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一、知识要点及方法1、基本概念:(2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥;（3）若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A与事件B互为对立事件；概率加法公式：当事件A与B互斥时,满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P(A∪B）= P(A)+ P（B）=1，于是有P（A)=1—P(B）2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P(B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P（A∪B）= P（A)+ P（B)=1，于是有P(A）=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生;（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；(2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
二、试题课时训练1．如果事件A、B互斥，记错误!、错误!分别为事件A、B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B.A∪错误!是必然事件C.错误!与错误!一定互斥D.A与错误!一定不互斥2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，由甲、乙两人下成和棋的概率为(）A．60%B．30％C．10% D．50%4．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为错误!。
概率的基本性质事件的关系：1.包含：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B⊇A ( 或A⊆B )；注：不可能事件记作Φ，任何事件都包含不可能事件.2.相等事件：若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.和事件：当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).4.积事件：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）5.互斥事件：两个事件的交事件为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B 互斥，其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.6.对立事件：若A∩B＝Ф，A B＝必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.7. 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则（A∪B）＝P（A）＋ P（B）8. 对立事件公式：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.9. 相互独立事件：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件，即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。
例1 某射手进行射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶例3 某射手连续射击两次，试判断下列事件的关系？事件A：第一次命中环数大于7环；事件B：第二次命中环数为10环；事件C：第一次命中环数都小于6环；事件D：两次命中环数都小于6环．练习1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有一名女生的概率为.A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有BA,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.B3. 甲、乙二人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是（ ）A.P 1+P 2B.P 1·P 2C.1-P 1P 2D.1-（1-P 1）·（1-P 2）4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率是0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问至少一根熔断的概率为 .5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 .6. 有三个形状相同的小罐，在第一罐中有2个白球和1个黑球，在第二罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，从中各摸一个球，3个球都不是白球的概率为____ _.7. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为_______8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是73和41, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______9. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率；（Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．3只果蝇的概率.10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是_______11.12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同色球的概率及三个颜色互不相同的概率.13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.1/24 7/3011．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32，43假设两人每次射击是否 击中相互之间没有有影响，求：（1）求甲射击5次，有两次未击中的概率 （2）假设某人连续2次未击中目标，就停止射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率12．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．概率练习二1. 在一次试验中，事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为__ __.k n k k n p p C --)1(2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为_ _.p p n 1)1(--3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标的概率为_ _.k n k k n p p C ----)1(11 4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 1,3 （写出所有正确结论的序号）5. 某气象站对天气预报的准确率为60%，那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.25926. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为12581 7. 在一次考试中出了6道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号，若某生完全随机记上6个符号，则全部是正确的概率为 1/64 ；正确解答不少于4道的概率为 11/32 ；至少正确解答一半的概率为 21/32 .8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为32,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/279. 下列各图中，每个开关闭合的概率都是0.75，且是相互独立的，分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/2562． 2．1条件概率学案一、教学目标：条件概率定义的理解。
一、知识概述（一）事件的关系与运算1、包含关系对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B A（或A B）．事件的包含关系与集合的包含关系：与集合的包含关系类似，B包含事件A（B A或A B）可用下图表示．不可能事件记作，显然（C为任一事件）．事件A也包含于事件A，即A A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现1点}{出现的点数为奇数}．2、相等事件如果B A且B A，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．（1）两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生；（2）所谓A＝B，就是A、B是同一事件，这在验证两个事件是否相等时，是非常有用的，在许多情况中可以说是唯一的一种方法．例如事件C发生，那么事件D一定发生，反之亦然，则C＝D．3、并（和）事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A＋B）．并（和）事件与集合的并集的关系：与两个集合的并集类似，并事件A∪B（或A＋B）可用下图表示．并事件具有三层意思：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生；③事件A、B同时发生．即事件A、B至少有一个发生．事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件．即A∪B＝B∪A．例如：在投掷骰子的试验中，事件C、D分别表示投掷骰子出现1点、5点，则C∪D＝{出现1点或5点}．4、交（积）事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）．交（积）事件与两个集合的交集类似，交事件A∩B（或AB）可用下图表示．事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}＝{出现的点数为4}.5、互斥事件若A∩B为不可能事件，即A∩B＝，那么称事件A与事件B互斥．思考：如何判断两个事件互斥？探究：在任何条件下都不可能同时发生的事件才是互斥事件．互斥事件与集合的关系：与两个集合类似，互斥事件可用下图表示．（1）A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生；（2）如果A与B是互斥事件，那么A与B两个事件同时发生的概率为0；（3）推广：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件互斥，就称事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合角度看，n个事件互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．例如：在投掷骰子的试验中，若C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，则事件C1与事件C2互斥，C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥．6、对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件．对立事件与集合：与两个集合类似，对立事件可用下图表示．（1）从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所包含结果组成的集合的补集；例如：在投掷骰子的试验中，C＝{出现2点}，则C的对立事件是D＝{出现1，3，4，5，6点}．（2）事件A、B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A 与事件B在一次试验中不会同时发生．（3）对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必为互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件．（4）对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A ∪B（或A＋B）为必然事件．（5）在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．（二）概率的几个基本性质1、概率P（A）的取值范围由于事件的频数总小于或等于试验的次数，所以频率在0到1之间，从而任何事件的概率都在0到1之间，即0≤P（A）≤1．联想·引申：（1）必然事件B一定发生，则P（B）＝1；（2）不可能事件C一定不发生，则P（C）＝0；（3）若A B，则P（A）≤P（B）．2、概率的加法公式当事件A与B事件互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率f n(A∪B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）联想·发散：（1）事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．例如：抛掷一颗骰子，观察掷出点数，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“出现的点数不超过3”，那么A与B就不互斥．因为如果出现1或3，就表示A与B同时发生了．事件A∪B包括4种结果：出现1，2，3和5，因而P（A∪B）＝，而P（A）＝，P（B）＝，显然，P（A∪B）≠P（A）＋P（B）；（2）如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P（A1＋A2＋…＋A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n），即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和；（3）在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．3、对立事件的概率公式若事件A与事件B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝1，又P（A ∪B）＝P（A）＋P（B），故P（A）＝1－P（B）．注：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件一定是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．二、例题讲解：例1、判断下列事件是否是对立事件，是否是互斥事件．从扑克牌40张（黑红梅方各10张）中任取一张．（1）抽出的是红桃与抽出的是黑桃；（2）抽出的红色牌与抽出的是黑色牌；（3）抽出的牌点数为5的倍数与抽出的牌点数大于9.答案：互斥不对立，互斥对立，不互斥不对立例2、福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为________．例3、某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在[100，200)(mm)内的概率；（2）求年降水量在[150，300)(mm)内的概率．解：（1）记这个地区的年降水量在、、、范围内分别为事件，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是0.37．（2）年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是0.55．例4、某工厂的产品中，出现二级品的概率是0.07，出现三级品的概率是0.03，其余都是一级品和次品，并且一级品数量是次品的9倍，求出现一级品的概率．解：设出现一级品的概率是P（A），因为一级品数量是次品的9倍，故出现一级品的概率也是次品的概率的9倍，出现次品的概率为P(A)．根据题意，应有P(A)＋P(A)＋0.07＋0.03＝1，解得P(A)＝0.81．∴出现一级品的概率是0.81．例5、同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．计算：（1）向上的数相同的概率；（2）向上的数之积为偶数的概率．解：每掷一个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36种．（1）向上的数相同的结果有6种，故其概率为．（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本事件有：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为；根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为．例6、射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(1)记：“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A 与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49．(2)记“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件．∴＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－＝1－0.97＝0.03，所以不够7环的概率为0.03．。
