2017年江苏省南京市高三一模数学试卷

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学1、已知集合{}101,,-=A ，),(0-∞=B ，则=B A ．2、已知复数z 满足21=+)(i z ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ．3、已知样本数据54321x x x x x ,,,,的方差32=s ，则样本数据5432122222x x x x x ,,,,的方 差为 ．4、如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5、在数字4321,,,中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+>yx y x x 2270，则x y 的最小值是 ．7、设双曲线)(01222>=-a y ax 的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为．8、设数列{}n a 是等差数列，若21654=++a a a ，则=9S ． 9、将函数)sin(323π+=x y 的图象向右平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数为偶函数，则=ϕ ．10、将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，23==BC AB ,，圆柱上底面圆心 为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥EFG O -体积的最大值是 ．11、在ABC ∆中，已知33π==C AB ,，则⋅的最大值为 ．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别在x 轴与直线)(133+=x y 上从左向右依次 取点 ,,,,21=k B A k k ，其中1A 是坐标原点，使1+∆k k k A B A 都是等边三角形，则111010A B A ∆的边长是 ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数x y ln 2=的图象与圆2223r y x M =+-)(:的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数)(x f y =的图象经过点M P O ,,，则函数)(x f y =的最大值为 ．14、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222=++c b a ，则ABC ∆的面积的最大值为 ．15、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC BC ⊥，E D ,分别是AC AB ,的中点． （1）求证：//11C B 平面DE A 1； （2）求证：平面⊥DE A 1平面11A ACC ．16、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且B c C b sin sin =2． （1）求角C 的值； （2）若533=-)sin(πB ，求A sin 的值．17、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222b y x O =+:经过椭圆14222=+by x E :)(20<<b 的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记直线m kx y l +=:交椭圆E 于Q P ,两点，T 为弦PQ 的中点，),(),,(0101N M -， 记直线TN TM ,的斜率分别为21k k ,，当12222=-k m 时，求21k k ⋅的值．18、如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活 动中心，其中30=AE 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截 面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的 采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过52. 米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足43=θtan ． （1）若设计18=AB 米，6=AD 米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截 面面积最大？（注：计算中π取3）19、设函数x x f ln )(=，)()(R ∈--+=a xa ax x g 31． （1）当2=a 时，解关于x 的方程0=)(x e g （其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数)()()(x g x f x +=ϕ的单调增区间；（3）当1=a 时，记函数)()()(x g x f x h ⋅=，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式)(x h ≥λ2有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：693102.ln ≈，098613.ln ≈）20、若存在常数d q k k k ,),,(2≥∈*N ，使得无穷数列{}n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈∉+=**+NN k n qa k n d a a n n n ,,1， 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数d q k ,,分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若数列{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为331,,,q ．①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设数列{}n b 的前n 3项和为n S 3，若不等式133-⋅≤n n S λ对*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设数列{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1-2. 13. 124. 95.56 6. 34 7.8. 63 9. 512π 10. 4 11. 32 12.512 13. 98 14. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE . ...............6分 （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥. ...............8分 又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ...............10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1C C A C C = ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分 又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分 （注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分）16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分 又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以4cos()35B π-==. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-， 所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分413525=-⨯=. …………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O x y b +=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=. ……………6分 （2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m =-， 所以0k x m =-，012k y m k m m =-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，①又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212km x k =-+，0212my k =+. ……………10分 以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=， ...............2分 9=，解得24b =或32b =（舍）.故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+， ...............5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米.所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=r =，解得2b h r =+或b h = ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分 由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230x x e e +-=，去分母，得22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ……………2分故所求方程的根为0x =或ln 2x =-. ……………4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->， 所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->；③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a-<<.综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-； 当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分 （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分 方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分 下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立. 显然当(0,1][3,)x ∈+∞ 时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立.即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-， 所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得4x = .……………14分当(1,4x ∈，()0m x '>；当(4x ∈，()0m x '<；所以max 21()(4ln(4ln(42)ln 2103m x m +==<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， 2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，… ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分 ②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++= ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦， ……………6分133n n S λ-≤⋅ ，313n n S λ-∴≤，设313n n n Sc -=，则()max n c λ≥，又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ……………9分 ∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分 方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+ ， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=- ，()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当m N *∈时，21k m k m b b d ++-=，即()11k m k m k m bq bq bq q d +-=-=恒成立， ……………12分 ①若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则km q 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132bb b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132bb b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意. 综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …………4分又因为AB 是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …………10分B 、解：由题意得 2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分 解得0m =，4λ=-. …………10分C 、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …………4分则圆C 的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ， …………6分 所以56122=-=d AB . …………10分 D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min 222=++z y x . …………10分22．解：（1）这两个班“在星期一综合实践课节次不同”的概率为321333P =-=⨯. …………4分 （2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X…………8分所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分 23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯--- ()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分 ②()()()()()()2212212!!11!!2!!k k k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯-------- ()()!1102!!11n k k n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212k k k k kn n n n n k C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分 故()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L ()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++ ，两边同乘以x ，得()1223111nk k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++ ，两边对x 求导，得()()()()11221112311nn k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++ ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++ ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++ . ……………8分令1x =，得()121221222nn n n n n n n ---++-+()()22212212311k nnn n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++， 即()()2220212212311k n n n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++. …………10分。

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学1、已知集合101,,A ，),(0B，则BA．2、已知复数z 满足21)(i z ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为．3、已知样本数据54321x x x x x ,,,,的方差32s，则样本数据5432122222x x x x x ,,,,的方差为．4、如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是．5、在数字4321,,,中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6、已知实数y x,满足yxyx x2270，则xy 的最小值是．7、设双曲线)(01222a yax 的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为．8、设数列n a 是等差数列，若21654a a a ，则9S ．9、将函数)sin(323xy的图象向右平移)(2个单位后，所得函数为偶函数，则．10、将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，23BC AB ,，圆柱上底面圆心为O ，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥EFG O体积的最大值是．11、在ABC 中，已知33CAB ,，则CB CA 的最大值为．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别在x 轴与直线)(133x y 上从左向右依次取点,,,,21kB A k k ，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A 都是等边三角形，则111010A B A 的边长是．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数x yln 2的图象与圆2223r yx M )(:的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数)(x f y 的图象经过点M P O ,,，则函数)(x f y的最大值为．14、在ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222cba，则ABC 的面积的最大值为．15、如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AC BC ，E D,分别是AC AB,的中点．（1）求证：//11C B 平面DE A 1；（2）求证：平面DEA 1平面11A ACC ．16、在ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且B c C b sin sin 2．（1）求角C 的值；（2）若533)sin(B，求A sin 的值．17、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222b yxO :经过椭圆14222by xE :)(20b 的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记直线m kx yl :交椭圆E 于Q P,两点，T 为弦PQ 的中点，),(),,(0101N M ，记直线TN TM ,的斜率分别为21k k ,，当12222km时，求21k k 的值．18、如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过52.米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足43tan ．（1）若设计18AB 米，6AD 米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）19、设函数x x f ln )(，)()(R a xa axx g 31．（1）当2a 时，解关于x 的方程0)(xe g （其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数)()()(x g x f x 的单调增区间；（3）当1a时，记函数)()()(x g x f x h ，是否存在整数，使得关于x 的不等式)(x h 2有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：693102.ln ，098613.ln ）20、若存在常数d q k k k ,),,(2N ，使得无穷数列n a 满足NNkn qa knd a a n nn,,1，则称数列n a 为“段比差数列”，其中常数d q k ,,分别叫做段长、段比、段差．设数列nb 为“段比差数列”．（1）若数列n b 的首项、段长、段比、段差分别为331,,,q ．①当0q 时，求2016b ；②当1q时，设数列n b 的前n 3项和为n S 3，若不等式133n nS 对N n 恒成立，求实数的取值范围；（2）设数列n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的n b ，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD ，4PD ，3PC ，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵22 3m M的一个特征值对应的特征向量为12，求m 与的值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45xtl t yt 为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21xy z ，求222xyz 的最小值.ABCPDO ·第21(A)图[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X).23．（本小题满分10分）设*nN ，3n ，*k N .（1）求值：①11kk n n kCnC；②221211k k k nn n k C n n CnC（2k ）；（2）化简：2220212212311kn nnnnnCCC k Cn C .南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.12. 13. 124. 95.566.347.2338. 63 9.51210. 4 11.3212.512 13. 9814.255二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ，...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C 中，11//B C BC ，所以11//B C DE ................4分又11B C 平面1A DE ，DE 平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE ................6分（2）在直三棱柱111ABC A B C 中，1CC 底面ABC ，又DE 底面ABC ，所以1CC DE ................8分又BC AC ，//DE BC ，所以DEAC ，...............10分又1,CC AC 平面11ACC A ，且1CC A CC ，所以DE 平面11ACC A ................12分又DE平面1A DE ，所以平面1A DE平面11ACC A ．...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE平面11ACC A ，类似给分）16．解：（1）由sin 2sin b Cc B ，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C CC B ，…………２分因为sin 0,sin 0B C，所以1cos 2C，…………４分又(0,)C，所以3C.…………６分（2）因为3C，所以2(0,)3B，所以(,)333B，又3sin()35B ，所以24cos()1sin ()335BB. …………８分又23AB，即23AB ，所以2sin sin()3A B sin(())sincos()cossin()333333BBB………12分3413433252510.…………14分17．解：（1）因02b，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O xyb 经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b ，……………3分所以224b ，即22b ，所以椭圆E 的方程为22142xy.……………6分（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142xyy kx m，消去y ，得222(12)4240k x kmx m，所以122412km x x k，又22221mk ，所以12x x 2k m，所以0k x m，012k y m kmm， 0则1222221111122442(22)211m m k k kkkmmk m m . (4)方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142xyx y ，两式作差，得12121212042x x x x y y y y ，又1202x x x ，1202y y y ，∴01201202x x x y y y ，∴01201202y y y x x x ，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线ykx m 上，∴1212y y k x x ，∴020x ky ，①又00(,)T x y 在直线y kxm 上，∴0y kx m ，②由①②可得02212km x k，0212m y k. 0以下同方法一. 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB，6AD ，所以半圆的圆心为(9,6)H ，半径9r ．设太阳光线所在直线方程为34yx b ，即3440x y b ，...............2分则由22|27244|934b ，解得24b 或32b（舍）.故太阳光线所在直线方程为3244yx ，...............5分令30x，得 1.5EG米 2.5米.所以此时能保证上述采光要求................7分（2）设ADh 米，2ABr 米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34yxb ，即3440x y b ，由22|344|34r h b r ，解得2bhr 或2b hr （舍）................9分故太阳光线所在直线方程为324yxhr ，ABEDHGC第17题←南·xy令30x ，得4522EG r h ，由52EG，得252h r ................11分所以222133222(252)222Srhrrhrr r r225550(10)25025022r rr .当且仅当10r时取等号.所以当20AB 米且5AD 米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y ．...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5rh r．而点H (r ，h)在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r ，从而252hr ．...............13分又221322(252)22Srh r r r r225550(10)25025022rrr .当且仅当10r 时取等号.所以当20AB 米且5AD 米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a时，方程()0xg e 即为1230xxee，去分母，得22()310x xe e，解得1xe或12xe，……………2分故所求方程的根为0x或ln 2x . ……………4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x axx x，所以222211(1)((1))(1)()a axx a axa x x axx xx（0x ），……………6分①当0a 时，由()0x ，解得0x ；②当1a 时，由()0x ，解得1a xa；③当01a 时，由()0x ，解得0x ；④当1a 时，由()0x ，解得0x ；⑤当0a时，由()0x ，解得1a xa .综上所述，当0a 时，()x 的增区间为1(0,)a a；当01a 时，()x 的增区间为(0,)；1a时，()x 的增区间为1(,)a a. 0（3）方法一：当1a时，()3g x x ，()(3)ln h x x x ，所以3()ln 1h x x x单调递增，33()ln 12022h ，3(2)ln 2102h ，所以存在唯一03(,2)2x ，使得0()0h x ，即003ln 10x x ，.……………12分当0(0,)x x 时，()0h x ，当0(,)xx 时，()0h x ，所以2min 00(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x ，记函数9()6()r x x x ，则()r x 在3(,2)2上单调递增，.……………14分所以03()()(2)2r h x r ，即031()(,)22h x ，由322，且为整数，得0，所以不等式2()h x 有解时的的最小整数为0..……………16分方法二：当1a时，()3g x x ，所以()(3)ln h x x x ，由(1)0h 得，当0时，不等式2()h x 有解，.……………12分下证：当1时，()2h x 恒成立，即证(3)ln 2x x恒成立.显然当(0,1][3,)x时，不等式恒成立，只需证明当(1,3)x 时，(3)ln 2x x 恒成立. 即证明2ln 03x x.令2()ln 3m x xx，所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x ，由()0m x ，得47x， (14)分当(1,47)x ，()0m x ；当(47,3)x ，()0m x ；所以max 7121()(47)ln(47)ln(42)ln 21033m x m .所以当1时，()2h x 恒成立. 综上所述，不等式2()h x 有解时的的最小整数为0..……………16分20．（1）①方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ，2015201433b b ，2016201536b b .……………３分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b ，24b ，37b ，4300b b ，5433b b ，6536b b ，7600b b ，…∴当4n 时，n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b .……………３分②方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126n nnnn nnnb b b d b qb d b q b d d b d ，∴31n b 是以24b 为首项、6为公差的等差数列，又32313313131313n n n nnn n b b b b d b b d b ，312345632313nnnnS b b b b b b b b b 2253113346932n n n b b b nn n ，……………６分133n nS ，313n n S ，设313n nn S c ，则maxnc ，又2221112322913193333n nnn n nn n n n n c c ，当1n 时，23220nn，12c c ；当2n 时，23220nn ，1nn c c ，∴123c c c ，∴2max14nc c ，……………９分∴14，得14,.……………10分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b ，∴333333126nnnnb b b b d，∴3n b 是首项为37b 、公差为6的等差数列，∴2363176342nn n b b b nnn ，易知n b 中删掉3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，21245323122121362n nn n b b b b b b n nn ，222334693nS nnnn nn ，………………６分以下同方法一. （2）方法一：设n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列n b 的公比为1k kb q b ，由等比数列的通项公式有1n nb bq，当m N 时，21k m kmb b d ，即11k m kmkmbq bqbqq d 恒成立，……………12分①若1q ，则0d ，nb b ；②若1q，则1kmdqq b，则kmq 为常数，则1q，k 为偶数，2d b ，11n nb b ；经检验，满足条件的n b 的通项公式为n b b 或11n nb b .……………16分方法二：设n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k ，则1b b ，2b b d ，3b b d q ，4b b d q d ，由2132bb b ，得b dbq ；由2243b b b，得2b d qb d q d ，联立两式，得01d q 或21d b q，则nb b 或11n n b b ，经检验均合题意.…………13分②若3k ，则1b b ，2b b d ，32b b d ，由2132bb b ，得22b d b bd ，得0d，则nb b ，经检验适合题意.综上①②，满足条件的n b 的通项公式为n b b 或11n n b b .……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB 则4(24)3(3)BC ，解得5BC ，…………４分又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB,…………６分则在三角形PDB 中有34166422PD PB BD .…………10分B 、解：由题意得2112 322m，…………4分则4262m ，…………8分解得0m ，4. …………10分C 、解：直线35:(45xtl t yt 为参数)化为普通方程为034y x ，…………２分圆C 的极坐标方程2cos 化为直角坐标方程为1122yx ，…………４分则圆C 的圆心到直线l 的距离为5434422d，…………６分所以56122dAB . …………10分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x yz xyz ，即2222222121xy z xyz ，…………５分又因为21x y z ，所以61222zy x ，当且仅当121x y z ，即11,63x zy时取等号.综上，61min222zyx.…………10分22．解：（1）这两个班“在星期一综合实践课节次不同”的概率为321333P . …………４分（2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k Ck .…………６分所以X 的概率分布表为：X 012345P32243802438024340243102431243…………８分所以，X 的数学期望为15()533E X . …………10分23.解：（1）①111!!!!1!!kk nn n n kCnCknk n k k n k!!01!!1!!n n k n k k n k .……………2分②2212212!!11!!2!!k k k nn n n n k Cn n C nC kn n k n k k n k 1!1!!n nk n k !!!1!!2!!1!!n n n kk n k kn k k n k !1102!!11n kkn k k k .………………４分（2）方法一：由（1）可知当2k 时2221212k k k k k nn n nnk C kk Ck CkCC21121211211213k k k k k k k n n n nn n nn n CnC nC Cn n C nCC .……………６分故2220212212311k n n n nnnCCCkC n C 20210121212221111213n n nnn n n n n n C C n n C CCn CC CLL 23n nnnC CCL 21141232121n n nn n n n n22254n nn.……………10分方法二：当3n时，由二项式定理，有12211nk kn nnnnnx C xC x C x C x ，两边同乘以x ，得1223111n k k n n nnnnxx x C xC x C xC x ，两边对x 求导，得11221112311nn kkn nn n n n xn xxC x C xkC x n C x ，……………６分两边再同乘以x ，得12122311112311nn k k n n nnnnxx n xxx C xC xk C xn C x ，两边再对x 求导，得1212111121nn n n xn x x n n xx n xx222122212311k k n nnnnnC xC xkC xn C x . ……………８分令1x ，得121221222n n n n n n n n 22212212311k n n nnnCC k Cn C ，即2220212212311k n nnnnnCC C k C n C22254n nn .…………10分。

2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x-2≥1}，则A∩B= ______ ．【答案】{x|1≤x≤2}【解析】解：由A中不等式解得：-2≤x≤2，即A={x|-2≤x≤2}，由B中不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为______ ．【答案】4【解析】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，1]【解析】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4-4a≥0，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．根据特称命题的等价条件，建立不等式关系即可．本题主要考查命题真假的应用，根据特称命题的真假性转换为一元二次不等式是解决本题的关键．4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为______ ．【答案】【解析】解：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况，能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况，所以P（任取三条，能构成三角形）==．故答案为：列举出所有情况，让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．5.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为______ ．【答案】30【解析】解：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1-（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3，而总数为100，因此频数为30．故答案为30．根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=频数，计算其频数．数据总和本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．6.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为______ ．【答案】-4【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=＜的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2-2x+2=26，解得：x=-4或x=6（舍去）故答案为：-4模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=＜的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2-2x+2=26，即可解得x的值．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．7.在平面直角坐标系x O y中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为______ ．【答案】【解析】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．8.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a ______ 2b-．（填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＜【解析】解：∵a≠b，a＜0，∴a-（2b-）=＜0，∴a＜2b-．故答案为：＜．作差即可得出大小关系．本题考查了作差法、乘法公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9.△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是______ ．【答案】（-2，6）【解析】解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），则=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m）．又∵点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，则═（1，4m）•（-3，4m）=16m2-3，∴-2＜16m2-3＜6，故答案为：（-2，6）．以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求则的取值范围．本题考查了向量在平面几何中的运用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于中档题．10.已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是______ ．【答案】{，}【解析】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q-1）=（q-1）（q+1）．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q-1）（q+1）=q-1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{，}．因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．11.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M是线段A1F上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是______ ．【答案】【解析】解：由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值，设出D关于AF的对称点D'，则DD′=，cos∠CDD′=∴CD′==，∴△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是×=，故答案为：．由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值．本题考查棱柱的结构特征，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，m+1），则实数c的值为______ ．【答案】【解析】解：∵函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，∴△=0，∴a2+4b=0，∴b=．∵关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，m+1），∴方程f（x）=c-1的两根分别为：m-4，m+1，即方程：-x2+ax=c-1两根分别为：m-4，m+1，∵方程：-x2+ax=c-1根为：，∴两根之差为：2=（m+1）-（m-4），c=-．故答案为：．本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．本题考查了一元二次不等式与方程的关系，本题难度不大，属于基础题．13.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k-1）x-1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是______ ．【答案】{2}【解析】解：根据题意，可得0≤（k-1）x-1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k-1）x-1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令=，则′．由于1≤x≤2e，所以′，于是函数x-lnx为增函数，从而x-lnx≥1-ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k-1≤[m（x）]min=m（1）=1，即k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}．在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．本题考查函数的性质，构造区间上的单调函数是解决本题的关键，属中档题．14.若实数x，y满足x-4=2，则x的取值范围是______ ．【答案】[4，20]∪{0}【解析】解：方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x＞0时，解答如下：令t=∈[0，]，原方程可化为：-2t+=，记函数f（t）=-2t+，g（t）=，t∈[0，]，这两个函数都是关于t的函数，其中x为参数，f（t）的图象为直线，且斜率为定值-2，g（t）的图象为四分之一圆，半径为为，问题等价为，在第一象限f（t），g（t）两图象有公共点，①当直线与圆相切时，由d=r解得x=20，②当直线过的点A（0，）在圆上的点（0，）处时，即=，解得x=4，因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，综合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．方法二：【代数法】令t=∈[0，]，原方程可化为：x-4t=2，因为x-y=x-t2≥0，所以x≥t2≥0，两边平方并整理得，20t2-8xt+x2-4x=0（*），这是一个关于t的一元二次方程，则方程（*）有两个正根（含相等），，解得，x∈[4，20]∪{0}．特别地，当x=0时，y=0，符合题意．故答案为：[4，20]∪{0}．本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变量x的取值范围．本题主要考查了函数与方程的相互转换，一元二次方程实根的判断，考查了分类讨论与数形结合的解题思想，属于难题．二、解答题(本大题共10小题，共134.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（-，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（-θ）．【答案】解：（1）由点B（-，），∴sinθ=，，tanθ=-．∴tan（θ+）===-；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（-θ）==+=．【解析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．本题考查了三角函数的定义、向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．（1）求证：AE∥面DBC；（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．【答案】证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【解析】（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．本题第（1）问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第（2）问通过线面垂直证线线垂直问题．17.如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．【答案】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2-2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152-2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=∠，即=∠，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α-，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π-α，∴sin∠AOB=sin（π-α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：∠=∠，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分【解析】（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式，诱导公式的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．18.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m-k为定值．【答案】（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，∴=b，化为b=1．∵离心率e==，b2=a2-c2=1，联立解得a=2，c=．∴椭圆C的方程为=1；（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．∴⊙D的方程为：．令x=0，解得y=±，∴|AB|=，∴S△ABD===．（3）证明：由（1）知：A1（-2，0），A2（2，0），B2（0，1），∴直线A1B2的方程为，由题意，直线A2P的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠，由，解得，．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1-2）=．∴，．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．即=，∴x2=，∴F，．∴EF的斜率m==．∴2m-k=-k=为定值．【解析】（1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得=b，解得b．又离心率e==，b2=a2-c2，联立解得即可得出．（2）把x=代入椭圆方程可得：，可得⊙D的方程为：．令x=0，解得y，可得|AB|，利用S△ABD=即可得出．（3）由（1）知：A1（-2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠，联立解得E．设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．解得P．设F（x2，0），则由P，B2，F 三点共线得，．可得F．即可证明2m-k为定值．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、斜率计算公式、弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n的最小值．【答案】（1）证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n-1=S n-1+n-1，n≥2，两式相减得a n=2a n-1+1，n≥2，即a n+1=2（a n-1+1），n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n-1，n∈N*；（2）解：b n=（2n+1）a n+2n+1=（2n+1）•2n，∴T n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n，∴2T n=3•22+5•23+…+（2n+1）•2n+1，两式相减可得-T n=3•2+2•22+2•23+…+2•2n-（2n+1）•2n+1，∴T n=（2n-1）•2n+1+2∴＞2010可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式＞2010的n的最小值为10．【解析】（1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式＞2010的n的最小值．本题考查等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=-bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）-g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（-1）-2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【答案】解：（1）由已知得f′，（x＞0），所以′，所以a=-2．由f′（1）=g（-1）-2，得a+1=b-2，所以b=1．所以h（x）=-x2+lnx+x，（x＞0）．则′，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．所以h′，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得＜＜；令h′（x）＜0得＞．所以h（x）极大=h（）=-ln（-b）-1＞0，解得＜＜．且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当，时，h（x）有两个零点．②证明：由题意得，即，①×②得．因为x1，x2＞0，所以-b（x1+x2）＞0，所以＞，因为0＜-b＜，所以e-b＞1，所以x1x2＞＞＞e2，所以＞1．【解析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（-1）-2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；（2）①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明．本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及函数的零点存在定理和不等式的证明，培养了学生的运算能力，化归能力，分类讨论的能力，属于难题．21.已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．【答案】解：依题意，NM==，…（4分）由逆矩阵公式得，（NM）-1=，…（8分）所以=，即有a=5，b=-．…（10分）【解析】利用矩阵的乘法，求出MN，（NM）-1，利用变换得到的点的坐标为（8，4），即可求实数a，b的值．本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为psin（θ-）=2．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．【答案】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ-）=2，整理得：ρ（sinθcos-cosθsin）=ρsinθ-ρcosθ=2，即ρsinθ-ρcosθ=4，则直角坐标系中的方程为y-x=4，即x-y+4=0；（2）设P（cosα，3sinα），∴点P到直线l的距离d==≥=2-，则P到直线l的距离的最小值为2-．【解析】（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；（2）设P（cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可．此题考查了简单曲线的极坐标方程，熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是解本题的关键．23.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=-1；若为大于1的分数，则ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【答案】解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以；（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，ξ=-1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故，ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故，∴P（ξ=0）=1-=，∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．【解析】（1）数对（x，y）共有16种，利用列举法求出使为整数的种数，由此能求出概率P（ξ=0）．（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．24.已知（x+2）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2…+a n（x-1）n（n∈N*）．（1）求a0及S n=a i；（2）试比较S n与（n-2）3n+2n2的大小，并说明理由．【答案】解：（1）令x=1，则，令x=2，则，所以S n=a i=4n-3n．（2）要比较S n与（n-2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n-1）3n+2n2的大小．当n=1时，4n＞（n-1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＜（n-1）3n+2n2，当n=4或5时，4n＞（n-1）3n+2n2．猜想：当n≥4时，4n＞（n-1）3n+2n2．下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时结论成立，即4k＞（k-1）3k+2k2，两边同乘以4，得4k+1＞4[（k-1）3k+2k2]=k3k+1+2（k+1）2+[（k-4）3k+6k2-4k-2]，而（k-4）3k+6k2-4k-2=（k-4）3k+6（k2-k-2）+2k+10=（k-4）3k+6（k-2）（k+1）+2k+10＞0，所以4k+1＞[（k+1）-1]3k+1+2（k+1）2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞（n-1）3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，＞；当n=2或3时，4n＜（n-1）3n+2n2，S n ＜（n-2）3n+2n2；当n≥4时，＞．【解析】（1）令x=1，则，再令x=2，则，可得S n=a i的值．（2）要比较S n与（n-2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n-1）3n+2n2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n＞（n-1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＞（n-1）3n+2n2．猜测当n≥4时，4n＞（n-1）3n+2n2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，用数学归纳法、放缩法证明不等式，属于中档题．。

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={-1，0，1}，B=（-∞，0），则A∩B= ______ ．【答案】{-1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B=（-∞，0），∴A∩B={-1}，故答案为：{-1}由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为______ ．【答案】-1【解析】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为-1．故答案为-1．把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1-i．整理后可得复数z的虚部．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为______ ．【答案】12【解析】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．利用方差性质求解．本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是______ ．【答案】9【解析】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．模拟执行程序，即可得出结论．本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______ ．【答案】【解析】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1-=．故答案为：．基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6.已知实数x，y满足＞，则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7.设双曲线＞的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：双曲线＞的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8.设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ______ ．【答案】63【解析】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.将函数的图象向右平移φ（＜＜）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ______ ．【答案】【解析】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x-φ）+]=3sin（2x+-2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=-+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是______ ．【答案】4【解析】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O-EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O-EFG体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.在△ABC中，已知，，则的最大值为______ ．【答案】【解析】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是______ ．【答案】512【解析】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（-，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13.在平面直角坐标系x O y中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x-3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为______ ．【答案】【解析】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y-y0=（x-x0），即为x-y+y0-2=0；圆M：（x-3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0-3）（x-3）+yy0=r2，即有（x0-3）x+yy0+9-3x0-r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3-x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3-x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3-x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由三角形面积公式可得：S=absin C，可得：S2=a2b2（1-cos2C）=a2b2[1-（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8-2c2，∴S2=a2b2[1-（）2]=a2b2[1-（）2]=a2b2-≤-=-+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，-+c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2-，进而利用基本不等式可求S2≤-=-+c，从而利用二次函数的性质可求最值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【答案】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【解析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csin B．（1）求角C；（2）若，求sin A的值．【答案】解：（1）由bsin2C=csin B，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C=sin C sin B，…（2分）因为sin B＞0，sin C＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，，所以，，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[-（B-）]…（12分）=．…（14分）【解析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sin B sin C cos C=sin C sin B，结合sin B＞0，sin C＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B-）的值，由于A=-（B-），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆：（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2-2k2=1时，求k1•k2的值．【答案】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以，又2m2-2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【解析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，由，解得b=h+2r或b=h-2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25-2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y-=-（x-30），即3x+4y-100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h-100＜0，即，从而h=25-2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【解析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25-2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+-3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h （x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【答案】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=或1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x-3）lnx，h′（x）=lnx-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=-1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），∴h（x）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【解析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足，，则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，∴{b3n-1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n-2+b3n-1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设∠，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2-2n-2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2-2n-2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【解析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，⇒{b3n-1}是等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．21.如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【答案】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故∠，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【解析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【答案】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=-4．…（10分）【解析】推导出，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．23.在平面直角坐标系x O y中，已知直线：为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【答案】解：直线：为参数）化为普通方程为4x-3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【解析】直线：为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．24.若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【答案】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．…（10分）【解析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．25.某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【答案】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得～，，，，，，，，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【解析】（1）利用对立事件的概率关系求解；立重复试验，服从二项分布．本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26.设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①k C n k-n C n-1k-1；②k2C n k-n（n-1）C n-2k-2-n C n-1k-1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【答案】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n-1）2n-2+3n（2n-1-1）+（2n-1-n）=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n-1+n（n-1）2n-2+2n2n-1=，即=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）【解析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．令x=1，即可得出．本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

实用文档2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷一．填空题（每题5分，共70分）1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B= ．．a的值为2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数2．a的取值范围是+2x+a≤0是真命题，则实数3．已知命题p：?x∈R，x．的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为3、5、64．从长度为2、）上的数据的5[4，5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间．频数为．则输入的x的值为6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，22xFF为抛物线x到双曲线=8y的焦点，则点中，点7．在平面直角坐标系xOy ．﹣=1的渐近线的距离为﹣2b b≠，a＜0，则a 为实数，已知”“＜”．（填“＞”、或“=）8．a，b且a，的中点，是斜边的等腰直角三角形，DBC是直角边等于9．△ABC4．的终点向量M在△ACD 的取值范围是的内部（不含边界），则．将此数列删去，，a，．已知四数10aa不为依次成等比数列，且公比qa14213实用文档一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣ABCD，F是棱BC的中点，M是线段AF上的11111动点，则△MDD与△MCC的面积和的最小值是．112+ax+b（a，b∈Rx）=﹣）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的12．已知函数f（x不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．13．若对任意的x∈D，均有f（x）≤f（x）≤f（x）成立，则称函数f（x）21为函数f（x）到函数f（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k21﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．．，则x的取值范围是x，y满足x﹣4=214．若实数请在答题卡指定区域内作答，解答时分.90二、解答题：本大题共6小题，共.应写出文字说明、证明过程或演算步骤AOB=）．如图，在平面直角坐标系15xOy上，点A（1，0，点B在单位圆上，∠．θ（0＜θ＜π））的值；），，求tan（θ+）若点（1B（﹣（﹣θ）．，求，+（2）若= =cos．16．如图，六面体AE⊥面ABCABCDBCABCDE中，面⊥面，；1（）求证：AE∥面DBC．AB2（）若⊥AD，求证：CDBD，BC⊥⊥DC实用文档后转向北偏东α角方向的O．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心17现要修筑且∠AOM=β，与市中心O的距离OM=3km，OB，位于该市的某大学M部分为直线段，，铁路在ABOB上设一站A，在上设一站B一条铁路L，L在OA．，，cosβ=AO=15km且经过大学M，其中tanα=2；AM（1）求大学M在站A的距离．AB（2）求铁路AB段的长与以原点y=x+0）的离心率e=，直线b．设椭圆18C：+=1（a＞＞相切．O为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程；）求椭圆（1C，若圆为直径作圆与椭圆2）设直线x=C交于不同的两点M，N，以线段MND （的面积；D与y轴相交于不同的两点AABDB，求△，上除顶点外的任意点，P是椭圆C是椭圆，A）如图，（3A，，BBC的顶点，2112的斜率为，的斜率为P，设于点P交BAFxPB直线交轴于点，直线AEAkEF22221为定值．﹣2m，求证：mk实用文档*．∈N）+n=2a项和为S，且满足S（n19．已知数列{a}的前n nnnn的通项公式；}+1}为等比数列，并求数列{a（1）证明：数列{a nn＞T．求满足不等式{b}的前n项和为+2n+1（2）若b=（2n+1）a，数列nnnn的最小值．n2010的2）x=f（b∈R，设h（x）ax．已知函数f（x）==+lnx，g（x）﹣bx，其中a，20，x）﹣g（）（（﹣1）﹣2．求函数x=）若f（x）在hx）处取得极值，且f′（1=g（1的单调区间；xxh2（）若a=0时，函数（x）有两个不同的零点，21的取值范围；b①求．＞②求证：1：矩阵与变换）选做题[]4-2（选修对对应的变换，）（．已知点Pa，b，先对它作矩阵M=再作N=21），求实数a，b，应的变换，得到的点的坐标为（84的值．][选修：坐标系与参数方程4-4实用文档22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，．（θ﹣）=2若直线l的极坐标方程为psin的极坐标方程化为直角坐标系方程；）把直线l（1的距离的最小值．上一点，求C：P到直线l（2）已知P为椭圆.分分，共计2023题、第24题，每题10【必做题】第的正四面体，其底，4，12，323．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有；y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0x面落于桌面，记所得数字分别为，．1为小于若1的分数，则ξ=﹣1；若为大于的分数，则ξ=1；（1）求概率=0）P（ξ．）求ξ的分布列，并求其数学期望2E（ξ）（nn2．﹣1（﹣x1）+ax﹣）+a…（x1）（n∈N*）（+a）．已知（24x+2=a n120；=及1（）求aSa in02n的大小，并说明理由．n与（）试比较（2S﹣3）+2n2n实用文档2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（每题5分，共70分）1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B= {x|1≤x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A={x|﹣2≤x≤2}，由B中不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}．4 a的值为2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数复数代数形式的乘除运算．【考点】0），然后由复数的实部等于零且虚部不等于Ra，b∈【分析】化简复数为a+bi （的值．求出实数a．【解答】解：=是纯虚数∵复数．∴，解得：a=4．故答案为：42（﹣0+2x+a≤是真命题，则实数a的取值范围是xRx：．已知命题3p?∈，．1] ∞，特称命题．【考点】根据特称命题的等价条件，建立不等式关系即可．【分析】实用文档2是真命题，0+2x+a≤x∈R，x：【解答】解：若命题p?，0﹣4a≥则判别式△=4，1a≤即．1]故答案为：（﹣∞，．、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为4．从长度为2、3、5古典概型及其概率计算公式．【考点】让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概列举出所有情况，【分析】率．的四条线段中任选三条，、6、【解答】解：从长度为23、5种情况，；、5、64、、；23、6；2、56；3、共有2、35，共两种情况，、5、6、能构成三角形的有2、56；3．=所以P（任取三条，能构成三角形）=故答案为：）上的数据的．某个容量为100，5的样本的频率分布直方图如下，则在区间[45．30频数为【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数．解：根据题意，【解答】，1=0.30.05+0.1+0.15+0.415][4在区间，的频率为：﹣（）×实用文档．30而总数为100，因此频数为．30故答案为﹣，则输入的x的值为6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26．4程序框图．【考点】出并输能是计算程图，可得序框图的功行【分析】模拟执程序框2，﹣x2x+2=26的值为的值，当输出的y26时，显然x＜4，有y=的值．即可解得x出并输的功能是计算得执模拟行程序框图，可程序框图解【解答】：的值，y=2，﹣x2x+2=264当输出的y的值为26时，显然x＜，有（舍去）x=64或解得：x=﹣4故答案为：﹣22x=8y的焦点，则点xF到双曲线中，点7．在平面直角坐标系xOyF为抛物线．=1﹣的渐近线的距离为【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．2=8y的焦点F（0，解：抛物线【解答】x2），实用文档，±3x双曲线的渐近线方程为y=的渐近线的距离为到双曲线则F．=d=故答案为：．“＜”或2b﹣．（填“＞”、0．已知a，b为实数，且a≠b，a＜，则a ＜8）=”“不等式比较大小．【考点】作差即可得出大小关系．【分析】，0【解答】解：∵a≠b，a＜，=＜0﹣（∴a2b﹣）．2b﹣∴a＜故答案为：＜．，BC的中点，是斜边ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D9．△，的取值范围是（﹣的内部（不含边界）向量的终点M在△ACD，则2．6）平面向量数量积的运算．【考点】利用向量的坐标运算求则AC【分析】以AB为x轴，为y轴，作图如右图，的取值范围．轴，作图如右图，为yx轴，AC【解答】解：以AB为，）2，2，0）（0A点（0，），B4，0，C（，4）D（．M（1），4m，则4m1=40+m04=则（，）（，）（，），又∵点，＜4m＜，∴的内部（不含边界）ACDM在△13＜m＜实用文档22，6﹣3）=16m＜﹣3，∴﹣2＜16m?则═（1，4m）（﹣3，4m．）（﹣2，6故答案为：．将此数列删去1q不为a，a，a，a依次成等比数列，且公比10．已知四数4123的取值集合是一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q ，{ } ．【考点】等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a，a．设{a}的公差为d，分类讨论，n14即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a，a．设{a}的公差为d，则n142323，2q=a+aq=1+q2a①若删去a，则由2a=a+a得q，即14121312（q﹣1）=（q整理得q﹣1）（q+1）．2=q+1，又q＞0解得q=又q≠1，则可得q；33，整理得q（q﹣1）（q+1）q=a2a②若删去a，则由=a+a得2a+aq2q=1+q，即1111342=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．．q=综上所述，．，}故答案为：{上的FF是线段的中点，是棱BCMA，DCBAABCD1．11已知棱长为的正方体﹣11111．的面积和的最小值是与△MDD动点，则△MCC1 11棱柱的结构特征．【考点】实用文档ABCDF在平面与CC距离和的最小值，由于A【分析】由题意，就是求M到DD111距离和的最小，C中，AF上的点到D上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD值．在平面AF与CC距离和的最小值，由于【解答】解：由题意，就是求M到DD111距离和的，CAF上的点到DABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD 中，∠sin∠ADO=cosO最小值，如图所示，为所求，则由射影定理，可得，DO=，，CDO=，∴CO==11+的面积和的最小值是（∴△=+，MDD与△MCC）11．故答案为：+2的x∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于（12．已知函数fx）=﹣x（+ax+ba，b ．m+1c不等式f（x）＞﹣1的解集为（m﹣4，），则实数c的值为二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【考点】得到方程的根与解集【分析】本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，的值，得到本题结论．c的关系，利用两根之差为定值，求出实数2，b∈R）的值域为（﹣∞，0]x解：∵函数f（）=﹣xa+ax+b（，【解答】，∴△=02，+4b=0∴a．∴b=∵关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），∴方程f（x）=c﹣1的两根分别为：m﹣4，m+1，2+ax=c﹣1两根分别为：m﹣即方程：﹣x4，m+1，实用文档2根为：1=c∵方程：﹣x﹣+ax，，2﹣）﹣（m4）=（m+1∴两根之差为：．﹣c=故答案为：．）（xx）≤f（x）成立，则称函数f（13．若对任意的x∈D，均有fx）≤f（21k（上的“折中函数”．已知函数f（x）=为函数f（x）到函数f（x）在区间D21）在区x）到h（xg）=（x+1）lnx，且f（x）是（=0x﹣1）﹣1，g（x），h（x．，则实数k的值构成的集合是{2} 间[1，2e]上的“折中函数”元素与集合关系的判断．【考点】）两种情况考虑即xh（）≤f（x）及f（x）≤x【分析】在区间[1，2e]上分g（可．上2e]xx+1）lnx在∈[1，x【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）﹣1≤（恒成立．的图象为一条线段，﹣1）x﹣1（当x∈[1，2e]时，函数fx）=（k．k≥2，解得于是，上恒成立．2e]在另一方面，x∈[1，，=令．则，≤2ex≤由于1，所以为增函数，于是函数x﹣lnx，0﹣≥﹣xlnx1ln1＞从而，0）≥′（所以mx上的增函数．，）为x（则函数m[12e]实用文档所以k﹣1≤[m（x）]=m（1）=1，min即k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}．．{0} ，20]∪4=2，则x的取值范围是[414．若实数x，y满足x﹣基本不等式；函数的零点与方程根的关系．【考点】本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变【分析】的取值范围．量x【几何法】【解答】解：方法一：时，解答如下：x＞0当x=0时，解得y=0，符合题意，当，=]，原方程可化为：﹣2t+令t=∈[0，=）=﹣2t+，g（）t，t∈[0，t]，记函数f（为参数，xt的函数，其中这两个函数都是关于，2t）的图象为直线，且斜率为定值﹣f（，）的图象为四分之一圆，半径为为g（t）两图象有公共点，，g（t（问题等价为，在第一象限ft），x=20d=r解得①当直线与圆相切时，由）处时，A②当直线过的点（0，）在圆上的点（0，，x=4=即，解得，20]x因此，要使直线与圆有公共点，∈[4，．[4，{0}20]∪x综合以上分析得，∈【代数法】方法二：，﹣，原方程可化为：，[0]x4t=2令t=∈22，t≥≥0x0﹣﹣因为xy=xt≥，所以22，（4x=08xt+x20t﹣﹣*）两边平方并整理得，，t这是一个关于）有两个正根（含相等）*的一元二次方程，则方程（实用文档．∪{0}[4，20]，解得，x∈，符合题意．y=0x=0特别地，当时，．{0}，20]∪故答案为：[4请在答题卡指定区域内作答，解答时分.二、解答题：本大题共6小题，共90.应写出文字说明、证明过程或演算步骤AOB=在单位圆上，∠0），点B115．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（，．＜θ＜π）θ（0）的值；，），求tan（θ+B（1）若点（﹣（﹣θ），求．==）若（2+，cos平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【考点】）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；【分析】（1）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差2（实用文档公式即可得出．．=﹣，∴sinθ=，，tanθ【解答】解：（1）由点B（﹣，）；=）==﹣∴tan（θ+，=（2）∵+．=（∴sinθ）1+cosθ，，=22+1=θ=cosθ+sin+cos?，∴（cosθ，sinθ）（1+cosθ，sinθ）=cosθθ．0，∵解得cosθ=＜θ＜π，∴=．+∴cos（=﹣θ）==．⊥面ABCABCABCDE16．如图，六面体中，面DBC⊥面，AE；1（）求证：AE∥面DBC．，求证：AD⊥DCCDBCAB2（）若⊥，BD⊥空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【考点】，由此能证明BCD【分析】（1）过点作DO⊥，O为垂足，由已知得⊥面ABCDO．DBCAE∥面．⊥DCADDCABABABDO（2）由已知得⊥，⊥面DBC，从而⊥，由此能证明为垂足．OBCDO）过点D作⊥，1证明：【解答】（，DBCABCDBC因为面⊥面，又面∩面?DO，面DBCABC=BC．所以DOABC⊥面．AE又∥AE，则⊥面ABCDO实用文档又AE?面DBC，DO?面DBC，故AE∥面DBC．（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB?面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC?平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC?面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB?面ABD，则DC⊥面ABD．又AD?面ABD，故可得AD⊥DC．后转向北偏东α角方向的通过市中心O17．如图，某城市有一条公路正西方AO 现要修筑β，，且∠AOM=OM=3，位于该市的某大学M与市中心O的距离kmOB部分为直线段，B，铁路在ABOB在OA上设一站A，在上设一站L一条铁路，L．，AO=15km=2，cosβ=，其中且经过大学Mtanα；的距离AM（1）求大学M在站A．AB（2）求铁路AB段的长正弦定理．【考点】的值；中，利用已知及余弦定理即可解得AM【分析】（1）在△AOM，结MAOβ，由正弦定理可得sin∠sin2（）由cos，且β为锐角，可求，由正弦定sinAO=15∠AOB，结合，∠α，α，，可求α合tan=2sincossinABO的值．理即可解得AB分）【解答】12（本题满分为实用文档，OM=3，β，且cosβ=解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=22222×2×3）由余弦定理可得：AM=OA﹣+OM+15﹣2OA?OM?cos∠AOM=（．=7215×分所以可得：AM=6…AMM在站A的距离为66km，大学，（2，且β为锐角，∴sinβ=）∵cos中，由正弦定理可得：，即=，∴=sin在△AOM，MAO=∠，∴∠MAO=ABO=α﹣，∴∠，，∴=αsin，cos∵tanα=2，）=ABO=sin∴sin∠（．又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=，，即AO=15，由正弦定理可得：=在△AOB中，分…12km30AB，即铁路段的长AB为∴解得AB=30与以原点为a=1（＞b＞，直线e=y=x+0）的离心率：．设椭圆18C +相切．的短半轴长为半径的圆圆心、椭圆CO的方程；）求椭圆C（1，若圆，以线段交于不同的两点CM，NMN为直径作圆D与椭圆）设直线（2x=的面积；B，求△ABD，轴相交于不同的两点D与yA上除顶点外的任意点，C是椭圆的顶点，PC是椭圆B，，A，）如图，（3AB2211的斜率为PB直线交k的斜率为PA，设于点PE交ABA，直线Fx轴于点EF，22122为定值．2m，求证：mk﹣实用文档椭圆的简单性质．【考点】的短半轴长为半径的圆C1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆【分析】（222e=﹣c．又离心率，联立解得即可O相切，可得=b=，b，解得=ab得出．：为方程可椭（2）把x=代入圆方程可得：，得⊙D的=即可得出．，利用S．令x=0，解得y，可得|AB|ABD△的方程，，可得直线），B（0，1）ABAD，）知：（3）由（1A（﹣2，0）A（2，021212，）（Px，yk2P的方程为y=k（x﹣），k≠0，且≠，联立解得E．设A设直线1122222，则0x16k﹣）x+16k．设﹣4=0．解得PF（x，与椭圆方程联立可得（4k）+12为定值．P，B，F．可得F．即可证明2m三点共线得，k﹣由2的短半轴长为半径的）解：∵直线【解答】（1y=x+与以原点为圆心、椭圆C相切，圆O．，化为∴=bb=1222e=．∵离心率，，联立解得b=，=a﹣c=1a=2c=的方程为∴椭圆；C=1代入椭圆方程可得：．y=，解得±x=）解：把2（．D∴⊙的方程为：实用文档，y=±令x=0，解得，∴|AB|=．==∴S=ABD△，）0，1）0），A（2，0，B（1（3）证明：由（）知：A（﹣2，212，AB的方程为∴直线21≠，﹣2）k≠0，且kP，由题意，直线A的方程为y=k（x2．由，解得2222．﹣16k4=0x+16k﹣，则由y），得（4k+1）x，P设（x11．﹣（x2）==k==∴2x，∴x，y1111．∴三点共线得，F．设（x，P，则由，BF，0）22．，∴F=x=即，∴2．m=EF∴的斜率=为定值．∴﹣k=﹣2mk=实用文档*．N）S+n=2a（n∈19．已知数列{a}的前n项和为S，且满足nnnn的通项公式；}为等比数列，并求数列{a（1）证明：数列{a+1}nn＞T．求满足不等式}的前n项和为b=（2n+1）a+2n+1，数列{b（2）若nnnn的最小值．2010的n数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【考点】为等比数列，1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a+1}【分析】（n的通项公式；从而可求数列{a}n的最n的项和为的前nT，代入可求满足不等式2010＞（2）求出数列{b}nn小值．．，∴a=1+1【解答】（1）证明：当n=1时，2a=a111*，2∈，nNn，∴2a=S+n﹣1，≥∵2a=S+n1﹣﹣n1nnn，a+1=2（a+1），n≥22=2a两式相减得a+1，n≥，即1nn﹣nn﹣1为公比的等比数列，22为首项，∴数列{a+1}为以n*nn；，1n∈∴a+1=2，∴a=2N﹣nnn，?2a2（）解：b=（2n+1）+2n+1=（2n+1）nnn2，+…+（?222n+1）?2+5T∴=3?nn+132，2n+1）2?22T∴=3?2+5?++…（nn+132n，）﹣（2n+1?22+2222+2=3T两式相减可得﹣??+2?+…?nn+1+2=∴T?）﹣2n（12n实用文档n+12010＞2∴＞2010可化为1110=204822=1024，∵．的最小值为10＞2010的∴满足不等式n2）（x﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=fax20．已知函数f（x）==+lnx，g（x），）﹣g（x）（x1）﹣2．求函数h=g处取得极值，且f′（x=（1）若f（x）在1）（﹣的单调区间；xh时，函数（x）有两个不同的零点x，2（）若a=021的取值范围；①求b．②求证：＞1利用导数求闭利用导数研究函数的极值；【考点】利用导数研究函数的单调性；区间上函数的最值．，列出关于a=gf（1）（﹣1）﹣2【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合，然后再利用导数研究导数研究单调区间；，bb的方程组，求出a的取值范围，b2（）①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明．，0）（x＞，【解答】解：（1）由已知得f．a=﹣2所以，所以，）﹣2′（由f1）=g（﹣1，2得a+1=b﹣．所以b=12．）x（＞0）所以h（x=﹣x+lnx+x，，）（则，x＞0．xh1x00xh由′（）＞得＜＜，′（）＜1x得0＞实用文档所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．，0）（x＞所以h，）x）在定义域内递增，h（（x）＞0恒成立，此时函数hx当b≥0时，显然h′（至多有一个零点，不合题意．′hx）＞0得；令＞x时，令h′（）=0得x=0，令h′（当b＜0．得0（x）＜（）（﹣）=﹣lnb）﹣1＞0，解得．=h所以h（x极大．00，x→+∞时，lnx＞0且x→时，lnx＜）有两个零点．所以当（x时，h，②证明：由题意得，即．①×②得，因为x，x＞021，+x）＞0x所以﹣b（21，所以，＜﹣b＜因为0b﹣，＞e1所以2，e＞＞x所以x＞21．＞所以1：矩阵与变换）[（选修选做题]4-2对先对它作矩阵）b，（P已知点21．a，再作对应的变换，M=N=实用文档的值．，b），求实数a应的变换，得到的点的坐标为（8，4几种特殊的矩阵变换．【考点】1﹣，8，利用变换得到的点的坐标为（）【分析】利用矩阵的乘法，求出MN，（NM 的值．a，b4），即可求实数，…【解答】解：依题意，NM==1﹣，…）=由逆矩阵公式得，（NM…所以=，即有b=﹣．a=5，]：坐标系与参数方程选修4-4[轴的正半轴重合，．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x22．的极坐标方程为psin（θ﹣）=2若直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（1）把直线l的距离的最小值．lC（2）已知P为椭圆：上一点，求P到直线简单曲线的极坐标方程．【考点】的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；【分析】（1）把直线l的到直线lPα，P（cos3sinα），利用点到直线的距离公式表示出）设（2，利用余弦函数的值域确定出最小值即可．d距离，）=2（θ﹣）直线【解答】解：（1l的极坐标方程为ρsin=2ρ，sinθ﹣cosθρ=sincoscossin整理得：ρ（θ﹣θ），cosθ=4θ﹣ρ即ρsin；则直角坐标系中的方程为yy+4=0﹣x，即﹣x=4，P）设（23sinα，cos（α）实用文档≥=P到直线l的距离d=∴点，=2﹣2的距离的最小值为则P﹣．到直线l.分【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20的正四面体，其底，23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，34；=0．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ面落于桌面，记所得数字分别为x，y．为大于1的分数，则ξ=1﹣若为小于1的分数，则ξ=1；若；P（ξ=0）（1）求概率．（ξ））求ξ的分布列，并求其数学期望E（2离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【考点】为整数的种数，由种，利用列举法求出使x【分析】（1）数对（，y）共有16．）此能求出概率P（ξ=0，分别求出相应的概率，由此能求出ξ）随机变量ξ的所有取值为﹣（21，0，1的分布列和数学期望．816种，其中使为整数的有以下y（1）依题意，数对（x，）共有【解答】解：种：，），2），（，2，1），（31），（4，1，（4，）（，）（1，1，（22），3，3，（44）；所以，，（2）随机变量ξ的所有取值为﹣10，1，），434，24，12种：6（1，），（，3）（1，），（，3）（2，），（有以下﹣ξ=1，故，故，（）3，2，43）（2=1ξ，有以下种：，）（ξ∴P=0=1=﹣∴ξ的分布列为：1﹣ξ01实用文档P．ξ的数学期望为nn2．1））（n∈﹣﹣1）+a（x1）N*…+a（xx+224．已知（）﹣=a+a（x n210；1）求a及S=a（in02n的大小，并说明理由．+2n2）3（2）试比较S与（n﹣n二项式定理的应用；二项式系数的性质．【考点】的值．S=a【分析】（1）令x=1，则，再令x=2，则，可得i n2nnn2检与（n﹣41）3）（2）要比较S与（n﹣23+2n+2n的大小．的大小，只要比较n2nnn2n猜3．+2n（n﹣5时，4n＞（﹣1）31+2n），当n=2或3时，4＞4验可得当n=1或或2nn，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论．3+2n＞（n﹣1时，测当n≥44）n=4=a，令x=2（【解答】解：1）令x=1，则，则，所以S i nn．﹣32nn2n的大小．3+2n）与（n与（（2）要比较Sn﹣2）3﹣+2n的大小，只要比较41n2nn，＞（n﹣1）3当n=1时，4+2n22nnnn．+2n1）5时，43＞（n当n=2或3时，4＜（n﹣1）3﹣+2n，当n=4或2nn．下面用数学归纳法证明：3+2n＞（n﹣1）4猜想：当n≥4时，时，结论成立．①由上述过程可知，当n=42kk*，+2k1）k②假设当n=k（k≥4，∈N3）时结论成立，即4k＞（﹣22k+1k2kk+14k+2（k+1）+[（k]=k3﹣4）3+6k﹣1，得两边同乘以444[＞（k﹣）3+2k，2]﹣kkk22﹣+6（k3k2﹣4﹣）3+6k﹣﹣4k2=（k4）3+6（k﹣k﹣）+2k+10=（﹣4）k而（，0＞（2）k+1）+2k+102k+1k+1，（+2k+1[＞（）﹣1]3k+1）所以4时结论也成立．n=k+1即2nn成立．31n时，≥由①②可知，当n44＞（﹣）+2n实用文档nn2，31n时，或；当n=1综上所述，当时，n=234＜（﹣）+2n2n；S+2n）﹣n＜（23 n．≥n当4时，实用文档2017年3月9日。

江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合A={T,0,l},3=(-8,0),则A B=.2.设复数z满足(l+i)z=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为.3.已知样本数据X,,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2X],2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.开始)—95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.x>06.己知实数X,，满足<x+y<7,则/的最小值是.x+2<2y X7.设双曲线二-》2=1怎>0)的一条渐近线的倾斜角为30。

，则该双曲线的离心率为.a8.设{%}是等差数列，若a4+a5+a6=21,则S9=.9.将函数y=3sin(2x+：)的图象向右平移^(0<^<|)个单位后，所得函数为偶函数，则"10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为。

，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是.11.在/XABC中，己知AB=也,C=|,则CA C3的最大值为.12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线>=季3+1)上从左向右依次取点A*侦，k=l,2,…,其中A是坐标原点，使aa,b,4+1都是等边三角形，则AAoSwAi的边长是.13.在平面直角坐标系xQy中，已知点P为函数y=21nr的图象与圆M:(X-3)2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=/W的图象经过点。

，P,M,则y=fM的最大值为.14.在中，A、B、。

所对的边分别为a、b、c,若a2+b2+2c2=8,则ZVIBC面积的最大值为.二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15.如图，在直三棱柱A3C-A0G中，BC±AC,D,E分别是A3,AC的中点.(1)求证：B\CJ/平面A.DE；(2)求证：平面A.DE1.平面ACC,4.16.在AA3C中，a,b,c分别为内角*,B,。

2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=．2．（3分）已知复数z=（a∈R），i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20），[20，30）…[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为．6．（3分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是．7．（3分）若函数是偶函数，则实数a的值为．8．（3分）立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，则四棱锥P ﹣AA1C1C的体积为．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2，若•=﹣3，则•=．10．（3分）集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为．11．（3分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=4，若对于任意的n ∈N*，都有1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是．12．（3分）在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC 的值为．13．（3分）设直线l与曲线C1：y=e x和曲线C2：y=﹣均相切，切点分别为A （x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=．14．（3分）函数f（x）=其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题15．已知△ABC是锐角三角形，向量=（cos（A+），sin（A+）），=（cosB，sinB），且⊥．（Ⅰ）求A﹣B的值；（Ⅱ）若cosB=，AC=8，求BC的长．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，①求椭圆的方程；‚②设P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS 与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，=2，求椭圆离心率的取值范围．19．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．20．记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a 1=1，对任意的n∈N*，n≥2，均有，，是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=a（a＞0），求证：≤．附加题21．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y是奇数的概率；（2）求Y的概率分布和数学期望．22．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；（Ⅲ）若a n=72，求n的最小值．2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B={1，2} ．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故答案为：{1，2}2．（3分）已知复数z=（a∈R），i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（0，+∞）．【解答】解：∵复数z==在复平面上对应的点在第四象限，∴﹣a＜0，即a＞0，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k＜4，S=1，k=2满足条件k＜4，S=1+2，k=3满足条件k＜4，S=1+2+3，k=4不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为：1+2+3=6．故答案为：6．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．【解答】解：所有可能的结果是：=6，当2是底数时，真数可以是3，4，当3是底数时，真数可以是4，共有3种可能，故满足条件的概率p==，故答案为：．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20），[20，30）…[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为2．【解答】解：由频率分布直方图得：采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为：=2．故答案为：2．6．（3分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是3．【解答】解：由双曲线得a2=16，b2=9，∴=5．取焦点F（5，0），其渐近线y=±．∴焦点F（5，0）到渐近线的距离d==3．故答案为3．7．（3分）若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．（3分）立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，则四棱锥P ﹣AA1C1C的体积为27．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，∴=AC×AA 1==9，AC⊥BO，AA1⊥BO，∵AC∩AA1=A，∴BO⊥平面ACC1A1，∴点P到平面ACC1A1的距离为：BO==，∴四棱锥P﹣AA1C1C的体积：V===27．故答案为：27．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2，若•=﹣3，则•=．【解答】解：设∠DAB=θ，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣θ∵=2，∴•=（﹣）（﹣），=（﹣）（﹣），=||2﹣•﹣•+•，=||2﹣||•||cosθ﹣||•||cos（180°﹣θ）+||•||cos180°，=×32﹣3×4cosθ+2×3cosθ﹣2×4=﹣2﹣8cosθ=﹣3，∴cosθ=，∴•=||•||cosθ=3×4×=，故答案为：10．（3分）集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．【解答】解：设直线l∈L，其方程为：y=kx+b，联立，解得x=．则=k，化为b=k﹣k2．点P（﹣1，2）到直线l的距离d===≥2，当且仅当k=0时取等号．当k=0时，b=0，此时直线l的方程为：y=0，此时（﹣1，2）与集合L中的直线：y=0的最小距离为r=2，∴以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=4．11．（3分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=4，若对于任意的n ∈N*，都有1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是[2，3] ．【解答】解：由a n=4，得S n=a1+a2+…+a n=4n+[1﹣+﹣…+]=4n+=4n+．∴S n﹣4n=＞0，则由1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，得．当n=1时，的最大值为，即，解得x≥2，当n=2时，的最小值为2，即，解得x≤3．∴实数x的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．12．（3分）在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC 的值为196．【解答】解：∵cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA=13sinBsinC①，cosA=13cosBcosC ②，得：tanA=tanBtanC，∵cosA=13cosBcosC，且cosA=﹣cos（B+C）=sinAsinB﹣cosAcosB，∴sinAsinB=14cosAcosB，∴tanBtanC=14，∵tanB+tanC=tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=﹣tanA（1﹣tanBtanC）=﹣tanA+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196．故答案为：196．13．（3分）设直线l与曲线C1：y=e x和曲线C2：y=﹣均相切，切点分别为A （x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣e2．【解答】解：对C 1：y=e x和曲线C2：y=﹣求导．y′=e x，y′=．∴=．另一方面：==．可得：x1=x2+2．又，．∴y1y2==﹣=﹣e2．故答案为：﹣e2．14．（3分）函数f（x）=其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=其中t＞0，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值t3，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t=x=，故，t3﹣t﹣1=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题15．已知△ABC是锐角三角形，向量=（cos（A+），sin（A+）），=（cosB，sinB），且⊥．（Ⅰ）求A﹣B的值；（Ⅱ）若cosB=，AC=8，求BC的长．【解答】解：（1）∵，∴，，∴，∴，即；（2）∵，，∴，∴，=，由正弦定理，得．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，①求椭圆的方程；‚②设P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS 与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，=2，求椭圆离心率的取值范围．【解答】解：（1）①∵•椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆的方程为=1．②P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C：=1的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y轴和x轴相交于点M，N，∴R（2，0），S（0，1），∴直线PR：，即x﹣6y﹣2=0，∴M（0，﹣），直线PS：，即（）x﹣2y+2=0，∴N（2﹣4，0），∴直线MN的方程为：，即y=﹣．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），∵，∴．根据题意，解得，连SD，延长交椭圆于点Q．直线SD的方程为x+y﹣b=0，代入椭圆方程解得Q点的横坐标，所以，，即a4﹣4a2b2+3b4＜0，解得b2＜a2＜3b2，即a2＜3（a2﹣c2），∴＜，．∴椭圆离心率e的取值范围为（0，）．19．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb∴h′（x）=lnx+1﹣lnb由h′（x）＞0得x＞，∴h（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．…（4分）（2）由＜得＜7 …（5分）（i）当≤≤，即≤≤时，h（x）min=h（）=﹣+a由﹣+a≤0得≥e，∴e≤≤…（7分）（ii）当＜时，a＞∴h（x）在[，]上单调递增．h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a≥（ln﹣lnb）+a=＞=b＞0∴不成立…（9分）（iii）当＞，即＞时，a＜bh（x）在[，]上单调递减．h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a＜（ln lnb）+a=＜=＜0∴当＞时恒成立…（11分）综上所述，e≤＜7 …（12分）20．记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a 1=1，对任意的n∈N*，n≥2，均有，，是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=a（a＞0），求证：≤．【解答】（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则S n=na1+d，从而=a1+d，∴当n≥2时，﹣=（a1+d）﹣（a1+d）=．即数列{}是等差数列；（2）解：∵对任意的n∈N*，n≥2，，，都是公差为1的等差数列，∴{}是公差为1的等差数列，又a 1=1，∴．=n2．∴=+（n﹣1）×1=n，则S∴=，显然，k=1，2满足条件，k=3不满足条件；当k≥4时，∵k2﹣3k﹣2=k（k﹣3）﹣2≥4（4﹣3）﹣2=2＞0，∴0＜＜1，∴1，不是整数．综上所述，正整数k的取值集合为{1，2}；（3）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=a=，∴==a d，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记公比为q（q＞0）．以下证明：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k=1+n ．∵（b 1+b n ）﹣（b p +b k ）=b 1+b 1q n ﹣1﹣b 1q p ﹣1﹣b 1q k ﹣1=b 1（q p ﹣1﹣1）（q k ﹣1﹣1）． 当q ＞1时，∵y=q x 为增函数，p ﹣1≥0，k ﹣1≥0，∴q p ﹣1﹣1≥0，q k ﹣1﹣1≥0，则b 1+b n ≥b p +b k ．当q=1时，b 1+b n =b p +b k ．当0＜q ＜1时，∵y=q x 为减函数，p ﹣1≥0，k ﹣1≥0，∴q p ﹣1﹣1≤0，q k ﹣1﹣1≤0，则b 1+b n ≥b p +b k ．综上，b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k=1+n ．∴n （b 1+b n ）=（b 1+b n ）+（b 1+b n ）+…+（b 1+b n ）≥（b 1+b n ）+（b 2+b n ﹣1）+（b 3+b n ﹣2）+…+（b n +b 1）=（b 1+b 2+…+b n ）+（b n +b n ﹣1+…+b 1）， 即≤．附加题21．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“Y 是奇数”为事件A ．能组成的三位数的个数为48，Y 是奇数的个数为28．所以 ．答：Y 是奇数的概率为． （2）Y 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．∴当Y=3时，组成的三位数只能是0，1，2三个数字组成，P （Y=3）===；同理可得：P （Y=4）==；P （Y=5）=×2=；P （Y=6）=+==；P（Y=7）=+=；P（Y=8）==；P（Y=9）=．可得分布列：∴EY=+4×+5×+6×+7×+8×+9×=．22．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；（Ⅲ）若a n=72，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．因为不存在a i，a j∈{1，3，4，7}，使得3=a i+a j．所以{1，3，4，7}不具有性质P．（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，a n}具有性质P，所以对a4而言，存在a i，a j∈{a1，a2，…，a n}，使得a4=a i+a j又因为1=a1＜a2＜a3＜a4…＜a n，n≥4所以a i，a j≤a3，所以a4=a i+a j≤2a3．同理可得a3≤2a2，a2≤2a1将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）所以a4≤2a1+a2+a3．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72所以n≥8构造数集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），经检验A具有性质P，故n的最小值为8．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．3. 已知样本数据，，，，的方差，则样本数据，，，，的方差为______．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．5. 在数字，，，中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______．6. 已知实数，满足则的最小值是______．7. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为______．8. 设是等差数列，若，则 ______．9. 将函数的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则______．10. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是______．11. 在中，已知，，则的最大值为______．12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是______．13. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，，，则的最大值为______．14. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值为 ______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．16. 在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值．17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，为弦的中点，，，记直线，的斜率分别为，，当时，求的值．18. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足．（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大?（注：计算中取）19. 设函数，．（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）．20. 若存在常数，，，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数，，分别叫做段长、段比、段差、设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为，，，．①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．21. 如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，，分别交半圆于点，．若，，，求的长．22. 设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）．现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点，求弦的长．24. 若实数，，满足，求的最小值．25. 某年级星期一至星期五每天下午排节课，每天下午随机选择节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为，求的概率分布表与数学期望．26. 设，，．（1）求值：①；②；（2）化简：．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别是，的中点，所以，又因为在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以．又，，所以，又平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．16. （1）由，根据正弦定理，得，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以．又，即，所以17. （1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）设，，，联立消去，得，所以，又，所以，所以，，则．18. （1）如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，则由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得米米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得．所以截面积当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长恰为米，则此时点为，设过点的上述太阳光线为，则所在直线方程为，即．由直线与半圆相切，得．而点在直线的下方，则，即，从而．又当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．19. （1）当时，，可得或，，可得或，所以或；（2），①，，函数的单调递增区间是；②，，函数的单调递增区间是；③，，函数的单调递增区间是；④，，函数的单调递增区间是；⑤，，函数的单调递增区间是；（3），，，恒成立，所以在上单调递增，所以存在，，即，在上单调递减，上单调递增，所以，因为，，所以，所以，所以存在的最小值，使得关于的不等式有解．20. （1）①方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以，方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，，，，，，，，所以当时，是周期为的周期数列．所以．②方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以所以是以为首项、为公差的等差数列，又因为，所以因为，所以，设，则，又，当时，，；当时，，，所以，所以，所以，得．方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以是首项为、公差为的等差数列，所以，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，所以，所以，以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，，②若，则，则为常数，则，为偶数，，，经检验，满足条件的的通项公式为或．方法二：设的段长、段比、段差分别为，，，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或则或，经检验均合题意．②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．21. 由切割线定理得：，则，解得，又因为是半圆的直径，故，则在三角形中有．22. 因为矩阵的一个特征值对应的特征向量为，所以解得，．23. 直线（为参数）化为普通方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为，所以．24. 由柯西不等式，得，即，又因为，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．25. （1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（2）由题意得，所以的概率分布表为：所以，的数学期望为．26. （1）①②（2）方法一：由（1）可知当时故方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得两边对求导，得两边再同乘以，得两边再对求导，得令，得即第11页（共11 页）。

2017年南京盐城高三一模数学密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加)南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学(总分160分，考试时间120分钟) 参考公式：锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面积，h为高；柱体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h 为高．样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n∑ni＝1(x i6. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0x ＋y ≤7x ＋2≤2y，则y x 的最小值是________．7. 设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．8. 设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.9. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．10. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．11. 在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA→·CB →的最大值为________.12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k 、B k ，k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.14. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________.二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点.(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；(2) 求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B.(1) 求角C ；(2) 若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的焦点.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 设直线l：y＝kx＋m交椭圆E于P，Q 两点，T为弦PQ的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2－2k2＝1时，求k1·k2的值.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ＝34.(1) 若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？(2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋a－1x－3(a∈R).(1) 当a＝2时，解关于x的方程g(e x)＝0(其中e为自然对数的底数)；(2) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间；(3) 当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)20. (本小题满分16分)若存在常数k (k ∈N *，k ≥2)、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋d ，n k N *，qa n ， n k∈N *， 则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．(1) 若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当q ＝0时，求b 2 016；②当q ＝1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式S 3n ≤λ·3n －1对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2)设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由.密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学附加题第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】(在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．)A. (选修4—1：几何证明选讲)如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O 外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C.若AD ＝2，PD＝4，PC＝3，求BD的长.B. (选修4—2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22 －3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，求m 与λ的值．C. (选修4—4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t y ＝45t (t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．D. (选修4—5：不等式选讲)若实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【必做题】(第22、23题，每小题10分，计20分．)22. (本小题满分10分)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1) 求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X)．23. (本小题满分10分) 设n∈N*，n≥3，k∈N*.(1) 求值：①k C k n－n C k－1n－1；②k2C k n－n(n－1)C k－2n－2－n C k－1n－1(k≥2)；(2) 化简：12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n.密封线(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学参考答案第页(共4页)(南京，盐城市)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)(南京，盐城市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. {－1}2. 13. 124. 95. 56 6.347. 2338. 639.5π1210. 411.3212.51213. 9814.255二、解答：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 证明：(1) 因为D，E分别是AB，AC 的中点，所以DE∥BC，(2分)又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1⊥∥BC，所以B1C1∥DE.(4分)又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE底面ABC ，所以CC 1⊥DE.(8分) 又BC ⊥AC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，(10分) 又CC 1，AC平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC ＝C ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.(12分) 又DE 平面A 1DE ，所以平面A 1DE ⊥平面ACC 1A.(14分)(注：第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面ACC 1A 1，类似给分)16. 解：(1) 由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，(2分)因为sin B>0，sin C>0，所以cos C ＝12，(4分) 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.(8分) 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin [π3－(B －π3)]＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3(12分) ＝32×45－12×35＝43－310.(14分) 17. 解：(1) 因为0<b<2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分)所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分) (2) 方法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， 又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ， 所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k·k m ＝12m，(10分) 则k 1·k 2＝ 12m －k m ＋1· 12m －k m－1＝14k 2－4m 2＝1－2（2m 2－2k 2）＝－12.(14分) 方法二：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差，得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y1＋y2）（y1－y2）2＝0，又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以x0（x1－x2）2＋y0(y1－y2)＝0，所以x02＋y0（y1－y2）x1－x2＝0，又点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线y＝kx＋m上，所以y1－y2x1－x2＝k，所以x0＋2ky0＝0，①又点T(x0，y0)在直线y＝kx＋m上，所以y0＝kx0＋m，②由①②可得x0＝－2km1＋2k2，y0＝m1＋2k2.(10分)以下同方法一．18. 解：如图所示，以点A为坐标原点，AB 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．(1) 因为AB＝18，AD＝6，所以半圆的圆心为H(9，6)，半径r ＝9.设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，(2分) 则由|27＋24－4b|32＋42＝9， 解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24，(5分)令x ＝30，得EG ＝1.5米<2.5米． 所以此时能保证上述采光要求．(7分) (2) 设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r ，h)，半径为r.方法一：设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，由|3r ＋4h －4b|32＋42＝r ， 解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －2r(舍)．(9分)故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ，令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52，得h ≤25－2r.(11分)所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30，2.5)，设过点G 的上述太阳光线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即3x ＋4y －100＝0，(10分)由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝|3r＋4h－100|5.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100<0，即r＝－3r＋4h－1005，从而h＝25－2r.(13分)又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)19. 解：(1) 当a＝2时，方程g(e x)＝0即为2e x＋1e x－3＝0，去分母，得2(e x)2－3e x＋1＝0，解得e x＝1或e x＝12，(2分)故所求方程的根为x＝0或x＝－ln2.(4分)(2) 因为φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x ＋ax ＋a －1x －3(x>0)，所以φ′(x)＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x －（a －1）x 2＝[ax －（a －1）]（x ＋1）x 2(x>0)，(6分)①当a ＝0时，由φ′(x)>0，解得x>0； ②当a>1时，由φ′(x)>0，解得x>a －1a ；③当0<a<1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ④当a ＝1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ⑤当a<0时，由φ′(x)>0，解得0<x<a －1a .综上所述，当a<0时，φ(x)的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ；当0≤a ≤1时，φ(x)的增区间为(0，＋∞)；当a>1时，φ(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.(10分)(3) 方法一：当a ＝1时，g(x)＝x －3，h(x)＝(x －3)ln x ，所以h′(x)＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝ln32＋1－2<0，h ′(2)＝ln 2＋1－32>0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2，使得h′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，(12分)当x ∈(0，x 0)时，h ′(x)<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x)>0，所以h(x)min ＝h(x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x 0－1＝－（x 0－3）2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋9x 0， 记函数r(x)＝6－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋9x ，则r(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，2上单调递增，(14分)所以r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32<h(x 0)<r(2)，即h(x 0)∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分)方法二：当a ＝1时，g(x)＝x －3，所以h(x)＝(x －3)ln x ，由h(1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h(x)有解，(12分)下证：当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立，即证(x －2)ln x>－2恒成立．显然当x ∈(0，1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立，只需证明当x ∈(1，3)时，(x －3)ln x>－2恒成立．即证明ln x ＋2x －3<0.令m(x)＝ln x ＋2x －3，所以m′(x)＝1x －2（x －3）2＝x 2－8x ＋9x （x －3）2，由m ′(x)＝0，得x ＝4－7，(14分)当x ∈(1，4－7)，m ′(x)>0；当x ∈(4－7，3)，m′(x)<0；所以m max (x)＝m(4－7)＝ln (4－7)－7＋13<ln(4－2)－2＋13＝ln2－1<0.所以当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分)20. (1) ①方法一：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2 014＝0×b2 013＝0，∴b2 015＝b2 014＋3＝3，∴b2 016＝b2 015＋3＝6.(3分)方法二：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2 016＝b6＝6.(3分)②方法一：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n＋2－b3n－1＝(b3n＋1＋d)－b3n－1＝(qb3n＋d)－b3n－1＝[q(b3n－1＋d)＋d]－b3n－1＝2d＝6，∴{b3n－1}是以b2＝4为首项、6为公差的等差数列，又∵ b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n ＝(b 3n －1－d)＋b 3n －1＋(b 3n －1＋d)＝3b 3n －1，∴ S 3n ＝(b 1＋b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6)＋…＋(b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n )＝3(b 2＋b 5＋…＋b 3n －1)＝3[4n ＋n （n －1）2×6]＝9n 2＋3n ，(6分)∵ S 3n ≤λ·3n －1，∴ S 3n 3n －1≤λ，设c n ＝S 3n3n －1，则λ≥(c n )max ，又c n ＋1－c n ＝9（n ＋1）2＋3（n ＋1）3n－9n 2＋3n 3n －1＝－2（3n 2－2n －2）3nn －1， 当n ＝1时，3n 2－2n －2<0，c 1<c 2；当n ≥2时，3n 2－2n －2>0，c n ＋1<c n ，∴ c 1<c 2>c 3>…，∴ (c n )max ＝c 2＝14， (9分)∴ λ≥14，得λ∈[14，＋∞)．(10分) 方法二：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴ b 3n ＋1＝b 3n ，b 3n ＋3－b 3n ＝b 3n ＋3－b 3n ＋1＝2d＝6，∴{b3n}是首项为b3＝7、公差为6的等差数列，∴b3＋b6＋…＋b3n＝7n＋n（n－1）2×6＝3n2＋4n，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1，公差为3的等差数列，∴b1＋b2＋b4＋b5＋…＋b3n－2＋b3n－1＝2n×1＋2n（2n－1）2×3＝6n2－n，∴S3n＝(3n2＋4n)＋(6n2－n)＝9n2＋3n，(6分)以下同方法一．(2) 方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为b k＋1b k＝q，由等比数列的通项公式有b n＝bq n－1，当m∈N*时，b km＋2－b km＋1＝d，即bq km＋1－bq km＝bq km(q－1)＝d恒成立，(12分)①若q＝1，则d＝0，b n＝b；②若q ≠1，则q km＝d（q －1）b，则q km 为常数，则q ＝－1，k 为偶数，d ＝－2b ，b n ＝(－1)n－1b ；经检验，满足条件的{b n }的通项公式为b n ＝b或b n ＝(－1)n －1b .(16分)方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若k ＝2，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝(b ＋d )q ，b 4＝(b ＋d )q ＋d ，由b 1b 3＝b 22，得b ＋d ＝bq ；由b 2b 4＝b 23，得(b ＋d )q 2＝(b ＋d )q ＋d ，联立两式，得⎩⎨⎧d ＝0，q ＝1或⎩⎨⎧d ＝－2b ，q ＝－1，则b n ＝b或b n ＝(－1)n －1b ，经检验均合题意．(13分)②若k ≥3，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝b ＋2d ，由b 1b 3＝b 22，得(b ＋d )2＝b (b ＋2d )，得d ＝0，则b n ＝b ，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{b n }的通项公式为b n＝b 或b n ＝(－1)n －1b .(16分)附加题21. A. 解：由切割线定理得：PD ·PA ＝PC ·PB ，则4×(2＋4)＝3×(3＋BC )，解得BC ＝5，(4分)又因为AB 是半圆O 的直径，故∠ADB ＝π2.(6分) 则在三角形PDB 中有BD ＝PB 2－PD 2＝64－16＝4 3.(10分)B. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，(4分)则⎩⎨⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，(8分) 解得m ＝0，λ＝－4.(10分)C. 解：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，(2分)圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，(4分)则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋（－3）2＝45，(6分) 所以AB ＝21－d 2＝65.(10分)D. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋z )2≤(12＋22＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)，即x ＋2y ＋z ≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2，(5分)又因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号．综上，(x 2＋y 2＋z 2)min ＝16.(10分)22. 解：(1) 这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(4分)(2) 由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.(6分) 所以X 的概率分布表为：X 0 1 2 3 4 5P 32243802438024340243102431243(8分)所以，X的数学期望为E(X)＝5×13＝53.(10分)23. 解：(1) k C k n－n C k－1n－1＝k×n！k！（n－k）！－n×（n－1）！（k－1）！（n－k）！＝n！（k－1）！（n－k）！－n！（k－1）！（n－k）！＝0.(2分)②k2C k n－n(n－1)C k－2n－2－n C k－1n－1＝k2×n！k！（n－k）！－n(n－1)×（n－2）！（k－2）！（n－k）！－n×（n－1）！（k－1）！（n－k）！＝k ×n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －2）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －2）！（n －k ）！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(4分)(2) 方法一：由(1)可知当k ≥2时(k ＋1)2C kn ＝(k2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C k n ＝[n(n －1)·C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C k n ＝n(n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C k n .(6分)故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C n n ＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n(n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n(C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n)＝(1＋4n)＋n(n －1)2n －2＋3n(2n －1－1)＋(2n －1－n)＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(10分)方法二：当n ≥3时，由二项式定理，有(1＋x)n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n ，两边同乘以x ，得(1＋x)n x ＝x ＋C 1n x 2＋C 2n x 3＋…＋C k n x k ＋1＋C n n x n ＋1，两边对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＝1＋2C1n x＋3C2n x2＋…＋(k＋1)C k n x k＋…＋(n＋1)C n n x n，(6分)两边再同乘以x，得(1＋x)n x＋n(1＋x)n－1x2＝x＋2C1n x2＋3C2n x3＋…＋(k＋1)C k n x k＋1＋…＋(n＋1)C n n x n＋1，两边再对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＋n(n－1)(1＋x)n－2x2＋2n(1＋x)n－1x＝1＋22C1n x＋32C3n x2＋…＋(k＋1)2C k n x k＋…＋(n＋1)2C n n x n.(8分)令x＝1，得2n＋n2n－1＋n(n－1)2n－2＋2n2n－1＝1＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n，即12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n＝2n－2(n2＋5n＋4)．(10分)。