2017年北京市西城区高三一模理科数学试题(word版含答案)

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题 共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=u u u r u u u r u u u rB ．12AB BC DA =+u u u ru u ur u u u rC ．AD DC AC -=u u u r u u u r u u u rD ．2CD BA CA +=u u u r u u ru u r5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正 视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正 方形，那么该几何体的表面积是 A ．16 B ．20 C ．1242+D ．1642+开始 是输出S 否 n =1，S = 0 n <5 S = S +2 n n = n +1结束ODCBA6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一 组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18． 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若 成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则 该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB =BC =3，210CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r，()121,0i i A A i +=-u u u u ur()1,2,,,i n =L L ， ()11,2,,,i i i A B A i n +∆=L L 是等边三角形，且点12,,,,n B B B L L 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =L L 的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1. （I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为X 012 3 P940abc（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率； （III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)参考答案（理科）一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15． 解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ） 因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)42x π+=， 所以()f x 取得最大值3； 当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分 （Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P .∴()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r.∴cos ,3PC AB PC AB PC AB ===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线PC 与AB…………………………8分 （Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23， 设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =u u u r ，()1,0,DE m =-u u u r. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =r，∴0n DC =u u r u u u r g ，0n DE =u u r u u u rg ，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =u u u r，∴2cos ,3n AP =u u r u u u r，即42.3n AP n AP==⋅r u u u rg r u u u r 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17． 解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分 所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分 （Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+==………………………… 10分 （Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-==所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=， 令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分 所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分 （II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>， 所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞）， 所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F，离心率为2所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222kx x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分 所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤2= ………………………… 12分 当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k=时，PAB ∆ ………………………… 13分20． 解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =， 所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分 （Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++L . ①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠， 所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分 （ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分 （Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++L ()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥， 所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

2017年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么 A∩∁U B=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（，0）C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）4．函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．则“曲线：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在△ABC中，点D满足=3，则（）A． =+B． =﹣C． =+D． =﹣7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．28．函数f（x）的图象上任意一点A（x，y）的坐标满足条件|x|≥|y|，称函数f（x）具有性质P，下列函数中，具有性质P的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=sinx D．f（x）=ln（x+1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数 y=的定义域为．10．执行如图所示的程序框图．当输入x=ln时，输出的y值为11．圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是，直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|= ．12．函数f（x）=的最小正周期是．13．实数x，y满足，则x2+y2的最大值是；最小值是．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知{a n}是等比数列，数列满足a1=3，a4=24，数列{b n}满足b1=1，b4=﹣8，且{a n+b n} 是等差数列．（I ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（I）求角C的大小；（II）求sinA+sinB的最大值．17．（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度P i0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：1 2 3 4 5题号学生编号1 ×√√√√2 √√√√×3 √√√√×4 √√√××5 √√√√√6 √××√×7 ×√√√×8 √××××9 √√√××10 √√√√×（I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]，其中P′i为第i题的实测难度，P i为第i 题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．19．（14分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣x2，设l为曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直线l的方程（用x0表示）（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．数学试题答案一、1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴∁U B={2，3，5，6}；∴A∩∁U B={3，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数分母实数化，再化简即可．【解答】解： =故选D．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答．【解答】解：函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x=0的实数根的个数，即log2x=（）x，令f（x）=log2x，g（x）=（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了转化思想，数形结合思想的应用问题，是基础题．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，反之不成立．【解答】解：∵函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，若曲线：y=f（x）过原点”，则f（x）不一定为奇函数．：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可．【解答】解：△ABC中，点D满足=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4的四面体，计算各条棱的长度可得答案．【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，根据已知的三视图，判断几何体的形状和尺寸关系是解答的关键．8．【考点】3T：函数的值．【分析】不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，由此能求出结果【解答】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示：函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，在A中，f（x）=x2图象分布在区域①②和③内，故A不具有性质P；在B中，图象分布在区域②和③内，故B不具有性质P；在C中，f（x）=sinx图象分布在区域①和②内，故C具有性质P；在D中，f（x）=ln（x+1）图象分布在区域②和④内，故D不具有性质P．故选：C．【点评】本题考查函数是否具有性质P的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、数形结合思想的合理运用．二、9．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．10．【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数y=的值，由于x=ln=﹣ln2＜0，可得：y=e=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，是容易题．11．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】本题可以将圆的普通方程化成为标准方程，得到圆心坐标和半径长，得到本题结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1．圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2，故答案为：（1，1），2．【点评】本题考查了圆的普通方程和标准方程的互化，本题难度不大，属于基础题．12．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名，即可求解周期．【解答】解：函数f（x）===tan2x．∴最小正周期T=．故答案为．【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质，比较基础．13．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域：而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离的平方，点在阴影区域里运动时，点P到点O，OP最大当在点P（1，2），z最大，最大值为02+22=4，Q在直线2x+y﹣2=0，OQ与直线垂直距离最小，可得z的最小值为： =，故答案为：4；．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．14．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】可得P的轨迹就是以A1为球心的球面与面ABCD的交线．即以A为圆心，半径为1的圆面【解答】解：通过作图，当A1P=时，分析得到P在以A1为球心，以为半径的球面上，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，由此可得P的轨迹就是球与面ABCD的交公共部分，即以A为圆心，半径为1的圆面，其面积为．故答案为：【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a4=a1q3，∴q 3=8，解得q=2，∴a n =3×2n ﹣1，设等差数列{a n +b n } 的公差为d ，由题意得：a 4+b 4=（a 1+b 1 ）+3d ，∴24﹣8=（1+3）+3d ，解得d=4，∴a n +b n =4+4（n ﹣1）=4n ，∴b n =4n ﹣3×2n ﹣1，（Ⅱ）数列{a n }的前n 项和为=﹣3+3×2n ，数列{a n +b n }的前n 项和为=n （2n ﹣4）=2n 2﹣4n ， 故{b n }的前n 项和为2n 2﹣4n+3﹣3×2n【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n 项和，是中档题．16．【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（I ）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C 的值．（II ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=sin （A+），由范围＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．【解答】解：（I ）∵2csinA=atanC ，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC ，则2sinC sinA=sinA•，由sinCsinA ≠0得，cosC=，∵0＜C ＜π，∴C=．（II ）则A+B=，∴B=﹣A ，0＜A ＜，∴sinA+sinB=sinA+sin （﹣A ）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜， ∴当A+=时，sinA+sinB 取得最大值，【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，求出C的大小是解决本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．17．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i=，得到难度系数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）由S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]计算出S值，与0.05比较后，可得答案．【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；题号 1 2 3 4 5实测答对人数8 8 8 7 2实测难度0.8 0.8 0.8 0.7 0.2（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，共有=10种不同的情况，其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况，故恰好有1人答对第5题的概率P==；（Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.8﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.014＜0.05，故该次测试的难度预估合理．【点评】本题考查的知识点是统计与概率，古典概型的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得，（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因为PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，∴F为PC中点，∴，（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．19．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，依题意列式求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设出直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，进一步求出直线OM的斜率，得到直线OM的方程，再求得D的坐标，得到直线DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，则答案得证．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，则椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（），∴直线OM的斜率是，∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直线DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，∴OE∥AP．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．20．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由直线l的方程，可令x=0，求出y，再求导数，判断导数符号小于等于0，可得函数y的单调性，即可得到所求最值，进而得到l在y轴上截距的范围；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，二次求出导数，即可判断函数y的单调性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x2的导数为f′（x）=e x﹣x，可得切线的斜率为k=e x0﹣x0，切点为（x0，e x0﹣x02），切线l的方程为y﹣e x0+x02=（e x0﹣x0）（x﹣x0），即为（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直线l：（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=e x0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．则y′=e x0（﹣x0）+x0=x0（1﹣e x0），当x0=0时，1﹣e x0=0，则x0（1﹣e x0）=0；当x0＞0时，1﹣e x0＜0，则x0（1﹣e x0）＜0；当x0＜0时，1﹣e x0＞0，则x0（1﹣e x0）＜0；综上可得x0（1﹣e x0）≤0恒成立．则y=e x0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上递减，可得y的最大值为+，最小值为．则直线l在y轴上的截距的取值范围是[， +]；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，则y′=e x﹣x﹣1，y′′=e x﹣1，可得e x﹣1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e x﹣x2﹣x[0，+∞）递增，可得1+e x﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，则|MN|的最小值为2，此时a=1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查方程思想和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2017 年北京，理 1，5 分】若集合 A {x | –2 x 1} ， B {x | x –1或x 3}，则 A B =（ ）（A） {x | –2 x 1}（B） {x | –2 x 3}（C） {x | –1 x 1}（D） {x |1 x 3}【答案】A【解析】 A B x 2 x 1，故选 A．（） 【2017 年北京，理 2，5 分】若复数 1 ia i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（）（A） ,1（B） , 1（C）1, （D）1, 【答案】B【解析】z1iaia11ai，因为对应的点在第二象限，所以a1 0，解得： a 1 ，故选1 a 0B．（） 【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）（A）23 （B）2（C） 5 3（D）8 5【答案】C【解析】k 0 时，0 3 成立，第一次进入循环11k 1, s 2 ，1 3 成立，第二次进入循环，1k2, s2 13，23成立，第三次进入循环k3,s3 21 5，33否，输出22332s5，3故选 C．x 3，（） 【2017 年北京，理 4，5 分】若 x y 满足 x y 2，则 x 2 y 的最大值为（ ），y x，（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， z x 2 y 表示斜率为 1 的一组平行线，当过点 C 3, 3时，2目标函数取得最大值zmax323 f(9x)，故3x选 (1D．（） 【2017 年北京，理 5，5 分】已知函 数)x ，则 f (x) （ ） 3 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】A1【解析】 f x 3x 1x 1 x 3x f x，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数， 1x 是减函数，根 3 3 3 据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A．（） 【2017 年北京，理 6，5 分】设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n”是“ m n < 0 ”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 0 ，使m n，即两向量反向，夹角是1800，那么m n m n cos1800 m n0，反过来， 若 m n0，那么两向量的夹角为900,1800，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得m n，所以是充分不必要条件，故选 A．（） 【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （）（A） 3 2（B） 2 3（C） 2 2（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， l 22 22 22 2 3 ，故选 B．（） 【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 ， 而可M观 （测参宇考宙数中据普：通lg物3质 0的.4原8 子）总数 N 约为1080 ．则下列各数中与 N 最接近的是（ ）（A） 1033【答案】D【解析】设 M x 3361N1080（B） 1053（C） 1073（D） 109333613618093.28，两边取对数，lgxlg 1080lg 3 lg10 361 lg 3 80 93.28 ，所以 x 10，即 M 最接近1093 ，故选 D． N第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

西城区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A ）43 （B ）6 （C ）42 （D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____． 11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]33sin 2A A = [ 9分]π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin A B +取得最大值3． [1317．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12百度文库 - 让每个人平等地提升自我1111 所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分] （Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形．[ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增，[12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =．[13分]。

北京市西城区2017届高三一模考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，那么（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．双曲线的焦点坐标是（A），（B），（C），（D），4．函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）5．函数定义在上．则“曲线过原点”是“为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6．在中，点满足，则（A）（B）（C）（D）7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）（B）（C ） （D ）8．函数的图象上任意一点的坐标满足条件，称函数具有性 质．下列函数中，具有性质的是 （A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数的定义域为____．10．执行如图所示的程序框图. 当输入时，输出的值为____． 11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____； 直线与圆相交于两点，则____． 12．函数的最小正周期是____．13．实数满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动．平面区域由所有满足的点组成，则的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 16．（本小题满分13分）在△中，角的对边分别为，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的最大值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数． 现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号12 3 4 5 1× √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，求的值；（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，为椭圆的右焦点．，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，为椭圆上一点，的中点为．直线与直线交于点，过作，交直线于点．求证：．20．（本小题满分13分）已知函数．设为曲线在点处的切线，其中． （Ⅰ）求直线的方程（用表示）； （Ⅱ）求直线在轴上的截距的取值范围； （Ⅲ）设直线分别与曲线和射线交于两点，求的最小值及此时的值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．，且 10． 11．；12． 13．； 14． 注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意得， 解得． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列的公差为，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列的前项和为；数列的前项和为．[12分] 所以，数列的前项和为． [13分]16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由，得． [ 1分] 由正弦定理得． [ 3分]所以． [ 4分] 因为， [ 5分] 所以． [ 6分] （Ⅱ） [ 7分][ 9分] ． [11分]因为，所以， [12分] 所以 当时，取得最大值． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分] 所以，估计120人中有人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种． 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为． [10分]（Ⅲ）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-． [12分]因为，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为平面，所以． [ 1分] 因为为正方形，所以， [ 2分] 所以平面． [ 3分] 所以平面平面． [ 4分]（Ⅱ）连接． [ 5分]因为平面，所以． [ 7分] 又因为，所以是的中点． [ 8分] 所以． [ 9分] （Ⅲ）与平面不可能平行． [10分]证明如下： 假设平面， 因为，平面．所以平面． [12分] 而平面，所以 平面平面，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即与平面不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得，． [ 2分] 解得，． 所以，所以椭圆的方程是． [ 5分] （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得．设的中点， ．设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以． [ 8分] 所以，0026(2)43ky k x k =+=+， 即． [ 9分]所以直线的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线的方程是．令，得． [11分]由，得直线的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为，所以直线的斜率为， [13分] 所以直线． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得．设，其中．因为的中点为，所以． [ 6分] 所以直线的斜率是， [ 7分] 所以直线的方程是．令，得． [ 8分] 由，得直线的斜率是． [ 9分]因为直线的斜率是， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以． [13分] 因为，所以． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对求导数，得， [ 1分]所以切线的斜率为， [ 2分] 由此得切线的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线在轴上的截距为． [ 4分]设，．所以，令，得． ，的变化情况如下表：所以函数在上单调递减， [ 6分] 所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，， 所以直线在轴上的截距的取值范围是． [ 8分] （Ⅲ）过作轴的垂线，与射线交于点，所以△是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设，， 所以．令，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以在上单调递增， 所以，从而在上单调递增， [12分] 所以，此时，．所以的最小值为，此时． [13分]。

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由的否定的定义知p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点： 等比数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x ，即可求出x+y+z ． 解答： 解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1， 又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z= 由第一列，可得x=， 所以x+y+z=． 故答案为：．点评： 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力． 12．（5分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且AC=2AE ，那么=；∠A=．考点： 弦切角． 专题： 立体几何．分析： 证明△AEF ∽△ACB ，可得===，即可得出结论．解答： 解：由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， ∴∠AEF=∠C ， ∵∠EAF=∠CAB ， ∴△AEF ∽△ACB ，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n 0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故A（n）≤20m，令g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以A（n）≤20m．…（6分）令g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．。

北京市西城区20XX 年抽样测试高三数学试卷（理科）（20XX.5）参考公式：三角函数的和差化积公式 球体的体积公式 2c o s2s i n2s i n s i n βαβαβ-+=+a 334R V π=球 2s i n2c o s 2s i n s i n βαβαβ-+=-a 其中R 表示球的半径 2c o s2c o s 2c o s c o s βαβαβ-+=+a 2s i n2s i n 2c o s c o s βαβαβ-+-=-a一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

请选出正确答案。

1．已知集合{},1|{},0|2≥=>-=x x N x x x M 则M ∩N= （ ）A. {x|x ≥1}B.{x |x>1 }C. ΦD. {x|x<0 或x>1} 2．已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则f(x)的图象 （ ） A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y 的轴对称C.是由g(x)的图象向左平移2π个单位得到的 D.是由g(x)的图象向右平移2π个单位得到的3．如果复数i i-+13的辐角主值为θ，那么复数-2+i 的辐角主值是 （ ）A.-θB. θπ+2C.θπ-D. 2π-θ4．已知直线a x y l sin :1⋅=和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与 2l （ ） A.通过平移可以重合 B.不可能垂直C.可能与x 轴围成等腰直角三角形D.通过绕1l 上某一点旋转可以重合5．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 （ ） A.ρ=1 B.ρ=cos θ C.ρcos θ=-1 D. ρcos θ=1 6．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为 ( )A. 10人B. 8人C. 6人D. 12人7．一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3:2。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤（C ）{|10}x x -<≤ （D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±=（C ）30x y ±= （D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 （A ）3 （B）（C ）6 （D）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）1]（B ）[1,3]（C）1,2]（D）1]精品文档第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a的各项均为正数，其前n项和为n S．若11a=，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；6311．3-12；[4,9)14．16注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]1sin 2cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， 所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分]所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分] 直线MA 的方程为00()y n y n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．[9分] 直线MB 的方程为00()y n y n x t x t ++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．[11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()2222002204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ． 由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+，所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n =．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈，所以n n A B ⊆．[7分]所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分] （2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=，[12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以{}n b 成等比数列．[13分]。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么A B = （A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是 （A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2x y =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）11] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）[11]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >． ① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)nn ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；6311．3- 12[4,9)14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]12cos 222x x ωω=+πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分] 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠= ，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分]所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩ 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分]因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分] 所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB 面积的最大值是2．[5分]（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222200224242=n y n y y n----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+， 所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n = ．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈ ，所以n n A B ⊆．[7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0nb ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a - 是1,2,3,,1k - 的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a - 是1,2,3,,1n - 的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++ ，3n ≥．因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++= ，[12分]所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=． 所以{}n b 成等比数列..．[13分]。