高斯积分法讲义

§4-4 高斯积分法及其应用● 由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。

因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

● 数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

● 数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式● 一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi )是被积函数在积分点ξi 处的数值，H i 为加数系数，n 为积分点数目。

● 可以证明， ✧对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

✧由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。

● 例如， ✧n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a)不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。

因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c)✧当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e)数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C 0～C 3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H✧同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H即可保证得到精确的积分值。

高斯的积分引言高斯的积分，也称为高斯积分或者高斯函数，是数学中一种重要的积分形式。

它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在18世纪末提出，并广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和统计学等。

高斯的积分在数学和科学研究中具有重要的地位，它不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用价值。

高斯函数及其性质高斯函数是指形如 e −x 2的函数形式。

它在数学中具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。

对称性首先，高斯函数具有轴对称性。

即 e −x 2 关于原点对称，即 e −x 2=e −(−x )2。

这一性质使得高斯函数在实际问题中具有很大的优势。

归一化其次，高斯函数可以进行归一化处理。

归一化是指将一个函数调整为满足某些条件下总积分为1的过程。

对于高斯函数来说，它的归一化形式是 √π−x 2。

这个归一化的过程在概率论和统计学中有着重要的应用。

积分高斯函数的积分也是高斯的积分的核心内容。

高斯函数的积分形式为 ∫e −x 2∞−∞dx 。

这个积分在数学中被称为高斯积分，它是一个无穷区间上的定积分。

高斯积分的计算方法高斯积分由于其特殊性质，在数学中具有很大的难度。

然而，幸运的是，高斯本人提出了一种巧妙而有效的计算方法，即高斯消元法。

高斯消元法高斯消元法是通过变换和逐步简化来计算高斯积分。

具体步骤如下：1. 将被积函数 e −x 2进行变量替换，令 t =x 2。

2. 将原始积分转化为新变量 t 的定积分形式：12∫e −t ∞−∞dt 。

3. 利用定积分性质和指数函数关系进行计算，得到最终结果为 √π。

高斯消元法的关键在于变量替换和积分性质的灵活运用。

通过这种方法，我们可以简洁地计算出高斯积分的结果。

高斯积分的应用高斯积分作为一种重要的数学工具，在科学研究中有着广泛的应用。

下面我们将介绍几个常见的应用领域。

概率论与统计学在概率论与统计学中，高斯积分被广泛应用于概率密度函数和正态分布的计算中。

高斯积分定理是微积分中的一个重要定理，它描述了一个曲面的内部和外部之间的关系。

该定理在物理学和工程学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。

具体来说，高斯积分定理表述了一个曲面的外部和内部的通量与曲面所包围的体积之间的关系。

对于一个闭合曲面S，其内部和外部的通量可以用曲面元素的面积元素dS来表示，而曲面所包围的体积则可以用积分来表示。

高斯积分定理可以用公式∮S F·dS = ∫∫∫V ∇·F dV来表示，其中S是一个闭合曲面，F 是一个矢量场，dS是曲面元素的面积，V是曲面所包围的体积，∇·F是矢量场的散度。

这个定理的意义在于，它提供了一种通过测量通量来确定被包围的体积的方法，而不需要直接计算体积。

在实际应用中，高斯积分定理可以用来计算电荷或磁荷的分布情况，或者用来解决流体力学中的问题。

高斯积分定理的应用需要满足一定的条件，例如矢量场必须是单连通的，曲面必须是封闭的等。

此外，在具体应用中还需要注意一些细节问题，例如如何选择合适的坐标系和积分路径等。

高斯积分定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种通过测量通量来确定被包围的体积的方法，具有广泛的应用价值。

附錄
高斯積分法(Gaussian Quadratures)
一般積分最常見的方式是對於一個連續的函數作切割，使連續函數成離散形式作矩型面積積分，大都是取均等區間為切割的依據，而高斯積分能夠在特定的座標軸(abscissas)取值，並且給予一個加權權數(weight)能夠以少數的取點數為基礎，快速的計算出結果。

其準確性必須依積分曲線的平滑程度而定，並非取點越多越精準。

簡式如下：
1()()()b N j j j a W x f x dx w
f x =≈∑∫
j w :座標軸(abscissas)
j x ：權數(weight)
簡單來說高斯積分法是對一個函數做定積分(definite integral)，通常是在積分定義的值域內，以正交的觀念找一些特定的點，代入多項式中，並給予相對應的權重後，相加得到逼近原始函數的積分值，其數學推導則不在本研究中詳敘。

因為依照不同的微分方程可推導出一些不同的高斯積分，其區別可依定積分之上下限區分，factor copula 主要是對常態分配或student’s t 分配做積分值域介於~−∞∞的對稱分配，可採用Gauss-Hermite 其來自於Hermite polynomials。

2
221()()()()()k n x x x k k n k f x dx e e f x dx w x e f x R x ∞∞
−=−∞−∞⎡⎤⎡⎤==+⎣⎦⎣⎦∑∫∫
12212!()[()]
n k n k n w x n H x π−−=
(2)()()2(2)!n n n n R x f x n = ()n H x ：Hermite 多項式。

§4-4 高斯积分法及其应用由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。

因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法1．一维积分的高斯公式一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。

可以证明，对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。

例如，n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。

因为 ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H 即可保证得到精确的积分值。

§4-4 高斯积分法及其应用由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。

因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法1．一维积分的高斯公式一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。

可以证明，对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。

例如，n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。

因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H 即可保证得到精确的积分值。

高斯定律大学物理中电场分布的高斯面积分法高斯定律是电磁学中的重要定律之一，用于描述电场分布和电荷分布之间的关系。

在大学物理中，我们经常使用高斯面积分法来求解电场分布。

本文将介绍高斯定律的基本原理、高斯面积分法的推导与应用，并通过实例展示如何使用高斯定律解决电场分布问题。

一、高斯定律的基本原理高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪提出的，它建立了电场分布和电荷分布之间的定量关系。

根据高斯定律，电通量的总和与所包围的电荷量成正比，比例系数为真空介质电常数ε0。

二、高斯面积分法的推导为了推导高斯面积分法，我们考虑一个闭合曲面S，内部包含一个电荷量Q。

假设曲面上的面元dS与法向量n夹角为θ，则电场强度E在该面元上的投影为E*cosθ。

根据高斯定律可得：∮E*cosθdS = ε0Q由于电场强度E与面元法向量n的夹角是无规律的，因此我们可取曲面为球面，使得E与n垂直。

此时，θ=0，cosθ=1，上式变为：∮EdS = ε0Q由于球面上的电场强度E是常量，可以将积分符号移到外面，得到：E * ∮dS = ε0Q球面的面积为4πR²，其中R为球面半径。

因此，上式可以化简为：E * 4πR² = ε0Q根据电场强度E的定义，我们可以将E表示为Q和R之间的关系，得到：E = (1/4πε0) * (Q/R²)这就是高斯定律的数学表达式，它描述了电场强度E与距离电荷的距离的平方成反比关系。

三、高斯面积分法的应用高斯面积分法适用于具有一定对称性的电场分布问题，通过选取合适的高斯面，可以简化电场的计算。

例如，考虑一个均匀带电球体，半径为R，电荷密度为ρ。

我们选取一个半径为r（r ≤ R）的球面作为高斯面。

由于球体具有球对称性，高斯面上的电场强度E与距离球心的距离r无关，可表示为E。

并且，在高斯面内，电荷量为电荷密度乘以体积，即Q = ρ * (4/3)πr³。