当前位置：文档之家 › 4.3高斯型求积公式

4.3高斯型求积公式

  • 格式：ppt
  • 大小：548.50 KB
  • 文档页数：27

下载文档原格式

  / 27

合集下载

高斯求积公式的构造

高斯求积公式的构造

1
1
1
-1v(x)Ln(x)dx
v(x)u(n)(x)dx
-1
v(x)du(n 1)(x)
-1
1
v(x)u(n 1)(x) x 1 v(x)u(n 1)(x) x 1
u(n 1)(x)v(x)dx
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) u (n1 )(x )v(x )d x
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) v(1 )u (n2 )(1 ) u (n2 )(x )v(x )d x
1
51
8
51
f(x)dx f( 15) f(0) f( 15),
1
95
9
95
50.55,8 56 0.88,c8o9 1 s(1)5co1s1()50.714
9
9
5
5
1
c x o 0 . 5 d 0 s . 7 5 x 0 . 8 1 5 0 . 5 8 4 6 0 . 7 5 8 7 1 . 6 1 5 9
在 [ a , b ] 上 正 交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其 零点必为Guass点
设 f ( x ) 为 任 2 n 1 次 意 ,的 次
用 n ( x ) 除 f ( x ) 得
高斯求积定理
f ( x ) q ( x ) n ( x ) r ( x )
I sin 4
4
(1
0 . 573503
)
4
sin
4
( 1 . 573503
)
0 .9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 0 . 8 4 5 8 f ( 0 5 ) 5 8 9 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 4 5 5 5

4.3高斯型求积公式

4.3高斯型求积公式
2 2
有
I=

b a
f ( x )dx 0,
n
而数值积分
In

Ak f ( x k )
k0

n
Ak n 1 ( x k ) 0
2
k0
故 最 高 可 能 代 数 精 度 为 2n + 1.
高斯求积公式
定 义 7- 1： 如 果 求 积 公 式

b
f ( x )d x
a


k=0

1 1
f ( x )d x


k=0
n
Ak f ( x k )
称 为 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 ， 具 有 2n 1 次 代 数 精 度 。 其 中 G a u ss 点 x k , 及 求 积 系 数 A k 可 查 表 求 得 .
点 数 1 2
xk
Ak
点 数 6
xk
Ak
0
n
Ak f ( x k ) 对 于
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定 义 7- 2： 若 插 值 求 积 公 式

b a
f ( x )d x

k =0
n
Ak f ( x k )
具 有 2n 1 次 代 数 精 度 ， 则 称 该 插 值 求 积 公 式 为 高 斯 求 积 公 式 ， 其 中 结 点 xk 称 为 高 斯 点 ； 求 积 系 数 Ak 称 为 高 斯 求 积 系 数 。
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837

高斯求积公式

高斯求积公式

定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))

高斯求积公式-数值分析课程设计2

高斯求积公式-数值分析课程设计2

一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。

要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。

我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。

作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。

但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。

因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。

为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。

高斯求积公式

高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为

gauss型求积公式

gauss型求积公式

gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。

1. 定义。

- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。

对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。

这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。

2. 特点。

- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。

对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。

这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。

- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。

这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。

例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。

二、求积节点与求积系数。

1. 求积节点的确定。

- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。

勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。

通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。

2. 求积系数的计算。

- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。

一种常见的方法是利用正交性条件。

对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。

4.3 高斯积分

4.3 高斯积分

节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2

高斯求积公式

高斯求积公式

总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……

高斯(Gauss)求积公式

高斯(Gauss)求积公式

数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a

高斯求积公式

高斯求积公式

第三章 数值积分与数值微分
3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性
定理 3.6 设 f x C 2n2 [a, b] ,则Guass公式(3.4.1)的余项是
RG

b
a
x f x dx Ak f xk
项式。以Legendre多项式的零点为Gauss点的求积公式为

1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
（3.4.3）
称之为Gauss-Legendre求积公式。
第三章 数值积分与数值微分
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
P x 2
1 (3 x 2 1), 2
第三章 数值积分与数值微分
3.4 Gauss求积公式
3.4.1 Gauss求积公式的基本理论
3.4.2 常用Gauss求积公式
3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性
第三章 数值积分与数值微分
3.4
Gauss求积公式
学习目标：
掌握高斯求积公式的用法。 会用高斯勒让德求积公式。
第三章 数值积分与数值微分
a
Ak x lk x dx, k 0,1,n
b
例 3.6 确定
x0 , x1 , A0 , A1 使下列公式为Gauss公式：
1 x f x dx A0 f x0 A1 f x1

1
0
解 我们可以像例3.5一样,直接由代数精度的概念构造Gauss公式。 这里,我们用正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该Gauss公式。
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3

4.3 高斯求积公式

4.3 高斯求积公式

解之得
A1 x1 0 2 2 A1 x1 3 3 A1 x1 0 3 3 A0 A1 1 x0 x0 3 3
A0 A x 0 0 2 A x 0 0 A x3 0 0
A1 2
代入(1)即得

1
1
可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插 值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点， 可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是 本节要介绍的高斯求积公式。
高斯求积公式的误差
定理： 设 f ( x )在[ a , b ]上 2 n +2 阶连续可微， ( x ) 0, 则带权函数 ( x )的 Gauss型求积公式的余项为
R ( f ) ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk )
a k 0 b n
f ( ) 2 ( x ) ( x ) dx ( a , b ) (2 n +2)! a
a b
b
( x )q ( x )
a n k 1 k k
b
n
( x ) dx ( x ) r ( x ) dx
a
b

( x ) r ( x )dx A r ( x
a
)
A
k 1
n
k
f ( xk )
结论：
区 间[ a , b ]上 关 于 权 函 数 ( x )的 正 交 多 项 式 系 中 的 n +1 次 正 交 多 项 式 的 根 就 是 Gauss点 。
a k 0
b
n
对 f ( x ) x l (l 0,1, , 2 n 1) 精确成立

高斯型求积公式代数精度

高斯型求积公式代数精度

高斯型求积公式代数精度好的，以下是为您生成的关于“高斯型求积公式代数精度”的文章：在数学的奇妙世界里，求积公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开计算各种复杂图形面积或积分的大门。

而高斯型求积公式，那更是这把钥匙中的精品。

咱们先来聊聊啥是代数精度。

简单说，代数精度就是衡量一个求积公式在计算多项式积分时的准确程度。

比如说，一个求积公式能准确计算一次多项式的积分，那它的代数精度至少是 1；要是能准确计算二次多项式的积分，代数精度就至少是 2 啦。

那高斯型求积公式为啥这么牛呢？这就得从它的构造说起了。

它可不是随便弄出来的，而是经过了一番精心设计。

就好像建筑师盖房子，每一块砖头的位置都是精心计算好的。

还记得我读大学那会，有一次老师在课堂上讲高斯型求积公式。

那是一个阳光明媚的上午，教室里的窗户大开着，微风轻轻吹进来。

我一开始也是听得云里雾里的，心里想着：“这啥呀，咋这么复杂！”可老师不慌不忙，在黑板上一步一步地推导，边写边解释。

我瞪大眼睛盯着黑板，努力跟上老师的节奏。

老师说：“同学们，这高斯型求积公式就像是一个精密的仪器，只要你们掌握了它的原理和构造方法，就能在积分计算的海洋里畅游。

”我当时心里就憋着一股劲，非要把它弄明白不可。

经过反复琢磨和做练习题，我渐渐发现了高斯型求积公式的妙处。

它的节点选择可不是随便定的，而是有特殊的规律。

这些节点就像是一个个精准的坐标，让求积的结果更加准确。

而且啊，高斯型求积公式的代数精度特别高。

一般的求积公式可能在计算高次多项式积分时就开始出现偏差，可高斯型求积公式却能在相当高的次数内保持准确性。

这就好比普通的尺子只能测量较短的距离，而高斯型求积公式就像是一把超级长的尺子，能测量很长很长的距离还保持精准。

比如说，在计算一些复杂的曲线围成的面积时，用普通的求积公式可能会有较大的误差，可要是用上高斯型求积公式，那结果就会让人眼前一亮。

再想想实际生活中的应用，比如在工程计算中，要计算某个不规则物体的质量或者重心位置，这时候高斯型求积公式就能大显身手啦。

高斯型求积公式课件

高斯型求积公式课件

自编程实现
要点一
理解高斯型求积公式的原理
在自编程实现高斯型求积公式时，需要深入理解高斯型求 积公式的原理和数学推导过程，以确保编程实现的正确性 。
要点二
编写代码并进行测试
根据高斯型求积公式的原理，编写相应的代码并进行测试 ，以确保代码的正确性和可靠性。在编写代码时，需要注 意代码的可读性和可维护性，以提高代码的质量和可复用 性。
收敛性分析
对高斯型求积公式的收敛性进行深入分析，有 助于进一步优化其收敛速度。
稳定性
在提高收敛速度的同时，保持高斯型求积公式的稳定性是关键。
高斯型求积公式的并行化改的计算过程分解为多个子任务
，可以实现并行计算，进一步提高计算效率。
并行算法设计
02 设计高效的并行算法是实现高斯型求积公式并行化的
在微积分基本定理推导过程中，我们需要理解微积分的基本 概念和定理的证明过程，以确保推导的正确性和可靠性。
数值积分公式推导
数值积分公式是高斯型求积公式的另一种形式，通过数值积分公式的推导，我们可以将高斯型求积公 式应用到数值计算中。
在数值积分公式推导过程中，我们需要理解数值计算的基本原理和方法，以确保数值计算的准确性和 可靠性。
03
高斯型求积公式的实现
编程语言实现
Python实现
Python是一种通用编程语言，具有简洁的语法和丰富的科学计算库。使用Python实现高斯型求积公式可以充分 利用NumPy等科学计算库，提高计算效率。
C实现
C是一种高效的系统编程语言，适合进行大规模数值计算。通过C实现高斯型求积公式，可以充分利用其编译型语 言的性能优势，提高计算速度。
高斯型求积公式具有高精度、高稳定 性和易于实现等优点，因此在数值计 算中得到了广泛应用。

高斯求积公式

高斯求积公式

高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是一个数学上的重要公式，它是由德国数学家卡尔·高斯提出的。

高斯求积公式可以用来计算一个函数在某个区间内的积分值，因此也可以称为“求积公式”。

高斯求积公式的具体形式如下：
∫a^b f(x)dx = (b-a)/2[f(a)+f(b)+2∑f(x_i)]
其中，f(x)是区间[a,b]内的某个函数，x_i是区间[a,b]的某个中间点，i=1,2,…,n。

为了简化计算，一般情况下，n取值为2或3。

高斯求积公式有许多应用，它可以用来解决许多不同类型的积分问题。

它能够求解函数在某个区间内的积分值，也可以用来求解多元函数的最大值或最小值问题。

此外，它还可以用来计算曲线下面积，求解复杂微分方程等。

总之，高斯求积公式是一个非常有用的数学公式，它可以用来解决许多积分问题，因此被广泛应用于科学研究和工程计算中。

Gauss型求积公式

Gauss型求积公式
gauss型求积公式gauss求积公式高斯型求积公式插值型求积公式试构造高斯型求积公式构造高斯型求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式辛普森求积公式求积公式
Gauss型求积公式
由前面的讨论已经知道，以a=x0<x1<…<xn=b为节点的N-C求积公式 的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置， 在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高， 最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式.
故有

b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性 ：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设 项为q(x)。
三点Gauss-Legendre求积公式为：
5 8 5 1 f ( x)dx 9 f ( 0.6) 9 f (0) 9 f ( 0.6)A
1
实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求 积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意 区间上的Gauss-Legendre求积公式。 事实上，作变换
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
Gauss型求积公式的构造方法 (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式 pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (3)计算积分系数

高斯Gauss求积公式.ppt

高斯Gauss求积公式.ppt

i0
1
2
ti 0.861136 0.339981 0.339981
Ai 0.347855
0.652145 0.652145
xi 0.069432
0.330009
0.669991
Ai 0.173927
0.326073 0.326073
于是
1
f ( x)dx 0.173927 f (0.069432)
(r+1)
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk)
这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是
次数≤n的多项式。
b
b
b
(x) f (x)dx a
a ( x)q( x)Pn1( x)dx
( x)r( x)dx
a
数值分析
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低
k0
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

定义2
最高幂项的系数为 an 0 的 n 次多项式
j ( x), j 0,1,
，若满足（两两正交） ： b 0, j k ( j , k ) ( x) j ( x) k ( x)d ( x) a Ak 0, j k 称为在[a,b]上带权 ( x ) 正交序列，
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求Biblioteka 节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
则 j ( x )
j ( x) 称为[a,b]上带权 ( x ) 的 n 次正交多项式。
高斯点与正交多项式的零点
定理4-1： 插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) 其节点 xk 为
b a k =0 n
高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
高斯-切比雪夫求积公式
1. 切比雪夫(Chebyshev)多项式： 定义在区间 [1,1] 上 n 阶切比雪夫多项式 Tn ( x ) cos( n ) cos( n arccos x ) 是关于权函数 ( x )
1 1 x 2
正交的函数系，
其 n 1 阶切比雪夫多项式 Tn 1 ( x ) 与任何次数不超过 n 的多项式 P( x ) 在区间上关于权函数 ( x ) 均正交， 即
a

b
(2) x n ( x )dx
a

b
存在 n 1,2,
则称(x)是[a,b]上的一个权函数。
正交多项式
在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… 中，由于任意两个函数乘积在区间[-，+]上的积分 都等于零，则说这个函数系在[-，+]上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义1(a)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
问题: 寻找最高代数精度的求积公式
对于任意的求积节点a x0 x 1
b n a k 0
xn b, 及求积系数,
求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )的代数精度必小于2n 2!
这是因为 对于2n+2次代数多项式 f ( x ) [( x x0 )( x x1 ) 有 I= f ( x )dx 0,
b k =0 n
具有 2n 1 次代数精度， 则称该带权插值求积公式为带权高斯求积公式， 其中结点 xk 称为带权高斯点； 求积系数 Ak 称为带权高斯求积系数。
权函数
定义:设[a,b]是有限或无限区间, (x)是定义在[a,b]上 的非零可积函数，若其满足
(1) ( x )dx 0
b k =0
n
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定义4-2：
若插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k =0
n
具有 2n 1 次代数精度，则称该插值求积公式 为高斯求积公式，其中结点 xk 称为高斯点； 求积系数 Ak 称为高斯求积系数。
n 1
xk 0
Ak 2
n
xk ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
2
±0.5773502692
±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
( f , g)

b
a
f ( x ) g ( x )dx 0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.
正交多项式
定义1(b)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
( f , g)
( x ) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
称为权函数
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交.
高斯积分公式的数值稳定型
设lk ( x ), k 0,1, , n为Lagrange基函数.
lk2 ( x ) 0为2n次代数多项式, 其Gauss数值积分 等于精确积分,即有
2 0< ( x )lk2 ( x )dx Al i k ( xi ) Ak , b a i 0 n
k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
所有, 高斯积分公式具有数值稳定性.
Gauss型求积公式的构造方法
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .
3. Gauss Legendre求积公式 以Legendre多项式 Pn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的高斯点 xk， 则其插值求积公式

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
n
称为高斯-勒让德求积公式，具有 2n 1 次代数精度。 其中Gauss点 xk , 及求积系数Ak 可查表求得.

1
1
Pn 1 ( x ) P ( x )dx = 0
2. Legendre多项式的性质:
(1) 正交性 : {Pn } n 0 是[ 1,1]上的正交多项式序列, 即 0, m n ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 , mn 2n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
第四章 微积分的数值计算方法
4.3 高斯型求积公式
4.3 高斯型求积公式
代数精度的概念：一个求积公式的准确程度
问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大?
注：对于一般的插值求积公式

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
1
(2) 递推公式 P P0 ( x ) 1, 1( x) x ( n 1) Pn 1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn 1 ( x ) n 1, 2,
(3)
n P ( x ) ( 1) P n n ( x)
(4) 所有根都是单根, 并在(1,1)上关于原点对称分布.
T1 ( x ) x, T0 ( x ) 1, Tn 1 ( x ) Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x )
(3) 所有根都是单根, 在( 1,1)上与原点对称分布,且Tn ( x )的n个根为 x k cos (2k 1) ,(k 1, 2, 2n , n)
b k =0 n
为带权高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
k 0
n
Pn ( x) 在积分区间上关于权函数 ( x) 均正交， 即

b
a
( x)n 1 ( x) Pn ( x)dx = 0。
(即高斯点xk 是[a,b]上关于权函数 ( x )的n+1次 正交多项式Pn 1 ( x )的根)
2 2
称为带权高斯-切比雪夫求积公式，具有 2n 1 次代数精度。
一般积分区间[a,b]的处理
ba ba 先令x t , 使得: 2 2
[a , b]
[1,1]
再利用标准区间 [a, b] 上的求积公式:
n ba 1 ba ba Ak f ( xk ) a f ( x)dx 2 1 f ( 2 t 2 )dt k =0 b a ( n 1) Ak Ak 2 x b a t ( n 1) b a k k 2 2 tk( n 1) , Ak( n 1) 为[-1,1]上高斯求积公式的高斯点及求积系数. b
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式