2017年高三数学一模(文科)答案

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A＝{x|x＜2},B＝{x|3－2x＞0},则( )A.A∩B＝{x|x＜}B.A∩B＝∅C.A∪B＝{x|x＜}D.A∪B＝R2.(5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数3.(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1＋i)2B.i2(1－i)C.(1＋i)2D.i(1＋i)4.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A. B. C. D.6.(5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )A. B. C. D.7.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝x＋y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.(5分)函数y＝的部分图象大致为( )A. B. C.D.9.(5分)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x),则( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称10.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋211.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0,a＝2,c＝,则C＝( )A. B. C. D.12.(5分)设A,B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB＝120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,＋∞)B.(0,]∪[9,＋∞)C.(0,1]∪[4,＋∞)D.(0,]∪[4,＋∞)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

A B=（1,3-{}4．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）29312．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当(,3]1x ∈-时，(1,1]()(1|2|),(1,3]x f x t x x ∈-=--∈⎪⎩，其中0t >，若方程()xf x =恰有3个不同的实数根，则t 的取值范围为（ ） ||||a b a b +=-，那么向量a 与向量b 的关系是．若不等式组1x y ⎧⎪+≥⎨所表示的平面区域为D ，若直线三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（12分）已知数列{}n a 中，35a =，2614a a +=，且2n a ，12n a +，22n a +成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn n b a n --=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求21T ．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 2.5PM 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 2.5PM 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天 2.5PM 的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：（Ⅰ）从样本中 2.5PM 的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天2.5PM 的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 2.5PM 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．19．（12分）如图（1）：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，6AD =，CE AD ⊥于E 点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=2）：若G ，H 分别为D B '，D E '的中点．（Ⅰ）求证：GH D A ⊥'； （Ⅱ）求三棱锥C D BE -'的体积．20．（12分）如图已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆222:(2)0)(T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN 的最小值，并求此时圆T 的方程．21．（12分）已知2()3f x x =--，()2ln g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行． （Ⅰ）求函数()g x 在(1,(1))g 处的切线方程；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围． [选修44-：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点π)4M 处的切线为直线l ．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知点P 为椭圆22134x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的取值范围．[选修45-：不等式选讲]23．已知函数||,()21f x x x R =-∈． （Ⅰ）解不等式|()1|f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y ∈R ，有113||x y --≤，1216||y +≤，求证：()1f x <．17．（I ）∵2n a ，12n a +，22n a +成等比数列， ∴122(2)22n n n a a a ++=，∴122n n n a a a ++=+．∴数列{}n a 为等差数列，设公差为d ， ∵35a =，5620a a +=， ∴125a d +=，12920a d +=， 解得11a =，2d =． ∴12(1)21n a n n =+-=-．（II ）(1)(21)(1)n nn n b a n n n =-=----．设数列(1){}nn --的前n 项和为n S ，则123(1)nn S n =-+-+⋯+-．∴1123(1)(1)(1)n n n S n n +-=-++⋯+--+-，∴11[1(1)]2111(1)1)(1(1)(1)n n n n n S n n ++---=-++⋯+-=------﹣，∴(1)1(1)42n n n nS ---=+．∴2(121)(1)1(1)(1)1(1)24242n n n n n n n n n T n n +-------=--=---． ∴22122132121425444T ---=-=-+． 18．解：（Ⅰ）设 2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为1A ，2A ，3A ， 2.5PM 的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1B ，2B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． 其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． 所以所求的概率63105P ==．………………………………………………………………………（8分） （Ⅱ）去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．………………………（10分）因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………………………………………………………………………………………………（12分） 19．解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ︒∠=，2AB BC ==，6AD =，CE AD E ⊥于点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=4ED =，连结BE ，GH ，在三角形AED '中，可得222ED AE AD '=+'，可得AD AE '⊥，DC ==，AC =，可得222AC AD CD +'='，可得，因为AEAC A =，所以AD ABCD '⊥平面，可得AD BE '⊥，G ，H 分别为D B '，D E '的中点，可得GH BE ∥， 所以GH D A ⊥'．（Ⅱ）三棱锥C D BE -'的体积为V ．则111223323BCE V S AD ='=⨯⨯⨯=△．20．解：（1）由题意可得2c e a ==，椭圆的左顶点(2,0)T -，可得2a =，c =，1b =，则椭圆方程为2214x y +=；（2）设(,)M m n ，由对称性可得(,)N m n -，即有2214m n +=，则222225(2,)(2,)(2)(2)14344TM m m n m n m n m m T m N =++-=+=++=++--258()1545m =+-， 由22m -≤≤，可得85m =-时，TM TN 的最小值为15-，此时2925n =，即有22213(2)25r m n =++=，可得圆T 的方程2213(2)25x y ++=．21．解：（Ⅰ）()2f x x '=-， 故(1)2k f ='=-，而()2(ln 1)g x x a '=+-，故(1)2g a '=-， 故22a -=-，解得：4a =， 故(1)4g a =-=-，故()g x 的切线方程是：42(1)y x +=--， 即220x y ++=；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立， 等价于32ln a x x x≤++， 令3()2ln g x x x x=++，(0,)x ∈+∞， 2223(3)(1)()1x x g x x x x +-'=+-=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调减， 当1x =时，()0g x '=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调增，∴min ()(1)4g x g ==， ∴4a ≤．22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，∴22cos 2sin ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为212y x =，∴y x '=，又π)4M 的直角坐标为(2,2)， ∴曲线C 在点(2,2)处的切线方程为22(2)y x -=-， 即直线l 的直角坐标方程为：220x y --=．（2）P 为椭圆22134x y +=上一点，设(cos ,2sin )P αα，则P 到直线l 的距离π|4cos()2|d α-+， 当π1sin()32α-=-时，d 有最小值0．当πsin()13α-=时，d∴P 到直线l 的距离的取值范围为：[0,5．……………………………………（10分）23．解：（Ⅰ）不等式|()1|f x x <+，等价于||||211x x -<+，0x ≤，不等式可化为211x x -+<-+，即0x >，不成立；102x ≤≤，不等式可化为211x x -+<+，即0x >，∴102x ≤≤；12x >，不等式可化为211x x -<+，即2x <，∴122x <<； 故不等式|()1|f x x <+的解集为(0,2)． （Ⅱ）∵113||x y --≤，1216||y +≤， ∴11()212(1||||||)(21)2(1)||(21)2136f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤+<．陕西省西安市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，可得y=sin（x++）=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为y=sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．【考点】球的体积和表面积．【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．8．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．10．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．11．【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα=，cosα=，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．12．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．【点评】本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出•=0时⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2•+=﹣2•+，∴•=0，∴⊥，∴向量与向量的关系是垂直．故答案为：垂直．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．14．【考点】简单线性规划．【分析】作出区域D，直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，数形结合可得结果．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域D（如图阴影），直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，联立可解得即C（1，0），由斜率公式可得a==，由解得B（0，3），此时A==结合图象可得要使直线y﹣2=a（x+2）与区域D有公共点需a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题．16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得=3．【解答】解：由椭圆+=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知===2R，则sinA=，sinB=，sinC=，===3，故答案为：3．【点评】本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由2，2，2成等比数列，可得=2•2，可得2a n+1=a n+a n+2．利用等差数列的通项公式可得a n．（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（Ⅰ）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（Ⅱ）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+，设g（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．22．【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．【点评】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。

17．（I ）∵2n a ，12n a +，22n a +成等比数列，∴122(2)22n n n a a a ++=，∴122n n n a a a ++=+．∴数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，∵35a =，5620a a +=，∴125a d +=，12920a d +=，解得11a =，2d =．∴12(1)21n a n n =+-=-．（II ）(1)(21)(1)n n n n b a n n n =-=----．设数列(1){}n n --的前n 项和为n S ，则123(1)n n S n =-+-+⋯+-．∴1123(1)(1)(1)n n n S n n +-=-++⋯+--+-，∴11[1(1)]2111(1)1)(1(1)(1)n n n n n S n n ++---=-++⋯+-=------﹣， ∴(1)1(1)42n n n n S ---=+．∴2(121)(1)1(1)(1)1(1)24242n n n n n n n n n T n n +-------=--=---． ∴22122132121425444T ---=-=-+． 18．解：（Ⅰ）设2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为1A ，2A ，3A ， 2.5PM 的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1B ，2B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． 其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． 所以所求的概率63105P ==．………………………………………………………………………（8分） （Ⅱ）去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．………………………（10分） 因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………………………………………………………………………………………………（12分）19．解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ︒∠=，2AB BC ==，6AD =，CE AD E ⊥于点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=，4ED =，连结BE ，GH ，在三角形AED '中，可得222ED AE AD '=+'，可得AD AE '⊥，DC =AC =222AC AD CD +'='，可得，因为AE AC A =，所以AD ABCD '⊥平面，可得AD BE '⊥，G ，H 分别为D B '，D E '的中点，可得GH BE ∥， 所以GH D A ⊥'．（Ⅱ）三棱锥C D BE -'的体积为V ．则11122332BCE V S AD ='=⨯⨯⨯△．20．解：（1）由题意可得c e a ==，椭圆的左顶点(2,0)T -，可得2a =，c 1b ==， 则椭圆方程为2214x y +=； （2）设(,)M m n ，由对称性可得(,)N m n -， 即有2214m n +=， 则222225(2,)(2,)(2)(2)14344TM m m n m n m n m m T m N =++-=+=++=++-- 258()1545m =+-， 由22m -≤≤，可得85m =-时，TM TN 的最小值为15-， 此时2925n =， 即有22213(2)25r m n =++=， 可得圆T 的方程2213(2)25x y ++=． 21．解：（Ⅰ）()2f x x '=-，故(1)2k f ='=-，而()2(ln 1)g x x a '=+-，故(1)2g a '=-，故22a -=-，解得：4a =，故(1)4g a =-=-，故()g x 的切线方程是：42(1)y x +=--，即220x y ++=；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立， 等价于32ln a x x x ≤++， 令3()2ln g x x x x=++，(0,)x ∈+∞， 2223(3)(1)()1x x g x x x x +-'=+-=， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调减，当1x =时，()0g x '=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调增，∴min ()(1)4g x g ==，∴4a ≤．22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，∴22cos 2sin ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为212y x =，∴y x '=，又π)4M 的直角坐标为(2,2)，∴曲线C 在点(2,2)处的切线方程为22(2)y x -=-，即直线l 的直角坐标方程为：220x y --=． （2）P 为椭圆22134x y +=上一点，设(cos ,2sin )P αα，则P 到直线l 的距离π|4cos()2|d α-+==， 当π1sin()32α-=-时，d 有最小值0．当πsin()13α-=时，d∴P 到直线l 的距离的取值范围为：[．……………………………………（10分） 23．解：（Ⅰ）不等式|()1|f x x <+，等价于||||211x x -<+，0x ≤，不等式可化为211x x -+<-+，即0x >，不成立；102x ≤≤，不等式可化为211x x -+<+，即0x >， ∴102x ≤≤； 12x >，不等式可化为211x x -<+，即2x <， ∴122x <<； 故不等式|()1|f x x <+的解集为(0,2)． （Ⅱ）∵113||x y --≤，1216||y +≤， ∴11()212(1||||||)(21)2(1)||(21)2136f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤+<．陕西省西安市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，可得y=sin（x++）=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为y=sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．【考点】球的体积和表面积．【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．8．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．10．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．11．【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα=，cosα=，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．12．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．【点评】本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出•=0时⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2•+=﹣2•+，∴•=0，∴⊥，∴向量与向量的关系是垂直．故答案为：垂直．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．14．【考点】简单线性规划．【分析】作出区域D，直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，数形结合可得结果．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域D（如图阴影），直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，联立可解得即C（1，0），由斜率公式可得a==，由解得B（0，3），此时A==结合图象可得要使直线y﹣2=a（x+2）与区域D有公共点需a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题．16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得=3．【解答】解：由椭圆+=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知===2R，则sinA=，sinB=，sinC=，===3，故答案为：3．【点评】本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由2，2，2成等比数列，可得=2•2，可得2a n+1=a n+a n+2．利用等差数列的通项公式可得a n．（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（Ⅰ）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（Ⅱ）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+，设g（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．22．【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．【点评】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。

贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,满分60分） 1．已知i 为虚数单位,则232017i i i i z =++++=（ ）A ．0B ．1C ．﹣iD ．i 2．满足{{1,2}1,2,,4}3P ⊆Ø的集合P 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某公司某件产品的定价x 与销量y 之间的数据统计表如下,根据数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归直线方程为：ˆˆ6.517.5yx =+,则表格中n 的值应为（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．已知{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,n S 为其前n 项和,且56S S =,则11S =（ ） A ．0B ．1C ．6D ．115．如图的程序框图,如果输入三个数a ,b ,c ,22(0)a b +≠要求判断直线0ax by c ++=与单位圆的位置关系,那么在空白的判断框中,应该填写下面四个选项中的（ ）A ．0?c =B ．0?b =C ．0?a =D ．0?ab =6．某一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为（ ）A ．2BC ．D ．37．在[0,π]内任取一个实数x ,则1sin 2x ≤的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．148．设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点,N 为正方形区域内任意一点（含边界）,则AM AN 的最大值为（ ） A ．32B ．24C ．20D ．169．经过双曲线的左焦点1F 作倾斜角为30︒的直线,与双曲线的右支交于点P ,若以1PF 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率为（ ）AB ．2CD10．设SA 为球的直径,B C D 、、三点在球面上,且SA BCD ⊥面,三角形BCD 的面积为3,33S BCD A BCD V V --==，则球的表面积为（ ）A ．16πB ．64πC ．32π3D ．32π 11．设命题p ：若()y f x =的定义域为R ,且函数(2)y f x =-图象关于点(2,0)对称,则函数()y f x =是奇函数,命题q ：0x ∀≥,1123x x ≥,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝12．过点(22M 作圆221x y +=的切线l,l 与x 轴的交点为抛物线22(0)E y px p =：＞的焦点,l 与抛物线E 交于A B 、两点,则AB 中点到抛物线E 的准线的距离为（ ）A B ． CD ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知2sin cos 3sin cos αααα+=-,则tan2α=_________.14．函数2()f x x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________.15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在《九章算术圆田术》注重,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法,所谓“割圆术”,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R ,此时圆内接正六边形的周长为6R ,此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3,当正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率为______（参考数据：cos150.966︒≈,0.26≈）16．已知数列{}n a 满足：23*1232222(N )nn a a a a n n ++++=∈,数列2211{}log log n n a a +的前n 项和为n S ,则12310S S S S =___________.三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知锐角ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin()b A C =+,cos()cos A C B -+=. （1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.18．（12分）2017年1月1日,作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园,元旦期间,为了活跃气氛,主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放,现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况, （1）根据条件完成下列22⨯列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者,再从中抽取2人参加挑战,求抽取的2人中至少有一名男生的概率. 参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++.19．（12分）底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为棱11A B 、11A D 的中点,（1）在图中作一个平面α,使得BD α⊂,且平面AEF α∥（不必给出证明过程,只要求做出α与直棱柱1111ABCD A B C D -的截面）（2）若12AB AA ==,60BAD ∠=︒,求点C 到所作截面α的距离.20．（12分）已知圆1F：22(9x y ++=与圆2F：22(1x y -+=,以圆1F 、2F 的圆心分别为左右焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞经过两圆的交点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线x =M 、N （M 在第一象限）满足120F M F N =,直线1MF 与2NF 交于点Q ,当||MN 最小时,求线段MQ 的长.21．（12分）设()e x f x x =,21()2g x x x =+. （1）令()()()F x f x g x =+,求()F x 的最小值；（2）若任意12[1)x x ∈-+∞，，且12x x ＞有1212))][((())(m f x x g x g x f --＞恒成立,求实数m 的取值范围. 四、请考生在第22.23题中任选一题作答,如多做,则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲 22．（10分）在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ-+=-,直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(3,3),求|||PA PB +|的值. 选修4-5：不等式选讲 23．设()|1||4|f x x x =+--.（1）若2(x)6f m m -+≤恒成立,求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为0m a b c ，，，均为正实数,当0345a b c m ++=时,求222a b c ++的最小值,贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷答 案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1~5．DBDAA6~10．DCBCA11~12．CD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．815-． 14．14．15．3.12．16．111． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin()b A C =+，可得：sin b B =， ∴由正弦定理sin sinB sin a b cA C==，可得：sin a A =，sin c C =，cos()cos A C B -+=，可得：cos()cos()A C A C --+=，可得：cos cos sin sin (cos cos sin sin )A C A C A C A C +--=，2sin sin A C ∴=，2ac ∴=，可得：sin a A ==， ∵A 为锐角，π3A ∴=．（2）3a =，π3A =，∴由余弦定理可得：222π2cos 3b c bc -=+，即2234b c bc =+-，整理可得：23()4b c bc +=+， 又22324b c bc bc bc bc =+--=≥，当且仅当b c =时等号成立，23333()4442b c bc ∴+=++=≤，解得：b c +，当且仅当b c =时等号成立，又b c a +=＞，b c ∴+∈． 18．解：（1）列联表2100(15202045) 6.59 6.63535656040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜，∴不能在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关；（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，男生3名，女生4名，从中抽取2人参加挑战，共有2721C =种方法，全是女生的方法有6种，∴抽取的2人中至少有一名男生的概率为651217-=．19．解：（1）1111B C G D C H BG GH DH 取的中点，的中点，连结，，，1111BDHG ABCD A B C DBDHG αα-则平面就是所求的平面，与直棱柱的截面即为平面．（2）取BC 中点M ，12AB AA ==，60BAD ∠=︒，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DM为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(C -，(0,0,0)D ，B ，G ， DB =，DG =，(DC =-，设平面BDG的法向量(,,)n x y z =，则0320n DB x n DGy z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1y =，得(23,n =-，∴点C 到所作截面α的距离：||4||219n DC d n ===．20．解：（1）由题意，c =，两圆的交点坐标为， 代入椭圆方程可得2242331a b +=， 联立223a b +=，可得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设直线1MF 的方程为()y kx k =+＞0，可得)M ，同理N ， 1|MN |)|6k k∴=+≥，当且仅当k =时，|MN|取得最小值6，此时M ，1||6MF =，1||3QF =，||3MQ ∴=．21．解：（1）21()()()e 2x F x f x g x x x x =+=++，()(1)(e 1)x F x x '=++， 令()0F x '＞，解得：1x ＞-，令0F x '（）＜，解得：1x ＜-， 故()F x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞递增，故min 1()(1)1eF x F =-=--；（2）若任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1212[))](())((m f x f x g x g x -﹣＞恒成立， 则任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1122(())))((0mf x g x mf x g x --＞＞恒成立， 令21()()()e 1,[2x h x mf x g x mx x x x -=-=∈-+∞﹣，）， 即只需()h x 在[1,)-+∞递增即可；故()(1)1(e 0-)x h x x m '=+≥在[1,)-+∞恒成立，故1e x m ≥，而1e e x≤， 故e m ≥．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．解：（1）曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ+-=-，可得：22cos 6sin 10ρρθρθ-+-=， 可得222610x y x y -+-+=，曲线C 的普通方程：222610x y x y -+-+=．（2）由于直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数． 把它代入圆的方程整理得2250t t +-=，122t t ∴+=-，125t t =-，1||||PA t =，2||||PB t =，12||||||||PA PB t t +=+== ∴||||PA PB +的值选修4-5：不等式选讲23．解（1）51||4|5x x -+--≤|≤． 由于2()6f x m m -+≤的解集为R ，265m m ∴-+≥，即15m ≤≤．（2）由（1）得m 的最大值为5，3455a b c ∴++=由柯西不等式2222222(3453)()(45)25a b c a b c ++++++=≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故22212a b c ++≥．（当且仅当310a =，410b =，510c =时取等号）222a b c ∴++的最小值为12．贵州省贵阳市2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z====i，【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A一定要含有1、2两个元素，可能含有3、4，但不能包含全部，即可得出结论．【解答】解：P可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，个数为3．【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．3．【考点】线性回归方程．【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，求出n的值．【解答】解：由题意可知：=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+n+50+70）=38+，∵回归直线方程经过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5解得n=60．【点评】本题考查了平均数与回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先求出a6=S6﹣S5=0，由此利用S11=（a1+a11）=11a6，能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，∴a6=S6﹣S5=0，∴S11=（a1+a11）=11a6=0．【点评】本题考查数列两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【考点】程序框图．【分析】根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解．【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写c=0？【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题．6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，垂直于底边的腰是OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为PB===3．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题．7．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为π，满足sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，π]上，长度为π，当x∈[0，π]时，sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为由几何概型知，符合条件的概率为=．【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的x区间长度，利用几何概型关系求之．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，∴•=4x+2y，设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线方程求出点P的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线的方程得y=，即P（c，）在△PF1F2中tan30°=，即，解得e=．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，求出球的直径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD=1，∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．11．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x﹣2）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题．【解答】解：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题，【点评】本题考查了复合命题真假的判定，属于基础题．12．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】利用已知条件求出切线方程，求出抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果．【解答】解：过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，切线方程为：y+=x﹣，可得x﹣y﹣=0，直线与x轴的交点坐标（，0），可得抛物线方程为：y2=4x，，可得x2﹣6+2=0，l与抛物线E交于A（x1，y1）、B（x2，y2），可得：x1+x2=6，则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3=4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知及同角三角函数间的基本关系式即可求出tanα的值，由二倍角的正切公式即可求值．【解答】解：由=，可得：tanα=4，那么：tan2α==【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式，二倍角的正切公式的应用，属于基本知识的考查．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，求出切点，代入点斜式方程，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入三角形的面积公式求解．【解答】解：函数f（x）=x2的导数为f′（x）=2x，可得在x=1处的切线斜率为2，切点为（1，1），即有在x=1处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），令x=0，可得y=﹣1；y=0，可得x=．则围成的三角形的面积为×1×=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．15．【考点】模拟方法估计概率．【分析】求出边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，即可得出结论．【解答】解：正二十四边形的圆心角为15°，圆的半径R，边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，∴π=3.12，故答案为3.12．【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础．16．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】根据2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，求出a n=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=﹣，裂项求和得到S n，代值计算即可．【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=，∴===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴S1•S2•S3…S10=×××…××=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=，从而可求a==sinA，结合A为锐角，可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b+c≤，由三角形两边之和大于第三边可得b+c＞a=，即可得解b+c的范围．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可得出结论；（2）利用古典概型的概率公式求解即可．【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生对数据处理的能力，属于中档题．19．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（1）取B1C1的中点G，D1C1的中点H，连结BG，GH，DH，则平面BDHG就是所求的平面α．（2）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到所作截面α的距离．【点评】本题主要考查满足条件的平面的作法，考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意，c=，两圆的交点坐标为（，±），代入椭圆方程可得=1，联立a2+b2=3，求出a，b，即可得到椭圆方程；（2）求出M，N的坐标，利用基本不等式求出|MN|的最小值，即可得出结论．【点评】本题考查椭圆方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）问题转化为任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有mf（x1）﹣g（x1）＞mf（x2）﹣g（x2）＞0恒成立，令h（x）=mf（x）﹣g（x）=mxe x﹣x2﹣x，x∈[﹣1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；参数方程的优越性．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t1|，|PB|=|t2|求出|PA|•|PB|．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t 的几何意义，是基础题．选修4-5：不等式选讲23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|的最大值，f（x）max≤﹣m2+6m即可．（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．。

— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第1页 —NCS20170607项目第一次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一1、C 【解析】因为U，则U ，故答案选C ．2、B 【解析】复数z 对应的点为(1,3)a -，则有312a =-+，所以2a =，故答案选B ．3、D 【解析】不妨设390,60αβ=︒=︒，有sin sin αβ<，则αβ>不可推出sin sin αβ>；反之，因为sin60sin390︒>︒此时αβ<，则sin sin αβ>也不可推出αβ>，故答案选D .4、D 【解析】由已知条件抽样比为301120040=，从而8111000120040n =++，解得1040n =，故答案选D ． 5、C 【解析】2b =⇒=C ． 6、A 【解析】由cos2sin A A =得：2112sin sin sin 2A A A -=⇒=或1-（舍去）， ∴1111sin 22222ABC S bc A ∆==⨯⨯=，故答案选A . 7、D 【解析】由2221log log (1)log i i i i+=+-，7i =进入循环，得223log 1S =++23log 2+22222228log ]3(log 2log 1)(log 3log 2)(log 8log 7)67+=+-+-++-=，当8i =退出循环，输出22 log 6log 31S ==+，故答案选D ．8、B 【解析】因为函数的周期22T ππωω==⇒=，有()si n (2)f x A x ϕ=+，则()s i n (2)1f A x αϕ=+= 所以33()sin 2()sin(32)sin(2)122f A A A ππααϕπαϕαϕ⎡⎤+=++=++=-+=-⎢⎥⎣⎦，故答案选B ． 9、B 【解析】甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱,故答案选B .10、A 【解析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A BCD -，其体积是正方体体积的16，等于323，故答案选A ． 11、C 【解析】因为当0x >时，函数()ln 1f x x x =-+有11'()1x f x xx-=-=，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，当1x =时函 数有极大值为(1)0f =根据奇函数的对称性，作出其函数图像如图所示：由函数图像可知xy e =和()y f x =有两个不同交点，故答案选C ． 12、D 【解析】因为124x x ++=，124AF BF x x +=++，所以AF BF +=. 在AFB ∆中，由余弦定理得：222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=⋅— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第2页 —2222241()23311222AB AB AB AF BF AF BF ABAF BF AF BF AF BF-+-⋅-==-=-⋅⋅⋅.又213AF BF AF BF AB +=≥⋅≤. 所以22113cos 11223ABAFB AB ∠≥-=-⨯，∴ AFB ∠的最大值为23π，故答案选D ． 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13、13【解析】1cos()sin(())sin()42443a ππππαα+=--=-=.14、32【解析】a 在1e 上的投影为211211123(2)2211cos32a e e e e e e e π⋅=-⋅=-⋅=-⨯⨯=15、(3)π【解析】由图中数据可得：122S π=⨯⨯=圆锥侧，212S ππ=⨯⨯=圆柱侧，21S ππ=⨯=底面.所以几何体的表面积为(3)S π=表面积.16、9【解析】设构成等差数列的五个数分别为,,,,x a b c y ，因为等差数列的公差4y xd -=， 则3(2)(3)(3)444y x y x b c y x x y x y --++=+⨯++⨯+=+ （另解：因为由等差数列的性质有2x y a c b +=+=，所以2,222x yyx y b y b c ++++===.） 则等差数列后三项和为222x yyx y b c y y +++++=++3944x y =+3(3)4x y =+. 所以设3z x y =+，作出约束条件所表示的可行域如图所示：可知当经过点(3,3)A 时，目标函数3z x y =+有最大值12，此时b c y ++有最大值9. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得：1235a a a a ++=，即253a a =，------- 2分所以3(1)14d d +=+，解得2d =.------- 4分 ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-.------- 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：1(1)(21)n n b n -=-⋅-.∴ 21357(23)(21)n T n n =-+-++⋅---(2)2n n =-⨯=-. ------ 12分18、【解析】（Ⅰ）36573b =，0.2b ∴=，又0.3a b +=故0.1a =，10,20x y == ------- 4分 （Ⅱ）补全直方图如图所示 -------8分由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为： 250.1750.21250.251750.22250.152750.1145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.------- 12分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第3页 —19、【解析】（Ⅰ）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，CD AB //且 2AB DC =，知21AF FC =又E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH = ------- 2分 在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC .------- 4分 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .------- 6分方法二：过G 作AD GN //交PD 于N ,过F 作AD FM //交CD 于M ,连接MN ,E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，32==PE PG ED GN ,33232==∴ED GN , 又ABCD 为梯形，CD AB //,21=AB CD ,21=∴AF CF ------- 2分31=∴AD MF ,332=∴MF ∴FM GN =------- 4分 又由所作AD GN //，AD FM //得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形. PCD MN PCD GF MN GF 面，面⊆⊄,// ,∴//GF 面PDC ------- 6分 方法三：过G 作GK //PD 交AD 于K ,连接,KF GF ,由PAD ∆为正三角形, E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，得23DK DE =，∴13DK AD =------- 2分又由梯形ABCD ，CD AB //，且DC AD 2=， 知21AF FC =,即13FC AC = ------- 4分 ∴在ADC ∆中， KF //CD ，所以平面GKF //平面PDC 又 GF ⊆平面GKF ，∴//GF 面PDC ------- 6分（Ⅱ） 方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =由（Ⅰ）知GF //平面PDC ，∴13G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯ ------- 8分又由梯形ABCD ，CD AB //，且322==DC AD，知13DF BD =又ABD ∆为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴1sin 2CDF S CD DF BDC ∆=⨯⨯⨯∠=-- 10分得13P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=∴三棱锥G PCD -------- 12分方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =由23PG PE =，∴221333G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---∆===⨯⨯⨯ ------- 8分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第4页 —而又ABD ∆为正三角形，得120EDC ∠=，得1sin 2CDE S CD DE EDC ∆=⨯⨯⨯∠=．----- 10分∴212133333P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥G PCD -．---- 12分 20、【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联解方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143y x +=．------- 6分 （Ⅱ）方法一：要证以G 点为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．只需证2GF x ⊥轴，即证1G x =．------- 7分证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，联解方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>．由韦达定理可得：21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*） ------- 9分因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N yl y x x =--即证：1212322y y x x -=+-，即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+． 即证1212410()160x x x x -++=．------- 11分将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++． 此式明显成立，原命题得证．所以以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分方法二：设3(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N 2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----， 整理得2x x 8分 又1,,A M 112yx =+ ①又2,,A N 222yx - ②222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===--------— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第5页 —即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，------- 10分 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得2332()92x x +=-， 解得34x =（舍去）或31x =．------- 11分所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分 方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y . 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则212232k x x +=，21226412k x x -=，12||x x -=----- 9分由1,,A M 112yx =+ ①由2,,A N 222y x - ②， ①与②两式相除得：32121121212312121212122)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x +-+-++--====------++-+． ------- 10分解得34x =（舍去）或31x =，------- 11分所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分 21、【解析】（Ⅰ）当1a =时，有2()24)(2)x f x x e x =-++（，则'()22)24x f x x e x =-++（'(042)2f ⇒=-+=．------- 3分又因为(0)440f =-+=，------- 4分∴曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为02(0)y x -=-，即2y x =．------- 6分 （Ⅱ）因为'()22)2(2)x f x x e a x =-++（，令()'()22)2(2)x g x f x x e a x ==-++（有'()22x g x x e a =⋅+（0x ≥）且函数'()y g x =在[)0,x ∈+∞上单调递增 ------- 8分 当20a ≥时，有'()0g x ≥，此时函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则'()'(0)42f x f a ≥=- （ⅰ）若420a -≥即12a ≥时，有函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增， 则min()(0)44f x f a ==-恒成立；------- 9分（ⅱ）若420a -<即102a ≤<时，则在[)0,x ∈+∞存在0'()0f x =， 此时函数()y f x =在0(0,)x x ∈ 上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增且(0)44f a =-，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 10分当20a <时，有'(0)20g a =<，则在[)0,x ∈+∞存在1'()0g x =，此时1(0,)x x ∈上单调递减，1(,)x x ∈+∞上单调递增所以函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增．又'(0)240f a =-+<，则函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增且(0)44f a =-． 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 11分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第6页 —综上所述，实数a 的取值范围为12a ≥． ------- 12分 22、【解析】（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y xx a y ===⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=--⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23、【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤． 而由绝对值的几何意义知||1|1|22aa x x -+-≥-，------- 2分 由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a<— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第7页 —∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a af x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（ ） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（ ）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4， 由a ＜b ，则，b=12﹣4=8， 由a ＜b ，则，b=8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0） 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0， 又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ， 代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0， 代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程； （2）利用极径的意义，即可得出结论． 【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。

高三数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}x y x B x x x A -==<--=2ln ,0322，则=B A （ ）A ．{}31<<-x xB ．{}21<<-x xC ．{}23<<-x x D ．{}21<<x x2. =-02215sin 165cos （ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 3.已知i iz+=+221，则复数5+z 的实数与虚部的和为（ ） A ．10 B ．10- C ．0 D ．5-4.“22bc ac >”是“b a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.将函数()13cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f 的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数()x g y =的图像，则函数()x g y =的一个对称中心为（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,6π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,6π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π 6.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-4040x y x y x ，则y x -4的最小值为（ ）A ．4B ．6 C. 12 D ．167.已知21,F F 是双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于Q P ,两点，且四边形21QF PF 是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．525-B ．525+ C. 13+ D ．13-8.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是π17，则它的体积是（ ） A ．π8 B ．356π C.314π D ．328π9.圆：092222=-+++a ax y x 和圆：0414222=+--+b by y x 有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2214b a +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C. 4 D ．510.设函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()()e f xe xf x f x x==+'1,，则0>x 时，()x f （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为 ．12.观察下列各式 ,7,4,3,1:443322=+=+=+=+b a b a b a b a ，则=+1010b a ．13.已知()1,4a a b a b a =+=⋅-=- ，则a 与b夹角是 ．14.执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ．15.已知()1-=x e x f ，又()()()()R t x tf x f x g ∈-=2，若满足()1-=x g 的x 有三个，则t的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22⨯列联表：已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为53， （Ⅰ）请将上述列联表补充完整，并判断是否有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅱ）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选两人作为宣传组的组长，求这两人中至少有一名女生的概率，参考公式：()()()()()21122122121112212211211222n n n n n n n n n n n n n χ-=++++,其中22211211n n n n n +++=.参考数据：17.量2cos ,4444x x x x m n ⎫⎫=⋅=⎪⎪⎭⎭，设()f x m n =⋅ ， （Ⅰ）若()2fα=，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足()B c C b a cos cos 2=-，求()A f 的取值范围；18.六面体ABCDE 中，面⊥DBC 面ABC ，⊥AE 面ABC.（Ⅰ）求证：//AE 面DBC ；（Ⅱ）若CD BD BC AB ⊥⊥,，求证：面⊥ADB 面EDC ；19.列{}n a 与{}n b 满足()N n b b a a n n n n ∈-=-++,211，12-=n b n ，且.21=a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n nn nn T b a c ,1-=为数列{}n c 的前n 项和，求.n T20.()().ln 222x x x ax x x f -++-= （Ⅰ）当2=a 时，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，求整数a 的最小值；21. 在直角坐标系中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且352=PF , （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于N M ,两点，若线段2OF 上存在定点()0,t T 使得以TN TM ,为邻边的四边形是棱形，求t 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:BCDAD 二、填空题11. 8.2 12. 123 13. π65（或0150） 14.315.()+∞,2三、解答题16.解：（Ⅰ）由已知可得：喜欢游泳的人共6053100=⨯，不喜欢游泳的有：4060100=-人，又由表可知喜欢游泳的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有402060=-人， 不喜欢游泳的男生有人，所以不喜欢游泳的女生有40-10=30人 由此：完整的列表如下：因为()22100403020105010.828604050503χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关.（Ⅱ）从喜欢游泳的60人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，其中男生应抽取460640=⨯人，分别设为D C B A ,,,；女生应抽取246=-人，分别设为F E ,，现从这6人中任取2人作为宣传组的组长，共有15种情况，分别为：()()()()()()()()()()()()()()()F E F D E D F C E C D C F B E B D B C B F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,若记=M “两人中至少有一名女生的概率”，则M 包含9种情况，分别为：()()()()()()()()()F E F D E D F C E C F B E B F A E A ,,,,,,,,,,所以().53159==M P 17.Ⅰ）()4cos 4sin 324cos22x x x x f += 12cos 2sin 3++=xx162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx()2f α= 2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πa21cos 12sin 3262παπα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）()B c C b a cos cos 2=-()B C C B A cos sin cos sin sin 2=-∴()C B C B C B C A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2A C A sin cos sin 2=∴0sin ≠A 21cos =∴C 3π=∴C π320<<∴A 2626πππ<+<A162sin 21<⎪⎭⎫⎝⎛+<∴πA ()162sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f()A f ∴取值范围为()3,2.18.（Ⅰ）过点D 作O BC DO ,⊥为垂足，∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面⊂=DO BC ABC ,面DBC ，⊥∴DO 面ABC ，又⊥AE 面ABCDO AE //∴又⊄AE 面DBC 上，⊂DO 面.DBC//AE ∴面.DBC（Ⅱ）∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面BC AB BC ABC ⊥=,，⊥∴AB 面DBC ,又⊂DC 面DBC ,DC AB ⊥∴,又⊂=⊥BD AB B BD AB CD BD ,,, 面ADB ，⊥∴DC 面ADB ,又⊂DC 面EDC ，∴面⊥ADB 面.EDC19.（Ⅰ）因为()12,211-=-=-++n b b b a a n n n n n ， 所以()()412122211=+-+=-=-++n n b b a a n n n n ，所以{}n a 是等差数列，首项为21=a ，公差为4，即24-=n a n ，（Ⅱ）()()()n n nn n nnn n n n b a c 212122411-=--==-- n n c c c c T ++++= 321()n n 21225232132-++⋅+⋅+⋅= ①()14322122523212+-++⋅+⋅+⋅=n n n T ②①-②得：()13221222222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T()()112122121422+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n()12326+---=n n().23261+-+=∴n n n T20.（Ⅰ）由题意可得()x f 的定义域为()+∞,0,当2=a 时，()()x x x x x x f ln 2222-++-=,所以()()()()x x xx x x x x x f ln 2412ln 122222-=⋅-+-++-=' 由()0>'x f 可得()0ln 24:>-x x ，所以⎩⎨⎧>>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧<<-0ln 024x x解得1>x 或210<<x ； 由()0<'x f 可得()0ln 24:<-x x ，所以⎩⎨⎧<>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧><-0ln 024x x ，解得.121<<x 综上可知()x f :递增区间为()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,1,21.0，递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，则()0ln 22>-+x x x ax 恒成立， 因为0>x ，所以()0ln 12>-+x x a 恒成立， 即()x x a ln 12:-->恒成立，令()()x x x g ln 12--=，则()max x g a >， 因为()xx x x x x g 22ln 21ln 2+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-='， 所以()x g '在()+∞,0上是减函数， 且()01='g ，所以()x g 在()1,0上为增函数，在()+∞,1上是减函数，1=∴x 时，()0max =x g ，0>∴a ，又因为Z a ∈，所以.1min =a21.（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为()0,13512=+=p x PF 32=∴p x 632=∴p y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∴632,32P 又()0,12F ()0,11-∴F4353721=+=+∴PF PF 2=∴a 又1=c 3222=-=∴c a b∴椭圆方程是134:22=+y x . （Ⅱ）设直线MN 的方程为() ,1-=x k y 以TN TM ,为邻边得四边形是菱形，TN TM =∴,设()()2211,,y x N y x M ，则134,13422222121=+=+y x y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴413,41322222121x y x y ， ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+-∴222221212222212141134113,x t x x t x y t x y t x ，()()0241212221=---∴x x t x x 直线MN 与x 轴不垂直，21x x ≠∴，()()212181,241x x t t x x +=∴=+∴， 把()1-=x k y 代入椭圆方程并整理可得()01248432222=-+-+k x k x k ，2221438k k x x +=+∴，2243kk t +=∴， 当0≠k 时，()43181221+=+=k x x t ， ,410,02<<∴>t k所以t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41.0.。

17AD G OG FG天津市部分区2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=16，按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的实部可求．【解答】解：由z（1+i）=3﹣i，得，则z的实部为：1．故答案为：1．10．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时，满足条件i≥6，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：s=﹣2，i=0＜6第一次循环，s=﹣1，i=2，第二次循环，i=2＜6，s=1，i=4，第三次循环，i=4＜6，s=5，i=6≥6，输出s=5，故答案为：5．11．【考点】导数的运算．【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．【解答】解：=；∴．故答案为：2．12．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．13．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图像，由图求解解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图像如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得a的值；（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，利用二倍角公式求得sin2A．cos2A的值，再利用两角和差的三角公式求得cos（2A﹣B）的值．16．【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图，（Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．17．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE ∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．18．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由+=﹣2（n≥2，n∈N*）整理得（S n+1+S n﹣1）2=（2S n）2，结合题意，得S n+1+S n﹣1=2S n，可判断出数列{S n}为等差数列，继而可得S n=2n﹣1，从而可求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可得c n==（﹣），从而可求得数列{c n}的前n项和为T n，即可证得：≤T n．19．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a﹣c=b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；（Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k 的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值．20．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a ﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．。

A B=（A 3 B0 C 1 D 2．，1AP AB=，1AQ AD=，若12CP CQ=，则∠π2π19π22π2π6=，∴2ω）图象的一个最高点，a，b，)sin B，∴(a3ππ)x+=π663π+，求得2AC BD O=，取的中点，∴OG∥，∴四边形AOGF33232x由()4f x >的解集为0{|}4x x x <>或及函数图象，可得20+142414m m -⨯+=⎧⎨⨯--=⎩，得3m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得42,1()2,1324,3x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，∴f （x ）的最小值为2．关于x 的不等式2()4f x a a <+-有解，则224a a <+-，即260a a +->，即(3)(2)0a a +->，∴3a <-，或2a >， 实数a 的取值范围3,{| 2 }a a a <->或．福建省厦门市2017届高三一模数学（文科）试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|y=lg（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴=，∴双曲线的离心率为e===故选：D．3．【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的图象，求出f（1），f（3）的值，可得答案．【解答】解：由已知中的函数f（x）的图象可得：f（1）=2，f（3）=1，故f（1）+f（3）=3，故选：A4．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．5．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），∴tanα==﹣，则tan（α﹣）===﹣3，故选：A．6．【考点】程序框图．【分析】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选B．7．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z=4x+3y得：y=﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=﹣﹣，=+=﹣﹣若•=12，则•=（﹣﹣）•（﹣﹣）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12，cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．9．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f（﹣2）=0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f（2﹣m）＞0，即|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．10．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；还原出长方体是长为2，宽为1，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM=，ON=×=；∴外接球的半径满足R2=ON2+AN2=+=，∴外接球的表面积为S=4πR2=4π×=．故选：A．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，∵的最小值为1，∴a2+b2﹣2abcosα≥，α=时，不等式恒成立．故选：C．12．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0，0）到直线y=x﹣2，即x﹣y﹣2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+S n=2a n+2，∴4+S n=2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2=2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n=2a n+2，取n=1，解得a1=2，∴S n+2=（a1+2）•2n﹣1，则S n=2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令T n=a1+2a2+3a3+…+na n=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得：==（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n=1时，=0；由，知，n=2时，=0，∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），∴z（1+i）（1﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，则z=，∴|z|==．故答案为：．14．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，∴3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d=﹣5，a1=15．∴a n=15﹣5（n﹣1）=20﹣5n，令a n=20﹣5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解：由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，∴A1C1=，A1B=，∴AB=，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++）×1=，故答案为．16．【考点】特称命题．【分析】根据题意得出k＞，设f（x）=，其中x＞2；利用导数求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整数k的最小值．【解答】解：∃x0∈（2，+∞），∴x0﹣2＞0，∴k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1）可化为k＞，设f（x）=，其中x＞2；则f′（x）==；令f′（x）=0，得x﹣4﹣2lnx=0，设g（x）=x﹣4﹣2lnx，其中x＞2；则g′（x）=1﹣=，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数，∴g（x）≥g（2）；且g（2）=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0.6931＜0，g（5）=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094＜0，g（8）=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0.6931＜0，g（9）=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986＞0；∴g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处f（x）取得最小值m；∴f（8）==×（3ln2+1）=×（3×0.6931+1）≈4.1＞m，f（9）==×（2ln3+1）=×（2×1.0986+1）≈4.1＞m；∴k≥4.1；即正整数k的最小值为5．故答案为：5．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．18．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG，推导出四边形AOGF是平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．（Ⅱ）在面ABEF中，过F作FH∥AB，交BE于点H，推导出FE⊥EB，从而FE⊥AF，三棱锥C﹣DEF 的体积V C﹣DEF=V A﹣DEF=V D﹣AEF，由此能求出三棱锥C﹣DEF的体积．20．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．21．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，圆心E到AB的距离为1，求出B坐标代入椭圆方程得a即可．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲]23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．。

数学试卷（文科）参考答案 第1页（共8页）绝密★启用前 试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1.【解析】P={x ∈N|1≤x ≤10}, Q={ x ∈R|－2＜x ＜3}, P ∩Q= {1，2}，选择B2.【解析】设i =i (0)1ia b b -≠+，则i=(1i)i=i a b b b -+-+，所以{,1,a b b =-=- 解得a =1, 选择A 3.【解析】111(2)ln222(ln21)0222f =+--=-<,1111(e)lne+e 2()(e 2)02e 2e f =--=-+-> ∴(2)(e)0f f ⋅<，由零点存在定理得函数零点所在区间是(2,e). 选择C.4.【解析】符合条件的所有两位数为：12, 14, 21, 41, 32, 34, 23, 43, 52, 54, 25, 45共12个， 能被4整除的数为12, 32, 52共3个，所求概率31124p ==，选择D. 5.【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；22=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错；当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅， 但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B.6.【解析】由S △ABC =111sin 222AC BC C AC ⋅=⋅=解得AC =2，由余弦定理得 2222cos 4122242AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯=,所以AB =2,选择C. 7. 【解析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1=4，则a 5=2，由等差数列性质得a 2+a 4= a 1+a 5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，选择A.8. 【解析】因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω =2，()3cos(2)3f x x π=+，由[0,]3∈x π，得2[,]33x πππ+∈，根据余弦函数的单调性，当23x ππ+=，即3x π=时，f (x )min =3-，当233x ππ+=，即0x =时，f (x )max =32，所以f (x )数学试卷（文科）参考答案 第2页（共8页） 的取值范围是3[3,]2-，选择D. 9.【解析】当n=0时，S =0,当n=1时, S =12, 当n=2时, S =21122+, …，当n =4时, S =234111115222216+++=, 当n =5时, S =234511111312222232++++=, 输出S ， 所以4＜a ≤5，故选择C.10.【解析】由几何体的三视图可知，几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个半球组合而成 ∴其表面积为S 表=222112224622⨯+⨯+⨯=r r r r r r ππππ.又S 表=6π，∴2266=+r r ππ, 解得r =1, 故该几何体的体积为 11423323=⨯+⨯+⨯=V ππππ，选择D. 11. 【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线a y x b=平行的直线为a y x c b=+， 联立,,a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a - 因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内， 故222()()22bc c c a -+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2c a <，又双曲线离心率 1c e a=>，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A . 12．【解析】令x y xe =，则(1)x y x e '=+，由0y '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，0y '<，函数y 单调递减，当(1,)x ∈-+∞时，0y '>，函数y 单调递增. 作出x y xe =图象，利用图象变换得()||x f x xe =图象如图2，令()f x m =， 当1(0,)m e ∈，()f x m =有3个根， 当1(,)m e∈+∞，()f x m =有1个根，数学试卷（文科）参考答案 第3页（共8页）因此，关于m 方程012=+-tm m 两根分别在11(0,),(,)e e+∞时，满足()1g x =-的x 有4个，令2()1h m m tm -+=，由(0)>h =10 和2111()10h t e e e =-+<，解得ee t 12+>. 选择B. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 5 14.12 15. (x -1)2+( y +1)2=5或 (x -1)2+(y +11)2=12516. 2 提示：13. 【解析】可行域如图3所示，目标函数在点（2，1）取得最大值5.14. 【解析】由二倍角公式得2sin αcos α+2(1-2sin 2α)=2，即 (cos α-2sin α)sin α=0，∵α∈(0, π)，∴sin α≠0，cos α-2sin α=0，故sin 1tan cos 2ααα== 15. 【解析】∵圆C 与x 轴交于两点A (-1, 0)、B (3, 0)，∴由垂径定理得圆心在x=1这条直线上． 设圆心坐标为C (1, b)，圆半径为r ，则C 到切线x -2y+2=0的距离等于r=|CA|，=即b 2+12b+11=0，解得b= -1或b= -11. ∴圆C 的方程为(x -1)2+(y+1)2=5或 (x -1)2+( y +11)2=125.（只答对一个不给分）16. 【解析】解法1由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点，将正三棱锥A -BCD 补充成一个正方体AGBH -FDEC 如图4，则正三棱锥A -BCD 和正方体AGBH -FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH -FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2+a 2+a 2=(2R )2，解得2243=a R ，所以BC 2=22283+=a a R ， △BCD的面积22118sin 60223=⨯︒=⨯=S BC BD R . 解法2由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点， 球心O 在正四面体中心如图5，设BC =a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B , C , D截面圆圆心，则截面圆半径12233r O B BE ====，数学试卷（文科）参考答案 第4页（共8页）正四面体A -BCD的高1AO . ∴截面BCD与球心的距离1d OO R ==-，在Rt △BOO 1中，222))R R =--，解得a =. ∴△BCD的面积为2211sin 60)22S BC BD =⨯︒=⨯=. 三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ． 由已知得114434182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，， ……………2分 解得13,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………4分所以a n ＝n ＋2. ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n ＝2nn ⋅， …………………………………………………………6分 ∴123==n n T b b b b +++⋅⋅⋅+231222322n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ① ………………7分 2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② …………………8分 ①-②得：23122222n n n T n +-=++++-⨯ …………………………………………9分111222(1)2212n n n n T n n +++--=-⨯=-⨯-- …………………………………………11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+ …………………………………………………………………12分18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）如图6，取OG 的中点的H ，连结HN ，HB ， ……………………………1分数学试卷（文科）参考答案 第5页（共8页）∴,,,OE OB OE OC OB OC O ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩得OE ⊥平面OBC ， …………………………………………………3分5分 6分 730︒，9分 11分 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, …………………………………1分∴B 类工人中应抽查100-25=75（名）. ………………………………………………2分 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)⨯10=1，得x=0.024. ……………………3分（Ⅱ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 ………………………………4分 由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为B x =115⨯0.008⨯10+125⨯0.020⨯10+135⨯0.048⨯10+145⨯0.024⨯10=133.8 ……………6分…………9分由上表得22100(8211754)10075012.7332575386225753862k ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828 (11)数学试卷（文科）参考答案 第6页（共8页）分因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.…12分20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意可得：圆N 的圆心坐标为N(半径为MP |=|MQ |, ………1分 则|MN |+|MQ |=|MN |+|MP |=|NP|=|NQ | ……………………………………………2分 根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以N 、Q为焦点，长轴长为即2a= 2c=，∴b= …………………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为：22163x y +=. ……………………………………………4分 (Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m , A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，得{2226,,x y y kx m +==+消去y 并整理得222(12)4260k x kmx m +++-=. ……………………6分 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=2222164(12)(26)0k m k m -+->，化简得：2263m k <+ ① …………………7分 由韦达定理得：2121222426,1212km m x x x x k k--+=⋅=++. ………………………………8分 ∴ 22121226()()12m k y y kx m kx m k -⋅=++=+. ∵0OA OB ⋅=，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即2222226601212m m k k k --+=++ ， ………………………9分 整理得2222m k =+满足①式=即原点到直线l∴直线l 与圆222x y +=相切. ……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时, 直线为x =m , 与椭圆C 交点为A (mB (m,) ∵0OA OB ⋅=,∴22302m m m -+=⇒=此时直线为x=222x y +=相切. …………………………………11分 综上，直线l 与定圆E ：222x y +=相切. …………………………………………12分21. （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 当a =0时，f (x ) =1x , f (1) =1, 则切点为(1, 1)， ……………………………1分 ∵21()f x x '=-, ∴切线的斜率为(1)1k f '==-, ……………………………………2分 ∴曲线f (x )在点(1, 1)处的切线方程为y -1= -( x -1)，即x + y -2=0 ………………………3分 (Ⅱ)依题意1()ln a h x a x x x +=--，定义域为(0, +∞)，数学试卷（文科）参考答案 第7页（共8页） ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=-+=-=-, ……………………4分 ①当a +1＞0，即a ＞-1时，令()0h x '>，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+ a ,此时，h (x ) 在区间(0, a +1)上单调递增，令()0h x '<，得 x ＞1+ a .此时，h (x )在区间(a +1,+∞)上单调递减. ………………………………………………5分 ②当a +1≤0，即a ≤-1时，()0h x '<恒成立， h (x )在区间(0,+∞)上单调递减. …………6分 综上，当a ＞-1时，h (x )在x =1+a 处取得极大值h (1+a )=ln(1)2a a a +--，无极小值；当a ≤-1时，h (x )在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7分(Ⅲ) 依题意知，在[1, e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立,即在[1, e]上存在一点x 0，使得h (x 0)≥0， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[1, e]上，有h (x )max ≥0. ………………………………8分 由(Ⅱ)可知，①当a +1≥e, 即a ≥e -1时，h (x )在[1, e]上单调递增， ∴max 1()(e)e 0e a h x h a +==--≥, ∴2e 1e 1a +≥-, ∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1e 1a +≥-. ………………………………………………………9分 ②当0＜a +1≤1，或a ≤-1，即a ≤0时，h (x )在[1, e]上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴a ≤-2. ……………………………………………10分 ③当1＜a +1＜e ，即0＜a ＜e -1时，由(Ⅱ)可知，h (x )在x =1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值，即h (x )max =h (1+a )=ln(1)2[ln(1)1]2a a a a a +--=+--，∵0＜ln(a +1)＜1, ∴h (1+a )＜0在[1, e]上恒成立，此时不存在x 0使h (x 0)≥0成立．……………………………………………………………11分综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1a +≥-或a ≤-2. ……………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）解：解法一（Ⅰ）2222,()cos sin 122sin ,y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ …………1分 即1C 的普通方程为22 1.204x y += …………………………………………………………3分 222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==2C 可化化为 224240x y x y ++-+=， …………………………………………………3分数学试卷（文科）参考答案 第8页（共8页）即1)1()2(:222=-++y x C . …………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα== ………………………………………6分 所以直线l的参数方程为：4,,x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，…………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ………………………………………8分所以△=2(4420--⨯=>.设A ,B 对应的参数分别为21,t t，则1212 4.t t t t +== …………………………9分所以12AB t t =-==. ………………………10分 解法二（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y -+= ……………………………………………7分 由(Ⅰ)知圆2C 圆心为(-2，1)，半径1r =. ………………………………………………8分 到直线l的距离d == ……………………………………………………9分故AB ==. …………………………………………………10分 解法三（Ⅰ）同解法一. ……………………………………………………………4分 曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为 4.y x =+ ……………………………………………………………7分 12222124,2,3,5602, 1.(2)(1)1,y x x x x x y y x y =+=-=-⎧⎧⎧⇒++=⇒⎨⎨⎨==++-=⎩⎩⎩或 ………………9分数学试卷（文科）参考答案 第9页（共8页）∴|AB ………………………………………………10分23. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()6f x <，即21236x x -++<， 即3,212236,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或31,2223126,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<⎩或1,22123 6.x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩ ……………3分322x ∴-<≤-或3122x -<<或112x ≤<， 21x ∴-<< 所以不等式()6f x <的解集为{}|21x x -<<. ……………………5分 （Ⅱ）对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，则有{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， ………………………………………………………6分 又()|2||23|f x x a x =-++|(2)(23)||3|x a x a ≥--+=+. ……………………………8分 ()|1|22g x x =-+≥，从而|3|2a +≥，解得51a a ≤-≥-或，故(,5][1,)a ∈-∞--+∞U . ………………………………………………………………10分。

2π=，∴62ω)sin B，∴(3ππ)x+=π662=，取AC BD O的中点，∴OG，∴四边形AOGF3323作出函数f（x ）的图象，如图所示：由()4f x >的解集为0{|}4x x x <>或及函数图象，可得20+142414m m -⨯+=⎧⎨⨯--=⎩，得3m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得42,1()2,1324,3x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，∴f （x ）的最小值为2．关于x 的不等式2()4f x a a <+-有解，则224a a <+-，即260a a +->，即(3)(2)0a a +->，∴3a <-，或2a >， 实数a 的取值范围3,{| 2 }a a a <->或．福建省厦门市2017届高三一模数学（文科）试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|y=lg（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴=，∴双曲线的离心率为e===故选：D．3．【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的图象，求出f（1），f（3）的值，可得答案．【解答】解：由已知中的函数f（x）的图象可得：f（1）=2，f（3）=1，故f（1）+f（3）=3，故选：A4．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．5．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），∴tanα==﹣，则tan（α﹣）===﹣3，故选：A．6．【考点】程序框图．【分析】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选B．7．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z=4x+3y得：y=﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=﹣﹣，=+=﹣﹣若•=12，则•=（﹣﹣）•（﹣﹣）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12，cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．9．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f（﹣2）=0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f（2﹣m）＞0，即|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．10．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；还原出长方体是长为2，宽为1，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM=，ON=×=；∴外接球的半径满足R2=ON2+AN2=+=，∴外接球的表面积为S=4πR2=4π×=．故选：A．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，∵的最小值为1，∴a2+b2﹣2abcosα≥，α=时，不等式恒成立．故选：C．12．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0，0）到直线y=x﹣2，即x﹣y﹣2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+S n=2a n+2，∴4+S n=2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2=2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n=2a n+2，取n=1，解得a1=2，∴S n+2=（a1+2）•2n﹣1，则S n=2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令T n=a1+2a2+3a3+…+na n=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得：==（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n=1时，=0；由，知，n=2时，=0，∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），∴z（1+i）（1﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，则z=，∴|z|==．故答案为：．14．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，∴3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d=﹣5，a1=15．∴a n=15﹣5（n﹣1）=20﹣5n，令a n=20﹣5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解：由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，∴A1C1=，A1B=，∴AB=，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++）×1=，故答案为．16．【考点】特称命题．【分析】根据题意得出k＞，设f（x）=，其中x＞2；利用导数求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整数k的最小值．【解答】解：∃x0∈（2，+∞），∴x0﹣2＞0，∴k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1）可化为k＞，设f（x）=，其中x＞2；则f′（x）==；令f′（x）=0，得x﹣4﹣2lnx=0，设g（x）=x﹣4﹣2lnx，其中x＞2；则g′（x）=1﹣=，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数，∴g（x）≥g（2）；且g（2）=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0.6931＜0，g（5）=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094＜0，g（8）=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0.6931＜0，g（9）=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986＞0；∴g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处f（x）取得最小值m；∴f（8）==×（3ln2+1）=×（3×0.6931+1）≈4.1＞m，f（9）==×（2ln3+1）=×（2×1.0986+1）≈4.1＞m；∴k≥4.1；即正整数k的最小值为5．故答案为：5．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．18．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG，推导出四边形AOGF是平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．（Ⅱ）在面ABEF中，过F作FH∥AB，交BE于点H，推导出FE⊥EB，从而FE⊥AF，三棱锥C﹣DEF 的体积V C﹣DEF=V A﹣DEF=V D﹣AEF，由此能求出三棱锥C﹣DEF的体积．20．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．21．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，圆心E到AB的距离为1，求出B坐标代入椭圆方程得a即可．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB 为底边的△PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲]23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．。

山东省潍坊市2017年高考一模数学（文科）试卷答 案一、选择题 1~5．BCDAB6~10．CCDBB二、填空题 11．12．9 13．12-14．8315．1(,0)e-三、解答题16．（Ⅰ）∵sin cos sin cos b A C c A B +，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin cos B A C C A B A +=， ∵A 为锐角，sin 0A ≠，∴sin cos sin cos B C C B +sin()=sin B C A += ∴π3A =（Ⅱ）∵π3A =，可得：tan A =∴11()cos cos 22cos 2sin(2)226f x x x x x x x πωωωωωω=-=-=-∵其图像上相邻两条对称轴间的距离为π2，可得：π2π222T ω=⨯=，解得：1ω=，∴π()sin(2)6f x x =-，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到图象对应的函数解析式为y =πππ()sin[2()]sin(2)463g x x x =+-=+∵ππ,244x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得：ππ5π2,346x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴π1()sin(2),132g x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦17．（Ⅰ）由7天的AQI 数据的茎叶图，知：这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此估计2017年11月甲地空气质量为良的天数为：26030==977⨯（天）（Ⅱ）甲地的这7个数据中任意抽取2个2721n c ==， 甲地的这7个数据中AQI 超过100的数据有5个，∴抽取的2天的AQI 均超过100，包含的基本事件个数2510m c ==， ∴AQI 均超过100的概率1021m p n ==． 18．（Ⅰ）证明：取EC 中点M ，FB 中点N ，连接HM ，GN ．则HM 平行且等于12DC ，GN 平行且等于12ABAB CD ∵∥，∴HM 平行且等于GN ，∴HMNG 是平行四边形，GH MN ∴∥，∵GH ⊄平面BCEF ，MN ⊂平面BCEF ， ∴GH ∥平面BCEF ；（Ⅱ）连接BD ，与AC ，交于O ，连接OP ，则OP 平行且等于FB ， ∴PFBO 是平行四边形， ∴PF BO ∥，∵BO AC ⊥，BO PC ⊥，AC PC C =，∴BO ⊥平面ACE ， ∴FP ⊥平面ACE ．19．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比q 大于0，又1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=．111221a d q =--++=-∴，，∴23(1)3227d q ⨯-++⨯=，解得2d =-，2q =．∴12(1)23n a n n =-+-=-，2n n b =．（Ⅱ）11(1)(1)(23)2n n n n nn a n c b -----==， ∴数列{}n c 的前n 项和23411352222n T -=-+-+…+211(1)(25)(1)(23)22n n n n n n -------+，23411132222n T =--++…+211(1)(25)(1)(23)22n n n n n n --+----+， 11112311111[1()]311111(1)(23)1(1)(23)22+(1)+12222222221()2n n n n n n n n n n T -----++------=--+-+-⨯=-++--∴…，11521(1)(23)=+99232n n n nn T -----+⨯∴（）． 20．（Ⅰ）2()()()ln x xe exh x f x g x ax x a xe -=-+=--， 则2121()2ax h x ax x x-'=-=，0a ≤时，()h x 在(0,)+∞递减，0()0x a h x '>>>令，解得：时， 令()0h x '<，解得：0x <<， 故()h x在递减，在)+∞递增； （Ⅱ）由题意得：21ln x e ax a x e x -+<+， (1,)x ∃∈+∞，21ln x eax a x x e-+<-，设()x xe exk x xe -=，若记1()x k x e ex =-，则1()x k x e e '=-111()0()(1,)x k x k x '>>+∞时，，在当递增，11()(1)0k x k >=，若0a ≤，由于1x >，故()()f x g x <恒成立， 若102a <<，设2()(1)ln h x a x x =--，由（Ⅰ）x ∈时，()h x 递减，+)x ∈∞时，()h x 递增，故(1)0h h <=，而0k >，即存在1x =>，使得()()f x g x <，故对任意(,0)a ∈-∞，(1,)x ∃∈+∞使得()()f x g x <成立． 21．（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221y x a b+=(0)a b >>，由题意可得222a b -=，c e a ==c =解得1a b ==，即有椭圆的标准方程为2213y x +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设11(,)M x y ， 22(,)N x y ，由(0,A ，直线AM 与直线AN 的斜率之积为1，可得12121y y x x ++⋅=，即有121212)3x x y y y y =++，由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN ：y kx t =+， 代入椭圆方程，可得222(3)230k x ktx t +++-=，可得212233t x x k -=+，12223kt x x k +=-+， 212122226()2233k t ty y k x x t t k k +=++=-=++， 22222221212122223233()()333t kt t k y y k x x kt x x t k kt t k k k--=+++=⋅+-+=+++， 则22222233363()3333t t k tk k k --=++++，化为260t ++=，解得t =-（， 则直线MN的方程为y kx =-即直线MN过定点，该定点坐标为(0,-，（ⅱ）由（ⅰ）222222121222223334334533333t t k t k k OM ON x x y y k k k k -----⋅==+==++++可得， 由2223+)230k x ktx t ++-=（， 可得22222244(3)(3)4836(3)0k t t k k k ∆=--+=-+>，解得2k 9>令23k m +=，则12m >，且23k m =-， 即有22453453(3)5433k m k m m---==-+，由12m >，可得543332m -<-<． 则OM ON ⋅的取值范围是3(3,)2-．山东省潍坊市2017年高考一模数学（文科）试卷解 析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】∵*={|2,}{2,4,6,...}A x x n n N =∈=，12{2}={|04}B x x x =≤≤≤， ∴{2,4}AB =，故选：B ．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】∵(1)i z i -=，∴(1)(1)(1)i i z i i +-=+，∴21z i =-，∴1122z i =-+， 则复数1122z i =--在复平面内的对应点11(,)22--位于第三象限． 故选：C ．3．【考点】复合命题的真假． 【分析】命题p ：是假命题，例如取2x =时，2x与2x 相等．q ：由“1a >，1b >”⇒：“1ab >”； 反之不成立，例如取10a =，12b =．进而判断出结论． 【解答】命题p ：对任意x R ∈，总有22x x >；是假命题，例如取2x =时，2x 与2x 相等．q ：由“1a >，1b >”⇒：“1ab >”；反正不成立，例如取10a =，12b =∴“1ab >”是“1a >，1b >”的必要不充分条件，是假命题． ∴下列命题为真命题的是()p q ∧⌝， 故选：D ．4．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论． 【解答】由题意，0x =，(1)0y f ==，排除CD ．1x =，(2)0y f =<，排除B ，故选A ．5．【考点】模拟方法估计概率．【分析】以面积为测度，建立方程，即可得出结论．【解答】由题意，11248001m π⋅=，∴314m =，故选B ．6．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得87n >≥，即可得解输入的正整数n 的值．【解答】模拟程序的运行，可得1A =，1B =，3k =满足条件k n ≤，执行循环体，2C =，1A =，2B =，4k =， 满足条件k n ≤，执行循环体，3C =，2A =，3B =，5k = 满足条件k n ≤，执行循环体，5C =，3A =，5B =，6k = 满足条件k n ≤，执行循环体，8C =，5A =，8B =，7k = 满足条件k n ≤，执行循环体，13C =，8A =，13B =，8k = 由题意，此时应该不满足条件8n ≤，退出循环，输出C 的值为13， 可得：87n >≥，所以输入的正整数n 的值是7． 故选C ．7．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】若02πα<<，则sin sin tan cos αααα<=，故A 正确； 若α是第二象限角，即(2,2)k k απππ+，k Z ∈，则(,)22k k απππ∈+，为第一象限或第三象限，故B 正确；若角α的终边过点(3,4)P k k (0)k ≠，则4sin 5||k k α=，不一定等于45，故C 不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长6222=-⨯=，其中心角的大小为弧度212=弧度，故选C ．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积【解答】由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为211824233ππ⨯⨯⨯⨯=故选D ．9．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为2b ，结合勾股定理，推出a ，b ，c 关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的一条渐近线方程为0bx by +=，圆222()4x c y a -+=的圆心到b =∵渐近线被圆222()4x c y a -+=截得的弦长为：，2b ∴2224b b a +=，∴222b a =，即223c a =， ∴e = 故选B ．10．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得()f x 的图象关于点(2,0)对称；画出g()y x =的图象，可得g()x 的图象也关于点(2,0)对称，即有()f x 与g()x 的交点关于点(2,0)对称，相加计算即可得到所求和． 【解答】函数()f x 满足，(2)(2)0f x f x ++-= 可得()f x 的图像关于点(2,0）对称；22(){44,244,2g x x x x x x x =-+>-+-<由可得图像如右，即有()f x 与()g x 的交点关于点(2,0）对称， 111()nnni i i i i i i x y x y ===+=+∑∑∑则，即有10ni i y ==∑，可设1n n n t x x x =+-+，121n n n t x x x x --=++++…，相加可得12112()()()=444=4n n n t x x x x x x n -=+++++++++……， 解得2t n =． 故选B ．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据()a b a +⊥得出()0a b a +⋅=，求出a b ⋅的值，再计算2(2)a b -，从而求出|2|a b -． 12．【考点】基本不等式．【分析】正数a ，b 满足4a b ab +=4a+b=ab ，即411b a+=．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．13．【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，再利用2z x y =-，几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，过可行域内的点(6,0)A -时的最小值，从而得到z 最小值即可． 14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意F (1,0)，设直线MN 方程为1x my =+．将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，得2440y my --=．由此能够求出直线的斜率，可得||MF ．15．【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程x xe a =在R 上有两个不同的实数根，设()x g x xe =并求出g ()x '，由导数与函数单调性的关系，判断出g()x 在定义域上的单调性，求出g()x 的最小值，结合g()x 的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a 的取值范围． 16．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）由正弦定理可得：sin sin cos sin sin cos a B A C C A B A +=，由于sin 0A ≠，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，结合A 的范围即可得解A 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)6f x x πω=-，由已知可求T ，利用周期公式可求ω，利用三角函数平移变换可求()sin(2)3g x x π=+，由x 的范围，利用正弦函数的性质可求g()x 的值域．17．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此能估计2017年11月甲地空气质量为良的天数．（Ⅱ）甲地的这7个数据中任意抽取2个，基本事件总数2721n c ==，甲地的这7个数据中AQI 超过100的数据有5个，抽取的2天的AQI 均超过100，包含的基本事件个数2510m c ==，由此能求出AQI 均超过100的概率．18．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EC 中点M ，FB 中点N ，连接HM ，GN ，证明MNG HMNG 是平行四边形，可得GH MN ∥，即可证明GH ∥平面BCEF ；（Ⅱ）连接BD ，与AC ，交于O ，连接OP ，则OP 平行且等于FB ，证明BO ⊥平面ACE ，即可证明FP ⊥平面ACE ．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）11(1)(1)(23)2n n n n nn a n c b -----==，利用“错位相加法”与等比数列的求和公式即可得出．20．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数()h x 的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为证明：(1,)x ∃∈+∞，21ln x e ax a x x e--<-，设()x xe ex k x xe -=，设2()(1)l n h x a x x =--，通过讨论a 的范围求出函数的最值，从而证明结论即可． 21．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221y x a b+=（a ＞b ＞0），由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，运用直线的斜率公式，设出设直线MN ：1y kx =+，代入椭圆方程，可得222(3)230k x ktx t +++-=，运用韦达定理，结合M ，N 在直线上，满足直线方程，化简整理，可得t 的方程，解方程可得t ，即可证得直线MN 恒过定点； （ii ）由（i ）可得1212OM ONx x y y ⋅=+，运用（i ）的结论，由判别式大于0，化简整理，并运用换元法，由不等式的性质，即可得到所求范围．。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A .3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭B .A B =∅C .3|2AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D .AB =R2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，……，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A .1x ，2x ，……，n x 的平均数B .1x ，2x ，……，n x 的标准差C .1x ，2x ，……，n x 的最大值D .1x ，2x ，……，n x 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A .2(1)i i +B .2(1)i i -C .2(1)i +D .(1)i i +4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B .π8C .12D .π 45.已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，△APF 的面积为（ ）A .13B .1 2C .23D .3 26.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A .B .C .D .7.设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值为（ ）A .0B .1C .2D .3-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________数学试卷 第3页（共18页）数学试卷 第4页（共18页）8.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）A .B .C .D .9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足321000nn->的最小偶数n ，框中，可以分别填入（ ）A .1000A ＞和1n n =+B .1000A ＞和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）A .π12B .π6 C .π4 D .π3 12.设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A .(0,1][9,)+∞B .[9,)+∞C .(0,1][4,)+∞D .[4,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量)2(–1,=a ，)1(,m =b .若向量+a b 与a 垂直，则m =________.14.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 15.已知π(0)2α∈，，tan 2α=，则πcos ()4α-=__________.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=.数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积.19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min ，从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅.（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈.20.（12分）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程. 21.（12分）已知函数2()()xxe ef x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a . 23.[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2()4f x x ax =-++，g()|1||1|x x x =++-. （1）当1a =时，求不等式()g()f x x ≥的解集；毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）（2）若不等式()g()f x x ≥的解集包含[1,1] ，求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A 【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A .2.【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 3.【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数，选C . 4.【答案】B【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积π2S =，则对应概率ππ248P ==，故选B .5.【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D .6.【答案】A【解析】由B ，AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB NQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ .故A 不满足，选A .7.【答案】D【解析】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D .8.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，排除A ，故选C .9.【答案】C 【解答】解：函数()ln ln(2)f x x x =+-，(2)ln(2)ln f x x x ∴-=-+，即()(2)f x f x =-，即()y f x =的图象关于直线1x =对称，故选：C ． 10.【答案】D【解析】由题意选择321000n n ->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D . 11.【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()0C A A C A ++=，所以3π4A =.由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin 4=即1sin 2C =，得π6C =，故选B . 12.【答案】A【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M满足120AMB ∠=，则tan 603ab ≥=≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab ≥=≥9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A .二、填空题 13.【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ， 因为()0+=a b a ， 所以(1)230m --+⨯= 解得7m =14.【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x = 则21()2f x x x'=-所以(1)211f '=-=所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+.15.【解析】π(0,)2α∈，tan 2α=，sin 2cos αα∴=，22sin cos 1αα+=，解得sin αcos α=πππcos()cos cos sin sin 444ααα∴-=+=+=， 16.【答案】36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=所以球的表面积为24π36πr = 三、解答题17.【答案】（1）(2)n n a =- （2）1n S +，n S ，2n S +成等差数列.【解析】（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则332628a S S ==--=--，则31228a a q q -==，328a a q q-==， 由122a a +=，2882q q--+=，整理得2440q q ++=， 解得：2q =-， 则12a =-，1(2)(2)(2)n nn a =--=﹣-.（2）由（1）可知：11(1q )1[2(2)]13n n n a S q +-==-+--， 则211[2(2)]3n n S ++=-+-，321[2(2)]3n n S ++=-+-， 由231211[2(2)][2(2)]33n n n n S S +++++=-+--+-=12114(2)(2)[](2)(2)3n n ++-+-⨯-+-⨯- 111142(2)2(2(2)33[][)]n n ++=-+⨯-=⨯-⨯+-2n S =，即122n n n S S S +++=所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列. 18.【答案】（1）90BAP AB PA ∠=︒⇒⊥90CDP CD PD ∠=︒⇒⊥AB CD ∥，PA PD P =，AB PAD ∴⊥平面 AB PAD ⊂平面 PAB PAD ∴平面⊥平面（2）6+【解析】（1）见答案（2）由（1）知AB PAD ⊥平面，90APB ∠=︒，PA PD AB DC ===.取AD 中点O ，所以OP ABCD ⊥底面，,OP AB AD =， 1833P ABCDV AB AB -∴=⨯= 2AB ∴=AD BC ∴==，2PA PD AB DC ====，PO =，PB PC ∴==111222PADPABPDCPBCPA PD PA PB DC S SSSS=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯∴=+++侧111122222222226=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 19.【答案】（1）0.18-（2）（i ）需要对当天的生产过程进行检查. （ii ）均值为10.02，标准差约为0.09. 【解析】（1）16()(8.5)0.18ixx i r --==≈-∑因为||0.25r ＜，所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）（i）39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.636x s +=+⨯=所以合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第13号零件尺寸不在此范围之内，因此需要对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值后，剩下的数据平均值为169.22169.979.2210.021515x -⨯-==， 0.09s ==.20.【答案】（1）1 （2）7y x =+【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则2221212121214414ABx x y y x x K x x x x --+====-- （2）设20(,)4x M x ，则C 在M 处的切线斜率'00112ABy K K x x x ====- 02x ∴=，则()12,1A ，又AM BM ⊥，22121212121111442222AM BM x x y y K K x x x x ----==----()()()121212222411616x x x x x x +++++===-即()12122200x x x x +++= 又设AB ：y x m =＋，代入24x y = 得2440x x m --=124x x ∴+=，124x x m =-48200m =－＋＋7m ∴=故AB ：y x =＋721.【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a ＞时，()f x 在(ln )a -∞，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增，当0a ＜时，()f x 在(,ln())2a -∞-上单调递减，在(ln())2a -+∞，上单调递增， （2）34]21[,e -.【解析】（1）222()x x x x f x e e a a x e e a a x =-=-（）--， 222(2)()x x x x f x e ae a e a e a ∴'==-+-（）﹣，①当0a =时，()0f x '＞恒成立，()f x ∴在R 上单调递增.②当0a ＞时，20x e a +＞，令()0f x '=，解得ln x a =， 当ln x a ＜时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减， 当ln x a ＞时，()0f x '＞，函数()f x 单调递增，③当0a ＜时，0x e a -＜，令()0f x '=，解得ln()2ax =-，当ln()2a x -＜时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减，当ln()2ax -＞时，()0f x '＞，函数()f x 单调递增.综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a ＞时，()f x 在(ln )a -∞，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增，当0a ＜时，()f x 在(,ln())2a-∞-上单调递减，在(ln())2a -+∞，上单调递增，（2）①当0a =时，2()0x f x e =＞恒成立，②当0a ＞时，由（1）可得2()()ln 0min f x f lna a a ==-≥，ln 0a ∴≤， 01a ∴≤＜.③当0a ＜时，由（1）可得：223()(ln(-))ln(-)0242mina a af x f a ==-≥，3ln(-)24a ∴≤，3420e a ∴≤﹣＜，综上所述a 的取值范围为34]21[,e -. 22.【答案】（1）(3,0)和(,2125)4225- （2）16a =-或8a =【解析】（1）当1a =-时，14,:1,x t L y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），L 消参后的方程为430x y +-=，曲线C 消参后为221x y y +=，与直线联立方程221,430,x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩椭圆C 和直线L 的交点为(3,0)和(,2125)4225-.（2）L 的普通方程为440x y a +--=， 设曲线C 上任一点为()3cos,sin P θθ， 由点到直线的距离公式，d =，d =max d =∴()max5sin 417aθϕ+--=，当()sin 1θϕ+=时最大，即5417a --=时，16a =-， 当()sin1θϕ+=-时最大，即917a +=时，8a =，综上：16a =-或8a =. 23.【答案】（1）(1. （2）a 的取值范围是[]1,1-.【解析】（1）当1a =时，21()4a f x x x ==-++时，，是开口向下，对称轴为12x =的二次函数， 2,1,()112|,1,|12,1,x x g x x x x x x ⎧⎪=++-=-⎨⎪--⎩＞≤≤＜当(1)x ∈+∞，时，令242x x x ++=-，解得x =，()g x 在(1)+∞，上单调递增，()f x 在(1)+∞，上单调递减，此时()()f x g x ≥的解集为(1； 当,1[]1x ∈-时，()2g x =，()(1)2f x f ≥-=．当(1)x ∈-∞，-时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且(1)(1)2g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥的解集为(1； （2）依题意得：242x ax -++≥在[]1,1-恒成立，即220x ax -≤-在[]1,1-恒成立，则只需221120,(1)(1)20,a a ⎧--⎨----⎩≤≤解得11a -≤≤， 故a 的取值范围是[]1,1-．数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）。