2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷 有答案

上海市奉贤区高考数学一模试卷（理科）一、解答题详细信息1.难度：中等不等式的解集是（用区间表示）．详细信息2.难度：中等函数y=cos22x-sin22x的最小正周期是．详细信息3.难度：中等过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为．详细信息4.难度：中等集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是．详细信息5.难度：中等设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是．详细信息6.难度：中等设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．详细信息7.难度：中等已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q= ．详细信息8.难度：中等函数y=lg（x2+1），x≥0的反函数是．详细信息9.难度：中等若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．详细信息10.难度：中等函数的单调递增区间．详细信息11.难度：中等如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．详细信息12.难度：中等有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m2-2）=-2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．．详细信息13.难度：中等对于数列{an}，如果存在最小的一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数恒有an+T =an成立，则称数列{an}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N*），数列前m，T，r项的和分别记为Sm ，ST，Sr，则Sm，ST，Sr三者的关系式．详细信息14.难度：中等设函数，则方程有个实数根．二、选择题详细信息15.难度：中等复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限详细信息16.难度：中等若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．C．D．详细信息17.难度：中等下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x-1B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=ln详细信息18.难度：中等将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（）A．0个B．2个C．4个D．1个三、解答题详细信息19.难度：中等已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．详细信息20.难度：中等关于x的不等式的解集为（-1，2）．（1）求实数m的值；（2）若实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，求n．详细信息21.难度：中等已知直角坐标平面内点F1（-2，0），F2（2，0），一曲线C经过点P，且．（1）求曲线C的方程；（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．详细信息22.难度：中等函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点Pk （ak，bk），最低点Qk（ck，dk）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点Pk在某条直线L上．（3）求证：点Qk到（2）中的直线L的距离是一个定值．详细信息23.难度：中等出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程；（3）点A（1，3）、B（6，9），写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．（说明所给图形小正方形的单位是1）详细信息24.难度：中等正数列{an }的前n项和Sn满足：rSn=anan+1-1，a1=a＞0，常数r∈N．（1）求证：an+2-an是一个定值；（2）若数列{an}是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列{an }是一个有理数等差数列，求Sn．。

6 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 5、4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}，集合 B = {3, 4,5}，则 AB =2. 若排列数P m= 6 ⨯ 5 ⨯ 4 ，则m =3. 不等式x -1> 1 的解集为 x4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于5. 已知复数 z 满足 z + 3= 0 ，则| z | =z 6. 设双曲线 x 9- y2 b 2 = 1 (b > 0) 的焦点为 F 1 、 F 2， P 为该双曲线上的一点，若| PF 1 | = 5 ，则| PF 2 | =7. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1 的坐标为(4,3, 2) ，则 AC 1 的坐标为- ⎧⎪3x -1, x ≤ 08. 定义在(0, +∞) 上的函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 1(x ) ，若 g (x ) = ⎨ ⎪⎩ f (x ), 为 x > 0奇函数，则 f -1(x ) = 2 的解为119. 已知四个函数：① y = -x ；② y =- ；③ xy = x 3 ；④ y = x 2 . 从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{a } 和{b } ，其中a = n 2 ， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数，若对于nnnn任意n ∈ N * ，{b } 的第a 项等于{a } 的第b 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =nnnnlg(b 1b 2b 3b 4 )2⎨2x + 3y = 4 n n 211. 设a 、 a ∈ R ，且1+1= 2 ，则| 10π - α - α |的最小值等于122 + sin α2 + sin(2α ) 121212. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合Ω = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“#”的点分布在l P 的两侧. 用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“#”的点到l P 的距离之和. 若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P ) = D 2 (l P ) ，则Ω 中 所有这样的 P 为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组⎧x + 5y = 0 ⎩的系数行列式 D 为（ ）0 5 1 0 A.B. 4 32 4 1 5 6 0 C. D.2 35 414. 在数列{a } 中， a = (- 1)n ， n ∈ N * ，则lim a （）n n2n →∞ n A. 等于- 1 2 B. 等于 0 C. 等于 12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x } 的通项 x = an 2+ bn + c ，n ∈ N * ，则“存在k ∈ N * ，使得 x 100+ k 、 x 200+ k 、 x 300+ k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0x 2y 2 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1 : 36 + 4= 1 和C : x 2 + y 9 = 1 . P 为C 1 上的动 点，Q 为C 2 上的动点， w 是OP ⋅ OQ 的最大值. 记Ω = {(P ,Q ) | P 在C 1 上，Q 在C 2 上，且OP ⋅ OQ = w }，则Ω 中元素个数为（） A. 2 个B. 4 个C. 8 个D. 无穷个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5.（1） 求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 设 M 是 BC 中点，求直线 A 1M与平面 ABC 所成角的大小.219 2 ⎪⎩ny18. 已知函数 f (x ) = cos 2 x - sin 2 x + 1， x ∈ (0,π ) .2（1） 求 f (x ) 的单调递增区间；（2） 设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边a = ，角 B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），nn⎧⎪5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中a n = ⎨-10n + 470, ， b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的 n ≥ 4 累计投放量与累计损失量的差.（1） 求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2） 已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2 + 8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ : x 2 + 24= 1 ， A 为Γ 的上顶点， P 为Γ 上异于 上、下顶点的动点， M 为 x 正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且| OP | = ，求 P 的坐标；8 3 P ( , ) 5 5，若以 A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3） 若| MA | = | MP | ，直线 AQ 与Γ 交于另一点 C ，且 AQ = 2 A C ， PQ = 4PM ，求直线 AQ 的方程.21. 设定义在 R 上的函数 f (x 1) ≤ f (x 2 ) .f (x ) 满足： 对于任意的 x 1 、 x 2 ∈ R ，当 x 1 < x 2 时， 都有（2）设（1）若f (x) =ax3+1，求a 的取值范围；（2）若f (x) 为周期函数，证明：f (x) 是常值函数；（3）设f (x) 恒大于零，g(x) 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x) 的最大值.函数h(x) =f (x)g(x) .证明：“h(x) 是周期函数”的充要条件是“ f (x) 是常值函数”.6 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知集合 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ,则 AB = .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】{3, 4}2. 若排列数P m = 6⨯ 5⨯ 4 ,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3x -1 3. 不等式x> 1的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】(-∞,0)4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，4π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ,3所以 S = π R 2 = 9π ，属于基础题【答案】9π5. 已知复数 z 满足 z +3 = 0 ，则 z = .z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， z + 3= 0 ⇒ z 2 = -3 设 z = a + bi ，z则 a 2- b 2+ 2abi = -3 ⇒ a = 0, b = ± 3i ,z =，属于基础题【答案】6. 设双曲线x - y 29 b 2= 1(b > 0) 的焦点为 F 1、F 2 , P 为该双曲线上的一点.若 PF 1= 5 ,则 a 2 + b 2 34 PF 2 = .【 解 析 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质 ，PF 1 - PF 2 = 2a = 6 （ 舍 ），PF 2 - PF 1 = 2a = 6 ⇒ PF 2 = 11【答案】117. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 DB 1 的坐标为(4, 3, 2) ,则 AC 1 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得 A (4，0，0)，C 1(0，3, 2) ⇒ AC 1 = (-4，3，2) ,属于基础题 【答案】(-4，3，2)8. 定义在(0, +∞) 上的函数 y =数，则 f -1(x )=2 的解为.⎧3x -1, x ≤ 0, f (x ) 的反函数 y = f -1(x ) .若 g (x ) = ⎨ ⎩ f (x ), x > 0 为奇函【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题x > 0, -x < 0, g (-x ) = 3-x -1 = -g (x ) ⇒ g (x ) = 1- 1 3x,所以 f (x ) = 1- 1,3x 当 x = 2 时， f (x ) = 8,所以 f 9(8) = 29 【答案】 x = 89119. 已知四个函数：① y = - x ；② y =-；③ y = x 3；④ y = x 2.从中任选 2 个，则事件“所x选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有： C 2 = 6 种，符合题意的就两种：①和③，①和④-11 2 3 4 2 π nnnn1⎧ π ⎨ 1 【答案】310. 已知数列{a } 和{b } ,其中 a = n 2 , n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数.若对于任意n ∈ N *，{b } 中的第 a 项等于{a } 中的第b 项，则 lg (b 1b 4b 9b 16 )= .nnn lg (b 1b 2b 3b 4 )【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得： b = a ⇒ b = (b )2 ⇒ b = b 2 , b = b 2 , b = b 2 ,b = b 2 ，a nb nn 2n1 1 42 93 16 4lg (b 1b 4b 9b 16 ) lg (b 1b 2b 3b 4 ) lg (bb b b )2lg (b 1b 2b 3b 4 )【答案】211. 设α1，α2 ∈ R ,且12 + sin α+2 + sin(2α = 2 ，则 10π - α)1 - α2的最小值等于. 12【解析】考查三角函数的性质和值域，1∈ ⎡1 ,1⎤，1 ∈ ⎡1 ,1⎤2 + sin α1 ⎢⎣3 ⎥⎦ 2 + sin(2α2 ) ⎢⎣3 ⎥⎦ ，要使 1 + 1 = 2 ⎧ 1 =1 ⎪ 2 + sin α1 则⎨ α1 = - + 2k 1⎪ , k , k ∈ Z 2 + sin α 2 + sin(2α ) 1 π 1 2 1 2 ，⎪ =1 ⎪ α = - + k π ⎪⎩ 2 + sin(2α2 )⎪⎩ 2 4 2 10π -α -α= 10π + 3π - (2k + k )π = π 当2k + k =11时成立 1 2 minπ4 1 2 min4 , 【答案】 412. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1, P 2 , P 3 , P 4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P 1, P 2 , P 3 , P 4 } ，点 P ∈Ω .过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲” 的点分布在l P 的两侧.用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P )=D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为.⇒ n所以 = =21 2⎩ ⎨【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= {3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= 3 ．【考点】D4：排列及排列数公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】31：数形结合；48：分析法；5U：球．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πＲ3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πＲ2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= 11 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2 ．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n 项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5M：推理和证明．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则+++=，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在【考点】6F：极限及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】38：对应思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则?，即（x0﹣，﹣）?（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则?=0，即（﹣x0，1）?（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα＝，或sinα＝﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1?g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1?g（x0+T g）=c1?g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]?[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）?f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

2017年上海市一模压轴题 解析一、（2017徐汇一模）24． 解：（1）∵抛物线32++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；又抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ,解得2=b ；∴322++-=x x y ；∴)4,1(D ．(2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴︒=∠45DCy ；∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ;∴3223cot ===∠DC BC DBC ． （3)由322++-=x x y ,可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中,3==CDBCAO CO , ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠； 又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠,∴︒=∠=∠45OCB E ； 当EBM ∆和ABC ∆相似时,已可知CBA E ∠=∠；又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；由题意,得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ． ∴18)33()3(22=++-x x ，解得561-=x ，02=x （舍去）;∴点M 的坐标是)53,56(--． 25．（本题满分14分）解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ．∴21==QE DQ PE DF ；又BC DE //,∴1==ABAC BD EC ; ∴x BD EC ==；y x PE --=3；QPDBAC E F∵AC DF //，∴AB BD AP DF =；即323xy y x =--，∴3239+-=x x y ；定义域为：30<<x ．（2)∵BC DE //,∴PEQ ∆∽PBC ∆；∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形;︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2；即)3(34y -=，解得35=y ，∴353239=+-x x ,解得1912==x BD ; ︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴13239=+-x x ,56==x BD ；︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合,不合题意．（3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ;又CQB ∠和CBD ∠互补，∴︒=∠+∠180CBD CQB ;∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =,∴四边形BCED 是等腰梯形;∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠； 又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ ∆∽QEC ∆；∴EC DQ QE BD =：即222x DQ =，∴2x DQ =，23x DE =； ∵BC DE //，∴AB AD BC DE =；即33223x x -=； 解得 7324254-=x ．二、(2017黄埔一模） 24．（本题满分12分）解：(1）令抛物线的表达式为c bx ax y ++=2,由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++64160390c b a c b a c b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==682c b a ，所以抛物线的表达式为6822+-=x x y . （2）由(1）得平移前抛物线的对称轴为直线x =2，顶点为()2,2-.则平移后抛物线的对称轴为直线x =8，令()0,8a D -，其中0>a ,则()0,8a E +。

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．（4分）方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．（4分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．（4分）若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．（5分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．（5分）已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．（5分）参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．（5分）已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0B．C．πD．16．（5分）若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．（14分）已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．（14分）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．（16分）过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（4分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（4分）方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．4．（4分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．【点评】本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．5．（4分）若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x 的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．【点评】本题考查恒成立转化为最值问题，二次函数不等式，数形结合，像得到x的取值范围．6．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质与抛物线的简单性质的应用没开车计算能力．7．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．8．（5分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】27：图表型．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图形，考查四棱锥的表面积，本题是一个基础题．9．（5分）已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】34：方程思想；5J：集合；5N：数系的扩充和复数．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的相等、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．【点评】本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．（5分）参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）【点评】本题考查参数方程化为普通方程，本题解题的关键是看出怎么应用三角函数的恒等变换得到结果，注意题目中变量的取值范围不要漏掉．12．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】26：开放型；57：三角函数的图像与性质．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx2+ny2=1表示双曲线条件．14．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】13：作图题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选：D．【点评】考查了识图的能力，体现了数形结合的思想，由方程的零点问题转化为函数图象的交点问题，体现了转化的思想方法，属中档题．15．（5分）已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0B．C．πD．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质和诱导公式进行对三角函数的化简的能力．属于中档题．16．（5分）若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】16：子集与真子集．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用；5J：集合．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合中元素个数的求法，向量数量积的应用，难度不大，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO 的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，∴三棱锥P﹣ACO的体积V P=﹣ACO==8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18．（14分）已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】4G：指数式与对数式的互化．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，log23）【点评】本题考查了对数函数的定义和性质以及复合函数的单调性和不等式的解的问题，属于中档题19．（14分）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；58：解三角形．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．20．（16分）过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】KC：双曲线的性质；KM：直线与双曲线的综合．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率为k==2，则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5为定值．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查直线方程的运用，以及中点坐标公式的运用，属于中档题．21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=，=，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1，=1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．【点评】本题是新定义题，考查数列的a n与S n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．。

2017 年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题1．下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（）A．y=x2+2B．y=x2﹣2 C． y=（x+2）2 D．y=（ x﹣2）22．如果在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=2， BC=3，那么下列各式正确的是（）A．tanB= B．cotB= C． sinB=D． cosB=3．如果把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为原来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为原来的 3 被B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定4．对于非零向量、、下列条件中，不能判定与是平行向量的是（）A．∥，∥B．+ 3 = ，=3C．=﹣ 3D． | | =3| |5．在△ ABC和△ DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ ABC和△ DEF相似的是（）A．= B．=C．∠ A=∠ E D．∠ B=∠ D6．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t 2+ t+1（ 0≤t ≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1 米 B． 1.5 米C．1.6 米D．1.8 米二、填空题7．如果线段 a、b、c、d 满足= =，那么=．8．计算：（2 +6）﹣3 =．9．已知线段 a=3， b=6，那么线段 a、 b 的比例中项等于．10．用一根长为8 米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为x 米，那么这个窗户的面积 y（米2）与 x（米）之间的函数关系式为（不写定义域）．11．如果二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么 a 的值可能是（只需写一个）．12．如果二次函数y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点，那么m 的值是．14．在△ ABC中，点 D、E 分在 AB、AC 上，如果=，AE=4，那么当EC的是，DE∥ BC．15．如，已知 AD∥BE∥CF，它依次交直l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F．如果 AB=6，BC=10，那么的是．16． 2 的等三角形的重心到的距离是．17．如，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵的水平距离AC 3 米，那么两的坡面距离 AB 是米．18．如，在矩形 ABCD中， AB=6，AD=3，点 P 是 AD 上的一点， BP，将△ ABP沿着 BP 所在直翻折得到△ EBP，点 A 落在点 E ， BE与 CD相交于点 G，如果 CG=2DG，那么 DP的是．三、解答19．算：．bx c（ a≠ 0）上部分点的横坐 x 与坐 y 的如下表：220．已知抛物 y=ax + +x⋯10234⋯y⋯522510⋯（1）根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是，抛物线一定会经过点（﹣2，）；②抛物线在对称轴右侧部分是（填“上升”或“下降”）；（2）如果将这个抛物线y=ax2+bx+c 向上平移使它经过点（ 0，5），求平移后的抛物线表达式．21．已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D，延长 AD 至点 E，使DE= AD，过点 A 作 AF∥BC，交 EC的延长线于点 F．（1）设 = ， = ，用、的线性组合表示；（2）求的值．22．如图 1 是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面 MN，前支撑架 AB 与后支撑架 AC分别与座板 DF交于点E、 D，现测得 DE=20厘米， DC=40厘米，∠ AED=58°，∠ ADE=76°．（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面 MN 之间的距离）（精确到 1 厘米）（2）求椅子两脚 B、C 之间的距离（精确到 1 厘米）（参考数据： sin58 °≈0.85， cos58°≈0.53，tan58 °≈1.60，sin76 ≈°0.97． cos76 °≈0.24，tan76 °≈4.00）23．已知：如图，菱形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥ DC，垂足为点 E，交 AC 于点 F．求证：（1）△ ABF∽△ BED；（2）=．24．如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣ 1，0）和点B，与 y 轴相交于点 C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结 AC、 BC、DB、DC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）求证：△ ACO∽△ DBC；（3）如果点 E在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠ BCE=∠ACO，求点 E 的坐标．25．已知，如图， Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，点 D 在边 BC上（不与点 B、C重合），点 E 在边 BC的延长线上，∠ DAE=∠BAC，点 F 在线段 AE上，∠ ACF=∠B．设 BD=x．（1）若点 F 恰好是 AE 的中点，求线段BD 的长；（2）若 y= ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ ADE是以 AD 为腰的等腰三角形时，求线段 BD的长．2017 年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（）A．y=x2+2B．y=x2﹣2 C． y=（x+2）2 D．y=（ x﹣2）2【考点】二次函数的性质．【分析】可设其顶点式，结合选项可求得答案．【解答】解：∵抛物线顶点坐标是（﹣2，0），∴可设其解析式为y=a（x+2）2，∴只有选项 C 符合，故选 C．2．如果在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=2， BC=3，那么下列各式正确的是（）A．tanB= B．cotB= C． sinB=D． cosB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算即可判断．【解答】解：∵∠ C=90°，AC=2，BC=3，∴AB==，∴t anB= = ，cotB= = ，sinB= =，cosB= =，故选： A/ ．3．如果把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为原来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为原来的 3 被B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据△ ABC三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A的大小没改变和余切的概念解答．【解答】解：因为△ ABC三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的余切值也不变．故选： C．4．对于非零向量、、下列条件中，不能判定与是平行向量的是（）A．∥，∥ B． + 3= ， =3C．=﹣3 D．| | =3| |【考点】 * 平面向量．【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．【解答】解： A、由∥，∥推知非零向量、、的方向相同，则∥ ，故本选项错误；B、由 +3 = ， =3 推知与方向相反，与方向相同，则非零向量与的方向相反，所以∥ ，故本选项错误；C、由 =﹣3推知非零向量与的方向相反，则∥ ，故本选项错误；D、由 | | =3|| 不能确定非零向量、的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确．故选 D．5．在△ ABC和△ DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ ABC和△ DEF相似的是（）A．= B．=C．∠ A=∠ E D．∠ B=∠ D【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定即可．【解答】解：在△ ABC和△ DEF中，∵= =，∴△ ABC∽△ DEF，故选 B．h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+ t+1（ 0≤t ≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1 米 B． 1.5 米C．1.6 米D．1.8 米【考点】二次函数的应用．【分析】利用配方法求得二次函数的最大值即可．【解答】解： h=﹣t 2+ t+1=﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1=﹣（t﹣8）2++1=﹣（t﹣8）2+1.8．故选： D．二、填空题7．如果线段 a、b、c、d 满足= = ，那么=．【考点】比例线段．【分析】根据等比性质：= = ? = = =，可得答案．【解答】解：∵= =，∴由等比性质，得=．故答案为：．8．计算：（2 +6）﹣3 =﹣2 +3．【考点】 * 平面向量．【分析】根据平面向量的计算法则进行解答．【解答】解：原式 =×2 +×6﹣3，= +3 ﹣3 ，=﹣2 +3 ，故答案是：﹣ 2 +3 ．9．已知线段 a=3， b=6，那么线段 a、 b 的比例中项等于3．【考点】比例线段．于两外项之积即可得出答案．【解答】解：设线段 x 是线段 a，b 的比例中项，∵a=3， b=6，∴= ，∴x2=ab=3×6=18，∴x=±3 （负值舍去）．故答案为： 3 ．10．用一根长为8 米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为x 米，那么这个窗户的面积 y（米2）与 x（米）之间的函数关系式为y=﹣x2+4x（不写定义域）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出 y 与 x 之间的函数关系式．【解答】解：设这个矩形窗框宽为x 米，可得： y=﹣x2 4x，+故答案为：y=﹣x2 4x+11．如果二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么 a 的值可能是﹣1（只需写一个）．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线开口方向可求得 a 的取值范围，可求得答案．【解答】解：∵二次函数 y=ax2（a≠0）的图象开口向下，∴可取 a=﹣ 1，故答案为：﹣ 1．12．如果二次函数y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点，那么m 的值是﹣1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将原点坐标（ 0，0）代入二次函数解析式，列方程求m 即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点，∴m+1=0，解得 m=﹣1，故答案为：﹣ 1．13．如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是4： 9．【考点】相似三角形的性质．【分析】由两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，∴它们的相似比为4： 9，∴它们的周长比为4： 9．故答案为： 4：9．14．在△ ABC中，点 D、E 分别在边 AB、AC上，如果=，AE=4，那么当EC的长是6时，DE∥ BC．【考点】平行线分线段成比例．【分析】求出比例式，根据相似三角形的判定得出相似，根据相似三角形的性质得出△ ADE∽△ABC，推出∠ ADE=∠ B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：当EC=6时， DE∥BC，理由是：∵ = ，AE=4，EC=6，∴= ，∵∠ A=∠A，∴△ ADE∽△ ABC，∴∠ ADE=∠ B，∴DE∥BC，故答案为： 6．BC=10，那么的值是．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得=，再根据AB=6，BC=10，可求得答案．【解答】解：∵ AD∥BE∥ FC，∴= ，又∵ AB=6， BC=10，∴= ，∴的值是．故答案为：．16．边长为 2 的等边三角形的重心到边的距离是．【考点】三角形的重心．【分析】根据等边三角形的性质、勾股定理求出高AD，根据重心的性质计算即可．【解答】解：如图，△ ABC为等边三角形，过 A 作 AD⊥BC，交 BC于点 D，则BD= AB=1，AB=2，在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得： AD==，则重心到边的距离是为：×=，故答案为：．1017．如图，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离AC 为 3 米，那么两树间的坡面距离 AB 是米．【考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题．【分析】设 BC=x，则 AC=2.4x，再由勾股定理求出AB 的长，根据 AC=3米即可得出结论．【解答】解：∵坡度 i=1：2.4，∴设 BC=x，则 AC=2.4x，∴AB===2.6x．∵AC=3米，∴= =，解得AB=．故答案为：．18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点P 是边AD 上的一点，联结BP，将△ABP沿着BP 所在直线翻折得到△ EBP，点 A 落在点 E 处，边 BE与边 CD相交于点 G，如果 CG=2DG，那么 DP 的长是 1 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】根据题意求出 CG、DG，根据勾股定理求出 BG，根据相似三角形的判定定理得到△ HEG ∽△ BCG，根据相似三角形的性质求出 HG，得到 DH 的长，同理解答即可．【解答】解：∵CG=2DG，CD=6，∴CG=4，DG=2，由勾股定理得， BG==5，∴EG=1，由折叠的性可知，∠ E=∠ A=90°，又∠ EGD=∠CGB，∴△ HEG∽△ BCG，∴= = ，∴H G= ，∴DH=DG HG= ，同理， DP=1，故答案： 1．三、解答19．算：．【考点】特殊角的三角函数．【分析】把 30°、45°、60°角的各种三角函数代入算即可．【解答】解：原式 ===2．．已知抛物2+bx+c（ a≠ 0）上部分点的横坐 x 与坐 y 的如下表：20y=axx⋯10234⋯y⋯522510⋯（1）根据上表填空：① 个抛物的称是x=1，抛物一定会点（2， 10）；②抛物在称右部分是上升（填“上升”或“下降”）；（2）如果将个抛物y=ax2+bx+c 向上平移使它点（ 0，5），求平移后的抛物表达式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数象与几何．【分析】（1）①根据抛物点（ 0， 2）、（2，2），即可得出抛物的称x=1，再根据二次函数的称性合当x=4 y=10，即可得出当 x= 2y 的；②根据抛物线的对称轴为x=1 结合当 x=2、 3、 4 时的 y 的值逐渐增大，即可得出抛物线在对称轴右侧部分是上升；（2）根据点的坐标利用待定系数法即可求出原二次函数表达式，再根据点（0，5）在点（0，2）上方 3 个单位长度处即可得出抛物线往上平移 3 个单位长度，在原二次函数表达式常数项上+3即可得出结论．【解答】解：（1）①∵当 x=0 和 x=2 时， y 值均为 2，∴抛物线的对称轴为x=1，∴当 x=﹣2 和 x=4 时， y 值相同，∴抛物线会经过点（﹣ 2，10）．故答案为： x=1； 10．②∵抛物线的对称轴为x=1，且 x=2、3、4 时的 y 的值逐渐增大，∴抛物线在对称轴右侧部分是上升．故答案为：上升．（2）将点（﹣ 1，5）、（ 0， 2）、（2，2）代入 y=ax2+bx+c 中，，解得：，∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x+2．∵点（ 0，5）在点（ 0， 2）上方 3 个单位长度处，∴平移后的抛物线表达式为y=x2﹣ 2x+5．21．已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D，延长 AD 至点 E，使DE= AD，过点 A 作 AF∥BC，交 EC的延长线于点 F．（1）设 = ， = ，用、的线性组合表示；（2）求的值．【考点】 * 平面向量；等腰三角形的性质．【分析】（1）由平面向量的三角形法则得到，然后结合已知条件DE= AD 来求；（2）根据平行线截线段成比例和三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（1）∵如图，在△ ABC中， AB=AC，AD⊥BC，∴BD= BC，∵= ，= ，∴= + = +又∵ DE= AD，∴== +∴= + = +．，+ + = +；（2）∵ DE= AD， AF∥BC，∴= ，= = ，∴== ? = × = ，即= ．22．如图 1 是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面 MN，前支撑架 AB 与后支撑架 AC分别与座板 DF交于点E、 D，现测得 DE=20厘米， DC=40厘米，∠ AED=58°，∠ ADE=76°．（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面 MN 之间的距离）（精确到 1 厘米）（2）求椅子两脚 B、C 之间的距离（精确到 1 厘米）（参考数据： sin58 °≈0.85， cos58°≈0.53，tan58 °≈1.60，sin76 ≈°0.97． cos76 °≈0.24，tan76 °≈4.00）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（ 1）作 DP⊥ MN 于点 P，即∠ DPC=90°，由 DE∥MN 知∠ DCP=∠ADE=76°，根据DP=CDsin ∠DCP可得答案；（2）作 EQ⊥ MN 于点 Q 可得四边形 DEQP是矩形，知 DE=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出 BQ、CP的长可得答案．【解答】解：（1）如图，作 DP⊥MN 于点 P，即∠ DPC=90°，∵DE∥MN，∴∠ DCP=∠ ADE=76°，则在 Rt△CDP中， DP=CDsin∠DCP=40×sin76 °≈39（ cm），答：椅子的高度约为 39 厘米；（2）作 EQ⊥ MN 于点 Q，∴∠ DPQ=∠EQP=90°，∴DP∥EQ，又∵ DF∥MN，∠ AED=58°，∠ ADE=76°，∴四边形 DEQP是矩形，∠ DCP=∠ ADE=76°，∠ EBQ=∠AED=58°，∴DE=PQ=20，EQ=DP=39，又∵ CP=CDcos∠DCP=40× cos76°≈9.6（cm），BQ==≈ 24.4（cm），∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈ 54（cm），答：椅子两脚 B、C 之间的距离约为54cm．23．已知：如图，菱形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥ DC，垂足为点 E，交 AC 于点 F．求证：（1）△ ABF∽△ BED；（2）=．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥ BD， AB∥CD，得出△ ABF∽△ CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△ BED∽△ CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（ 1）∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥ CD，∴△ ABF∽△ CEF，∵BE⊥DC，∴∠ FEC=∠ BED，由互余的关系得：∠ DBE=∠FCE，∴△ BED∽△ CEF，∴△ ABF∽△ BED；（2）∵ AB∥CD，∴，∴，∵△ ABF∽△ BED，∴，∴=．24．如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣ 1，0）和点B，与 y 轴相交于点 C（0，3），抛物线的顶点为点 D，联结 AC、 BC、DB、DC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）求证：△ ACO∽△ DBC；（3）如果点 E在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠ BCE=∠ACO，求点 E 的坐标．【考点】二次函数综合题；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【分析】（1）根据抛物线 y=﹣x2bx c 经过点 A（﹣ 1，0），点 C（ 0， 3），即可求得 b， c 的值，+ +进而得到抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）先根据 B（3，0），A（﹣ 1，0），D（1，4），求得 CD=，BC=3，BD=2 ，AO=1，CO=3，222进而得到 CD+BC =BD ，从而判定△ BCD是直角三角形，且∠ BCD=90°，最后根据∠ AOC=∠DCB，=，判定△ ACO∽△ DBC；（3）先设 CE与 BD 交于点 M，根据 MC=MB，得出 M 是 BD的中点，再根据 B（3，0）， D（ 1，4），得到 M（2，2），最后根据待定系数法求得直线 CE的解析式，即可得到点 E 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（﹣ 1， 0），点 C（0，3），∴，解得，2∴抛物线的表达式为y=﹣ x +2x+3，（2）∵当 y=0 时， 0=﹣ x2+2x+3，∴B（3，0），又∵ A（﹣ 1，0）， D（ 1， 4），∴CD=，BC=3，BD=2 ， AO=1，CO=3，2 22∴ CD BC=BD ，+∴△ BCD 是直角三角形，且∠ BCD=90°， ∴∠ AOC=∠ DCB ，又∵= ， = ，∴= ，∴△ ACO ∽△ DBC ；（3）设 CE 与 BD 交于点 M ，∵△ ACO ∽△ DBC ，∴∠ DBC=∠ ACO ，又∵∠ BCE=∠ACO ，∴∠ DBC=∠ BCE ，∴MC=MB ，∵△ BCD 是直角三角形，∴∠ BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠ MDC ，∴∠ DCM=∠CDM ，∴MC=MD ，∴DM=BM ，即 M 是 BD 的中点，∵B （3，0），D （1，4），∴M （ 2， 2），设直线 CE 的解析式为 y=kx+b ，则，解得，∴直线 CE 为： y=﹣ x+3，当 y=0 时， 0=﹣ x+3，解得 x=6，∴点 E 的坐标为（ 6，0）．25．已知，如图， Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，点 D 在边 BC上（不与点 B、C重合），点 E 在边 BC的延长线上，∠ DAE=∠BAC，点 F 在线段 AE上，∠ ACF=∠B．设 BD=x．（1）若点 F 恰好是 AE 的中点，求线段BD 的长；（2）若y= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ ADE是以 AD 为腰的等腰三角形时，求线段 BD的长．【考点】三角形综合题．【分析】（ 1）先判断出△ ABD∽△ ACF，进而判断出 AD=BD，再用解直角三角形的方法即可得出BD；（2）先表示出 CF，进而表示出 MC，即可得出函数关系式；（3）分两种情况列出方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，∴AC=6，AB=10，∵∠ DAE=∠ BAC，∴∠ FAC=∠ DAB，∵∠ ACF=∠ B，∴△ ABD∽△ ACF，∴，在Rt△ABC中，点F 恰好是AE 的中点，∴CF= AE=AF，∴AD=BD，在Rt△ACD中， AC=6，CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得， AC2+CD2=AD2，∴36+（ 8﹣ AD）2=AD2，∴AD=，∴BD=AD=，（2）如图1，过点 F 作 FM⊥ AC 于 M ，由（ 1）知，∴=，∴CF==× x= x，由（ 1）△ ABD∽△ ACF，∴∠ B=∠ACF，∴tan∠ACF=tanB== = ，∴MC=x，∴y===（0＜x＜8）（3）∵△ ADE是以 AD 为腰的等腰三角形，∴①当 AD=AE时，∴∠ AED=∠ ADE，∵∠ ACD=90°，∴∠ EAC=∠ DAC=∠ DAB，∴AD 是∠ BAC的平分线，∴，∵AC=6，AB=10，CD=8﹣BD，∴，∴BD=5，当AD=DE时，∴∠ DAE=∠ DEA=∠BAC，∴∠ ADE=2∠B，∴∠ B=∠DAB，∴AD=BD=（是（1）的那种情况）．即： BD=5或 BD=时，△ ADE是以AD为腰的等腰三角形．2017 年 2 月 12 日。

2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。

奉贤区2017-2018学年度第一学期高三年级质量调研数学学科试卷 2017.12考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6每题每个空格填对得4分，7-12每题填对得5分，否则一律得零分．1．已知全集U N =，集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则()U C A B =I ________. 2．复数i+12的虚部是________. 3．用1,2,3,4,5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个. 4．已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ=________. 5．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的侧面积等于________.6．已知向量(a =r ，()3,b m =r ．若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实数m =________.7．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为________. 8．921()x x+的二项展开式中，常数项的值为________.9．已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA =，则P 到原点的距离为________. 10．设焦点为1F 、2F 的椭圆()013222>=+a y ax 上的一点P 也在抛物线x y 492=上，抛物线焦点为3F ，若16253=PF ，则21F PF ∆的面积为________. 11．已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是________.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,02ωϕπ>≤<是R 上的偶函数，图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，则符合条件的数组(),ωϕ有________对.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13． 1x >是21x >的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21c c 不平行 15．等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q +>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ）． A ．4 B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定16．设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（ ）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17．已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．18．已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，OA 与底面所成角为60︒；（1）试用r 表示圆柱的表面积S ； （2）求异面直线DC 与OA 所成的角．19．如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动， 乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．20．设{}22(,)1M x y x y =-=，{}22(,)1N x y x y =-=.设任意一点()M y x P ∈00,，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l . （1）判断M 与N 的关系并说明理由；（2）设10±≠x ，()()121,0,1,0A A -，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ， 求21k k 的取值范围.（3）过P 点作与1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于,Q R ，求证：PQR ∆的面积为定值；21．若存在常数p ()10≤<p ，使得数列{}n a 满足n n n p a a =-+1对一切*N n ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列. 01>=a a（1）若1,2==p a ，问2017a 有多少种可能？ （2）若{}n a 是递增数列，312+=a a ，且对任意的i ，数列()1*,3,2,21≥∈++i N i a a a i i i 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列{}n a 的首项01>=a a ，前n 项和为n S ，即n n a a a S +++=Λ21．问nS 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由．2017-2018学年第一学期奉贤区高三数学调研数学卷参考答案一、填空题（1-6每个4分，7-12每个5分，合计54分）1、{}52、1-3、604、5、3π 6 7、36π 8、849、10、32 11、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、4 二、选择题（13-16每个5分，合计20分）13、A 14、C 15、B 16、B 三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、解：（1）定义域()3,3- 3分 关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分 所以()f x 是奇函数 2分 （2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分18、（1）11OO OAO OA ⊥∴∠底面，为所成的线面角 3分1111=tan OO A OO AO OAO ⋅∠=直角三角形中， 2分2222(2S r r r πππ=+=+ 3分（2）,DC FA OAF ∠P 因为所以为所求角或其补角 2分2,2,OAF OA r OF r AF r ===三角形中， 1分 222441cos =224r r r OAF r r +-∠=⨯⨯ 2分1arccos 4所以，所求角为 1分19、（1）可用余弦定理求得3B π∠=2分300,100D E BD BE ==设甲在处，乙在处, 2分2222cos 700DE BD BE BDBE B DE =+-=所以 3分（2）,3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中， 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分[0,]sin sin 2DE BE y B DEB πθ==∈∠∠由得 1分 （式子出来3分）,[0,]22sin 3y πθπθ=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1分6y πθ=时，取最小值 2分答：6y πθ=时，取最小值 1分20、解（1）N 是M 是的真子集的真子集 1分任意一点()()222200000000,,1,,P x y N x y x y P x y M ∈=∴∈-=1,一定- 2分 反之()00,,P x y M ∈()22222200000000,1,,,x y x y y x P x y N =∴∉--=1或-=1 1分 （2）()2200002000122000,11111x y x y y y y k k x x x -==•==+--a)设P 在曲线上，2分()22000022000012220000,111111x y x y y y y x k k x x x x -=-+=•==+---b)设P 在曲线上，3分(]()12,11,k k ∈-∞-+∞U(][)12,11,k k ∈-∞-+∞U 1分说明第一种定值2分，第2种范围3分，合并1分必需有，即2+3+1=6分 （3）不妨设()00,y x P 在122=-y x 上，联立⎩⎨⎧-=--=-12200y x x x y y 得(),1200200x y x y x ---=化简得0y x -= 1分(),,00x y Q -- 1分同理(),,00x y R 2分()221112202020202020002000000=-=-+++--=--x y x y y x y x y x x y x y y x所以三角形的面积为1 2分 法二：()()00020021y x y x y x Q -=---= ()()00020021y x y x y x R =+-+=0022y x x x PQ Q +=-=00022y x x x PR R -=-=122212120200000=-=+⨯-⨯==y x y x y x PR PQ S PQR21、（1）1,1,3,50,2,41,3432-===a a a依次下去，Λ,2014,2016,20182017=a ，一共有2017 种 4分（2）213,2,++i i i a a a 成等差数列1243++=+i i i a a a()12133+++-=-i i i i a a a a 2分 {}n a Θ单调递增，01>-∴+i i a a()121211333++++++-=-=-=-i i i i i i i i a a a a a a a a 1211123131a a a a a a i i i i i -==-=-+++Λ 2分31,31122=-∴+=a a a a Θ12111231a a a a i i i -=-+++nn n a a ⎪⎭⎫⎝⎛=-+311 2分所以得证（3）当()1,0∈p 11112111112){a },,()11(1)(),1(1)){a },-,(-)+11(1)(-)+,1(1)1n n n n nn n n n n n n nn n n n a a a p p p a a p pp p p S n a p p b a a p p p a a p pp p p pS n a a a S p p p-----==+----∴=+----==---∴===---若单调递增累加法得极限不存在若单调递减累加法得当时，极限存在。

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1}．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：58．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】复数相等的充要条件．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，∴三棱锥P﹣ACO的体积V P﹣ACO===8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，＜log23）19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率为k==2，则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5为定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=， =，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1， =1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．2017年4月3日。

2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2） 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8） 函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2） 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）． 若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 （ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13） 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16） 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是 （ ）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求： （1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）． 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=、3、（4分）不等式＞1的解集为、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=016、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} 、题目分析：利用交集定义直接求解、试题解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}、故答案为：{3，4}、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=3、题目分析：利用排列数公式直接求解、试题解答：解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3、故答案为：m=3、点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用、3、（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）、题目分析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可、试题解答：解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）、点评：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π、题目分析：由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积、试题解答：解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π、故答案为：9π、点评：本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、题目分析：设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案、试题解答：解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：、∴、则|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11、题目分析：根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案、试题解答：解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11、点评：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）、题目分析：由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果、试题解答：解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴、故答案为：（﹣4，3，2）、点评：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、题目分析：由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值、试题解答：解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=、故答案为：、点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、题目分析：从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率、试题解答：解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）、事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==、故答案为：、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2、题目分析：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得==、于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、即可得出、试题解答：解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==、∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、∴b1b4b9b16=、∴=2、故答案为：2、点评：本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、题目分析：由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值试题解答：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、则：，k1∈Z、，即，k2∈Z、那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z、∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为、故答案为：、点评：本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4、题目分析：根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论、试题解答：解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4、故答案为：P1、P3、P4、点评：本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、题目分析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解、试题解答：解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=、故选：C、点评：本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在题目分析：根据极限的定义，求出a n=的值、试题解答：解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0、故选：B、点评：本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题、15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=0，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化题目分析：由x100+k简即可得出、、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）试题解答：解：存在k∈N*，使得x100+k2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0、，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0、∴使得x100+k故选：A、点评：本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、16、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个题目分析：设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数、试题解答：解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对、另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确、故选：D、点评：本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题、三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、题目分析：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果、（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小、试题解答：解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20、（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan、点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、题目分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值、试题解答：解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=、点评：本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？题目分析：（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论、试题解答：解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935、（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大、当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782、S42=﹣4×16+8800=8736、∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量、点评：本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题、20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、题目分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、由此能求出点M的横坐标、（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ、试题解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=、如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、∴点M的横坐标为，或1，或、（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图、∴直线AQ为y=x+1、点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、题目分析：（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明、类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明试题解答：（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0、故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）、又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h、若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）、又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾、综上，f（x）＞0恒成立、由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=Rh（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0、因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数21/ 21。

奉贤区2017-第一学期高三级质量调研考试 数 学 试 卷 2017.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6每题每个空格填对得4分，7-12每题填对得5分，否则一律得零分． 1．已知全集U N =，集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则()U C A B =I ________. 2．复数i+12的虚部是________. 3．用1,2,3,4,5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个. 4．已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ=________. 5．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的侧面积等于________.6．已知向量(a =r ，()3,b m =r ．若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实数m =________.7．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为________. 8．921()x x +的二项展开式中，常数项的值为________.9．已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA =，则P 到原点的距离为________. 10．设焦点为1F 、2F 的椭圆()013222>=+a y a x 上的一点P 也在抛物线x y 492=上，抛物线焦点为3F ，若16253=PF ，则21F PF ∆的面积为________. 11．已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是________.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,02ωϕπ>≤<是R 上的偶函数，图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，则符合条件的数组(),ωϕ有________对.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13． 1x >是21x >的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21c c 不平行 15．等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q +>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ）．A ．4B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定16．设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（ ）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 17．已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．18．已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，OA 与底面所成角为60︒；（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；（2）求异面直线DC 与OA 所成的角．19．如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动， 乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．20．设{}22(,)1M x y x y =-=，{}22(,)1N x y x y =-=.设任意一点()M y x P ∈00,，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l . （1）判断M 与N 的关系并说明理由；（2）设10±≠x ，()()121,0,1,0A A -，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ， 求21k k 的取值范围.（3）过P 点作与1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于,Q R ，求证：PQR ∆的面积为定值；21．若存在常数p ()10≤<p ，使得数列{}n a 满足n n n p a a =-+1对一切*N n ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列.01>=a a（1）若1,2==p a ，问2017a 有多少种可能？（2）若{}n a 是递增数列，312+=a a ，且对任意的i ，数列()1*,3,2,21≥∈++i N i a a a i i i 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列{}n a 的首项01>=a a ，前n 项和为n S ，即n n a a a S +++=Λ21．问n S 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由．2017-第一学期奉贤区高三数学调研数学卷参考答案一、填空题（1-6每个4分，7-12每个5分，合计54分） 1、{}5 2、1-3、604、5、3π 67、36π 8、849、10、3211、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、4 二、选择题（13-16每个5分，合计20分）13、A 14、C 15、B 16、B 三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、解：（1）定义域()3,3- 3分 关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分 所以()f x 是奇函数 2分 （2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分18、（1）11OO OAO OA ⊥∴∠底面，为所成的线面角 3分1111=tan OO A OO AO OAO ⋅∠=直角三角形中， 2分2222(2S r r r πππ=+=+ 3分（2）,DC FA OAF ∠P 因为所以为所求角或其补角 2分2,2,OAF OA r OF r AF r ===三角形中， 1分222441cos =224r r r OAF r r +-∠=⨯⨯ 2分1arccos所以，所求角为 1分19300,100D E BD BE ==设甲在处，乙在处,2分2222cos 700DE BD BE BDBE B DE =+-=所以 3分（2）,3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中， 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分[0,]sin sin 2DE BE y B DEB πθ==∈∠∠由得 1分 （式子出来3分）[0,]22sin 3y πθθ=∈+ ⎪⎝⎭ 1分6y πθ=时，取最小值 2分答：6y πθ=时，取最小值 1分20、解（1）N 是M 是的真子集的真子集 1分 任意一点()()222200000000,,1,,P x y N x y x y P x y M ∈=∴∈-=1,一定- 2分 反之()00,,P x y M ∈()22222200000000,1,,,x y x y y x P x y N =∴∉--=1或-=1 1分 （2）()2200002000122000,11111x y x y y y y k k x x x -==•==+--a)设P 在曲线上，2分()22000022000012220000,111111x y x y y y y x k k x x x x -=-+=•==+---b)设P 在曲线上，3分(]()12,11,k k ∈-∞-+∞U (][)12,11,k k ∈-∞-+∞U 1分说明第一种定值2分，第2种范围3分，合并1分必需有，即2+3+1=6分 （3）不妨设()00,y x P 在122=-y x 上，联立⎩⎨⎧-=--=-12200y x x x y y 得(),1200200x y x y x ---=化简得0y x -= 1分(),,00x y Q -- 1分同理(),,00x y R 2分()221112202020202020002000000=-=-+++--=--x y x y y x y x y x x y x y y x所以三角形的面积为1 2分 法二：()()00020021y x y x y x Q -=---= ()()00020021y x y x y x R =+-+=0022y x x x PQ Q +=-=0022y x x x PR R -=-=122212120200000=-=+⨯-⨯==y x y x y x PR PQ S PQR21、（1）1,1,3,50,2,41,3432-===a a a依次下去，Λ,2014,2016,20182017=a ，一共有2017 种 4分（2）213,2,++i i i a a a 成等差数列1243++=+i i i a a a()12133+++-=-i i i i a a a a 2分 {}n a Θ单调递增，01>-∴+i i a a()121211333++++++-=-=-=-i i i i i i i i a a a a a a a a1211123131a a a a a a i i i i i -==-=-+++Λ 2分 31,31122=-∴+=a a a a Θ12111231a a a a i i i -=-+++nn n a a ⎪⎭⎫⎝⎛=-+311 2分所以得证（3）当()1,0∈p11112111112){a },,()11(1)(),1(1)){a },-,(-)+11(1)(-)+,1(1)1n n n n nn n n n n n n nn n n n a a a p p p a a p pp p p S n a p p b a a p p p a a p pp p p pS n a a a S p p p-----==+----∴=+----==---∴===---若单调递增累加法得极限不存在若单调递减累加法得当时，极限存在。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为( )A. ∣∣∣0543∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣1523∣∣∣D. ∣∣∣6054∣∣∣2. 在数列{a n }中，a n =(−12)n ，n ∈N ∗，则lim n→∞a n ( ) A. 等于−12B. 等于0C. 等于12D. 不存在3. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N ∗，则“存在k ∈N ∗，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是( )A. a ≥0B. b ≤0C. c =0D. a −2b +c =04. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1，P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={(P,Q)|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为( ) A. 2个 B. 4个 C. 8个D. 无穷个第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知集合A ={1,2,3,4}，集合B ={3,4,5}，则A ∩B = ．6. 若排列数P 6m=6×5×4，则m = ______ ． 7. 不等式x−1x>1的解集为 ．8. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______ ． 9. 已知复数z 满足z +3z =0，则|z|= ． 10. 设双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．11. 如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3,2)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是12. 定义在(0,+∞)上的函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若g(x)={3x −1,x ≤0f(x),x >0为奇函数，则f −1(x)=2的解为 ． 13. 已知四个函数：①y =−x ，②y =−1x ，③y =x 3，④y =x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．14. 已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N ∗，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N ∗，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．15. 设α1，α2∈R ，且12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π−α1−α2|的最小值等于 ． 16. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1,P 2,P 3,P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )=……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D 2(l P )，则Ω中所有这样的P 为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。

2017 年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题 1．下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（ ） A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2 2．如果在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正确的是（ ） A．tanB= B．cotB= C．sinB= D．cosB= 3．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（ ） A．扩大为原来的 3 被 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 4．对于非零向量 、 、 下列条件中，不能判定 与 是平行向量的是（ ）A． ∥ ， ∥ B． +3 = ， =3 C． =﹣3 D．| |=3| |5．在△ABC 和△DEF 中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC 和△DEF 相似的是（ ）A． =B． =C．∠A=∠E D．∠B=∠D6．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间 t（秒）的函数解析式为 h=﹣ t2+ t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1 米 B．1.5 米 C．1.6 米 D．1.8 米二、填空题7．如果线段 a、b、c、d 满足 = = ，那么 = ．8．计算： （2 +6 ）﹣3 = ． 9．已知线段 a=3，b=6，那么线段 a、b 的比例中项等于 ． 10．用一根长为 8 米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为 x 米，那么这个窗户 的面积 y（米 2）与 x（米）之间的函数关系式为 （不写定义域）． 11．如果二次函数 y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么 a 的值可能是 （只需写一个）． 12．如果二次函数 y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点，那么 m 的值是 ． 13．如果两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，那么它们的周长比是 ．114．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 = ，AE=4，那么当 EC 的长是 时， DE∥BC． 15．如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1、l2 于点 A、B、C 和点 D、E、F．如果 AB=6， BC=10，那么 的值是 ．16．边长为 2 的等边三角形的重心到边的距离是 ． 17．如图，如果在坡度 i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离 AC 为 3 米，那么两树间的坡面 距离 AB 是 米．18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=3，点 P 是边 AD 上的一点，联结 BP，将△ABP 沿着 BP 所在直线翻折得到△EBP，点 A 落在点 E 处，边 BE 与边 CD 相交于点 G，如果 CG=2DG，那么 DP 的长是 ．三、解答题19．计算：．20．已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：x…﹣10234…y…522510…（1）根据上表填空：2①这个抛物线的对称轴是 ，抛物线一定会经过点（﹣2，）；②抛物线在对称轴右侧部分是 （填“上升”或“下降”）；（2）如果将这个抛物线 y=ax2+bx+c 向上平移使它经过点（0，5），求平移后的抛物线表达式．21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D，延长 AD 至点 E，使DE= AD，过点 A 作 AF∥BC，交 EC 的延长线于点 F．（1）设 = ， = ，用 、 的线性组合表示 ；（2）求的值．22．如图 1 是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图 2），支架与坐 板均用线段表示，若座板 DF 平行于地面 MN，前支撑架 AB 与后支撑架 AC 分别与座板 DF 交于 点 E、D，现测得 DE=20 厘米，DC=40 厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°． （1）求椅子的高度（即椅子的座板 DF 与地面 MN 之间的距离）（精确到 1 厘米） （2）求椅子两脚 B、C 之间的距离（精确到 1 厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53， tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）23．已知：如图，菱形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥DC，垂足为点 E，交 AC 于点 F．求 证： （1）△ABF∽△BED； （2） = ．324．如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣1，0）和点 B，与 y 轴相交于点 C（0，3），抛物线的顶点为点 D，联结 AC、BC、DB、DC． （1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）求证：△ACO∽△DBC； （3）如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠BCE=∠ACO，求点 E 的坐标．25．已知，如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，点 D 在边 BC 上（不与点 B、 C 重合），点 E 在边 BC 的延长线上，∠DAE=∠BAC，点 F 在线段 AE 上，∠ACF=∠B．设 BD=x．（1）若点 F 恰好是 AE 的中点，求线段 BD 的长； （2）若 y= ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△ADE 是以 AD 为腰的等腰三角形时，求线段 BD 的长．42017 年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题 1．下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（ ） A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2 【考点】二次函数的性质． 【分析】可设其顶点式，结合选项可求得答案． 【解答】解： ∵抛物线顶点坐标是（﹣2，0）， ∴可设其解析式为 y=a（x+2）2， ∴只有选项 C 符合， 故选 C．2．如果在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正确的是（ ）A．tanB= B．cotB= C．sinB= D．cosB=【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据锐角三角函数的定义计算即可判断． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB==，∴tanB= = ，cotB= = ，sinB= =，cosB= =，故选：A/．3．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（ ）5A．扩大为原来的 3 被 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据△ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变和余切的概念解答． 【解答】解：因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的余切值也不变． 故选：C．4．对于非零向量 、 、 下列条件中，不能判定 与 是平行向量的是（ ） A． ∥ ， ∥ B． +3 = ， =3 C． =﹣3 D．| |=3| | 【考点】*平面向量． 【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可． 【解答】解：A、由 ∥ ， ∥ 推知非零向量 、 、 的方向相同，则 ∥ ，故本选项错误； B、由 +3 = ， =3 推知 与 方向相反， 与 方向相同，则非零向量 与 的方向相反，所 以 ∥ ，故本选项错误； C、由 =﹣3 推知非零向量 与 的方向相反，则 ∥ ，故本选项错误； D、由| |=3| |不能确定非零向量 、 的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确． 故选 D．5．在△ABC 和△DEF 中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC 和△DEF 相似的是（ ）A． =B． =C．∠A=∠E D．∠B=∠D【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质． 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定即可． 【解答】解：在△ABC 和△DEF 中，∵==，∴△ABC∽△DEF，6故选 B．6．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度 h（米）关于运行时间 t（秒）的函数解析式为 h=﹣ t2+ t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高 点时距离地面的高度是（ ） A．1 米 B．1.5 米 C．1.6 米 D．1.8 米 【考点】二次函数的应用． 【分析】利用配方法求得二次函数的最大值即可． 【解答】解：h=﹣ t2+ t+1=﹣ （t2﹣16t+64﹣64）+1=﹣ （t﹣8）2+ +1=﹣ （t﹣8） 2+1.8． 故选：D．二、填空题7．如果线段 a、b、c、d 满足 = = ，那么 =．【考点】比例线段．【分析】根据等比性质： = = ⇒ = = = ，可得答案．【解答】解：∵ = = ，∴由等比性质，得 = ．故答案为： ．8．计算： （2 +6 ）﹣3 = ﹣2 +3 ． 【考点】*平面向量． 【分析】根据平面向量的计算法则进行解答． 【解答】解：原式= ×2 + ×6 ﹣3 ， = +3 ﹣3 ， =﹣2 +3 ， 故答案是：﹣2 +3 ．79．已知线段 a=3，b=6，那么线段 a、b 的比例中项等于 3 ． 【考点】比例线段． 【分析】设线段 x 是线段 a，b 的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等 于两外项之积即可得出答案． 【解答】解：设线段 x 是线段 a，b 的比例中项， ∵a=3，b=6， ∴=， ∴x2=ab=3×6=18， ∴x=±3 （负值舍去）． 故答案为：3 ．10．用一根长为 8 米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为 x 米，那么这个窗户 的面积 y（米 2）与 x（米）之间的函数关系式为 y=﹣x2+4x （不写定义域）． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出 y 与 x 之间的函数关系式． 【解答】解：设这个矩形窗框宽为 x 米，可得：y=﹣x2+4x， 故答案为：y=﹣x2+4x11．如果二次函数 y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么 a 的值可能是 ﹣1 （只需写一个）． 【考点】二次函数的性质． 【分析】由抛物线开口方向可求得 a 的取值范围，可求得答案． 【解答】解： ∵二次函数 y=ax2（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， ∴可取 a=﹣1， 故答案为：﹣1．12．如果二次函数 y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点，那么 m 的值是 ﹣1 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．8【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求 m 即可． 【解答】解：∵二次函数 y=x2﹣mx+m+1 的图象经过原点， ∴m+1=0， 解得 m=﹣1， 故答案为：﹣1．13．如果两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，那么它们的周长比是 4：9 ． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】由两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9，根据相似三角形的对应线段（对应中线、 对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，周长的比等于相似比，即可求得答案． 【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比是 4：9， ∴它们的相似比为 4：9， ∴它们的周长比为 4：9． 故答案为：4：9．14．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 = ，AE=4，那么当 EC 的长是 6 时， DE∥BC． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】求出比例式，根据相似三角形的判定得出相似，根据相似三角形的性质得出△ADE∽△ ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：当 EC=6 时，DE∥BC， 理由是：∵ = ，AE=4，EC=6， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B，9∴DE∥BC， 故答案为：6．15．如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1、l2 于点 A、B、C 和点 D、E、F．如果 AB=6，BC=10，那么 的值是．【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例可得 = ，再根据 AB=6，BC=10，可求得答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥FC， ∴=， 又∵AB=6，BC=10， ∴ =， ∴ 的值是 ． 故答案为： ．16．边长为 2 的等边三角形的重心到边的距离是．【考点】三角形的重心． 【分析】根据等边三角形的性质、勾股定理求出高 AD，根据重心的性质计算即可． 【解答】解：如图，△ABC 为等边三角形，过 A 作 AD⊥BC，交 BC 于点 D，则 BD= AB=1，AB=2，在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得：AD==，则重心到边的距离是为： × = ，故答案为： ．1017．如图，如果在坡度 i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离 AC 为 3 米，那么两树间的坡面距离 AB 是米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】设 BC=x，则 AC=2.4x，再由勾股定理求出 AB 的长，根据 AC=3 米即可得出结论． 【解答】解：∵坡度 i=1：2.4， ∴设 BC=x，则 AC=2.4x，∴AB===2.6x．∵AC=3 米，∴ = = ，解得 AB= ．故答案为： ．18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=3，点 P 是边 AD 上的一点，联结 BP，将△ABP 沿着 BP 所在直线翻折得到△EBP，点 A 落在点 E 处，边 BE 与边 CD 相交于点 G，如果 CG=2DG，那么 DP 的长是 1 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【分析】根据题意求出 CG、DG，根据勾股定理求出 BG，根据相似三角形的判定定理得到△HEG ∽△BCG，根据相似三角形的性质求出 HG，得到 DH 的长，同理解答即可． 【解答】解：∵CG=2DG，CD=6，11∴CG=4，DG=2，由勾股定理得，BG==5，∴EG=1， 由折叠的性质可知，∠E=∠A=90°，又∠EGD=∠CGB， ∴△HEG∽△BCG，∴ = =，∴HG= ，∴DH=DG﹣HG= ， 同理，DP=1， 故答案为：1．三、解答题19．计算：．【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】把 30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式===2．20．已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：x…﹣10234…y…522510…（1）根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是 x=1 ，抛物线一定会经过点（﹣2， 10 ）；②抛物线在对称轴右侧部分是 上升 （填“上升”或“下降”）；12（2）如果将这个抛物线 y=ax2+bx+c 向上平移使它经过点（0，5），求平移后的抛物线表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换． 【分析】（1）①根据抛物线过点（0，2）、（2，2），即可得出抛物线的对称轴为 x=1，再根据二 次函数的对称性结合当 x=4 时 y=10，即可得出当 x=﹣2 时 y 的值； ②根据抛物线的对称轴为 x=1 结合当 x=2、3、4 时的 y 的值逐渐增大，即可得出抛物线在对称 轴右侧部分是上升； （2）根据点的坐标利用待定系数法即可求出原二次函数表达式，再根据点（0，5）在点（0，2） 上方 3 个单位长度处即可得出抛物线往上平移 3 个单位长度，在原二次函数表达式常数项上+3 即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵当 x=0 和 x=2 时，y 值均为 2， ∴抛物线的对称轴为 x=1， ∴当 x=﹣2 和 x=4 时，y 值相同， ∴抛物线会经过点（﹣2，10）． 故答案为：x=1；10． ②∵抛物线的对称轴为 x=1，且 x=2、3、4 时的 y 的值逐渐增大， ∴抛物线在对称轴右侧部分是上升． 故答案为：上升． （2）将点（﹣1，5）、（0，2）、（2，2）代入 y=ax2+bx+c 中，，解得：，∴二次函数的表达式为 y=x2﹣2x+2． ∵点（0，5）在点（0，2）上方 3 个单位长度处， ∴平移后的抛物线表达式为 y=x2﹣2x+5．21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D，延长 AD 至点 E，使 DE= AD，过点 A 作 AF∥BC，交 EC 的延长线于点 F． （1）设 = ， = ，用 、 的线性组合表示 ；（2）求的值．13【考点】*平面向量；等腰三角形的性质． 【分析】（1）由平面向量的三角形法则得到 ，然后结合已知条件 DE= AD 来求 ； （2）根据平行线截线段成比例和三角形的面积公式进行解答． 【解答】解：（1）∵如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC， ∴BD= BC， ∵ =， =， ∴ = + =+ ． 又∵DE= AD， ∴= = + ， ∴ = + =+ + + = + ；（2）∵DE= AD，AF∥BC， ∴ =， = =，∴== • =×=，即=．1422．如图 1 是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图 2），支架与坐 板均用线段表示，若座板 DF 平行于地面 MN，前支撑架 AB 与后支撑架 AC 分别与座板 DF 交于 点 E、D，现测得 DE=20 厘米，DC=40 厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°． （1）求椅子的高度（即椅子的座板 DF 与地面 MN 之间的距离）（精确到 1 厘米） （2）求椅子两脚 B、C 之间的距离（精确到 1 厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53， tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）作 DP⊥MN 于点 P，即∠DPC=90°，由 DE∥MN 知∠DCP=∠ADE=76°，根据 DP=CDsin ∠DCP 可得答案； （2）作 EQ⊥MN 于点 Q 可得四边形 DEQP 是矩形，知 DE=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出 BQ、 CP 的长可得答案． 【解答】解：（1）如图，作 DP⊥MN 于点 P，即∠DPC=90°，∵DE∥MN， ∴∠DCP=∠ADE=76°， 则在 Rt△CDP 中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39（cm）， 答：椅子的高度约为 39 厘米；（2）作 EQ⊥MN 于点 Q， ∴∠DPQ=∠EQP=90°， ∴DP∥EQ， 又∵DF∥MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，15∴四边形 DEQP 是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°， ∴DE=PQ=20，EQ=DP=39， 又∵CP=CDcos∠DCP=40×cos76°≈9.6（cm），BQ==≈24.4（cm），∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54（cm）， 答：椅子两脚 B、C 之间的距离约为 54cm．23．已知：如图，菱形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥DC，垂足为点 E，交 AC 于点 F．求 证： （1）△ABF∽△BED； （2） = ．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 【分析】（1）由菱形的性质得出 AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠ DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∵BE⊥DC， ∴∠FEC=∠BED， 由互余的关系得：∠DBE=∠FCE， ∴△BED∽△CEF， ∴△ABF∽△BED； （2）∵AB∥CD，∴，16∴，∵△ABF∽△BED，∴，∴=．24．如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣1，0）和点 B，与 y 轴相交于点 C（0，3），抛物线的顶点为点 D，联结 AC、BC、DB、DC． （1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）求证：△ACO∽△DBC； （3）如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠BCE=∠ACO，求点 E 的坐标．【考点】二次函数综合题；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定． 【分析】（1）根据抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），即可求得 b，c 的值， 进而得到抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）先根据 B（3，0），A（﹣1，0），D（1，4），求得 CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3， 进而得到 CD2+BC2=BD2，从而判定△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根据∠AOC=∠DCB，= ，判定△ACO∽△DBC； （3）先设 CE 与 BD 交于点 M，根据 MC=MB，得出 M 是 BD 的中点，再根据 B（3，0），D（1， 4），得到 M（2，2），最后根据待定系数法求得直线 CE 的解析式，即可得到点 E 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），∴，解得 ，∴抛物线的表达式为 y=﹣x2+2x+3， ∴顶点 D 的坐标为（1，4）；17（2）∵当 y=0 时，0=﹣x2+2x+3， 解得 x1=﹣1，x2=3， ∴B（3，0）， 又∵A（﹣1，0），D（1，4）， ∴CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3， ∴CD2+BC2=BD2， ∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°， ∴∠AOC=∠DCB， 又∵ = ， = ，∴=， ∴△ACO∽△DBC；（3）设 CE 与 BD 交于点 M， ∵△ACO∽△DBC， ∴∠DBC=∠ACO， 又∵∠BCE=∠ACO， ∴∠DBC=∠BCE， ∴MC=MB， ∵△BCD 是直角三角形， ∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC， ∴∠DCM=∠CDM， ∴MC=MD， ∴DM=BM，即 M 是 BD 的中点， ∵B（3，0），D（1，4）， ∴M（2，2）， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，则，解得，18∴直线 CE 为：y=﹣ x+3， 当 y=0 时，0=﹣ x+3， 解得 x=6， ∴点 E 的坐标为（6，0）．25．已知，如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，点 D 在边 BC 上（不与点 B、 C 重合），点 E 在边 BC 的延长线上，∠DAE=∠BAC，点 F 在线段 AE 上，∠ACF=∠B．设 BD=x．（1）若点 F 恰好是 AE 的中点，求线段 BD 的长； （2）若 y= ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△ADE 是以 AD 为腰的等腰三角形时，求线段 BD 的长． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）先判断出△ABD∽△ACF，进而判断出 AD=BD，再用解直角三角形的方法即可得出 BD； （2）先表示出 CF，进而表示出 MC，即可得出函数关系式； （3）分两种情况列出方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ， ∴AC=6，AB=10， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠FAC=∠DAB， ∵∠ACF=∠B，19∴△ABD∽△ACF，∴，在 Rt△ABC 中，点 F 恰好是 AE 的中点，∴CF= AE=AF，∴AD=BD， 在 Rt△ACD 中，AC=6，CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD， 根据勾股定理得，AC2+CD2=AD2， ∴36+（8﹣AD）2=AD2，∴AD= ，∴BD=AD= ，（2）如图 1，过点 F 作 FM⊥AC 于 M，由（1）知，∴=，∴CF== ×x= x，由（1）△ABD∽△ACF， ∴∠B=∠ACF，∴tan∠ACF=tanB=== ，∴MC= x，∴y===（0＜x＜8）（3）∵△ADE 是以 AD 为腰的等腰三角形， ∴①当 AD=AE 时， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠ACD=90°， ∴∠EAC=∠DAC=∠DAB， ∴AD 是∠BAC 的平分线，∴，∵AC=6，AB=10，CD=8﹣BD，20∴，∴BD=5，当AD=DE时，∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，∴∠ADE=2∠B，∴∠B=∠DAB，∴AD=BD=（是（1）的那种情况）．即：BD=5或BD=时，△ADE是以AD为腰的等腰三角形．2017年2月12日。

2017年奉贤区高考数学一模试卷含答案（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题(本大题满分54分)(本大题1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，AB =____________.2．已知复数z 满足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 3．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________. 4．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，且2)1(1=--f ，则=-)(1x f ____________.5．若对任意实数x ，不等式21x a ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是____________.6．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522=+y x 的右焦点重合，则p =____________.7．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____________.8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.9．互异复数0≠mn ，集合{}{}22,,nm n m =，则=+n m ____________.10．已知等比数列{}n a 的公比q ，前n 项的和n S ，对任意的*n N ∈,0n S >恒成立，则公比q 的取值范围是___________.11．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos 2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是____________.12．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增， 且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.主视图俯视图左视图二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=”表示的曲线是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图像可能是（ ）15．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．23π16．若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}{}11|,1,2,3,4,1,2,3,4ijx x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（第17-19每个满分14分，第20满分是16分，第21满分18分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点．（1）求三棱锥ACO P -的体积； （2）求异面直线MC 与PO 所成的角．PMABOC18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分已知函数()()2log 22-+=x xa ax f ()0>a ，且()21=f ．（1）求a 和()x f 的单调区间；（2）解不等式 ()()12f x f x +->．19．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东β()0900<<α方向，00090αβ<+<．求CB ．（结果用,,b αβ的表达式表示）．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分过双曲线1422=-y x 的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点.（1）求双曲线的渐近线方程； （2）当()2,0x P ，求直线l 的方程； （3）求证：OA OB ⋅是一个定值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若{}n a 是“紧密数列”，且4,,23,14321====a x a a a ，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，公差10a d ≤<，判断{}n a 是否为“紧密数列”； （3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.2017高三数学调研参考答案填空题1（1-6，每个4分）1．{}1- 2．1i +3．5 4．12x⎛⎫⎪⎝⎭5．1a ≤- 6．4 填空题2（7-12，每个5分）7．5 8．233+ 9．1- 10．()()1,00,-+∞11．(2,0x y x =≤≤ 12 选择题（每个5分）13．C 14．D 15．D 16．AD OCBAMP三、解答题（17-19每个满分14分，20满分是16分 ，21满分18分） 17．（1）点C 是弧AB 的中点，OC AB ⊥， 2分PO ⊥面AOC 4分三棱锥ACO P -的体积11443832V =⨯⨯⨯⨯= 7分 （2）如图，建立空间直角坐标系，()0,4,0A -，()0,4,0B ，()4,0,0C ，()0,0,3P 9分30,2,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10分 34,2,2MC ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭{}0,0,3PO =-33cos 3MC PO MC POθ⨯⋅===13分所以异面直线所出的角是89 14分也可以用平移法:连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又3PO ==，32MD ∴=．又542OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．可知MDDC ⊥,DC =tan 332DC DMC MD ∠===异面直线MC 与PO 所成的角arctan3A18．解：（1）22(1)log (2)2f a a =+-= 1分所以224a a +-= 2分 所以2a = 或 3()a =-舍 3分所以函数2()log (422)x xf x =+-又因为4220x x+-> 4分 得(22)(21)0x x+->，21x >，所以定义域(0,)D =+∞ 5分所以2()log (422)x xf x =+-的单调递增区间为(0,)+∞ 6分设()422x xt x =+- 任取120x x <<112212()()422(422)x x x x t x t x -=+--+- =121212124422(22)(221)x x x x x x x x -+-=-++ 7分因为2xy =为增函数，12122210,220xxxx ++>-<，12()()0t x t x ∴-<()()()122122()log log 0f x f x t x t x -=-<()12()f x f x ∴< 9分所以2()log (422)x xf x =+-的单调递增区间为(0,)+∞ 9分（2）()()12f x f x +->得()()12f x f x +>+1122log (422)log 4(422)x x x x +++->+- 11分1114224(422)4428x x x x x x ++++->+-=+⋅-所以23x<， 12分2log 3x < 13分所以不等式的解集为2(0,log 3) 14分19． 环节分值 答题表现 建模（满分7分）0分 没有体现建模意识1分 画出大致示意图或有等价文字描述，如图12-5分画出大致示意图或有等价文字描述，将已知的4个数据标在图中，每个1分，如图26-7分 画出大致示意图或有等价文字描述，已知的4个数据标在图中，在解题过程中将AC 和角B 正确地用相应的量表示，1个1分，如图3求解（满分7分）0分 结果与求解均不正确2分 求解过程正确，并且AC 和角B 不正确 4分 求解过程正确，并且AC 和角B 之一正确 7分求解过程正确，并且AC 和角B ，BC 正确图1 图2 图3解：在APC ∆中，045=∠ACP ，0135PAC α∠=-sin sin AC PCPAC=α∠ sin sin sin(135)AC PC bPAC ==α∠-α 所以sin sin(135)b AC α=-α=2sin sin cos b αα+α2分解法2：作AH PC ⊥，设AC x =045APC ∠=，22AH CH x ==，2cot 2PH x α=⋅， 22cot 22x x b α∴⋅+=，21cot bx AC α==+ 2分（2）因为()()()000180454590B αβαβ∠=-+-+=-+ 4分又因为0090αβ<+<，所以00090B <<在ABC ∆中sin sin AC BCB BAC=∠ 所以sin sin BACBC AC B∠=⋅=sin cos()b α⋅α+β 7分 若sin sin BACBC AC B ∠=⋅=()()0451cot cos()b α+⋅+αα+β 不扣分 20．解(1)令2204y x -= 得2y x =± 所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 3分 (2)因为P 在双曲线上，所以20414x -=，0x =， 又因为P在双曲线右支，所以0x = 5分设直线:2(l y k x -=联立方程组222(14y k x y x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩消元得222(4)2(2)4(2)0k x kx ----= 6分又因为1222(2)4kx x k-+==- 7分得k = 8分所以直线:2l y =- 9分 当k不存在时，x =不合题意 10分所以直线l的方程为2y =-(3)设直线l 与渐近线2y x = 与2y x =-分别交于 1122(,),(,)A x y B x y 所以AB 中点1212(,)22x x y y P +-，即1212(,)2x xP x x +- 12分 1212(,)2x x P x x +-在双曲线上，()221212124x x x x -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭13分得121x x = 14分又因为OA OB ⋅1212||5||5x x x x ==为定值 16分解法2：当直线斜率不存在时，01x =，()()1,2,1,2A B -，5OA OB ⋅= 11分当直线斜率存在时，设直线:2(l y k x -=2(2y k x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 000022,22kx y kx y A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，000022,22kx y kx y B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭12分若P 是AB 的中点.00000222kx y kx y x k k --+=-+，004x k y ∴= 13分A OA == 14分A OB == 15分2002554kx y OA OB k -⋅===- 16分21．解：(1)312221123221422x x ⎧⎪≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪⎪≤≤⎪⎩ 2分⇒ 23x ≤≤ 4分(2)因为等差数列{}n a ，10a d ≤<所以1(1)0n a a n d =+-≥ 5分 即证()*1122nna n N a +≤≤∈恒成立 即证1122n n n a a a +≤≤ 6分 ①111022n n n a a a d +-=+>所以112n n a a +≥ 8分 ②112(2)(2)(1)0n n n a a a d a n d d n d n d +-=-=+-≥+-=-≥所以12n n a a +≤ 10分 所以{}n a 是为“紧密数列”也可以作差法：因为等差数列{}n a ，()11112122n n n n n na nd a n d a a a a a a +++-+-⎡⎤-⎣⎦-==5分 1nd a a -= 6分 因为等差数列{}n a ，10a d ≤< 所以1(1)0n a a n d =+-≥ 7分 12n na a +≤ 8分 ()()1111212122n n n n n na nd a n d a a a a a a +++-+-⎡⎤-⎣⎦-==()110n a n da ++=≥10分(3)解：(解法1)由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，1n n a q a +=， 因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤ 11分 ① 当1q =时，1n S na =，111n n S S n +=+，所以12≤1＜111n n S S n+=+≤2. 故1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =足题意． 12分 ② 当1q ≠时，()111n n a q S q -=-，则1n nS S +111n n q q +-=-. 13分 因为数列{}n S 为“紧密数列”，所以12≤1n nS S +111n n q q +-=-≤2对于任意*n N ∈恒成立． (ⅰ) 当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-， 即()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩对于任意*n N ∈恒成立． 14分 因为301,0211,212n q q q q <≤<≤-<-≤-<-， 所以()0211n q q q <-<<，()()1330221224n q q q q ⎛⎫<-≥-≥⨯->->- ⎪⎝⎭， 所以，当112q ≤<时，()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≥-⎪⎩对于任意*n N ∈恒成立． 15分 (ⅱ) 当12q <≤时，()()1111212n n n q q q +-<-≤- 即()()21121n n q q q q ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩对于任意*n N ∈*恒成立． 16分 因为1,211,120nq q q q ≥>->-<-≤，所以()()21121q q q q -≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩解得1q =.又12q <≤，此时q 不存在． 17分 综上所述，q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18分。