2534坡度坡角及其应用PPT课件
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2024年《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课
2024年《坡比、坡度问题》课件河南省县级优课一、教学内容本节课选自2024年《数学》八年级下册教材第四章《平面几何与立体几何》第三节“坡比、坡度问题”。
具体内容包括：理解坡比和坡度的概念，掌握坡比和坡度的计算方法，学会在实际问题中运用坡比和坡度知识解决问题。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握坡比和坡度的定义，熟练运用计算方法求解坡比和坡度。
2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流的意识。
三、教学难点与重点教学难点：坡比和坡度的计算方法，以及在实际问题中的应用。
教学重点：理解坡比和坡度的概念，掌握计算方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、三角板、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的斜坡图片，如楼梯、斜坡等，引导学生关注生活中的坡度问题。
2. 知识讲解（1）坡比的概念及计算方法（2）坡度的概念及计算方法3. 例题讲解（1）计算给定斜坡的坡比和坡度。
（2）已知坡比和坡度，求解斜坡的实际高度和水平距离。
4. 随堂练习（1）完成教材课后练习题。
（2）分组讨论并解答实际问题。
六、板书设计1. 《坡比、坡度问题》2. 内容：（1）坡比的定义及计算方法（2）坡度的定义及计算方法（3）例题解析（4）随堂练习七、作业设计1. 作业题目：（1）计算给定斜坡的坡比和坡度。
（2）已知坡比和坡度，求解斜坡的实际高度和水平距离。
2. 答案：（1）坡比：m = （实际高度/水平距离）坡度：θ = arctan（实际高度/水平距离）（2）实际高度：h = m × 水平距离水平距离：d = h / m八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生在课堂上的掌握情况，针对学生存在的问题，及时调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：引导学生关注生活中的坡度问题，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
坡角在解直角三角形中的应用PPT课件
课堂小结
1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面 的铅垂高度与水平长度的比．
2．坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面 就越陡；坡角的正切值等于坡比．
6．每人1瓶水，还差多少瓶水？ 42－30=12（瓶）
56 ＋ 30 86 50＋30＝80 80＋6＝86
答：一共吃了___8_6_只虫子。
77
57
76
38
37＋40＝ 87－30＝ 26＋50＝ 98－60＝
小青蛙比大青蛙少吃了多少只虫子？
你能提出哪些数学问题？
3．看一看，填一填。
40
28
31
55
64
71
28
26
5．跳走了多少只青蛙？ 38 － 5 33
1．夯实基础（教材P54练一练）
(1)20＋32＝52(条)
(2)32－20＝12(条)
复习提问 引出问题
感悟新知
知识点 坡角的应用
知1－导
如图是一段斜坡的横断面，建筑学中通常把斜坡起止点A、B的高度差
h与它们的水平距离l的比叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示，
即： i=h:l ，表示坡度时，一般把比的前项取作1，如 i 1: 5 ，如果把
图中斜坡AB与水平线AC的夹角记作α，那么
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
最新253解直角三角形及其应用第三课时汇总
在Rt△CFD中,BE=CF=22.3m
BE i = AE
= 1∶3
所以，AE=3BE ≈66.9m
AD=AE+BC+DF=66.9+6+55.7=128.6m
梯形ABCD面积S=1212 （BC+AD）BE ≈1500.8（平方米）
所需土石为1500.8×150 ≈225119 （立方米）
如图,沿水库拦水坝的背水坡将 坝面加宽2米,坡度由原来的 1:2改 成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
求: (1)原背水坡坡角和α加宽后的
背水坡坡角 β。 (2)加宽后水坝
的横截面面积增加了多少?(精确到
0.01平方米)
2.0
C
D
1:2.5 1:2
αβ
A
BEF
解：（1） i = tanβ= 1∶2, 所以∠β=26°33′54″
i = tanα = 1∶2.5， 所以∠α=21°48′5″
（2）在Rt△BFD中，BD=13.4
精确到0.1米）
（2）若堤坝长150米。问建造这个堤坝需用 多少土石方(精确到1立方米)？
i1＝1∶3
i2=1∶2.5
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F。 在Rt△CFD中，因为i = tan∠D=1：2.5
所以∠D=21°48′5″
CD=60m,
DF cos ∠D= CD
所以，DF=CD·cos ∠D≈55.7m CF= CD·sin ∠D≈22.3m
所以梯形ABDC的面积S= =
1212（（A4B.+9C9D8）+2C）E×5.993
≈20.97（平方米）
变化题: 如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC
BE i = AE
= 1∶3
所以，AE=3BE ≈66.9m
AD=AE+BC+DF=66.9+6+55.7=128.6m
梯形ABCD面积S=1212 （BC+AD）BE ≈1500.8（平方米）
所需土石为1500.8×150 ≈225119 （立方米）
如图,沿水库拦水坝的背水坡将 坝面加宽2米,坡度由原来的 1:2改 成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
求: (1)原背水坡坡角和α加宽后的
背水坡坡角 β。 (2)加宽后水坝
的横截面面积增加了多少?(精确到
0.01平方米)
2.0
C
D
1:2.5 1:2
αβ
A
BEF
解：（1） i = tanβ= 1∶2, 所以∠β=26°33′54″
i = tanα = 1∶2.5， 所以∠α=21°48′5″
（2）在Rt△BFD中，BD=13.4
精确到0.1米）
（2）若堤坝长150米。问建造这个堤坝需用 多少土石方(精确到1立方米)？
i1＝1∶3
i2=1∶2.5
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F。 在Rt△CFD中，因为i = tan∠D=1：2.5
所以∠D=21°48′5″
CD=60m,
DF cos ∠D= CD
所以，DF=CD·cos ∠D≈55.7m CF= CD·sin ∠D≈22.3m
所以梯形ABDC的面积S= =
1212（（A4B.+9C9D8）+2C）E×5.993
≈20.97（平方米）
变化题: 如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC
坡度和坡角
D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
28.2.2 应用举例第2课时 方向角、坡度、坡角课件2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
D.24 m
2.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图所示,加固前拦水
坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 m,背水坡面 CD=12 m,
∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tan E=
为 8
m.
,则 CE 的长
1.“绿水青山就是金山银山”.如图所示,某村准备在坡角为α的山坡
的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最
短距离是 (6 +6) n mile.
坡度与坡角问题
[例2] 如图所示,扶梯AB的坡度为4∶3,滑梯CD的坡度为1∶2.已知
AE=30 dm,BC=50 dm,BC∥AD,一女孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从
滑梯滑下,她经过的总路程是多少(结果保留根号)?
于灯塔 P 的北偏东 67°方向上的 B 处,此时与灯塔 P 的距离约为
50 n mile(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈). Nhomakorabea
3.如图所示,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC∥AD,迎水坡 AB 长 13 m,
且 tan∠BAE= ,则河堤的高 BE 为 12 m.
∴AF=AB·sin 50°≈40×0.77=30.8(n mile),
∴AE=AF+EF≈64(n mile).
在 Rt△ADE 中,AD=
°
≈
=80(n mile),
.
∴货船与 A 港口之间的距离约为 80 n mile.
上植树造林,要求相邻两树之间的水平距离为 5 m,那么这两树在坡面
上的距离 AB 为( B )
24.4.3坡度、坡角问题课件
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ
解直角三角形及其应用：坡度_图文
解直角三角形及其应用：坡度_图文.pt三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
sin
A
=
A的对边= 斜边
a c
tan
A
=
A的对边 A的邻边
=
a b
cos A = A的邻边 = b 斜边 c
观察 图（１）和（２）中，哪个山坡比较陡？
A
k
B
B
8k
C
C
A
如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽（即
等腰梯形的上底长）为10m，路基的坡度i=1:1，等腰梯形
例题1
的高为6m．求路基的底宽和坡角．
D
10m
C
解 在等腰梯形ABCD中，过点D、C分别 i=1:1
6m
作DE⊥AB，CF ⊥ AB，垂足分别为
E, F
A
E
依题意，有：DC＝10m，DE＝6m，
（1）
（2）
（２）中的山坡比较陡．
坡度是指斜坡上一点的铅垂高度
与水平宽度的比值。 i＝h：l
坡角是斜坡与水平线的夹角
A
h
B lC
A
i＝ h：l =tan a
B
C
显然，坡角越大，坡度越大, 山坡越陡 。
⑴、坡度通常写成1： m 的形式。如图一个斜坡
坡度为1 :1,则这个坡角为 450。
⑵、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度 为 1： ；
FB
AE = DE = 6 ∴BF=6 ∴AB=AE+EF+FB=22
答:路基的底宽为22米，坡角为45°.
练习．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，坝高10
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
sin
A
=
A的对边= 斜边
a c
tan
A
=
A的对边 A的邻边
=
a b
cos A = A的邻边 = b 斜边 c
观察 图（１）和（２）中，哪个山坡比较陡？
A
k
B
B
8k
C
C
A
如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽（即
等腰梯形的上底长）为10m，路基的坡度i=1:1，等腰梯形
例题1
的高为6m．求路基的底宽和坡角．
D
10m
C
解 在等腰梯形ABCD中，过点D、C分别 i=1:1
6m
作DE⊥AB，CF ⊥ AB，垂足分别为
E, F
A
E
依题意，有：DC＝10m，DE＝6m，
（1）
（2）
（２）中的山坡比较陡．
坡度是指斜坡上一点的铅垂高度
与水平宽度的比值。 i＝h：l
坡角是斜坡与水平线的夹角
A
h
B lC
A
i＝ h：l =tan a
B
C
显然，坡角越大，坡度越大, 山坡越陡 。
⑴、坡度通常写成1： m 的形式。如图一个斜坡
坡度为1 :1,则这个坡角为 450。
⑵、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度 为 1： ；
FB
AE = DE = 6 ∴BF=6 ∴AB=AE+EF+FB=22
答:路基的底宽为22米，坡角为45°.
练习．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，坝高10
解直角三角形的应坡比与坡度(课堂PPT)
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦 克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水 平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦 克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这 座小山？
B
565米
A
1000米
C
6
例题5 一座大楼前的残疾人通道是斜坡， 用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅， 楼厅比楼外的地面高0.4米，求残疾人通道的 坡度与坡角(角度精确到1′，其他近似数以取
个关键步骤，应用了方程的思想，将几何图形的计算转化
为解代数方程。 18
例3：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如 下：
1.沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为60 °，求山高AB。
2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB。
C
BC 2CD 6
B
D
A
16
[类题训练]
求它的1腰、长已。知：等腰△ABC的底边长为4，底角正弦为5 5 ，
2、已知： △ABC中，AB=AC,BD为△ABC的一条高线， D为垂足，且BD= AB=1 1,求tgC的值。
2
3、已知： △ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°，
AC⊥CD，求sinA的值。
四位有效数字)。
斜坡
B 楼厅地面
A
C
7
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后
到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂 直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到
B
0.001m).
┌
A
C
8
例3一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD，
试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。
坡度ppt课件
3=1.732，6 =2.449）
2.07米
17
（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米， 高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的 加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米， 加固后背水坡EF的坡比i=1： 3 （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根 号）
解：在Rt△PBC中， PC=PB•sin∠PBA=4×sin30°=2m， 在Rt△APC中， PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m． 答：无障碍通道的长度约是9.5m．
21
用字母 表示。
(2)坡度（坡比）：坡面
的铅直高度h和水平距离l h
的比叫做坡度，用字母 i
表示. i h tan
l
l
坡度通常写成1：m的形式
4
h α
l
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
例2、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，
如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防 止山体滑坡，保障安全， 学校决定对该土坡进行改造．经地质人 员勘测，当坡角不超过50°时， 可确保山体不滑坡．（1）求改造 前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；（2）为确保安全， 学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处， 问BF 至少是多少米（精确到0.1m）？
1
1、理解坡角、坡度的概念； 2、会运用解直角三角形有关知识解决
2.07米
17
（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米， 高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的 加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米， 加固后背水坡EF的坡比i=1： 3 （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根 号）
解：在Rt△PBC中， PC=PB•sin∠PBA=4×sin30°=2m， 在Rt△APC中， PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m． 答：无障碍通道的长度约是9.5m．
21
用字母 表示。
(2)坡度（坡比）：坡面
的铅直高度h和水平距离l h
的比叫做坡度，用字母 i
表示. i h tan
l
l
坡度通常写成1：m的形式
4
h α
l
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
例2、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，
如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防 止山体滑坡，保障安全， 学校决定对该土坡进行改造．经地质人 员勘测，当坡角不超过50°时， 可确保山体不滑坡．（1）求改造 前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；（2）为确保安全， 学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处， 问BF 至少是多少米（精确到0.1m）？
1
1、理解坡角、坡度的概念； 2、会运用解直角三角形有关知识解决
人教版八年级下册数学课件方位角、坡度、坡角问题pptx
解析：∵ AB =2CD，∴ 设 CD =x m ,则 AB =2x m .
∵
tan37°= = ≈0.75，∴
DF =
x.
A
∵ AE 的坡度 i =1：2，
C
∴ BE =2AB =4x.
故 BD-EF =BE+FD =13-3=4x+
解得 x =
，故
AB =2×
=
∵AC + BC = AB，
∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45° = 200，
即
PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
C
200km
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
人教版
28.2.3 方位角、坡度、坡角问题
九年级下
目
录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
重点
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性
较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角
0.01n mile）？
65°
P
A
C
34°
B
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
23.2.4+坡角、坡度问题课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
＝14－6 ≈14－6×1.732≈3.6(m).
∵3.6＞3，∴该文化墙 PM 不需要拆除.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3星题
提升练
11. [模型观念]数学兴趣小组的同学想要测量一楼房 AB 的高度.
如图，楼房 AB 后有一假山，假山坡脚 C 与楼房的水平距离
为15 m，其斜坡 CD 的坡度为1∶2，斜坡坡面上点 E 处有一
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3 m时应拆除，天桥改造
后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由.(结果精确到0.1m，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：该文化墙 PM 不需要拆除.
理由：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，
则 CD ＝6 m.
在Rt△ AEF 中， sin
∠ AEF ＝ ，
则 AF ＝ AE ·sin ∠ AEF ＝160×
1
2
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5
6
7
8
≈113.12(m).
9
10
11
在Rt△ EBG 中， sin B ＝
，
则 EG ＝ BE ·sin B ≈280×0.6＝168(m)，
∴ FD ＝ EG ＝168 m.
解：∵新坡面 AC 的坡角为α，其坡度为1∶ ，
∴tan α＝
1
＝ ，∴α＝30°.
2
∵3.6＞3，∴该文化墙 PM 不需要拆除.
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3星题
提升练
11. [模型观念]数学兴趣小组的同学想要测量一楼房 AB 的高度.
如图，楼房 AB 后有一假山，假山坡脚 C 与楼房的水平距离
为15 m，其斜坡 CD 的坡度为1∶2，斜坡坡面上点 E 处有一
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3 m时应拆除，天桥改造
后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由.(结果精确到0.1m，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
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解：该文化墙 PM 不需要拆除.
理由：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，
则 CD ＝6 m.
在Rt△ AEF 中， sin
∠ AEF ＝ ，
则 AF ＝ AE ·sin ∠ AEF ＝160×
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≈113.12(m).
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在Rt△ EBG 中， sin B ＝
，
则 EG ＝ BE ·sin B ≈280×0.6＝168(m)，
∴ FD ＝ EG ＝168 m.
解：∵新坡面 AC 的坡角为α，其坡度为1∶ ，
∴tan α＝
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＝ ，∴α＝30°.
2
坡度与坡角
28.3
解直角三角形及应用 ——坡度与坡角
学习目标：理解坡度及坡角的定义； 会利用三角函数知识解决 坡度、坡角问题
概念理解
坡度和坡角
1、按课本要求观察P.127的图片，比较哪个山坡比 N 较陡？
升高的高度h i ， 水平距离l
h
坡度通常写成 1 : m 的形式．
山坡与地平面的夹角叫作坡角.
坡度等于坡角的正切. 即i=tan ɑ 坡度越大，山坡越陡．
第三步：利用正切，通过坡度、 对边求邻边
AB CD 2 AE 11.6 2 19.2 50(m)
5分钟后，比谁能正确完成解答！
第四步：利用对称性求边BF
课堂练习：1、必做题 一河提横断面为梯形，上底为4米，堤 高为6米，斜坡AD的坡度为1:3，斜坡 BC的坡度为1:1，求河堤横断面的面积；
P
l
M
(1)
(2)
自学指导 例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？ 分析 α 表示坡角的大小， 已知坡度i = 1:1.8，用 N
h
1 0.5556. tan α = P l M 由于 。 1.8 查表可求得 ∠α 约为29°3′ ； 第一步：利用正切，通过坡度求坡角
5 、 如 图 ， 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC，tanB= 3 ，上底AD=10，梯 形的高是6，
求(1)∠B的度数；(2)下底BC的值。
求坡角 第二步：利用正弦，通过坡角、 对边求斜边
A
C A
C C
3、如图，我国为保持水土实行退耕还林补贴， 某村准备在坡角α 为的山坡上栽树，要求相 邻两颗树之间的水平距离为5米，那么在两树 在坡面上的距离AB长为( )
解直角三角形及应用 ——坡度与坡角
学习目标：理解坡度及坡角的定义； 会利用三角函数知识解决 坡度、坡角问题
概念理解
坡度和坡角
1、按课本要求观察P.127的图片，比较哪个山坡比 N 较陡？
升高的高度h i ， 水平距离l
h
坡度通常写成 1 : m 的形式．
山坡与地平面的夹角叫作坡角.
坡度等于坡角的正切. 即i=tan ɑ 坡度越大，山坡越陡．
第三步：利用正切，通过坡度、 对边求邻边
AB CD 2 AE 11.6 2 19.2 50(m)
5分钟后，比谁能正确完成解答！
第四步：利用对称性求边BF
课堂练习：1、必做题 一河提横断面为梯形，上底为4米，堤 高为6米，斜坡AD的坡度为1:3，斜坡 BC的坡度为1:1，求河堤横断面的面积；
P
l
M
(1)
(2)
自学指导 例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？ 分析 α 表示坡角的大小， 已知坡度i = 1:1.8，用 N
h
1 0.5556. tan α = P l M 由于 。 1.8 查表可求得 ∠α 约为29°3′ ； 第一步：利用正切，通过坡度求坡角
5 、 如 图 ， 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC，tanB= 3 ，上底AD=10，梯 形的高是6，
求(1)∠B的度数；(2)下底BC的值。
求坡角 第二步：利用正弦，通过坡角、 对边求斜边
A
C A
C C
3、如图，我国为保持水土实行退耕还林补贴， 某村准备在坡角α 为的山坡上栽树，要求相 邻两颗树之间的水平距离为5米，那么在两树 在坡面上的距离AB长为( )
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i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
C
1.2
1.2
30°
A
B
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
Ｂ
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
a
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
别忽略我哦！
Ａ
bＣ
sinA＝
a c
A BE
D C
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度.（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到 ）1 0
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅垂高度，即分别过点B、
C作AD的垂线.
A
6
在Rt△DCF中，同理可得
由计算器可算得
i CF 1 FD 2.5
220
F D 2.5 2 C .2 5 F 3 57.5m 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB
A A D E E F FD
的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约
=69+6+57.5
为22°.
=132.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的 宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1 米 2 1.414 3 1.732 ）
5
12
(选用数据:sin22°37′≈ 13 ,cos22°37′ ≈ , 13
tan 22°37′ ≈
5 ,12
tan 32° ≈ 5 )
8
HD 3
CG 4
1 A E MN
2 FB
课堂小结
解直角三角形的问题，关键是找到与已知 和未知相关联的直角三角形，当图形中没 有直角三角形时，要通过作辅助线构造直 角三角形（作某边上的高是常用的辅助 线）.
80 m sin 20
D .80cos20m
5.如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____. (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B____.
(3)如果坡度 iAB1:2,AB8m,则大坝高度为___.
ihl tan 坡度等于坡角的正切值
1.斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=____3_0_度. 2.斜坡的坡角是450 ，则坡度是 ___1_：_1__.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是__1_:__3__.
h α
L
4.小明沿着坡角为20°的斜坡向上前 进80m, 则他上升的高度是( ).
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点E、 F,由题意可知
A
BE=CF=23m EF=BC=6m
6
i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
在Rt△ABE中
i
BE 1
AE 3
在Rt△ABE中，由勾股定理可得 A BA2E B2E 629 223 72.7
A 3 EB 3 E 2 3 69m (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
iDE 4 ta4n5 AE AE
AE 4 4(米) ta4n5
在Rt△BCF中，同理可得
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
BF 4 6.9(3米) ta3n0
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除 后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定， 轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜坡的起点 至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
cosA＝
b c
tanA＝
a b
cotA＝
b a
1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
坡面
i= h : l
h
α 水平面
l
2.坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3.坡度与坡角的关系