随机过程 答案
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一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。
解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。
解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。
试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
第一章习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数,EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=(其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩(2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。
解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ (2)'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===(4) 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得:()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。
(完整版)随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验,定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求:(1))(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
习题4以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。
1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布.(a ) 若 ,2,1=t ,证明},2,1),({ =t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•==⎰t Ut tdU Ut Ut E t EX ππππ))cos()(cos(21)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=t U s t s t U s t s t πππ21}])[cos(1])[cos(1{212020•+++--= s t ≠=,021Ut Esin ))(),((2==t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21)(有关与t t t t EX ππ-=.)2sin(8121DX(t)有关,不平稳,与t t tππ-=2. 设},2,1,{ =n X n 是平稳序列,定义 ,2,1},,2,1,{)(==i n X i n 为,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+2121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,)1(n X 为平稳过程.同理可证, ,,)3()2(n n X X 亦为平稳过程.3.设1)nn k k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π)上独立均匀分布随机变量。
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。
解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。
解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。
试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
⎪2. (1) 求参数为(p , b )的Γ 分布的特征函数,其概率密度为⎧ b p p (x ) = ⎪ x p -1e -bx , x > 0 b > 0, p 是正整数(2)求其期望和方差。
⎨Γ( p ) ⎪⎩0 x ≤ 0(3)证明对具有相同参数b 的Γ 分布,关于参数 p 具有可加性。
解 (1) 首先,我们知道Γ 函数有下面的性质:Γ(p ) = (p -1)!根据特征函数的定义,有f X (t ) = E [e jtX]= ⎰∞ejtxp (x )dx = ⎰e jtxb p Γ(p ) x p -1e -bx dx= ⎰0bpΓ( p ) -∞ 0x p -1e -(b - jt )x dx =b p 1p -1 -(b - jt )x ∞ b p p - 1 ∞ p -2 -(b - jt )x Γ(p ) - (b - jt ) x e0 + Γ( p ) (b - jt ) ⎰0 x e dx = b p p - 1 ⎰∞ x p -2 e -(b - jt )x dx Γ(p ) (b - jt ) 0 ==b p ( p - 1)! ∞ 0 -(b - jt )x Γ(p ) (b - jt )p -1 ⎰0 x e dx= b p ( p - 1)! = ⎛ b ⎫ Γ(p ) (b - jt )p b - jt ⎪ ⎝ ⎭所以⎛ b ⎫ pf X (t ) = ⎪b - jt ⎝ ⎭(2)根据期望的定义,有∞∞ p]⎰ b ⎰ ∞( )∞b pp -1 -bxb p∞p -bxm X = E [X ] = ⎰-∞ xp x dx = ⎰0 x Γ(p ) x e dx = Γ( p ) ⎰0 x e dx = b p 1 p -bx ∞ b p p ∞p -1 -bxΓ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 xe dx = p ⎰∞ bp -1 -bx = p ⎰∞ ( ) = p b 0 Γ( p ) x 类似的,有e dx p x dx b -∞ bE [X 2= ∞x 2-∞ p (x )dx = ⎰0 2b px Γ(p ) x p -1e -bx dx = p Γ(p ) ⎰0x p +1e -bx dx b p 1 p +1 -bx ∞ b p ( p + 1) ∞ p -bx= Γ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 x e dx= b p Γ( p ) =(p + 1) b 0 x p e -bx dx= (p + 1)p ∞ b pp -1 -bx= ( p + 1)p ∞ ( )b 2⎰0=(p + 1)p b 2Γ(p ) xe dxb 2⎰-∞p x dx所以, X 的方差为D X =E [X 2]- m 2= ( p + 1)p b 2⎛ p ⎫2⎪ b= p b 2⎝ ⎭ (3)p ∞∞ ∞ X -M M M M ∑ ∑ i =1 k =1 i =1 k =1i =1 k =1i =1 k =15. 试证函数 ( ) =e jt (1 - e jnt ) 为一特征函数,并求它所对应的随机变f tn (1 - e jt )量的分布。
随机过程习题解答(一)第一讲作业:1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。
(a)分别写出随机变量和的分布密度(b)试问:与是否独立?说明理由。
解:(a)(b)由于:因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:因此与独立。
2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。
(a)试求和的相关系数;(b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。
解:(a)利用的独立性,由计算有:(b)当的时候,和线性相关,即3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。
解:由定义,有:4、考察两个谐波随机信号和,其中:式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。
(a)求的均值、方差和相关函数;(b)若与独立,求与Y的互相关函数。
解:(a)(b)第二讲作业:P33/2.解:其中为整数,为脉宽从而有一维分布密度:P33/3.解:由周期性及三角关系,有:反函数,因此有一维分布:P35/4. 解:(1) 其中由题意可知,的联合概率密度为:利用变换:,及雅克比行列式:我们有的联合分布密度为:因此有:且V和相互独立独立。
(2)典型样本函数是一条正弦曲线。
(3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且所以。
(4)由于:所以因此当时,当时,由(1)中的结论,有:P36/7.证明:(1)(2) 由协方差函数的定义,有:P37/10. 解:(1)(2)当i=j 时;否则令,则有第三讲作业:P111/7.解:(1)是齐次马氏链。
经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。
(2)由题意,我们有一步转移矩阵:P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有:(2)由齐次马氏链的性质,有:,因此:P112/9.解:(1)(2)由(1)的结论,当为偶数时,递推可得:;计算有:,递推得到,因此有:P112/11.解:矩阵的特征多项式为:由此可得特征值为:,及特征向量:,令矩阵则有:因此有:P112/12.解:设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。
随机过程试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个是随机过程的数学定义?A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案:C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是:A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案:A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程?A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案:A4. 泊松过程是一种:A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案:A5. 布朗运动是:A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案:B二、简答题(每题5分,共20分)1. 简述什么是平稳随机过程,并给出其数学特征。
答案:平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。
数学上,如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变,则称该过程为严格平稳过程。
2. 解释什么是遍历定理,并说明其在随机过程中的重要性。
答案:遍历定理是随机过程中的一个基本定理,它提供了时间平均与概率平均之间的联系。
在随机过程中,如果一个随机过程是遍历的,那么对于任意的观测时间点,其时间平均值将趋向于其期望值,这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。
3. 描述什么是随机过程的平稳增量,并给出其数学定义。
答案:随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内,随机过程增量的分布不随时间变化。
数学上,如果对于任意的非负整数n和任意的实数h,随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布,则称该随机过程具有平稳增量。
4. 简述什么是马尔可夫性质,并给出一个实际应用的例子。
答案:马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态,而与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。
例如,在天气预报中,明天的天气可能只与今天的天气有关,而与前几天的天气无关,这就是马尔可夫性质的一个实际应用。
1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自相关函数分别为Rx(τ)和Ry(τ)。
(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。
答案:(1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+=[][])()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++==:独立的性质和利用(2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +⨯+++=+=ττττ[])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++=2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。
假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2的高斯白噪声。
(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。
答案:(1) 该系统的系统函数为RCss X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω+=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2)(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为:()220212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:()⎰⎰∞∞-Ω∞∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)(电压:y(t)电流:i(t)(2) 线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验,定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求:(1))(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,方差 )1(),(22X Xt σσ。
、1.1设二维随机变量(X , F)的联合概率密度函数为:=—i—[l241-ι>⅛= "k"QTh Xl-JF)1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:Hm=(Ip)HPJt=U-试求/的特征函数,并以此求其期望E(X)与方差I K X)¾0 = Efr ir) = ∑e⅛ = *)解:一=⅛α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ⅛J1—(I-JI)1—q/(O)=α⅛24(1-小丄0<y<x<l苴它试求:在OJu <■ 1时,求I『F)解:J;240 H)JKfc0<y<l Jj2Jf(I_y)3 0<JF<1P 其它^{θ其它当OJXI 时,Aw)2OT(Xy)y<x<l其它所以:-⅛(0)二丄f PZUr=J Er3-(JEIf)3=^^-^=4PPp2.1袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每一个确定的t 对应随机变量x(t^3如果对t时取得红球e t如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族2.2设随机过程 W 加吨MIF)∙ gZ I叫,其中吗是常数,/与F是相互独立的随机变量,F服从区间(°2刘上的均匀分布,/服从瑞利分布,其概率密度为x>0x≤0试证明Xu)为宽平稳过程。
解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)}= 与无关(2)枚F(M 仪加血I(Q/伽说如")汁F(才),f _ t t⅛(Q) =-J PQ ÷g)= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U)啟0⑴卜"(3)R lM壊M∞¼⅛+Hl∕∞Ψ⅛+y)]}=豺]£{oKs(A +Γ)∞<β(A +Γ)}=2^Jtt 2{α≈(0A + β⅛+ y)-rasfflfc A)I^⅛心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关,所以XU)为宽平稳过程2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量,且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量,且D(U) = 5.试求它们的互协方差函数2.5设代B是两个随机变量,试求随机过程X(t) =At ∙3B,t∙ T =(」:「:)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2)为多少?3.1 一队学生顺次等候体检。
随机过程第三版课后答案【篇一:随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my,它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。
(1)求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数;(2)求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。
答案:(1)rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t)和y(t)独立的性质:rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)(2)rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)2、一个rc低通滤波电路如下图所示。
假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。
(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。
电流:i(t)电压:y(t)答案:(1)该系统的系统函数为h(s)?y(s)1? x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为:py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:1ry(?)?2?????py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??(2)线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。
因此,为了求输出的一维概率密度函数,仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。
均值:已知输入均值mx=0,则输出均值my=mxh(0)=02方差:ry(0)?var(y)?my因为均值为0,所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf:略12?n0/2???1?rc2?2d??3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b,其在通带的频率增益为1。
随机过程课后试题答案1. 题目:简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案:离散时间马尔可夫链(Discrete-time Markov Chain)是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下:1.1 基本概念:- 状态空间:马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合,记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率:转移概率是指在给定前一个状态的条件下,系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率,其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵:转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵是一个方形矩阵,维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布:对于离散时间马尔可夫链,如果存在一个概率分布π,满足π = πP,其中π是一个行向量,P是转移概率矩阵,则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质:- 马尔可夫性:离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性,即将来状态的发展只与当前状态有关,与过去的状态无关。
- 遍历性:若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零,则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性:对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵P的元素都是非负的,并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性:如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的,则称该马尔可夫链是不可约的。
反之,则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性:对于不可约的离散时间马尔可夫链,如果存在某个状态,从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1,则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目:连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些?答案:连续时间马尔可夫链(Continuous-time Markov Chain)是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中,样本空间通常表示为:A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案:A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的,则该过程是:A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案:B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态,而与过去的状态无关。
这一性质不适用于:A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案:D4. 在随机过程中,如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积,则这两个随机变量是:A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案:A5. 随机游走的期望步长是:A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案:D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案:实值或随机2. 在随机过程中,如果给定当前状态,下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态,那么该过程是一个_________过程。
答案:马尔可夫3. 随机过程的均值函数(或称数学期望函数)是描述过程长期行为的重要工具,它是一个关于_________的函数。
答案:时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程,其样本轨迹具有_________性质。
答案:无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程,其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案:相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链,其状态转移矩阵为:\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布,给定初始状态概率分布为:\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解:首先计算\( P^2 \),即状态转移矩阵的二次幂,然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题1.设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =,n 步转移矩阵()()n ij P p =,二者之间的关系为(n)n P P =2.状态i 常返的充要条件为()0n iin p ∞==∑∞。
3.在马氏链{},0n X n ≥中,记()n i jp ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==,n ≥1.i j p =()1n i j n p ∞=∑,若i j p <1,称状态i 为 。
二. 判断题1. S 是一个可数集,{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量,若()1011100111111,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-∀≥∀∈X =|====X =|X=并且满足,则{:0n n X ≥}是一个马氏链。
×2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的,但不与它自己是互通的。
×3. 一维与二维简单随机游动时常返的,则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。
×4. 若状态i ↔状态j ,则i 与j 具有相同的周期。
√5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。
√三. 简答题1.什么是随机过程,随机序列?答:设T 为[0,+∞)或(-∞,+∞),依赖于t(t ∈T)的一族随机变量(或随机向量){t ξ}通称为随机过程,t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时,则一般称为随机序列。
2 .什么是时齐的独立增量过程?答:称随机过程{t ξ:t ≥0}为独立增量过程,如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<<L 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组;如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
3.由4个状态组成的马氏链的转移概率矩阵000.50.5100001000010P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,确定哪些状态是暂态,哪些状态是常返态?4.考虑由状态0,1,2,3,4组成的马尔科夫链,而0.50.50000.50.5000000.50.50000.50.500.250.25000.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,确定常返态? 5.设有四个状态{}I=0123,,,的马氏链,它的一步转移概率矩阵1100221100P=2211114444001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1) 对状态进行分类;2) 对状态空间I 进行分解。
解:1) 33303132p 1,p p p =而,,均为零,所以状态3构成一个闭集,它是吸收态,记{}1C =3;0,1两个状态互通,且它们不能到达其它状态,它们构成一个闭集,记{}2C =01,,且它们都是正常返非周期状态;由于状态2可达12C C ,中的状态,而12C C ,中的状态不可能达到它,故状态2为非常返态,记{}D=2。
2)状态空间I 可分解为:12E=D C C ⋃⋃3) 四. 计算题1. 说是有一位赌徒,他去赌博带有赌资100元,而对手有200元赌资,他们的规则是每次下注五元,每次赢五元或输五元的概率相等, ()5P ε== ()5P ε=-=1/2.当赌徒破产或完胜时停止赌博。
问:(1)该赌徒完胜和破产的概率分别是什么? (2)赌博结束时,该赌徒平均能赢多少钱? (3)这场赌博平均要用多长时间?解:(1)由题可得,m=100.M=300.则完胜时: ()()100300m P S m P S ττ====m/M=100/300=1/3, 破产时:()()100()0130011/32/3m P S m P S S τττ====-==-=(2): ()()1000*0*100m m m S E S P S M P S M m ττττE ===+===(元)2. 设子代分布为二项分布B(2,1/2).考察相应的分支过程{:0n n X ≥}及其灭绝时间τ,求灭绝概率ρ解:由子代分布为二项分布B(2,1/2),可得:Pk= k k n k n C p q -=P0=1/4,P1=1/2,P2=1/4.又知f(ρ)=20i i i P ρρ==∑=1/4+1/2ρ+1/42ρ解得:ρ=13. 设马尔科夫链的转移概率矩阵为:0.30.7000.20.80.700.3P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1).求两步转移概率矩阵(2)P 及当初始分布为{}011P X ==,{}{}00230P X P X ====时,经两步转移后处于状态2的概率。
(2)求马尔科夫链的平稳分布。
:4.设马尔科夫链的状态空间I={1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:0.30.40.3000.60.4000010000000.30.70000.10P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求状态的分类,各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。
解:(1)状态分类1C ={1,2,3};2C ={4,5}(2)由常返闭集的定义可知,常返集有两个,下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。
A 对的常返闭集而言解方程组1122123311230.30.60.40.40.31ππππππππππππ=+⎧⎪=++⎪⎨=⎪⎪++=⎩解上述方程组的平稳分布为12330359,,747474πππ===各状态的平均返回时间为123123174174174,,30359t t t πππ====== B 对的常返闭集而言解方程组11221120.30.71πππππππ=+⎧⎪=⎨⎪+=⎩解上述方程组的平稳分布为12107,1717ππ== 各状态的平均返回时间为1212117117,107t t ππ==== 5.若012111,,244P P P ===,它的灭绝概率为0π,且'''012111,,442P P P ===,它的灭绝概率为'0π.求:(1) 0π的值;(2)'0π的值;(3)假定它们的初始时由n 个个体组成,分别求出两者的总体灭绝的概率。
解:(1)由于31,4μ=≤所以0π=1;(2)'0π满足'0π=''200111444ππ++解得这个二次方程的最小的正解是'0π=12。
(3)因为总体灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝,要求的概率是0nπ。
则n π=1, '0n π=12n⎛⎫⎪⎝⎭6.小张的宾馆刚开张不久,入住的家庭数是均值为λ的随机变量,再假定一个家庭在宾馆停留的天数是参数为(01)P P <<的几何随机变量,(于是在前一个晚上留在宾馆的一个家庭,独立于已经在宾馆呆了多久,将在第二天以概率P 退房),再假定所有的家庭是彼此独立的,在这些条件下容易看出,如果以n X 记在第n 天开始入住宾馆的家庭数,那么{n X ,n ≥0}是马尔科夫链。
求: 此马尔科夫链的转移概率。
解:为了求,i j P ,我们假定在一天开始是宾馆中有i 个家庭,因为这i 个家庭将以概率q=1-q再呆一天,由此推出这i 个家庭中再留一天的家庭数i R 是二项(i,q )随机变量。
所以,以N 记这天新入住的家庭数,我们看到,()i j i P P R N j =+=对于i R 取条件,并且利用N 是均值为λ的泊松随机变量,我们得到,0(|)ik i ki j i i k i P P R N i R k q p k -=⎛⎫=+== ⎪⎝⎭∑ 0(|)i k i k i k i P N j k R k q p k -=⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∑ min(,)()i j k i kk i P N j k q p k -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑min(,)()!j k i j k i kk i eq p k j k λλ---=⎛⎫=⎪-⎝⎭∑7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。
设0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为00011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是(2)0.610.39P PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P 0.5749=。
8.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3是等可能的。
写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。
解:一步转移概率矩阵010111P=333010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,9. 设马尔科夫链的状态空间为{}0,1,2I =, 一步转移概率矩阵为0.50.40.10.30.40.30.20.30.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦=⎥,求其相应的极限分布。
解:设其极限分布012(,,),W w w w =由W=WP 得到方程组0120012101220120.50.30.20.40.40.30.10.30.51w w w w w w w w w w w w w w w ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 解方程组得到:01221239,,.626231w w w === 10.设马氏链的转移概率矩阵为P ,求该马氏链的平稳分布及各状态的的平均返回时间?0.70.10.20.10.80.1P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11.设有时齐次的马氏链转移概率矩阵为P ,讨论其马氏性,并求其平稳分布。
1001P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦111333(2)2711999111333,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P (2)ij p 由>0知,此链有遍历性;(),,ππππ123设极限分布=,11533135151ππππππππππ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩1123221233方程组解 马氏链的状态空间为I={1,2},均为吸收态,状态空间可分解为两个闭集之和,I={1}+{2},故其是不可约的马氏链, 1 0P= =PP …P=P(n),0 1所以状态1和状态2都是非周期的,且有LimP11(n)=1不等于LimP21(n)=0,LimP12(n)=0不等于LimP22(n)=1,故不是遍历链,但由A=AP 得A=(A1 A2 ),A1+A2=1 故A1=A1,A2=A2 ,可见平稳吩咐是存在的,且有无穷多个12.设{:0}n X n ≥是一个马氏链,试证:00100111,...,()()n n P X i X i X i P X i X i ======。