗[微判断]1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于23.(√)提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16B.13C.12D.1解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.83.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝∅，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示 不对，若A ∩B ＝∅，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.题型一 互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝16，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝310，P(B)＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13.(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是4 5.规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.题型二对立事件概率公式的应用若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率 【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律方法 对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三 概率性质的综合应用【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？每个个体被抽到的可能性都是nN(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为5002 000×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件A －包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －)＝611.因此，P (A )＝1－611＝511.规律方法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.【训练3】 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.一、素养落地1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3B.0.7C.0.1D.1解析∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.答案 C3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案 C4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()A.325 B.58 C.916 D.14解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1432＋632＝58.答案 B基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案 A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析 从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝14. 答案 B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 19288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B － (B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23. 答案 13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835.答案17351835。

概率的基本性质概率是用来描述随机事件发生的可能性的数学工具。

在统计学和数学中，概率具有一些基本的性质。

本文将介绍概率的基本性质，包括概率的定义、概率的性质以及概率的运算性质。

一、概率的定义：1. 随机事件：随机事件是对结果不确定的事件的称呼，例如掷硬币的结果可能是正面或反面，这就是一个随机事件。

2. 样本空间：所有可能结果的集合称为样本空间，用S表示。

例如，掷硬币的样本空间是{正面，反面}。

3. 事件：样本空间的子集称为事件，用A、B等表示。

例如，正面朝上是一个事件。

4. 概率：概率是随机事件发生的可能性的度量，用P(A)表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

二、概率的性质：1. 非负性：对于任何事件A，有0≤P(A)≤1。

2. 必然事件的概率：对于样本空间S，有P(S) = 1，即必然事件发生的概率为1。

3. 不可能事件的概率：对于空集∅，有P(∅) = 0，即不可能事件发生的概率为0。

4. 互斥事件的概率：如果两个事件A和B不可能同时发生，称它们为互斥事件，则有P(A∪B) = P(A) + P(B)。

5. 加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

这个公式表示事件A和B同时发生的概率等于各自发生的概率之和减去它们共同发生的概率。

6. 对立事件的概率：对于事件A的对立事件，记为A'，有P(A') = 1 - P(A)。

这个公式表示事件A不发生的概率等于1减去事件A发生的概率。

三、概率的运算性质：1. 乘法规则：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(B|A)P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2. 全概率公式：对于一组互斥的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集为样本空间S，有P(A) = ΣP(A|Bi)P(Bi)，其中Σ表示求和。

3. 贝叶斯公式：对于一组互斥的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集为样本空间S，有P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)/ΣP(A|Bj)P(Bj)，其中P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率。

数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。

对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。

注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。

（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。

概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0,高考地理，1].
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。

互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。

因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。

10.1.4 概率的基本性质基础过关练题组一概率的基本性质及应用1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.(54,2) B.(54,32) C.[54,32] D.(54,43]3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是()A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B 的概率B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.(A1∪A2)∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.P(A1∪A2)≤0.55.给出下列命题:①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.其中错误命题的个数是.题组二利用概率的基本性质求概率6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是()A.0.4B.0.6C.0.8D.0.27.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.458.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为16,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=()A.15B.35C.23D.499.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.5610.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,下列事件的概率.(1)命中9环或10环;(2)至少命中8环;(3)命中的环数小于8.(1)求中二等奖的概率;(2)求不中奖的概率.能力提升练题组利用概率的基本性质求概率1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A 和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P(A)=()A.0.5B.0.2C.0.7D.0.82.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B 互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.93.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.30%C.10%D.50%4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2的是()件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710A.都是一级品B.都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为()A.910B.310C.18D.1106.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.47.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型A B AB O该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为18.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 ,不命中靶的概率是 .9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , .10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若事件A 表示“和为6”,求P(A);答案全解全析基础过关练1.B 因为事件A 发生的概率0≤P(A)≤1,所以A 错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B 正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C 错误;由概率的性质5可知,如果A ⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D 错误.2.D 由题意得,{0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)+P(B)≤1,即{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,即54<a ≤43,所以实数a 的取值范围是(54,43].3.A 根据概率的性质6,可知选项A 正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B 错误.当A,B 是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A 与B 是对立事件,故C 错误.事件A,B 中至少有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生,事件A,B 同时发生;A,B 中恰有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生.当事件A,B 互斥时,事件A,B 同时发生的概率为0,所以事件A,B中至少有一个发生的概率等于事件A,B中恰有一个发生的概率,故D错误.4.ABC事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)+A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误.故选ABC.5.答案2解析只有当事件A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,故③正确.6.B因为事件A与B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.7.C记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E 两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=15+15+15=35.8.C记事件A i=“出现i点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A=A1∪A3∪A5,B= A1∪A2∪A3,A∩B=A1∪A3,所以P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(A∩B)=26=13,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.9.C由题意,知“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件,由概率的加法计算公式可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=23.10.答案1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.11.解析记“射击一次,命中k环”为事件A k(k=1,2,3,…,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A 包括两个互斥事件:x=5,x=6. 事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)=210=15;事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=110,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=15+110=310.(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件B ,由题意可知,事件B 包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=110;事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)=210=15.由(1)可知,P(A)=310.所以P(B )=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=110+15+310=35.所以不中奖的概率P(B)=1-35=25. 能力提升练1.D ∵随机事件A 和B 互斥,∴P(A)=P(A ∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P(A )=1-P(A)=0.8.2.C 因为P(C)=0.6,事件B 与C 对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A 与B 互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.3.D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.4.D 设A 1,A 2,A 3分别表示3件一级品,B 1,B 2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.记事件A 表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=310.记事件B 表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=110.记事件C 表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)=610=35. 事件A,B,C 两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B ∪C)=710,而B ∪C 表示“至少有1件二级品”.故选D.5.B 解法一:设“第i 次能接通电话”为事件A i (i=1,2,3),借助树状图求出相应事件的样本点数:因此,P(A 1)=110,P(A 2)=9×110×9=110,P(A 3)=9×8×110×9×8=110,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为110+110+110=310.故选B.解法二:设“前三次都未接通”为事件A,则P(A)=9×8×710×9×8=710,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-710=310.故选B.6.B 设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A 与事件B 是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C 与事件D 为对立事件,又∵P(C)=0.62,∴P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B ∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.7.AD 任找一个人,其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,所以“可以输给B 型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A 正确;B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B 错误;由O 型血只能接受O 型血的人输血知,C 错误;由任何人的血都可以输给AB 型血的人知,D 正确.故选AD.8.答案 0.55;0.10解析 设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C 两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B ∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.90=0.10.9.答案 14;16;1411 解析 设事件A,B,C,D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D 两两互斥,根据题意,得{ P(A)=13,P(B)+P(C)=512,P(C)+P(D)=512,P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.10.解析 用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)},共12个样本点.(1)记事件M=“C 1被选中”,则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1)},共6个样本点.因而C 1被选中的概率P(M)=612=12.(2)记事件N=“A 1,B 1不全被选中”,则其对立事件N =“A 1,B 1全被选中”.N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},共2个样本点,所以P(N )=212=16.由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-16=56.11.解析 (1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.事件A 包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.理由:因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1-1325=1225,所以这种游戏规则不公平.。