坡度、坡角 课件

C． 1: 2 D． 1: 3
【变式 2】如图，河 坝横断面迎水 坡 AB 的坡比为 1： 2 （坡
比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），坝高 BC＝
．
4m，则坡面 AB 的长度是
_____m
题型一 一个坡度问题
75m
【变式 4】如图，在平地上种植树木时，要求 株距（相邻两棵
树之间的水 平距离）为 10m，若在坡度为 i=1:2.5 的山坡上种
题型三 坡度修改问题
【变式 1】自开展“全民 健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众
步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜
坡 AB=200 米，坡度为 1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 AC=20 米后，斜坡 AB 改造为
【例 3】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进
行改造．已知四边形 ABCD 为矩形，DE＝10 m，其坡度为 i1＝1∶ 3，
将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为 i2＝1∶4，则斜坡 AF 的长是
20.62mຫໍສະໝຸດ ________．(结果精确到 0.01 m，参考数据： 3≈1.732， 17≈4.123)
计算判断：
3
当 sin α＝ ，木箱底部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，
5
木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽 车货厢顶部？
题型四 坡度安全问题
又∵∠EKF＝∠AHB＝90°，∴△EFK∽△ABH.
∴
EF EK
1.6 EK
＝ ，∴ ＝ .
AB AH
1 0.8
解得 EK＝1.28.
∴BJ＋EK＝0.6＋1.28＝1.88.

D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2

（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上
就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。 .
7
应用练习
1、斜坡的坡度是 1 : 3，则坡角α=______度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡度是 _______。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______。
h
α
L.
8
应用练习
4、小明沿着坡角为20°的斜坡向上前 进80m, 则他上升的高度是( ).
A
D
BE
C
.
10
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的 宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1 米 2 1.414 3 1.732 ）
D 12米
C
4米
45°
A
E
30°
F
B
.
11
效果检测
.
12
A. 80 m cos 20
B. 80 m sin 20
C .80sin20m
D .80cos20m
.
9
应用练习
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____. (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角 B____. (3)如果坡度 iAB1:2,AB8m,则大坝高度为___.
导入当我们要测量如图所示大坝的高度h时只要测出仰角a和大坝的坡面长度l就能算出hlsina但是当我们要测量如图所示的山高h时问题就不那么简单了这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l与测坝高相比测山高的困难在于
华师大版数学九年级上册
直角三角形的应用 第二课时

h
坡度 (或坡比)，记作 i，即 i＝ l .坡度一般写成 1∶m 的形式．坡面
与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α，有 i＝hl ＝ tanα α 就 越大 ，坡面就 越陡 ．
.坡度越大，坡角
1．下列对坡度的描述正确的是( B )
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B．坡度是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
解：(1)∵FD∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡 AB 长 60 2米，D 是 AB 的中点，∴BD＝30 2米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝30 2× 22＝30(米)， BF＝DF＝30 米．∵斜坡 BE 的坡比为 3∶1，∴BEFF＝ 13，∴EF＝10 3米， ∴DE＝DF－EF＝(30－10 3)米，∴休闲平台 DE 的长是(30－10 3)米； (2)设 GH＝x 米，则 MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30 ＝63(米)，在 Rt△DMH 中，tan30°＝MDMH，即x－6330＝ 33，解得 x＝30＋21 3， ∴建筑物 GH 的高为(30＋21 3)米．
11．为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府 对城市建设进行了整改．如图，斜坡 AB 长 60 2 米，坡角(即∠BAC)为 45°，BC⊥AC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行 于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号)． (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 3∶1，求休闲平台 DE 的长； (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG＝33 米)，小亮在 D 点测得建筑 物顶部 H 的仰角(即∠HDM)为 30°.点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？

4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ

C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△C的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
A
α
23
EF D
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求：坝底AD与斜坡AB的长度。（精确
到0.1m ）
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅直高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i

h l

tan
坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
C.80sin 20m
D.80cos 20m
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____ . (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
直角三角形的应用 第3课时

l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1l. h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
化整为零，积零为整，化曲为直，
以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要 测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了， 这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
解直角三角形（3）
坡度与坡角 如图 28-2-4，坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)的比叫做坡
h l 面的坡度(或坡比)， 记作 i， 即 i＝________；而坡面与水平面
的夹角叫做__坡__角____， 记作α，即 i＝_t_a_n_α____.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
铅垂 h
分析： 1．引导学生将实际问题
转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。

MN sin 60 240 可求得 MN 120 3
N
即MN= MN 240 sin 60 。 。
240米
P
α
M
第二步：利用正弦，通过坡角、斜边求对边
例1：如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC， 坡角α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡 角β=45°，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE。（结果保 留根号） 求改造后防洪大堤底部 加宽的宽度BE。
（1）、AF=FG+GH﹣AH=10 +3﹣10=10 ﹣7（米）
（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长 = ×（3+10 ﹣7）×10×500 =25000 ﹣10000（立方米）．
7、如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面 上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25 米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为 45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水 平宽度的比） 解：过点E作EF⊥BC的延长线于F， EH⊥AB于点H， 在Rt△CEF中， H ∵i= = =tan∠ECF， ∴∠ECF=30°， ∴EF=CE=10米，CF=10 米， F ∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米， 在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°， ∴AH=HE=（25+10 ）米， ∴AB=AH+HB=（35+10 ）米． 答：楼房AB的高为（35+10 ）米．
解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD， ∴DH平行等于EG，故四边形EGHD是矩形。 ∴ED=GH， 在Rt△ADH中， AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8 （米）， 在Rt△FGE中，i=1：2= ， ∴FG=2EG=16（米）， ∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10 （米）；

3=1.732，6 =2.449）
2.07米
17
（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米， 高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的 加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米， 加固后背水坡EF的坡比i=1： 3 （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根 号）
解：在Rt△PBC中， PC=PB•sin∠PBA=4×sin30°=2m， 在Rt△APC中， PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m． 答：无障碍通道的长度约是9.5m．
21
用字母 表示。
(2)坡度（坡比）：坡面
的铅直高度h和水平距离l h
的比叫做坡度，用字母 i
表示. i h tan
l
l
坡度通常写成1：m的形式
4
h α
l
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
例2、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，
如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防 止山体滑坡，保障安全， 学校决定对该土坡进行改造．经地质人 员勘测，当坡角不超过50°时， 可确保山体不滑坡．（1）求改造 前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；（2）为确保安全， 学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处， 问BF 至少是多少米（精确到0.1m）？
1
1、理解坡角、坡度的概念； 2、会运用解直角三角形有关知识解决

解析：∵ AB =2CD，∴ 设 CD =x m ,则 AB =2x m .
∵


tan37°= = ≈0.75，∴

DF =

x.

A
∵ AE 的坡度 i =1：2，
C
∴ BE =2AB =4x.
故 BD-EF =BE+FD =13-3=4x+
解得 x =

，故

AB =2×


=

∵AC + BC = AB，
∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45° = 200，
即
PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
C
200km
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
人教版
28.2.3 方位角、坡度、坡角问题
九年级下
目
录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
重点
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性
较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角
0.01n mile）？
65°
P
A
C
34°
B
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
解：如图 ，在 Rt△APC 中，

坡度、坡比、坡脚的区别
坡脚、坡比、坡度的区别和联系
一、坡角坡比（坡度坡率）坡向
1、坡角是个角度值，指的是斜坡的度数
2、坡度：把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），坡角的正切值，用字母i表示。

3、坡度的表示方法有百分比法、度数法、密位法和分数法四种，其中以百分比法和度数法较为常用。

(1) 百分比法表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：
坡度＝ (高程差/水平距离)x100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100％
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米；1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米。

以次类推！5% 是这个坡的垂直长度和水平长度的比。

也有用几分之一表示的。

（2）分数法坡度一般写成1∶m的形式，其中m=1/k，m称为边坡系数, 坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡，如
1：2>1：3，则1：2对应的坡角大，坡面较陡。

坡向定义为坡面法线在水平面上的投影的方向。

简单的来讲，坡度是指坡面的倾斜程度。

坡向是指地形坡面的朝向。

h α
L
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100 米，则斜坡高为_______米。
练习
3.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
B
24°
C
(
5.5
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
。
3、一辆汽车沿着坡度为i =1:3的斜坡前进了100m，
则它上升的最大高度为
m。(精确到0.1m)
练习
2.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
A
1000米
B 565米 C
基础练习
1.如图 (1)若h=2cm，l=5cm，则i=
(2)若i=1:1.5，h=2m，则l=
2.水库的横断面是梯形ABCD,迎水坡AB的坡 度i= 1：2坝高h=20m,迎水坡的水平宽度= tanα=
BC B
h
α
C
l
AA
E
D
例1.铁路路基横断面是一个等腰梯形ABCD,若腰 的坡度是i=1: 3 ,顶宽是4m,路基高是6m,求（1）