高斯求积公式

一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。

要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。

我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。

作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。

但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。

因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。

为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。

高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。

它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。

高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。

要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。

勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。

其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。

高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。

假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。

具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。

然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。

接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。

对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。

首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。

勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。

然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。

通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。

利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。

具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。

1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。

2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。

下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。

高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。

2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。

节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。

权重则反映了在积分计算中节点的重要性。

3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。

4.使用勒让德多项式进行重写。

勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。

即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。

6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。

积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。

7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。

一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。

需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。

gauss型求积公式例题高斯求积公式，也称高斯-勒让德求积公式，是一种用于数值积分的方法。

它通过在给定区间上选择适当的节点和权重来近似计算定积分。

具体来说，高斯求积公式使用一组特定的节点和权重，使得在这些节点上进行的插值多项式与被积函数的积分相等。

为了更好地理解高斯求积公式，让我们来看一个例题。

假设我们要计算定积分∫(0到1) 2x^2 dx。

我们可以使用高斯求积公式来近似计算这个积分。

首先，我们需要确定使用的节点和权重。

对于高斯求积公式，节点和权重是预先确定的，并且取决于所选择的积分近似阶数。

假设我们选择3阶高斯求积公式，那么对应的节点和权重为：节点，-0.7745966692, 0, 0.7745966692。

权重，0.5555555556, 0.8888888889, 0.5555555556。

接下来，我们将被积函数 2x^2 转换到区间[-1, 1]上。

这可以通过线性变换来实现。

然后，我们可以利用节点和权重来计算近似积分值。

具体计算过程涉及将被积函数在节点处进行求值，并与对应权重相乘后求和。

在这个例子中，我们可以计算出近似的积分值为：0.5555555556 f(-0.7745966692) + 0.8888888889 f(0) + 0.5555555556 f(0.7745966692)。

其中f(x) = 2 ((x+1)/2)^2。

将这些值代入后计算即可得到近似的积分值。

需要注意的是，高斯求积公式的精度取决于所选择的节点和权重，以及所选择的积分近似阶数。

通常情况下，随着阶数的增加，高斯求积公式的精度会提高。

总之，高斯求积公式是一种用于数值积分的有效方法，通过选择合适的节点和权重，可以对定积分进行较为精确的近似计算。

在实际应用中，可以根据需要选择不同阶数的高斯求积公式来平衡计算精度和计算成本。

高斯求积公式及其matlab实现高斯求积公式是一种用于数值积分的方法，它可以在有限次计算的情况下，精确地计算多项式函数在给定区间上的积分值。

该方法发明于19世纪初期，是数值分析领域中的重要研究内容之一。

随着计算机技术的不断发展，高斯求积方法在科学计算和工程领域得到了广泛的应用。

高斯求积公式的基本思想是，将被积函数在给定区间内进行变换，使得其能够转化为一个已知的多项式函数的形式。

然后，将该多项式进行插值和积分，得到被积函数在该区间内的积分值。

这种方法的核心是高斯-黎曼公式，即在复平面上的某个区域内，对任意一个可微函数进行积分的公式，该公式是复分析理论中的重要结果。

具体地说，高斯求积公式可以表示为：$$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i)$$其中，$f(x)$表示被积函数，$x_i$和$w_i$分别表示$n$个积分点和相应的权重系数。

这些权重系数的计算是通过将被积函数在给定区间内进行变换来实现的，通常使用拉格朗日插值多项式或英特波公式进行计算。

在实际应用中，也可以使用类似于Simpson和辛普森公式的数值积分方法来实现该求积公式。

在MATLAB中，高斯求积公式的实现可以通过使用“quadgk”函数来实现。

该函数使用了Gaussian-Kronrod求积规则，可以在给定的精度下计算任意复杂的函数积分。

具体用法如下：```[f, err] = quadgk(@(x)f(x), -1, 1, 'MaxIntervalCount', n);```其中，$f(x)$表示被积函数，$n$表示积分点的数量，可以通过调整“MaxIntervalCount”参数来控制精度。

该函数会返回一个包含积分值和估计误差的向量，可以通过查看估计误差来判断计算结果的可靠性。

综上所述，高斯求积公式是一种重要的数值积分方法，在科学计算和工程领域中得到了广泛的应用。

在MATLAB中，可以通过使用“quadgk”函数来实现该方法，同时也可以结合其他数值积分方法来提高计算的精度和效率。

高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是一个数学上的重要公式，它是由德国数学家卡尔·高斯提出的。

高斯求积公式可以用来计算一个函数在某个区间内的积分值，因此也可以称为“求积公式”。

高斯求积公式的具体形式如下：
∫a^b f(x)dx = (b-a)/2[f(a)+f(b)+2∑f(x_i)]
其中，f(x)是区间[a,b]内的某个函数，x_i是区间[a,b]的某个中间点，i=1,2,…,n。

为了简化计算，一般情况下，n取值为2或3。

高斯求积公式有许多应用，它可以用来解决许多不同类型的积分问题。

它能够求解函数在某个区间内的积分值，也可以用来求解多元函数的最大值或最小值问题。

此外，它还可以用来计算曲线下面积，求解复杂微分方程等。

总之，高斯求积公式是一个非常有用的数学公式，它可以用来解决许多积分问题，因此被广泛应用于科学研究和工程计算中。