2017年浦东新区高三数学一模官方定稿版(浦东印稿答案)

上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．4．函数的反函数是．5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是．10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1次，则满足要求的b1的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，﹣1设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；﹣1（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．2017年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据对数概念求解．【解答】解：∵lg（3x+4）=1，∴3x+4=10，x=2，∵故答案为：2．【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a=1，b=4或a=4，b=1，则a+b=5，故答案为：5．【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，故答案为：a n=2n﹣1．【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．【考点】反函数．【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．解得：x=（y﹣1）2．把x与y互换可得y=（x﹣1）2．∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出．==2r，令r=3，【解答】解：通项公式T r+1可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，C53A44=240，即含有“a”的共有240种．故答案为240．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．【分析】由已知得，或，由此能求出结果．【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=﹣，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．故答案为：{， }．【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出，这样，根据0°≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．【解答】解：==cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP===sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；∴；∴的取值范围为．故答案为：[]．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞） ．【考点】基本不等式．【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．【解答】解：，则x 2+y 2=2﹣+y 2，∵∴y2≥设y2=t，t≥，则f（t）=2+t﹣，∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：，，∴S的所有可能取值中的最小值为．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=∴b n+1﹣b n=a n=，∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，…，=b4n﹣2，，∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，故“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由≥1，即可得到所求范围．【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，即有1﹣a=a，可得a=，不成立；则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，可得≥1，解得a≥．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．故选D．【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，4×π=8π．∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan=，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．【解答】解：（1）时，；∴；（2）==；取最大值时，；又；∴在△ABC中，由正弦定理得：；即；∴．【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）分别单独建厂，共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）令h（x）=（0≤x≤20），可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，121.5≈25×≤y≤≈127.4，y的取值范围：[121.5，127.4]．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示出P1的坐标．（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．△x n﹣1【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）．（2）∵，∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，∴，∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，∴p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n，﹣1∵n=2016是偶数，n＞100，T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，﹣1当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）（T n）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。

2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）不等式≥2的解集是：．2．（4分）（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为．3．（4分）函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0）的反函数是．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*，其前n项和为S n，则S n=．5．（4分）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．6．（4分）若复数z满足|z|=1，则|（+i）（z﹣i）|的最大值是．7．（5分）已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则•的取值范围是．8．（5分）现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是．9．（5分）若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，则a2017=．10．（5分）已知曲线，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为，则a=．11．（5分）设集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，则点P所在的区域的面积为．12．（5分）已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x ﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）=，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．=μ B．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值14．（5分）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．15．（5分）“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（）A．任意m∈A，都有f（m+3）＞0 B．任意m∈A，都有f（m+3）＜0C．存在m∈A，都有f（m+3）=0 D．存在m∈A，都有f（m+3）＜0三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．18．（14分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣（1）求函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．19．（14分）如图，已知直线l：x+y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？20．（16分）数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n（n∈N*）组成集合A n={a1，a2，…，a n}，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；（1）若集合A n={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；（2）若集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合A k的T m与n=k+1时的T m（为了以示区别，用T m′表示）有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，集合A k+1其中m，k∈N*，2≤m≤k；（3）对于（2）中集合A n．定义S n=T1+T2+…+T n，求S n（用n表示）．21．（18分）已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．（1）验证：y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”；（2）已知f（x）=，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f （x）的“逼近函数”，求a，b的值；（3）已知f（x）=，x∈[0，4]的逼近确界为，求证：对任意常数a，b，M （a，b）≥．2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）不等式≥2的解集是：[0，1）．【解答】解：由≥2得﹣2==≥0，即≤0，即0≤x＜1，故不等式的解集为[0，1），故答案为：[0，1）2．（4分）（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为243．【解答】解：令x=﹣1，可得：（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为=35=243．故答案为：243．3．（4分）函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0）的反函数是f﹣1（x）=﹣+1，（x ≥1）．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0），∴x﹣1=﹣，∴x=﹣+1，互换x，y，得：y=﹣+1．（x≥1），∴f﹣1（x）=﹣+1，（x≥1）．故答案为：f﹣1（x）=﹣+1，（x≥1）．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*，其前n项和为S n，则S n=．【解答】解：由题可知S n=（1++++…+）=（1++）=（1++﹣）=（﹣）=，故答案为：．5．（4分）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为2．【解答】解：由三视图得到三棱柱的侧视图为一底面高为一边棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为；故答案为：2．6．（4分）若复数z满足|z|=1，则|（+i）（z﹣i）|的最大值是2．【解答】解：∵复数z满足|z|=1，∴=1．令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．则（+i）（z﹣i）=1+（z﹣）i+1=2+2isinθ．∴|（+i）（z﹣i）|=≤2，当且仅当sinθ=±1时取等号．∴|（+i）（z﹣i）|的最大值是2．故答案为：2．7．（5分）已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则•的取值范围是[﹣8，1）．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；将平面区域的三个顶点坐标分别代入计算平面向量数量，可得B（1，2），C（1，1），D（0，2）；∴当x=1，y=1时，•=5×1+（﹣4）×1=1，当x=1，y=2时，•=5×1+（﹣4）×2=﹣3，当x=0，y=2时，•=5×0+（﹣4）×2=﹣8；∴的取值范围是[﹣8，1）．故答案为：[﹣8，1）．8．（5分）现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是．【解答】解：现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数n=，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C61种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C41种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A44种．于是根据分步计数原理有C61C41A44种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p==．故答案为：．9．（5分）若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，则a2017=．【解答】解：因为a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，=（n﹣1）2a n﹣1，所以当n≥2时a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1两式相减得：na n=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，即n（n﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1，所以na n=（n﹣1）a n﹣1=…=2a2=a1，由a1=12可知a n==，所以a2017=，故答案为：．10．（5分）已知曲线，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为，则a=或．【解答】解：由丨PM丨2=（2cosθ﹣a）2+sin2θ=3cos2θ﹣4acosθ+1+a2，设cosθ=t，t∈[﹣1，1]，设f（t）=3t2﹣4at+1+a2，t∈[﹣1，1]，由二次函数的性质，对称轴t=，由0＜＜1时，0＜a＜，则当t=时，取最小值为：1﹣，则1﹣=，解得：a=±，由0＜a＜，则a=，当＞1时，即a＞，则f（t）在[﹣1，1]，单调递减，则当t=1时取最小值，最小值为：a2+4﹣4a，∴a2+4﹣4a=，整理得：16a2﹣64a+55=0，解得：a=或a=，由a＞，则a=，综上可知：a的值为：或，故答案为：或．11．（5分）设集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，则点P所在的区域的面积为2π．【解答】解：集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A ∩B是一个单元素集合，∴直线和抛物线相切，∴由x2+2bx+1=2a（x+b），即x2+2（b﹣a）x+1﹣2ab=0，有相等的实根，所以△=0即a2+b2=1，∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）∴如图所示，集合P中圆的边界的移动是半径为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个圆弧上，∴集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，∴集合C的面积=π+π=2π，故答案为：2π．12．（5分）已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）=，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．【解答】解：令y=1得：f（x+1）+f（x﹣1）=f（x），∴f（x+2）+f（x）=f（x+1），∴f（x﹣1）=﹣f（x+2），即f（x﹣1）+f（x+2）=0，∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x﹣3）+f（x）=0，∴f（x﹣3）=f（x+3），∴f（x）的周期为6，且f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=[f（0）+f（3）]+[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1），令x=1，y=0得2f（1）=f（0），∴f（0）=，∴f（0）+f（1）=，故答案为：．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．=μ B．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值【解答】解：样本平均数为，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数是总体平均数μ的估计值．故选：D．14．（5分）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．【解答】解：过E、F做AO的垂面交AO于G，如图，则，∴，∴，∴点E、F在该球面上的球面距离为．故选B．15．（5分）“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：根据绝对值不等式的性质得|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|，即|x﹣a|+|x+1|的最小值为|a+1|，若“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”，则|a+1|＜2，即﹣2＜a+1＜2，得﹣3＜a＜1，即“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的充要条件，故选：C16．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（）A．任意m∈A，都有f（m+3）＞0 B．任意m∈A，都有f（m+3）＜0C．存在m∈A，都有f（m+3）=0 D．存在m∈A，都有f（m+3）＜0【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，故有a＞0，且c ＜0．∴0＜a+a+c=2a+c，即＞﹣2，且0＞a+c+c=a+2c，即＜﹣，因此有﹣2＜＜﹣，又f（1）=a+b+c=0，故x=1为f（x）的一个零点．由根与系数的关系可得，另一零点为＜0，所以有：A={m|＜m＜1}．所以，m+3＞+3＞1，所以有f（m+3）＞0恒成立，故选：A．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．【解答】（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BD⊥PA．（2）解：由（1）可知BC⊥BD，==，∴S△BCD∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2，∴V P==．﹣BCD∵PC=CD=2，PB==，BC=1，∴BC2+PB2=PC2，∴PB⊥BC，==，∴S△BCP∴V D==，﹣BCP又V P=V D﹣BCP，∴=，﹣BCD解得h=．18．（14分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣（1）求函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx﹣===sin（2x﹣）；因为2kπ≤2x﹣≤2kπ，∴kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间为[0，]；（2）将函数向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sinx，g（x0）＞．即sinx＞，所以2kπ＜x＜2kπ，k∈Z，则（2kπ）﹣（2k）=＞1，所以对任意的整数k都存在x0∈（2kπ，2kπ），k∈Z，即存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．19．（14分）如图，已知直线l：x+y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A（3，3），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，即=2，整理得：（x﹣4）2+（y﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆．（2）由题意得=20，即c=40．∴直线l的方程为x+y﹣40=0．设|OA|=t，则A（t，t）（t＞0），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，∴=2，整理得：（x﹣t）2+（y﹣t）2=，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（t，）为圆心，以为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥．∴≥t，解得：t≤=15（﹣1），∴O，A之间的最远距离是15（﹣1）海里．20．（16分）数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n（n∈N*）组成集合A n={a1，a2，…，a n}，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；（1）若集合A n={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；（2）若集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合A k的T m与n=k+1时集合A k的T m（为了以示区别，用T m′表示）有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，+1其中m，k∈N*，2≤m≤k；（3）对于（2）中集合A n．定义S n=T1+T2+…+T n，求S n（用n表示）．【解答】（1）解：当n=3时，A3={1，3，5}，T1=1+3+5=9，T2=1×3+1×5+3×5=23，T3=1×3×5=15．（2）证明：当n=k+1时，集合A k+1有k+1个元素，比n=k时的集合A k多了一个元素：a k+1=2k+1﹣1．∴对应的包含两个部分：（i）若中不含a k+1，则中的任何一项恰好为n=k时集合A k的对应的T m中的一项．（ii）若中含a k+1的任何一项，除了a k+1，其余的m﹣1个数均来自集合A k，这m﹣1个数的乘积恰好为集合A k所对应的T m﹣1中的一项．∴有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，其中m，k∈N*，2≤m≤k．（3）解：由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想S n=﹣1．下面证明：（i）易知n=1时成立．（ii）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =+（2k+1﹣1）=﹣1，即n=k+1时，S k+1═﹣1也成立，综合（i）（ii）知对n∈N*，S n=﹣1成立．∴S n=﹣1．21．（18分）已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．（1）验证：y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”；（2）已知f（x）=，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f （x）的“逼近函数”，求a，b的值；（3）已知f（x）=，x∈[0，4]的逼近确界为，求证：对任意常数a，b，M （a，b）≥．【解答】解：（1）记G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．则|G （x）|的最大值为1，且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．故y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”．（2）F（x）=﹣（ax+b），由，可得M（a，b）=b，a=．存在x0∈（0，4）满足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，即F（x）=﹣x﹣b=﹣+﹣b，故x2=1．由F（1）=﹣b=b，可得b=．（3）证明：M（a，b）==|t﹣at2﹣b|=．当∉[0，2]时，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）≥．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=917．（5分）已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2016秋•浦东新区期中）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=（﹣∞，2）．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】求出关于A、B的范围，得到B的补集，从而求出A∪（∁U B）即可．【解答】解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．【点评】本题考查了函数的值域的解法，考查集合的运算，是一道基础题．2．（5分）（2016秋•浦东新区期中）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．【考点】4R：反函数．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令f（x）=2，且x≥0，求出x的值即可．【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x2﹣1=2，其中x≥0，解得x=；所以f﹣1（2）=．故答案为：．【点评】本题考查了函数与它的反函数的性质与应用问题，是基础题目．3．（5分）（2016秋•浦东新区期中）x＞1，则函数y=x+的值域是[3，+∞）．【考点】34：函数的值域．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】利用不等式法求值域即可．【解答】解：∵x＞1，则，x﹣1＞0，；那么：函数y=x+=x﹣1++1≥=3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y的值域是[3，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．4．（5分）（2016秋•浦东新区期中）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B={0，1，2}．．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5J ：集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．5．（5分）（2010•攀枝花三模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想．【分析】根据题，过取BC的中点E，连接C1E，AE，证明AE⊥面BB1C1C，故∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，解直角三角形AC1E即可．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．【点评】考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题6．（5分）（2010•浦东新区二模）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】32 ：分类讨论．【分析】发散思维，考查学生对于定义的明确掌握．先求出关于未知数的式子，再分情况讨论问题．【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．【点评】学生要学会具体情况具体分析，将题目分情况讨论，便于解题过程的明晰．7．（5分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有参数b 的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．8．（5分）（2016秋•浦东新区期中）（1+x）7的展开式中x2的系数是21．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；5P ：二项式定理．【分析】由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数．=x r【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r+1故展开式中x2的系数是=21故答案为：21．【点评】本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键．9．（5分）（2016秋•浦东新区期中）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．【分析】根据平均数与方差、标准差的计算公式，即可求出结论．【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2=×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2，所以标准差为s=．故答案为：．【点评】本题考查了平均数，方差与标准差的计算问题，是基础题目．10．（5分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f （x）+2，则g（﹣1）=﹣1．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．11．（5分）（2016秋•浦东新区期中）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性整理不等式为log a（x+1）＞log a（1﹣x），对底数a 分类讨论得出x的范围．【解答】解：f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．【点评】本题考查不等式的解法，对底数a的分类讨论是关键．12．（5分）（2013•辽宁一模）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【专题】2A ：探究型．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）（2016秋•浦东新区期中）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】33 ：函数思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（5分）（2010秋•仓山区校级期末）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】2A ：探究型．【分析】本题宜用作出相应的图象来辅助说明过点O与a、b都成60°角的直线存在情况，一图一析，【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选C【点评】本题考查异面直线所成的角，确定与直线所成角为多少度的线的个数，本题用语言不易说明，比较抽象，故采取了用图象辅助的方法，图象语言，直观易懂，要学会熟练使用图象语言来表述问题．15．（5分）（2016秋•浦东新区期中）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m=，由此能求出同一科目的书都相邻的概率．【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n==120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m==24，∴同一科目的书都相邻的概率为p===．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列知识的合理运用．16．（5分）（2016秋•浦东新区期中）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=9【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5Q ：立体几何．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以=2，同理：=2，=2，由R1+2R2=3R3，得+2=3．故选：C．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．17．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．18．（5分）（2016秋•浦东新区期中）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x ﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】3O：函数的图象．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】利用图象的变换规律，结合初等函数的图象特点，即可得到结论．【解答】解：对于：①y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于③y=log2（x﹣1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于④y==（1﹣），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15 ：综合题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5Q ：立体几何．【分析】如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，利用圆的周长公式π•AB=10π，解得AB=10，可得△PAB是等边三角形，即可得出．【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB是等边三角形，∴AD=AB•sin60°=10×=5．∴它的最高点到桌面的距离为5cm．【点评】本题考查了圆锥的轴截面的性质、圆的弧长与周长计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；47：指数型复合函数的性质及应用；7E：其他不等式的解法．【专题】11 ：计算题．【分析】由1＜2x＜8，得A=（0，3）．由，得B=（﹣2，3]．由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．由此能求出A∪B，C u A∩C．【解答】解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．（2分）由，得B=（﹣2，3]．（4分）由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．（6分）所以A∪B=（﹣2，3]，（8分）C U A∩C=（﹣2，0]∪[3，6）．（12分）【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21．（14分）（2015•长宁区一模）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC 的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲求三棱锥P﹣ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出△ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入△PMN 中，求出角即可．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为【点评】本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力．解题关键再与找平行线，本题主要通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．22．（14分）（2016秋•浦东新区期中）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），可得f（t）=100t （5x+1﹣）元．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，解出即可得出．【解答】解：（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t （5x+1﹣）元，t≥0，1≤x≤10．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x ≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，5]．【点评】本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3O：函数的图象．【专题】31 ：数形结合；32 ：分类讨论；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）利用分段函数求出f（x）的表达式，然后作出函数f（x）的图象，（2）结合函数的图象判断相应的性质，（3）根据图象利用换元法将条件进行转化，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点．（3）∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用条件求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．第21页（共21页）。

2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），令x﹣，k∈Z得： +2kπ≤x≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．【考点】8J：数列的极限．【分析】先表示出S n，a n，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n}是公差为2的等差数列，S n是{a n}的前n项和，则S n=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），a n=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 6 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点． 故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）max2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。

2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．4．（4分）函数的最小正周期T=．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q （5，2），那么m=．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）10．（5分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=．11．（5分）设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为．12．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0D．sinx﹣siny＞015．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．16．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．18．（14分）已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解．19．（14分）已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1）﹣m （x n）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．21．（18分）数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a i与a i+1之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．2017年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=（1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】解x2﹣2x＜0可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＞1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，则集合M={x|0＜x＜2}=（0，2）|x|＞1⇔x＜﹣1或x＞1，则集合N=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则M∩N=（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查集合交集的计算，关键是求出集合集合M、N，注意答案写成集合或区间的形式．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=1﹣2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα===，∴tanα===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．（4分）函数的最小正周期T=π．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q （5，2），那么m=1．【考点】4R：反函数．【专题】4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f（x）=2x+m的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过Q（5，2），原函数与反函数的图象关于y=x对称，∴f（x）=2x+m的图象经过Q′（2，5），即4+m=5，解得：m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系，它们的图象关于y=x对称，即坐标也对称．属于基础题．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】12：应用题；34：方程思想；4G：演绎法；5O：排列组合．【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表．【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有A41A42=48种，故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法．故答案为48．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x﹣2y=0（结果化为普通方程）【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y 与x的解析式．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2=2t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x=2y，即x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0【点评】此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．10．（5分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=2．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5P：二项式定理．，令r=2，可得a n，再利【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1用求和公式化简，利用数列的极限即可得出．=，令r=2，【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1可得：T3=2n﹣2x2．∴a n是二项式（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数，∴a n==．则=2= =2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．11．（5分）设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为324．【考点】F1：归纳推理．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5L：简易逻辑．【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，…．利用归纳推理即可得出．【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，…．利用归纳推理即可得：a15=（4，5），则a15=34+35=324．故答案为：324．【点评】本题考查了指数幂的运算性质、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是②③④．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】由题意曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k，所以③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．故答案为：②③④．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若：直线l与平面α垂直”，则“直线l垂直于平面α上无数条直线”，是充分条件；若直线l垂直于平面α上无数条直线，则直线l与平面α不一定垂直，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查线面垂直的定义，是一道基础题．14．（5分）已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0D．sinx﹣siny＞0【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5T：不等式．【分析】根据不等式的性质判断A，根据特殊值，判断C，D，根据指数函数的性质判断B【解答】解：因为x＞y＞0，所以＜，故A错误，因为y=（）x为减函数，故B正确，因为当1＞x＞y＞0时，log2x+log2y=log2xy＜0，故C错误，因为当x=π，y=时，sinx﹣siny＜0，故D错误，故选：B．【点评】本题考查不等式大小的比较，关键是掌握函常用函数的性质，属于基础题．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．16．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】53：函数的零点与方程根的关系；5B：分段函数的应用．【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用向量与所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小；=V P﹣ACD﹣V F﹣ADC求解．（2）直接利用V P﹣AFD【解答】解：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AP=2，，∠PDA=，∴AB=2，AD=4，则P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），，．∴cos＜＞===．∴异面直线EC与PD所成角的大小为；（2）V P=V P﹣ACD﹣V F﹣ACD==．﹣AFD【点评】本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；33：函数思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间，并求出x的值．【解答】解：（1）由正弦定理有==∴BC=•sinx，AB=，∴=sinx•sin（﹣x）•=（cosx﹣sinx）sinx=sin（2x+）﹣，其定义域为（0，）（2）∵﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∵x∈（0，）∴递增区间，∵方程=sin（2x+）﹣，∴sin（2x+）=1，解得．【点评】本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），2a=•2b，即a=b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得椭圆C的标准方程；（2）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x==，此能证明直线l总经过定点M （﹣2，0）．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由题意可知：2a=•2b，即a=b，由c=1，则a2=b2+c2=b2+1，代入求得：a2=2，b2=1，椭圆C的方程为：；（2）存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点证明：由OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2），设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：（k2+）x2+2k2x+k2﹣1=0，…（13分）由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，由直线AB的斜率k AB=AB的方程：y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，得：x=x1﹣y1•，y1=k（x1+1），﹣y2=k（x2+1），x=====﹣2，∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1）﹣m （x n）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4J：换元法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（2）求出f（x），对任意x∈R恒成立等价于F（x）min=f（x）+g（x）恒成立，求实数k的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是否恒成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，∵a＞0，对称轴x=1，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，∴，解得：a=1，b=0．∴g（x）=x2﹣2x+1故实数a的值为1，b的值为0．（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∵f（x）=g（|x|），∴f（x）=x2﹣2|x|+1，∵对任意x∈R恒成立，令F（x）=f（x）+g（x）=x2﹣2x+1+x2﹣2|x|+1=根据二次函数的图象及性质可得F（x）min=f（1）=0则F（x）min≥恒成立，即：≤0令log2k=t，则有：t2﹣2t﹣3≤0，解得：﹣1≤t≤3，即，得：故得实数k的范围为．（3）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜x i ＜…＜x n=3有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（x I）＜…＜f（x n）=f（3）所以|m（xi）﹣m（xi﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（x n）﹣f（x n）﹣1=f（x n）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是恒成立．M的最小值为4，即M min=4；【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为二次函数（3）的关键是真正理解新定义的含义．21．（18分）数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a i与a i+1之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．【考点】8B：数列的应用；8I：数列与函数的综合．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n，即可证明．（2）通过题意，易得数列{a n}的通项公式为an=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k ﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k ﹣3）2+（2k﹣2）2]=m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017时，可得数列{c n}中所有项的和．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．通过验证：n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出结论．【解答】（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴b n=n为等差数列，首项与公差都为1．（2）解：通过题意，易得数列{a n}的通项公式为a n=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k ﹣3）2+（2k﹣2）2]=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）=m（m﹣1）+2m+1﹣2．∴m=2017时，数列{c n}中所有项的和=22018+2033134．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．∵f（n）≥f（3）=3+，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，使不等式成立．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、作差法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017届高中数学·一模汇编 三角函数一、填空题1、（静安一模）函数2()13sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2、（静安一模）已知α为锐角，且3cos(),45πα+=则sin α= . 3、（黄浦一模）已知1sin()23πα+=，(,0)2πα∈-，则tan α的值为 4、（长宁嘉定一模）函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω= 5、（金山一模）如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 6、（金山一模）函数cos sin ()sin cos x x f x x x=的最小正周期是 7、（闵行一模）集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）8、（浦东一模）函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9、（普陀一模）若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 10、（松江一模）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为11、（虹口一模）设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =12、（虹口一模）已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条 件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）13、（杨浦一模）若ABC ∆中，4a b +=，o 30C ∠=，则ABC ∆面积的最大值是 。

14、（宝山一模）若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为 。

15、（崇明一模）已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点 且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 。

上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{3,4}解析：利用交集定义直接求解。

【考点】交集的求法。

2.【答案】3m =解析：36654P =⨯⨯，故3m =.【考点】实数值的求法。

3.【答案】(,0)-∞【解析】由11x x -＞得：11110x x x ->⇒⇒＜0＜。

【考点】解分式不等式4.【答案】9π【解析】代解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得34π36π3R =，可得3R =，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为2π9πR =．故答案为：9π．【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。

5.【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【考点】复数代数形式的乘除运算。

6.【答案】11【解析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得12||||||6PF PF -=，解可得2||PF 的值，即可得答案．【考点】双曲线的几何性质。

7.【答案】(4,3,2)-【解析】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为(4,3,2)，∴(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1(4,3,2)AC =-.故答案为：(4,3,2)-．【考点】空间向量的坐标的求法。

8.【答案】89【解析】由奇函数的定义，当0x ＞时，0x -＜，代入已知解析式，即可得到所求0x ＞的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值.【考点】函数的奇偶性和运用。

9.【答案】13【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数246n C ==，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【考点】概率的求法。

2024届上海浦东区高三一模数学试卷和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若集合A={x|x<3}，集合B={x|x>2}，则A∩B 为（）A. 空集B. {x|x<2}C. {x|x>2}D. {x|x<3}答案：D2. 已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(x)的对称轴为（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B3. 若a、b是方程x²-3x+2=0的两根，则a²+b²的值为（）A. 5B. 7C. 10D. 12答案：C4. 若函数g(x)=2x-3的图像与直线y=5x-6相交于点A，则点A的坐标为（）A. (1,1)B. (2,2)C. (3,3)D. (4,4)答案：A5. 在三角形ABC中，a=3，b=4，A=60°，则边c 的长度为（）A. 2B. √7C. 5D. √11答案：D6. 若函数h(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为2，则x的取值范围为（）A. x≥0B. x≤0C. -1≤x≤1D. x≥1或x≤-1答案：D7. 已知函数p(x)=x²+2x+1，若p(x)=0的解为a，则方程p(x-a)=0的解为（）A. a-1B. a+1C. a-2D. a+2答案：B8. 若f(x)=x²+2x+3在区间[-2,3]上的最大值为10，则最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 若a、b是方程x²+2x+1=0的两根，则a²+b²的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 已知函数q(x)=x²+4x+c的图像上存在点P(a,b)，使得q(x)在x=a时的导数等于2，则c的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共40分）11. 已知函数f(x)=x²-2x+c，若f(x)在区间[0,2]上的最大值为3，则c的值为________。

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共12小题，共54.0分)1.若集合A={x||x-1|＜2，x∈R}，则A∩Z= ______ ．【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={x||x-1|＜2，x∈R}={x|-2＜x-1＜2，x∈R}={x|-1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.抛物线y2=2x的准线方程是______ ．【答案】【解析】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=-故答案为：-先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．3.若复数z满足（i为虚数单位），则z= ______ ．【答案】1+2i【解析】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.已知sin（α+）=，α∈（-，0），则tanα= ______ ．【解析】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（-，0），∴sinα=-，∴tanα==-2．故答案为：-2．由α∈（-，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．5.以点（2，-1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是______ ．【答案】（x-2）2+（y+1）2=18【解析】解：将直线x+y=7化为x+y-7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=18．故答案为（x-2）2+（y+1）2=18．由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．本题考查直线与圆相切的性质，圆的标准方程等知识的综合应用，属于基础题．6.若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是______ ．【答案】10【解析】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，则此展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x10-3r，令10-3r=4，∴r=2，中含x4的项的系数=10，故答案为：10．根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知向量，（x，y∈R），，，若x2+y2=1，则的最大值为______ ．【答案】+1=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．利用≤+r即可得出．本题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（-3）= ______ ．【答案】-7【解析】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（-3）=-g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（-3）=-7．故答案为：-7．根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．本题考查了反函数与原函数的性质关系．属于基础题．9.在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=-3a n+1，且=，则a1的值为______ ．【答案】-12【解析】解：在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=-3a n+1，可得数列{a n}为公比为-的等比数列，=，可得====，可得a1=-12．故答案为：-12．由题意可得数列{a n}为公比为-的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．本题考查等比数列的通项和求和公式，以及数列极限的运算，属于中档题．10.甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有______ ．【答案】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33=20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．本题考查排列组合的运用，涉及分类计数问题，注意“甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法”的理解．11.已知点O，A，B，F分别为椭圆：＞＞的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为______ ．【答案】【解析】解：如图，A（-a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．由题意画出图形，求出、的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．12.已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1），【解析】解：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，由“对勾'函数单调性知，=2x+=2（x+）在区间[1，4]上单调递增，∴g（x2）min=g（1）=3；∵=2ax2+2x，当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；∴f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=-，当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°若-≤1，即a≤-时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤-时满足题意；2°若1＜-＜4，即-＜a＜-时，f（x）max=f（-）=-≤3，解得：-＜a≤-；3°若-≥4，即-≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤-∉（-，0），故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（- ，-]．故答案为： ，．依题意可知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a ＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）≤3即可求得实数a的取值范围．max本题考查函数恒成立问题，由题意分析出当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min 是关键，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算能力，属于难题．三、解答题(本大题共5小题，共76.0分)17.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即∠，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴，∴．（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，∴AM==3，，，所以∠，故异面直线PM与AB所成的角为．【解析】（1）在R t△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．本题考查了棱锥的体积计算，空间角的计算，属于中档题．18.已知双曲线C以F1（-2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．【答案】解：（1）设双曲线C的方程为＞，＞，半焦距为c，则c=2，，a=1，…（2分）所以b2=c2-a2=3，故双曲线C的方程为．…（4分）双曲线C的渐近线方程为．…（6分）可得2x2-2tx-t2-3=0（*）…（8分）△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，，又由，可知x1x2+y1y2=0，…（11分）即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得，故-（t2+3）+t2+t2=0，解得，所以直线l方程为．…（14分）【解析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．19.现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【答案】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，∠，MD=R sinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知∠∠∠，…（2分）又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，∠∠可得…（5分）=＜＜…（8分）（2）…（10分）=（其中）…（12分）当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，，所以S的最大值为．…（14分）【解析】（1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=∠，MD=R sinθ，利，用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理∠∠求解S=S△COD+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF的解析式即可．（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．本题考查函数与方程的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【答案】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…（2分）此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（4分）（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a-6）x2+4ax+6（a-2）=0有实解，…（7分）若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2-24（a-6）（a-2）≥0，解得，2=2x+bx2+4+4b⇔3×2x+4bx-4=0，…（12分）令g（x）=3×2x+4bx-4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=-1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=-1＜0，＞，故g（x）在，内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…（16分）【解析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由属于集合M，推出有实解，即（a-6）x2+4ax+6（a-2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx-4=0，令g（x）=3×2x+4bx-4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．21.已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1-a n（n=1，2，3，…）．（1）若b n=10-n，求a16-a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【答案】解：（1）由b n=10-n，可得b n+1-b n=（9-n）-（10-n）=-1，故{b n}是等差数列．所以a16-a5=（a16-a15）+（a15-a14）+（a14-a13）+…+（a6-a5）=…（4分）（2）a2n+3-a2n+1=（a2n+3-a2n+2）+（a2n+2-a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231-2n）-（22n+1+232-2n）=22n+1-231-2n…（6分）由a2n+3＜a2n+1⇔22n+1-231-2n＜0⇔n＜7.5，a2n+3＞a2n+1⇔22n+1-231-2n＞0⇔n＞7.5，…（8分）故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．…（10分）法二：由，…（5分）可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n==取等号）所以数列{a2n+1}中的第8项最小．…（10分）（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则c n+1-c n=（a n+1-a n）+2（a n+2-a n+1）=d+2d=3d为常数，所以数列{c n}为等差数列．…（12分）由b n=a n+1-a n=d（n=1，2，3，…），可知b n≤b n+1（n=1，2，3，…）．…（13分）若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，则c n+1-c n=（a n+1-a n）+2（a n+2-a n+1）=b n+2b n+1=D（n=1，2，3，…），…（15分）又b n+1+2b n+2=D，故（b n+1-b n）+2（b n+2-b n+1）=D-D=0，又b n+1-b n≥0，b n+2-b n+1≥0，故b n+1-b n=b n+2-b n+1=0（n=1，2，3，…），…（17分）所以b n+1=b n（n=1，2，3，…），故有b n=b1，所以a n+1-a n=b1为常数．故数列{a n}为等差数列．综上可得，“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．…（18分）【解析】（1）判断{b n}是等差数列．然后化简a16-a5=（a16-a15）+（a15-a14）+（a14-a13）+…+（a6-a5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a2n+3-a2n+1=22n+1-231-2n，判断a2n+3＜a2n+1，求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，带带数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．．法二：化简，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=，利用基本不等式求出最小值得到数列{a2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，说明数列{c n}为等差数列．由b n=a n+1-a n=d （n=1，2，3，…），推出b n≤b n+1，若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，转化推出b n+1=b n（n=1，2，3，…），说明数列{a n}为等差数列．得到结果．本题考查数列的综合应用，等差数列的性质等比数列的判断，数列求和，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、选择题(本大题共4小题，共20.0分)13.若x∈R，则“x＞1”是“＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，故x＞1是＜1的充分不必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．14.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A.若l∥α，α∩β=m，则l∥mB.若l∥α，m∥α，则l∥mC.若l⊥α，m∥α，则l⊥mD.若l∥α，m⊥l，则m⊥α【答案】C【解析】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，若l∥α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．15.在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得，故选C．设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得结论．本题考查直接法求轨迹方程，考查斜率公式的运用，属于中档题．16.若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②均为假命题【答案】B【解析】解：对于命题①：令t=，函数=-t2+2t，∵t=在（0，1）上是增函数，函数y=-t2+2t在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；G（x）=在（0，1）上是减函数，∴函数是（0，1）上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数=是（0，1）上的增函数，H（x）=是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；故选：B．对函数，G（x）=在（0，1）上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数=，H（x）=在（0，1）上单调性进行判断，得命题②是假命题．本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数的单调性，属于中档题．。

1、（静安一模）函数2()13sin 4f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2、（静安一模）已知α为锐角，且3cos(),45πα+=则sin α= . 3、（黄浦一模）已知1sin()23πα+=，(,0)2πα∈-，则tan α的值为 4、（长宁嘉定一模）函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=5、（金山一模）如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 6、（金山一模）函数cos sin ()sin cos x x f x x x=的最小正周期是7、（闵行一模）集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）8、（浦东一模）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9、（普陀一模）若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 10、（松江一模）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为11、（虹口一模）设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =12、（虹口一模）已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“sin A =”的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）13、（杨浦一模）若ABC ∆中，4a b +=，o30C ∠=，则ABC ∆面积的最大值是 。

14、（宝山一模）若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为 。

15、（崇明一模）已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个 最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 。

16、（奉贤一模）已知函数()sin cos f x x x ωω=+(0)ω>，x R ∈，若函数()f x 在区间 (,)ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 。

2017年上海市松江区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N．2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=．3．已知函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）．4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为．5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为．6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是．8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若=，则n=．9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=．11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈．12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，若|a n﹣a n|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递+1增数列、{a2n}是递减数列，则=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C．D．15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A．2个B．6个C．8个D．10个16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（）A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（﹣1，0）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．18．已知函数F（x）=，（a为实数）．（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B 点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率k PA，k PB均存在，求证：k PA•k PB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l 绕点F1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n ＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=a n，c n=，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．2017年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N{1} ．【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}．故答案为：{1}．2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．3．已知函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）2．【考点】反函数．【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．【解答】解：函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1=a﹣1，解得：a=2．∴f（x）=2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1=3时，x的值．由2x﹣1=3，解得：x=2．∴f﹣1（3）=2．故答案为2．4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为（0，1）∪（1，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵x|x﹣1|＞0，∴x＞0，|x﹣1|＞0，故x﹣1＞0或x﹣1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为π．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期．【解答】解：∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），∴f（x）=•=sin2x﹣sinxcosx===．∴T=．故答案为：π．6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率．【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，基本事件总数n=，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===．故答案为：．7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是143．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=143时满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x＞115，执行循环体，x=71，k=2不满足条件x＞115，执行循环体，x=143，k=3满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143．故答案为：143．8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若=，则n=11．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，比较系数即可得出．【解答】解：∵（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，又=，∴=，∴=，n﹣2=9，则n=11．故答案为：11．9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=10．【考点】曲线与方程．【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．【解答】解：曲线C可化为： =1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（0，±3）时取最大值，故答案为10．11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】问题转化为f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可．【解答】解：若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，即f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，如图示：，点（2，0）到直线y=kx的距离d==1，解得：k=，故：0＜k＜；故答案为：（0，）．12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，若|a n﹣a n|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递+1增数列、{a2n}是递减数列，则=﹣．【考点】数列的极限．【分析】依题意，可求得a3﹣a2=22，a4﹣a3=﹣23，…，a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1，累加求和，可得a2n=﹣•22n，a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+•22n；从而可求得的值．【解答】解：∵a1=1，a2=3，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），∴a3﹣a2=±22，}是递增数列、{a2n}是递减数列，又{a2n﹣1∴a3﹣a2=4=22；同理可得，a4﹣a3=﹣23，a5﹣a4=24，a6﹣a5=﹣25，…，a2n﹣a2n﹣2=22n﹣2，﹣1=﹣22n﹣1，a2n﹣a2n﹣1∴a2n=（a2n﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=1+2+（22﹣23+24﹣…+22n﹣2﹣22n﹣1）=3+=﹣•22n﹣2=﹣•22n；=a2n+22n﹣1=+•22n；∴a2n﹣1∴则===﹣．故答案为：﹣．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由+＞2，得：＞0，故ab＞0且a≠b，故“ab＞0“是“+＞2”的必要不充分条件，故选：B．14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．【解答】解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小．由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为，∴．由，可得，得AP=．故选：C．15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A．2个B．6个C．8个D．10个【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论．【解答】解：由=0，可得a11a22﹣a12a21=0，由于a11，a12，a21，a22∈{0，1}，可得矩阵可以是，，，，，，，，，．则这样的互不相等的矩阵共有10个．故选：D．16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（）A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（﹣1，0）【考点】类比推理．【分析】由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），即可得出结论．【解答】解：由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），∴﹣1≤﹣x＜x2≤1，∴0＜x≤1，故选：A．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出△PBC，△PDC都是等边三角形，从而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能证明PC⊥BD．（2）连接AC，交BD于点O，连OE，则AP∥OE，∠BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…∵E是棱PC的中点，∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE…又BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD…解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE．四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…又E是PC的中点∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE∴∠BOE即为BE与PA所成的角…在Rt△BOE中，BE=，EO=，…∴．∴直线BE与PA所成角的余弦值为．…18．已知函数F（x）=，（a为实数）．（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（﹣x）的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f（x）是偶函数，②若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）≥1以及f （x）≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案．【解答】解：（1）函数F（x）=定义域为R，且F（﹣x）==，①若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（﹣x），即=，即2x（a+1）=a+1，解可得a=﹣1；②若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=﹣f（﹣x），即=﹣，即2x（a﹣1）=1﹣a，解可得a=1；故当a=﹣1时，y=f（x）是偶函数，当a=1时，y=f（x）是奇函数，当a≠±1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数，（2）由f（x）≥1可得：2x+1≤a•2x﹣1，即≤a﹣1 …∵当x≥1时，函数y1=单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f（x）≤3 可得：a•2x﹣1≤3•2x+3，即a﹣3≤，∵当x≥1时，y2=单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3．19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B 点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x===18.86；（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：=，OH==2.28，则倾斜角∠OPH=arctan=arctan=6.89°．【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，∴AH=BH=x…在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x===18.86…（2）在△BOH中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由=，得OH==2.28，…∴∠OPH=arctan=arctan=6.89°，…∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°．…20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率k PA，k PB均存在，求证：k PA•k PB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l 绕点F1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，将其坐标代入k PM•k PN中，计算可得答案．（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论．【解答】（1）解：由题意得…解得a=1，b=…∴双曲线C的方程为；…（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（﹣x0，﹣y0）．设P（x，y），…则k PA•k PB=，∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，…所以k PA•k PB==3 …（3）解：由（1）得点F1为（2，0）当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴x1+x2=，x1x2=假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n）则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n]=（k2+1）x1x2﹣（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2==0，故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，∴，解得m=﹣1，n=0∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．…21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n ＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=a n，c n=，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m范围即可得出．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．解出即可判断出结论．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n=，且每一项均为正整数，且a n﹣a n=a n（q﹣1）＞2＞0，可得a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n +1﹣a n}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣1﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m或m＜0．∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．∵=2+＞2，且=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n=，且每一项均为正整数，且a n﹣a n=a n（q﹣1）＞2＞0，+1∴a1＞0，q＞1．∵a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n﹣a n﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，①当a1=1，q=4时，，则，令，则，令，则=，∴{d n}为递增数列，即 d n＞d n﹣1＞d n﹣2＞…＞d1，﹣c n＞c n﹣c n﹣1＞c n﹣1﹣c n﹣2＞…＞c2﹣c1，即 c n+1﹣c n＞2，∵，所以，对任意的n∈N*都有c n+1即数列{c n}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时，，则，显然，{c n}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，故数列{c n}不是“H型数列”；综上：当时，数列{c n}为“H型数列”，当时，数列{c n}不是“H型数列”．。