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第二部分 文学常识和名著阅读第9单元 识记文学常识，理解文学名著《考试说明》对“文学常识和名著阅读”的考试内容及相应的能力层级作了如下规定：了解基本的文学常识，阅读“附录三”中的名著。
1．识记必修课程“语文1”至“语文5”五个模块和选修课程“中国古代诗歌散文欣赏”、“外国小说欣赏”两个模块所涉及的中外重要作家、作品等基本常识。
A2．识记“附录三”中名著的故事情节、人物形象等。
A3．理解“附录三”中名著的主要内容、艺术特色等。
B《考试说明》规定的考查范围和考查内容十分明确而具体：列入考查范围的七个课程模块(必修课程的五个模块和选修课程中“中国古代诗歌散文欣赏”“外国小说欣赏”两个模块)所涉及的中外重要作家、作品等基本常识；《考试说明》“附录三”中所列文学名著〔含《普通高中语文课程标准(实验)》推荐的课外读物和《普通高中课程标准实验教科书·语文》(必修)1至5册“名著导读”〕的故事情节、人物形象、主要内容、艺术特色等。
列入考查范围的七个模块中的中外重要作家是有限的，但是“基本常识”的内涵却很丰富，诸如中国作家的原名、笔名、字、号，生活的时代，代表作，风格流派，文学主张，后人评价等，外国作家的国别、代表作、文学流派等，都应该作为识记范围。
“附录三”列出的文学名著，每年的《考试说明》都会根据实际需要划定出“年度考试范围”。
例如，2014年《考试说明》的“附录三”：名著阅读目录(加*号的列入2014年度考试范围)(一)《普通高中语文课程标准(实验)》推荐的课外读物*1.《孟子》；2.《庄子》；*3.《呐喊》(鲁迅)；4.《边城》(沈从文)；5.《复活》(列夫·托尔斯泰)；6.《老人与海》(海明威)；7.莫泊桑短篇小说；8.泰戈尔诗；9.《西厢记》(王实甫)；*10.《雷雨》(曹禺)；11.《茶馆》(老舍)。
(二)《普通高中课程标准实验教科书·语文》(必修)1至5册“名著导读”*1.《论语》；2.《大卫·科波菲尔》；3.《家》；4.《巴黎圣母院》；*5.《红楼梦》；6.《高老头》；*7.《哈姆莱特》；8.《三国演义》；9.《堂吉诃德》；10.《谈美》。
7.4 数列的综合应用1．数列求和方法 (1)公式法 (Ⅰ)等差数列、等比数列前n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝ ； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ ； ④12＋22＋32＋…＋n 2＝ ；⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a n }前n 项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式：①1n （n ＋1）＝ －1n ＋1； ②1（2n －1）（2n ＋1）＝ ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； ③1n （n ＋1）（n ＋2）＝ ⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； ④1a ＋b＝ (a －b )； ⑤n （n ＋1）！＝ －1（n ＋1）！； ⑥C m －1n ＝ ； ⑦n ·n ！＝ ！－n ！；⑧a n ＝S n －S n －1(n ≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (2)复利公式 利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ .(3)产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x ，总产值y ＝ .(4)递推型递推型有a n ＋1＝f (a n )与S n ＋1＝f (S n )两类． (5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等． 自查自纠 1．(1)①n （n ＋1）2②n 2＋n ③n 2 ④n （n ＋1）（2n ＋1）6(5)①1n ②12 ③12 ④1a －b ⑤1n ！ ⑥C m n ＋1－C m n ⑦(n ＋1) 2．(1)a (1＋xr ) (2)a (1＋r )x (3)N (1＋p )x1．(2019·山东威海检测)数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为 ( ) A.14 B.512 C.34 D.712解：b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，前10项和为12－13＋13－14＋…＋111－112＝12－112＝512.故选B. 2．(2019·广东广州调研)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 等于 ( )A.n 2＋1－12nB.2n 2－n ＋1－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2－n ＋1－12n 解：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .故选A. 3．(2019·山东临沂期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前20项和为 ( )A.1920B.2021C.2122D.2223 解：设{a n }的公差为d ，由a 9＝12a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋5d ＝12，又a2＝4＝a 1＋d ，所以a 1＝2＝d ，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋n ，所以1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前20项和为1－12＋12－13＋13－14＋…＋120－121＝1－121＝2021.故选B. 4．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.故填100.5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问：细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．解：设至少需要n 秒，则1＋2＋22＋…＋2n －1≥100，即1－2n 1－2≥100，所以n ≥7.故填7.类型一 基本求和问题例1 (1)1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1220＝________. 解：设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1，分组求和可得数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋12n －1，则S 21＝2×21－2＋1221－1＝40＋1220.故填40＋1220.(2)(2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，则{a n }的通项公式为________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．解：设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. 1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以其前n 项和为12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n6n ＋9. 故填a n ＝2n ＋1；n6n ＋9.(3)设f (x )＝x 21＋x 2，求：f ⎝⎛⎭⎫12 021＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)．解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 021＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)，①则S ＝f (2 021)＋f (2 020)＋…＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＋f (12 021)，②①＋②得：2S ＝1×4 041＝4 041，所以S ＝4 0412. (4)求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .解：(Ⅰ)当a ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2. (Ⅱ)当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋na n ＋1，② 由①－②得⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a ⎝⎛⎭⎫1－1a n 1－1a－n a n ＋1， 所以S n ＝a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2（a ＝1），a （a n－1）－n （a －1）a n（a －1）2（a ≠1）.(5)已知函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，令a n＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 020＝ ( )A. 2 019－1B. 2 019＋1C. 2 021－1D. 2 021＋1解：由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.所以a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－ 2 019)＋( 2 021－ 2 020)＝ 2 021－1.故选C.点拨 研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前应分析数列通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．常见的裂项公式详见“考点梳理”栏，除此之外，下面两个也比较常用：①1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；②2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1. 变式1 (1)数列9，99，999，…的前n 项和S n ＝________.解：S n ＝9＋99＋999＋…＋99…9n 个 ＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n －1)＝(101＋102＋103＋…＋10n )－n ＝10（1－10n ）1－10－n ＝10n ＋1－109－n.故填10n ＋1－109－n .(2)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和记为S n ，则S 2 021＝________.解：由条件得到数列{a n }的通项为a n ＝n （n ＋1）2n ＋1＝n 2，则a n ＋1＝n ＋12，所以b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则S n ＝4(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1，将n ＝2 021代入得到S 2 021＝4 0421 011.故填4 0421 011.(3)求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值．解：令S n ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，① 则S n ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°.②①与②两边分别相加得2S n ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89.所以S n ＝892.(4)已知a n ＝n ＋12n ＋1，求{a n }的前n 项和T n .解：T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋425＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.(5)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.解：a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.故填624.类型二 可用数列模型解决的实际问题例2 (1)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问：分期付款的第10个月应付________万元．解：购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a 10＝121－10＝111(万元)．故填111. (2)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺.)问：此民谣提出的问题的答案是 ( )A.72.705尺B.61.395尺C.61.905尺D.73.995尺解：因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以数列{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b 1，b 2，b 3，…，b 30，则数列{b n }是以b 1＝1.3为首项，以d ＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S 30＝⎝⎛⎭⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎡⎦⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395.故选B.(3)(福建泉州市2020届单科质检高三)明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕＝黄钟×太簇，大吕＝3（黄钟）2×夹钟，太簇＝3黄钟×（夹钟）2.据此，可得正项等比数列{a n }中，a k ＝ ( )A.n －k ＋1a n －k 1·a n B.n －k ＋1a 1·a n －knC.n －1a n －k 1·a k －1n D.n －1a k －11·a n －k n解：因为a n ＝a 1qn －1，所以q ＝n －1a na 1，所以a k ＝a 1(n －1a n a 1)k －1＝a 1(a n a 1)k －1n －1＝n －1a n －k 1·a k －1n .故选C.点拨 将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．变式2 (1)某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天解：设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝⎛⎭⎫5＋n 10＋4.9n 2n ＝32 000n ＋n20＋4.95，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.故选B.(2)(2019·贵阳适应性考试改编)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问：五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，戊所得为 ( )A.76钱B.56钱C.23钱 D.1钱 解：因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，又由2a －3d ＝3a ＋3d 得d ＝－16，故戊所得为a ＋2d ＝23钱．故选C.(3)(2018·安徽示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升、b 升、c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是 ( )A.a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝507B.a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝507C.a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝507D.a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝507解：由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，因为a ＋b ＋c ＝50，故4c ＋2c＋c ＝50，解得c ＝507.故选D.类型三 数列综合问题例3 (1)(2020届武汉市9月调考)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝22，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，依题意得a 5＋a 7＝2a 6＝22，即a 6＝11. ① 又a 1a 5＝a 22，所以(a 6－5d )(a 6－d )＝(a 6－4d )2. ②联立①②，解得d ＝2或d ＝0(舍)．所以a 1＝11－5d ＝1. 所以a n ＝2n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (2)(哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上期中)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n ＝2a n ，c n ＝3b n －1（b n －1）（b n －4），设T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜－12.解：(Ⅰ)S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1，可得{S n }为首项为1，公差为1的等差数列， 则S n ＝1＋(n －1)＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(当n ＝1时也符合)，所以a n ＝2n －1. (Ⅱ)证明：b n ＝22n －1，c n ＝14·3·22n －3（22n －1－1）（22n －3－1）＝14(122n －3－1－122n －1－1)， T n ＝14[(12－1－1－121－1)＋(121－1－123－1)＋…＋(122n －3－1－122n －1－1)]＝14(12－1－1－122n －1－1)＜14·12－1－1＝－12. 点拨 数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．变式3 (1)(河南省南阳市第一中学2020届高三上月考)已知等差数列{a n}，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q. (Ⅰ)求a n 与b n ；(Ⅱ)设c n ＝3b n －λ·2an3(λ∈R )，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解：(Ⅰ)因为b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，6＋d ＝q 2(q ＞0)，解得q ＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，c n ＝3n －λ×2n ，因为c n ＋1＞c n ，所以3n ＋1－λ×2n ＋1＞3n －λ×2n ，所以λ＜2⎝⎛⎭⎫32n，因为f (n )＝2⎝⎛⎭⎫32n是递增的，所以2⎝⎛⎭⎫32n≥2×32＝3，所以λ＜3.故λ的取值范围是(－∞，3)．(2)(河南省顶级名校2019－2020学年高二上10月阶段性检测)已知递增等比数列{a n }，a 1＝1，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为S n ，点P (n ，S n )在抛物线y ＝x 2上．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n ＝b na n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若T n ＜2a －1(n ∈N *)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(Ⅰ)由题意，设数列{a n }的公比为q (q ＞1)，则由a 1＋a 3＝2(a 2＋2)，即q 2－2q －3＝0可得q ＝3或q ＝－1.因为q ＞1，所以q ＝3，a 1＝1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.由点P (n ，S n )在抛物线y ＝x 2上，得S n ＝n 2，所以b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，验证当n ＝1时，b 1＝S 1＝1满足上式，故b n ＝2n －1.(Ⅱ)因为c n ＝b n a n ＝2n －13n －1，所以T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －13n －1，13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n . 两式相减有23T n ＝1＋23＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋2×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－2n －13n ＝2－⎝⎛⎭⎫13n －1－2n －13n .所以，T n ＝3－12·3n －2－2n －12·3n －1＝3－n ＋13n －1.T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n ＋23n －⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n ＋13n －1＝2n ＋13n ＞0，故T n 单调递增，又T n ＜3，若T n ＜2a －1恒成立，则3≤2a －1. 解得a ≥2，所以，实数a 的取值范围是{a |a ≥2}．1．数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的．3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等．5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．6．数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q ＝1或q ≠1)等．1．(2019·昆明高三摸底调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a n ＝ ( )A.－2nB.2nC.2n －1D.2n ＋1解：由题意得等差数列{a n }的公差d ＝2，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，因为a 4是a 2与a 8的等比中项，所以a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解得a 1＝2，所以a n ＝2n.故选B.2．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于 ( )A.(2n ＋3)B.n (n ＋4)C.2n (2n ＋3)D.2n (n ＋4)解：由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝n (2n ＋3)．故选A. 3．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为 ( )A.15B.2C.3D.4解：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，解得a 1＝－4d.所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 5＋a 4＝a 1＋2d2a 1＋7d＝2.故选B.4．(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 ( )A.－2＋22B.－2C. 2D.－2或2解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 1＜0，a 9＝a 1q 8＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2.故选B.5．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 021的值为 ( )A.2 0212 020B.2 0202 021C.2 0222 021D.2 0212 022解：直线与x 轴交于⎝⎛⎭⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1， 所以S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以原式＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 021－12 022 ＝1－12 022＝2 0212 022.故选D.6.(四川省天府名校2020届高三上一联)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n ＝22n ＋1(n ＝0，1，2，…)是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6 700 417，不是质数．现设a n ＝log 2(F n －1)(n ＝1，2，…)，S n 表示数列{a n }的前n项和．则使不等式2S 1S 2＋22S 2S 3＋…＋2n S n S n ＋1＜2n2 020成立的最小正整数n 的值是(提示：210＝1 024)( )A.11B.10C.9D.8 解：把F n ＝22n ＋1代入a n ＝log 2(F n －1)，得a n ＝log 2(22n ＋1－1)＝2n ， 故S n ＝2（1－2n ）1－2＝2(2n －1)，则2n S n S n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1， 则不等式2S 1S 2＋22S 2S 3＋…＋2n S n S n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＜2n2 020成立，代入计算可得，当不等式成立时，n 的最小值为9.故选C.7 .(山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性检测)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 5＝b 6，则 ( )A.a 3＋a 7≤b 4＋b 8B.a 3＋a 7≥b 4＋b 8C.a 3＋a 7≠b 4＋b 8D.a 3＋a 7＝b 4＋b 8解：因为a n ＝a 1q n －1，b n ＝b 1＋(n －1)d ，因为a 5＝b 6，所以a 1q 4＝b 1＋5d ，a 3＋a 7＝a 1q 2＋a 1q 6，b 4＋b 8＝2(b 1＋5d )＝2b 6＝2a 5，a 3＋a 7－2a 5＝a 1q 2＋a 1q 6－2a 1q 4＝a 1q 2(q 2－1)2≥0，所以a 3＋a 7≥b 4＋b 8.故选B.8．【多选题】关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有 ( )A.若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)则数列{a n }为等差数列B.若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，则数列{a n }为等差数列C.数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列D.数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等比数列解：若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，若c ＝0，由等差数列的性质可得数列{a n }为等差数列，若c ≠0，则数列{a n }从第二项起为等差数列，故A 不正确；若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2， 可得a 1＝4－2＝2，a 2＝S 2－S 1＝8－2－2＝4，a 3＝S 3－S 2＝16－2－6＝8，则a 1，a 2，a 3成等比数列，则数列{a n }不为等差数列，故B 不正确；数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和， 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，即为a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＋1＋…＋a 2n ，a 2n ＋1＋…＋a 3n ，…，即为S 2n －S n －S n ＝S 3n －S 2n －S 2n ＋S n ＝n 2d 为常数，仍为等差数列，故C 正确；数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…不一定为等比数列，比如公比q ＝－1，n 为偶数，S n ，S 2n －S n ，S 3n－S 2n ，…，均为0，不为等比数列．故D 不正确．故选ABD.9．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ＋1·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝________．解：a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 019＋a 2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030.故填－3 030.10．数列{a n }的通项公式a n ＝n sin n π3，其前n项和为S n ，则S 2 021＝________.解：函数y ＝sin π3x 以6为最小正周期，又a 6m＋1＋a 6m ＋2＋a 6m ＋3＋a 6m ＋4＋a 6m ＋5＋a 6m ＋6＝－33，m ∈N ，2 021＝337×6－1，所以S 2 021＝－33×337－2 022sin 2 022π3＝－1 0113.故填－1 011 3.11.(2018届江西南昌高三三模)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 2n －2na n －(2n ＋1)＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 2n －2na n －(2n ＋1)＝0得[a n －(2n ＋1)]·(a n ＋1)＝0，所以a n ＝2n ＋1或a n ＝－1，又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)因为b n ＝2n ·a n ＝(2n ＋1)·2n ，所以T n ＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1， ②由①－②得：－T n ＝6＋2[22＋23＋…＋2n ]－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2·22（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.12.在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列， 且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. 所以当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×20＝n 2－9n ＋40，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.13．在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23.解：(1)设数列{a n }的公差为d.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3. 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. (2)证明：因为S n ＝n （3＋3n ）2，所以1S n ＝2n （3＋3n ）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝23[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 因为n ≥1，所以0＜1n ＋1≤12，所以12≤1－1n ＋1＜1，所以13≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜23，即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23. 附加题 (2018·天津卷)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， (Ⅰ)求T n ；(Ⅱ)证明：∑k ＝1n（T k ＋b k ＋2）b k （k ＋1）（k ＋2）＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q. 由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q ＞0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1. 设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n.(2)(Ⅰ)由(1)有，S n ＝1－2n1－2＝2n－1，故T n ＝∑k ＝1n(2 k －1)k =∑k ＝1n2 k －n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n－2.(Ⅱ)证明：因为（T k ＋b k ＋2）b k（k ＋1）（k ＋2）＝（2k ＋1－k －2＋k ＋2）k （k ＋1）（k ＋2）＝k ·2k ＋1（k ＋1）（k ＋2）＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，所以∑k ＝1n（T k ＋b k ＋2）b k（k ＋1）（k ＋2）＝⎝⎛⎭⎫233－222＋⎝⎛⎭⎫244－233＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋2n ＋2－2n ＋1n ＋1＝2n ＋2n ＋2－2.。
2.3 基本不等式1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小． 6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大． 7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab 6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 221.下列说法正确的是( ) A.a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B.函数y ＝x ＋1x的最小值是2C.函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4D.“x>0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充分不必要条件解：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<cos x <1，f (x )＝cos x ＋4cos x无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需x y>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2.(2019·首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 6＝3，则a 4＋a 8 ( )A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3解：因为a 6＝3，所以a 4a 8＝a 26＝9，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝6，当且仅当a 4＝a 8＝3时等号成立．故选A. 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为 ( ) A.12 B.43C.－1D.0 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1x (x >0)取得最小值． 解：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x (x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12.5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)， 所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x＋y ，所以x ＋y ≤－2. 所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.类型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116.解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故填1.(3)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2b ＋1a ＝4＋4a b ＋ba≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ＝4时等号成立．另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得ab ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8.点拨 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．变式1 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )A.2B.12C.4D.14解：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立)．故选B.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92.故填92. (3)(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．解：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号．故填4.类型二 利用基本不等式求参数的值或范围例2 (1)(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意x >0，都有4xx 2＋x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x＋x ＋1≤42＋1＝43，即4x x 2＋x ＋1的最大值为43，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.故填36.点拨 求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .变式2 (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝yx时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a －2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4， 所以正实数a 的最小值是4.故选B.(2)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1) 解：由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，所以k ＋1<22，即k <22－1.故选B.类型三 利用基本不等式解决实际问题例3 (2019·上海高三单元测试)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成：①固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元；②生产所需的直接总成本50x ＋1100x 2.(1)该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，q ＝a ＋xb(a ，b ∈R )．若当产量为15 000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本费用) 解：(1)由题意知，生产成本为p ＝1 000 000＋50x ＋1100x 2，p x ＝x 100＋1 000 000x ＋50≥2x 100·1 000 000x ＋50＝250，当且仅当x 100＝1 000 000x ，即x ＝10 000时，取等号．故该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，此时每套的成本费用为250元．(2)设利润为s ，则s ＝qx －p ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000 000＋50x ＋1100x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －1100x 2＋(a －50)x －1 000 000，根据题意，有1b －1100<0，a ＋15 000b ＝300，且－a －502⎝⎛⎭⎫1b －1100＝15 000，解得a ＝250，b ＝300.点拨 建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．变式3 (1)(2019·阜新市高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元．为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．解：由题意，总的费用y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫400x ＋x ≥4×2400x ×x ＝160，当x ＝20时取“＝”.故填20.(2)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m 2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m 宽的绿化，绿化造价为200元/m 2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m 2.设矩形的长为x (m)，总造价为y (元)．(Ⅰ)将y 表示为关于x 的函数； (Ⅱ)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． 解：(Ⅰ)由矩形的长为x ，得矩形的宽为200x ， 则中间区域的长为x －4，宽为200x－4，则定义域为(4，50)， 则y ＝100⎣⎡⎦⎤（x －4）⎝⎛⎭⎫200x －4＋200[200－(x －4)⎝⎛⎭⎫200x －4]， 整理得y ＝18 400＋400⎝⎛⎭⎫x ＋200x ，x ∈(4，50)． (Ⅱ)x ＋200x ≥2x ·200x＝202， 当且仅当x ＝200x时取等号，即x ＝102∈(4，50)．所以当x ＝10 2 m 时，总造价最低，且为18 400＋8 0002元．1．基本不等式的变式和推广①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤14(a ＋b )2；④⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33，等等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正、二定、三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决． 5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．故选A.2．(2018·北京高三期中)某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (0＜a <b )，其全程的平均速度为v ，则 ( )A.v ＝a ＋b 2 B. v ＝ab C.a < v <ab D.ab < v <a ＋b 2 解：设从甲地到乙地距离为s ，往返的时间分别为t 1＝s a ，t 2＝sb(a <b )，其全程的平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab ，因为0<a <b ，所以1a >1b ，1a ＋1b <2a ，v >22a ＝a ，所以a < v <ab.故选C.3.(2019·河北高三月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b 满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为 ( )A.6B.8C.12D.24解：因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以定义域为R ，因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )，所以f (x )＝－f (－x )，则f (x )为奇函数．又x ＞0时，f (x )＝log 21x 2＋1＋x单调递减，f (0)＝0，f (x )为奇函数，所以f (x )为减函数，因为f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝－f (3b －1)＝f (1－3b )，则a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝9b a ＋ab＋6， 因为9b a ＋a b ≥29b a ×a b ＝6，所以3a ＋1b≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝12，b ＝16时，等号成立. 故选C.4．(2019·江苏省如皋中学高一月考)0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是 ( )A.a 1b 1＋a 2b 2B.a 1a 2＋b 1b 2C.a 1b 2＋a 2b 1D.12解：因为0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，所以a 1a 2＋b 1b 2<⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 222＝12，又a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1－(a 1－a 2)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)>0，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1，而1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，故a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可得a 1b 1＋a 2b 2最大．故选A.5．(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)解：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab ，即a ＝4，b ＝12时取等号．依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6≥－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.故选D.6．(2019·宜春昌黎实验学校高一月考)关于x 的方程9x ＋(a －2)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－2，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－∞，－2]D.[－4，＋∞)解：因为9x ＋(a －2)3x ＋4＝0，所以(a －2)3x ＝－(9x ＋4)，所以a －2＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4(当且仅当3x ＝43x ，即x ＝log 32时，等号成立)，故a ≤－2，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．故选C.7．(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为 ( )A.2B.2＋2C.4D.2＋22 解：因为△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，所以12(a ＋b ＋c )×m ＝m ，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为2＋22.故选D.8．【多选题】(2019·海南东方市民族中学高一期中)已知a ，b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是 ( )A.a ＋b ＋1ab ≥3 B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab解：对于A ，a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22<3，当且仅当a ＝b ＝22时取等号； 对于B ，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b 时取等号；对于C ，a 2＋b 2ab ≥（a ＋b ）22ab ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号；对于D ，当a ＝12，b ＝13时，2aba ＋b ＝1356＝215， ab ＝16，16>215， 此时2ab a ＋b <ab.当a ＝b ＝1时，22≥1成立．综上知，选项A ，D 中的不等式不一定成立．故选AD.9．(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________．解：因为a 3＝7，a 9＝19， 所以d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， 所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）×9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.故填3.10．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 解：32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，因为x ，y 均为正实数，所以xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故填16.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋25y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy.因为2x ＋5y ＝20，所以210xy≤20，xy ≤10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.则当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋25y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋25y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫4＋5y x ＋4x 5y ≥120⎝⎛⎭⎫4＋25y x ·4x 5y ＝25，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝4x 5y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．所以1x ＋25y 的最小值为25.12.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8y x＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．13．(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设n 年获取纯利润为y 万元． n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，所以n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －81－n 2n＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)， 所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元， 所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.附加题 (宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为________．解：曲线C 可整理为：(x －2)2＋y 2＝25， 则曲线C 表示圆心为(2，0)，半径为5的圆， t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，设d ＝（x ＋6）2＋（y －6）2，则d 表示圆C 上的点到(－6，6)的距离，则d max ＝（2＋6）2＋（0－6）2＋5＝15，所以t max ＝152－222－a ＝b ，整理得，a ＋1＋b＝4.所以1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ba ＋1＋a ＋1b ＋1. 又b a ＋1＋a ＋1b ≥2b a ＋1·a ＋1b＝2(当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝1，b ＝2时取等号)．所以1a ＋1＋1b ≥14×4＝1，即1a ＋1＋1b 的最小值为1.故填1.。
高考语文核按钮综合训练（二）一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
无论是从横向的时代性还是从纵向的历史性来看，以儒家思想和伦理价值观念为代表的中国传统伦理体系都有着广泛的理论深刻性和全面的融通性。
这一体系既强调人与社会、人与自然的主观能动，又有着合理的规律层次；既有对社会群体内部的管理和约束，更有高层次、宽维度的思考和研究，又蕴含着对于人类、社会、自然发展关系和理想状态的描述与追求，为世界文明的发展贡献了中国智慧，同时也为中华文化走向世界提供了难得的契机。
许多世界性难题的解决和人类社会长远发展目标的实现，迫切需要我们从伦理道德的维度出发，与时俱进地进行创新设计，实现和谐、可持续的人类伦理生态建构，以此推动社会文明和人类社会的全面发展。
逐渐走向世界舞台中央的中国在未来应具备更加广阔的格局，完成从“国际大国”向“国际强国”的转变，这需要我们有与国际姿态相匹配的国际话语权，打造与国际地位相一致的国际话语体系。
这首先要建立在对自身文化和伦理有充分自信的基础上。
对于伦理道德的自信，既要认可与肯定伦理道德的历史意义和文化价值，又要不断向伦理道德的更高层次、更高境界跨越和提升；既要有鲜明的方向性和导向性，又要有深刻的科学性和先进性。
只有如此，人们才能在文化观念和精神境界上表现出自信的姿态。
拥有双重自信的共同保障，中华民族才能以更加饱满的精神姿态和良好的形象站立于世界舞台，才能在兼收并蓄中更好地汲取精华，以更具中国特色、中国魅力且符合国际话语规范的表达形式向世界传达中国声音、讲述中国故事、阐释中国精神，增进世界对中华民族的认知、理解和赞许，减少中国人民和世界人民在国际交往中产生的文化摩擦。
当前，我国国际地位实现了前所未有的提升，中华民族的面貌发生了翻天覆地的变化，以崭新的姿态屹立于世界东方。
通过伦理自信和文化自信的双重架构，我们将会以更加从容的姿态和气魄，在世界中发出中国声音、设置中国议题、制定中国标准、实现中国倡议。
河北省石家庄市2021届第二次新高考模拟考试物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．2019年8月我国已经建成了新托卡马克（EAST ）装置一中国环流器二号M 装置（HL —2M ），为“人造太阳”创造了条件，其等离子温度有望超过2亿摄氏度，将中国的聚变堆技术提升到了新的高度。
设该热核实验反应前氘核（21H ）的质量为1m ，氚核（31H ）的质量为2m ，反应后氦核（42He ）的质量为3m ，中子（10n ）的质量为4m 。
关于聚变的说法正确的是（ ）A ．核裂变比核聚变更为安全、清洁B ．由核反应过程质量守恒可知1234m +m =m +m 。
C ．两个轻核结合成质量较大的核，比结合能较聚变前减少D ．HL —2M 中发生的核反应方程式是23411120H+H He+n → 【答案】D【解析】【分析】【详解】A ．轻核聚变比核裂变更为安全、清洁，选项A 错误；B ．核反应过程中质量数守恒，但质量不守恒，核反应过程中存在质量亏损，因此1234m m m m +≠+选项B 错误；C. 两个轻核结合成质量较大的核，根据质量亏损与质能方程，则有聚变后比结合能将增大，选项C 错误； D ．根据质量数和核电荷数守恒知 HL —2M 中发生的核反应方程式是23411120H+H He+n →选项D 正确。
故选D 。
2．如图所示为氢原子能级的示意图，下列有关说法正确的是A ．处于基态的氢原子吸收10.5eV 的光子后能跃迁至，n ＝2能级B ．大量处于n ＝4能级的氢原子向低能级跃迁时，最多可辐射出3种不同频率的光C ．若用从n ＝3能级跃迁到n ＝2能级辐射出的光，照射某金属时恰好发生光电效应，则用从n ＝4能级跃迁到n ＝3能级辐射出的光，照射该金属时一定能发生光电效应D ．用n ＝4能级跃迁到n ＝1能级辐射出的光，照射逸出功为6.34 eV 的金属铂产生的光电子的最大初动能为6.41eV【答案】D【解析】【详解】A ．处于基态的氢原子吸收10.2eV 的光子后能跃迁至n=2能级，不能吸收10.2eV 的能量．故A 错误；B ．大量处于n=4能级的氢原子，最多可以辐射出24C 6=种，故B 错误；C ．从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出的光的能量值大于从n=4能级跃迁到n=3能级辐射出的光的能量值，用从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出的光，照射某金属时恰好发生光电效应，则用从n=4能级跃迁到n=3能级辐射出的光，照射该金属时不一定能发生光电效应，故C 错误；D ．处于n=4能级的氢原子跃迁到n=1能级辐射出的光的能量为：410.85(13.6)12.75eV E E E =-=---=，根据光电效应方程，照射逸出功为6.34eV 的金属铂产生的光电子的最大初动能为：12.75 6.34 6.41eV km E E W =-=-=，故D 正确；3．如图所示的电路中，理想变压器原、副线圈的匝数之比为1:2，在原线圈电路的a 、b 端输入电压一定的正弦交变电流，电阻R 1、R 2消耗的功率相等，则12R R 为（ ）A ．14B ．4C ．12D ．2【答案】A【解析】【分析】【详解】因为电阻R 1、R 2消耗的功率相等，所以有 2212I R I R =又因为1221I n I n = 联立解得121=4R R 故BCD 错误，A 正确。
2021年高考语文核按钮答案宁海、辽、黑、吉、陕版2021年高考语文核按钮答案宁海、辽、黑、吉、陕版.txt10有了执著，生命旅程上的寂寞可以铺成一片蓝天；有了执著，孤单可以演绎成一排鸿雁；有了执著，欢乐可以绽放成满圆的鲜花。
127到130页板块一文言实词训练 1.D（直：副词，只，只是，不是通假字。
）2.C（危：高。
）3.C（间：从小路。
）4.A（胜：尽。
B.受：①通授，②接受。
C.奉：①承奉，②接受。
D.行：①遵守，②行为。
） 5.D（报：报答。
A.卒：①士兵，②最终。
B.破：①攻克，②残破。
C.举：①尽，②举荐。
） 6.A.其次：古义，它的旁边；今义，居于次一等的。
B.茫然：古义，旷远的样子；今义，完全不知道的样子。
C.众人：古义，一般人，普通人；今义，很多人。
D.从而：古义，是两个词，动词从和连词而，意为跟随而且；今义，合成一个连词，表目的或结果。
7.D（狼狈：形容困苦受窘的样子，古今义相同。
A.非常：古义，意外的变故；今义，异乎寻常的，很。
B.跪：古义，蟹腿；今义，下跪。
C.成立：古义，成人自立；今义，指组织、机构等筹备成功，开始存在。
）8.（1）衰老。
（2）旧。
（3）所以。
（4）旧交。
9.（1）逃亡，逃跑。
（2）失去，丢失。
（3）灭亡。
（4）通无，没有。
10.（1）再拜：拜两次，古代表示隆重的礼节。
（2）东宫：太子所住的地方，代指太子。
（3）管弦：代指音乐。
（4）左迁：降职。
板块二文言虚词训练1.D（而在①③句中表转折关系，②④句中表并列关系。
）2.D（于：用在形容词后面，引进比较的对象。
可译为比。
A.之：①取消句子独立性；②结构助词，的。
B.以：介词，①介词，因为；②连词，表顺承。
C.者：①用在今后面，起补足音节的作用；②用在判断句主语后，起提顿作用，引出判断。
） 3.C〔则：连词，表顺承，就，那么。
A.也：①放在句中表示停顿；②表疑问语气。
B.焉：①兼词，在那里；②代词，他（师）。
第二章 不等式 单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·安徽省泗县第一中学月考)已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＋1x －3<0，则集合M ∩N 等于 ( ) A.{x |x <－2} B.{}x |x >3 C.{x |－1<x <2} D.{x |2<x <3}解：M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |－1<x <3}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <2}．故选C.2．(2019·江西省奉新县第一中学高三月考)关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0的解集为，则实数a 的取值范围是 ( ) A.(－2，2] B.(－2，2) C.[－2，2) D.[－2，2]解：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0的解集为，等价于不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立， 当a ＝2时，－4＜0，显然恒成立； 当a ≠2时，要使不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，[2（a －2）]2＋16（a －2）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]．故选A. 3．(2019·江西高考模拟)若直线l ：ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过点(－1，2)，当2a ＋1b取最小值时直线l 的斜率为 ( )A.2B.12C. 2D.22解：因为直线l 过点(－1，2)，所以－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b2＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×a ＋2b 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋4b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫4＋24b a ×a b ＝4，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b 时取等号．所以直线l 的斜率ab＝2.故选A.4．若不等式4x ＋1x ＋2＜0和不等式ax 2＋bx －2＞0的解集相同，则a ，b 的值为 ( )A.a ＝－8，b ＝－10B.a ＝－4，b ＝－9C.a ＝－1，b ＝9D.a ＝－1，b ＝2 解：不等式4x ＋1x ＋2＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，－14，所以不等式ax 2＋bx －2＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，－14，二次方程ax 2＋bx －2＝0的两个根为－2，－14，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－14＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－14＝－2a，所以a ＝－4，b ＝－9.故选B. 5.若a >b >1，P ＝lg a lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则下列不等式成立的是 ( )A.R <P <QB.P <Q <RC.Q <P <RD.P <R <Q解：因为a >b >1，故lg a >0，lg b >0，所以a ＋b2>ab⇒lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )>lg a lg b ，即R >Q >P .故选B.6.(2019·广东佛山一中期末)若0<a <b <1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝log b a ，则x ，y ，z 大小关系正确的是( )A.x <y <zB.y <x <zC.z <x <yD.z <y <x 解：由题意，因为0<a <b <1，所以a b <a a <b a <1，又由log b a >log b b ＝1，所以x <y <z.故选A.7.(2019·贵州凯里一中高考模拟)在锐角△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且 3b ＝2a sin B ，a ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.163解：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B.3b ＝2a sin B ，3sin B ＝2sin A sin B ，解得sin A ＝32. 因为△ABC 为锐角三角形，则cos A ＝1－sin 2A ＝12.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－bc.所以16＋bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤16，当且仅当b ＝c 时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ≤43.故选B.8.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为 ( )A.16B.25C.36D.49解：因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b＋4a )＝4(b ＋4a )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4ab ≥20＋4×2b a ×4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.下列叙述正确的是 ( )A.若x >y >z ，则|xy |>|yz |B.若a >b >0，c >0，则a －c >b －cC.若a >b ，c >d ，则ac >bdD.若a 2x >a 2y ，则x >y 解：A 中，例如1>－2>－3，此时|1×(－2)|<| (－2)×(－3)|，所以A 不正确；B 中，根据不等式的可加性可知B 正确；C 中，例如－1>－2，－3>－4，此时－1× (－3)<－2×(－4)，所以C 不正确；D 中，若a 2x >a 2y ，则a 2(x －y )>0，则x －y >0，所以D 正确． 故选BD.10.设a ，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是 ( ) A.若a 2－b 2＝1，则a －b <1B.若1b －1a＝1，则a －b <1 C.若|a －b |＝1，则|a －b |<1D.若|a |≤1，|b |≤1，则|a －b |≤|1－ab | 解：对于A ，由a ，b 为正实数，且a 2－b 2＝1，可得a －b ＝1a ＋b ，所以a －b >0，所以a >b >0，若a－b ≥1，则1a ＋b ≥1，可得a ＋b ≤1，这与a ＋b >a－b >0矛盾，故a －b <1成立，所以A 中命题为真命题；对于B ，取a ＝5，b ＝56，则1b －1a＝1，但a －b＝5－56>1，所以B 中命题为假命题；对于C ，取a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，所以C 中命题为假命题；对于D ，由|a |≤1，|b |≤1，则(a －b )2－(1－ab )2＝a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)(1－b 2)≤0，即(a －b )2≤(1－ab )2，可得|a －b |≤|1－ab |，所以D 中命题为真命题．故选AD.11.(2019·山东高二期中)下列说法正确的是 ( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1 C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1 D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9 解：对于A ，取x ＝32，y ＝12得到2x ＋2y ＝32>4，错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，正确；对于C ，取x ＝2，y ＝13，此时xy ＝23<1，错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，正确．故选BD. 12.(2019·莒县第一中学高一月考)已知x ＋y ＝1，y >0，x ≠0，则12|x |＋|x |y ＋1的值可能是 ( ) A.12 B.14 C.34 D.54 解：由x ＋y ＝1，y >0，x ≠0，得y ＝1－x >0，则x <1且x ≠0.当0<x <1时，12|x |＋|x |y ＋1＝12x ＋x 2－x ＝x ＋2－x 4x ＋x2－x ＝14＋2－x 4x ＋x 2－x ≥14＋22－x 4x ·x 2－x ＝54. 当且仅当2－x 4x ＝x 2－x 即x ＝23时取等号．当x <0时，12|x |＋|x |y ＋1＝1－2x ＋－x 2－x ＝2－x ＋x －4x ＋－x 2－x ＝－14＋2－x －4x ＋－x 2－x ≥－14＋22－x －4x ·－x2－x＝34. 当且仅当2－x －4x ＝－x 2－x 即x ＝－2时取等号．综上，12|x |＋|x |y ＋1≥34.故选CD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2019·四川高考模拟)若正实数x ，y 满足x＋y ＝1，则4x ＋1＋1y的最小值为________． 解：因为x ＋y ＝1，所以(x ＋1)＋y ＝2.所以4x ＋1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋1y ×[（x ＋1）＋y ]2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋1＋x ＋1y ≥12×(5＋4)＝92， 当且仅当4y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝13，y ＝23时，等号成立．所以4x ＋1＋1y的最小值为92.故填92.14．(2019·陕西高二期中)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1，2]，y ∈[2，3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”； 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”； 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”. 参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________．解：利用丙的方法，将字母a 分离出来，得a ≥yx－2y 2x 2，由x ∈[1，2]得1x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，再由y ∈[2，3]，有y x ∈[1，3]，所以⎝⎛⎭⎫y x －2y 2x 2max ＝－1，故a ≥－1.故填[－1，＋∞)．15．(2019·安徽高考模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为________． 解：设等比数列的公比为q (q ＞0)， 因为a 9＝a 8＋2a 7， 所以a 7q 2＝a 7q ＋2a 7， 所以q 2－q －2＝0， 所以q ＝2或q ＝－1(舍)，因为存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21， 所以a 21q m －1＋n －1＝2a 21，即2m ＋n －2＝2，所以m ＋n －2＝1，则m ＋n ＝3. 所以1m ＋4n ＝13×⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13(n m ＋4mn ＋5)≥13×9＝3，当且仅当n ＝2m ＝2时，等号成立．或由m ＋n ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，分别代入求解．故填3. 16．(2019·河南高二月考)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF |＋2|BF |的最小值为________；当|AF |＋2|BF |取得最小值时，|AB |＝________．解：易知F (1，0)，准线方程为：x ＝－1， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时|AF |＝|BF |＝2，所以|AF |＋2|BF |＝6，当直线l 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 所以|AF |＋2|BF |＝x 1＋2x 2＋3， 因为x 1>0，x 2>0，所以|AF |＋2|BF |＝x 1＋2x 2＋3≥2x 1·2x 2＋3＝22＋3，当且仅当x 1＝2x 2且x 1x 2＝1，即x 1＝2，x 2＝22时等号成立． 因为22＋3<6，所以|AF |＋2|BF |取得最小值22＋3，此时|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝2＋22＋2＝2＋322. 故填22＋3；2＋322.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0(a ∈R )． (1)若不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值； (2)求不等式ax 2－3x ＋2>5－ax (a ∈R )的解集． 解：(1)将x ＝1代入ax 2－3x ＋2＝0，则a ＝1. 所以不等式为x 2－3x ＋2>0，即(x －1)(x －2)>0.所以不等式的解集为{x |x <1或x >2}，所以b ＝2.(2)不等式为ax 2＋(a －3)x －3>0，即(ax －3)(x＋1)>0.当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <－1}． 当a ≠0时，方程(ax －3)(x ＋1)＝0的根为x 1＝3a ，x 2＝－1， ①当a >0时，3a >－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3a 或a <－1； ②当－3<a <0时，3a <－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a <x <－1； ③当a ＝－3时，3a ＝－1，则解集为∅； ④当a <－3时，3a >－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <3a . 18．(12分)(2019·湖南长沙一中高三月考)已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝2，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤43；(2)2－a b ·2－b c ·2－c a≥8.证明：(1)将a ＋b ＋c ＝2两边平方得， a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝4，由基本不等式知：a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，三式相加得：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， 则4＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，所以ab ＋bc ＋ac ≤43，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．(2)由2－a b ＝b ＋c b ≥2bc b ＞0，2－b c ＝a ＋c c ≥2acc ＞0，2－c a ＝b ＋a a ≥2ba a＞0，得2－a b ·2－b c ·2－c a ≥2bc b ·2ac c ·2baa ＝8，即2－a b ·2－b c ·2－c a ≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．19．(12分)(2019·江西高安中学高二期中)已知函数f (x )＝x x 2＋6，g (x )＝x 2＋2mx ＋1311. (1)若f (x )<k 的解集为{x |－3<x <－2}，求实数k的值；(2)若∀x 1∈[2，4]，∃x 2∈[2，4]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )<k 得xx 2＋6<k ，整理得kx 2－x ＋6k >0， 因为不等式的解集为{x |－3<x <－2}， 所以方程kx 2－x ＋6k ＝0的两个根是－3，－2； 由根与系数的关系得－3＋(－2)＝1k，即k ＝－15. (2)由已知，只需f (x )min ≥g (x )min ，因为f (x )＝x x 2＋6＝1x ＋6x 在区间[2，6]上为增函数，在区间[6，4]上为减函数，由于f (2)＝15，f (4)＝211，所以函数f (x )在[2，4]上的最小值为f (4)＝211，因为g (x )图象的开口向上，且对称轴为x ＝－m ，故①当－m ≤2，即m ≥－2时，g (x )min ＝g (2)＝4＋4m ＋1311≤211，解得－2≤m ≤－54；②当2<－m <4，即－4<m <－2时，g (x )min ＝g (－m )＝m 2－2m 2＋1311≤211，解得m ≤－1或m ≥1，所以－4<m <－2；③当－m ≥4，即m ≤－4时，g (x )min ＝g (4)＝16＋8m ＋1311≤211，解得m ≤－178，所以m ≤－4.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54.20．(12分)(2019·上海高考模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T (元)关于每次订货x (单位)的函数关系T (x )＝Bx 2＋ACx，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少元？解：(1)由题意可得：A ＝6 000，B ＝120，C ＝2 500， 所以存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，若该化工厂每次订购300吨甲醇，则年存储成本费为T (300)＝60×300＋15 000 000300＝68 000.(2)因为存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，x >0，所以T (x )＝60x ＋15 000 000x ≥260×15 000 000＝60 000，当且仅当60x ＝15 000 000x，即x ＝500时，取等号．所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．21．(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝a ＋1|x |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤2x ；(2)若关于x 的方程f (x )－2x ＝0在区间[－2， －1]上有解，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1＋1|x |，所以f (x )≤2x ⇔1＋1|x |≤2x ，(*)①若x >0，则(*)变为，（2x ＋1）（x －1）x≥0⇔－12≤x <0或x ≥1，所以x ≥1；②若x <0，则(*)变为，2x 2－x ＋1x ≥0⇔x >0，所以x ∈.由①②可得，(*)的解集为[1，＋∞)．(2)f (x )－2x ＝0⇔a ＋1|x |－2x ＝0，即a ＝2x ＋1x，其中x ∈[－2，－1]．令g (x )＝2x ＋1x，其中x ∈[－2，－1]，则g ′(x )＝2－1x2在[－2，－1]上大于0恒成立，所以函数g (x )在区间[－2，－1]上是增函数．所以－92＝g (－2)≤g (x )≤g (－1)＝－3，即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－92，－3，故a ∈⎣⎡⎦⎤－92，－3. 22．(12分)(2019·上海南汇中学高一月考)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(a ，b )，(c ，d )作如下定义：如果a b >cd，那么称点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，同时点(c ，d )是点(a ，b )的“下位点”.(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)设a ，b ，c ，d 均为正数，且点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，请判断点P (a ＋c ，b ＋d )是否既是点(a ，b )的“下位点”又是点(c ，d )的“上位点”.如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)设正整数n 满足以下条件：对任意实数m ∈{t |0<t <2 019，t ∈Z }，总存在k ∈N *，使得点(n ，k )既是点(2 019，m )的“下位点”，又是点(2 020，m ＋1)的“上位点”，求正整数n 的最小值． 解：(1)依题意知，点(3，5)的一个“上位点”的坐标可以为(3，4)，一个“下位点”的坐标可以为(3，7)． (2)点P (a ＋c ，b ＋d )既是点(a ，b )的“下位点”，又是点(c ，d )的“上位点”.理由如下：因为a ，b ，c ，d 均为正数，且点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，所以a b >cd，所以ad >bc.因为a ＋cb ＋d －ab ＝b （a ＋c ）－a （b ＋d ）b （b ＋d ）＝bc －adb （b ＋d ）<0，所以点P (a ＋c ，b ＋d )是点(a ，b )的“下位点”， 因为a ＋cb ＋d －cd ＝d （a ＋c ）－c （b ＋d ）d （b ＋d ）＝ad －bcd （b ＋d ）>0，所以点P (a ＋c ，b ＋d )是点(c ，d )的“上位点”.(3)由题意，知正整数n 满足条件：2 020m ＋1＜nk<2 019m在m ∈{t |0<t <2 019，t ∈Z }时恒成立． 由(2)中的结论可知，k ＝2m ＋1，n ＝2 019＋2 020＝4 039时满足条件．由2 020m ＋1＜n k＜2 019m ，得mn 2 019＜k ＜mn ＋n 2 020，k ∈N *，由上式对∀m ∈{t |0＜t ＜2 019，t ∈Z }恒成立，令m ＝2 018，则2 018n 2 019＜k ＜2 019n2 020，即n －n 2 019＜k ＜n －n2 020，当n ≤4 038时，n －n2 019≥n －2，所以k ＝n－1.即n －n 2 019＜n －1＜n －n2 020，解得2019＜n＜2 020，这与n 为正整数矛盾．故当n ≤4 038时，k 不存在．因此，n 的最小值为4 039.。
高考语文核按钮名师预测卷20211.下列对文化常识的解说，不正确的一项是( ) [单选题] *A.《礼记》是中国古代一部重要的典章制度书籍，儒家经典著作之一，与《周礼》《礼书》合称“三礼”。
(正确答案)B.儒家所称道的礼，可谓包罗万象，其内容涵盖政治制度、宗教仪式和社会风俗习惯等。
C.中国古代礼乐并称，乐其实是礼的一部分，附属于礼，用来补充仪文（礼仪形式）的不足，以助教化。
D.孔子教导学生“兴于诗，立于礼，成于乐”。
周朝时，礼、乐皆为贵族社会专有。
2.对下列句中加粗的词语说法不正确的一项是（） [单选题] *A.上书乞骸骨:封建社会，大臣年老了请求辞职为“乞骸骨”，意思是请求赐还自己的身体，回家乡去。
B.遂通五经，贯六艺:五经，指《诗》《书》《礼》《易》《春秋》;六艺，就是指礼、乐、射、御、书、数六种学问和技能。
(正确答案)C.举孝廉不行:孝廉，汉朝由地方官（太守）向中央举荐品行端正的人任以官职，被举荐的人称为“孝廉”。
D.天子射上林中:上林，即上林苑，皇帝游猎的场所，在长安西，周围三百里。
西汉司马相如曾作《上林赋》。
3.下列说法不正确的一项是( ) [单选题] *A.谪,官吏降级,相当于贬。
白居易《琵琶行》:“我从去年辞帝京,谪居卧病当浔阳城。
”B.拜,授予官职,任命,多指帝王授臣下官职。
《廉颇蔺相如列传》:“以相如功大,拜为上卿。
”《张衡传》:“公车特征拜为郎中。
”C.除,一般指免去旧职且不授予新职。
如果是“左除”,则是降级授职之意。
(正确答案)D.擢,既由选拔而提升。
超擢则是越级破格提升的意思。
4.下列对课文中相关文化常识的表述，不正确的一项是( ) [单选题] *A.曹孟德，即曹操,“孟德”是他的字。
古代男子成人，不便直呼其名，故取字，字和名有意义上的联系。
B.号，又称别号、表号。
一般用于自称，以显示某种志趣或抒发某种情感，对人称号也是一种尊敬。
如陶渊明号五柳先生，李白号青莲居士，苏轼号东坡居士。
2021年山东省新高考测评卷物理（第二模拟）一、单选题 (共6题)第(1)题2023年12月，江南造船（集团）有限责任公司正式发布全球首型、世界最大核动力集装箱船船型设计，它采用了第四代钍基堆型熔盐反应堆，具有更高的安全性、更少的核废料、更长的使用寿命和更广泛的能源应用前景。
在该反应堆中，钍（）核经过一系列的衰变最终变成了铅（）核，下列说法正确的是（）A．钍核包含有90个质子和140个中子B．钍核的结合能小于铅核的结合能C．钍核衰变为铅核经历了6次衰变和4次衰变D．钍核衰变为铅核需要吸收能量第(2)题已知轨道量子数为的氢原子能级为（为氢原子处于基态时的能级，）。
现用单色光A照射大量处于基态的氢原子，只能产生一种频率的光子；用单色光B照射大量处于基态的氢原子，能产生三种不同频率的光子，则单色光A和单色光B的光子能量之比为（ ）A．B．C．D．第(3)题一列简谐横波在时的波形图如图所示。
介质中处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为（y的单位是cm）。
则下列说法正确的是（ ）A．该波的波长，振幅B．处的质点此刻具有最大速度C．该波沿x轴负方向传播D．这列波的波速第(4)题已知通电长直导线周围激发磁场的磁感应强度大小与导线中的电流大小成正比。
有四条垂直于纸面的长直固定导线，电流方向如图所示，其中a、b、c三条导线到d导线的距离相等，三条导线与d的连线互成角，四条导线中的电流大小都为I，其中a导线对d导线的安培力大小为F。
现突然把a、c导线的电流方向同时改为垂直于纸面向外，电流大小同时变为原来的2倍，则此时d导线所受安培力的合力（ ）A．F B．C．D．第(5)题一竖直放置的轻弹簧，一端固定于地面，一端与质量为3kg的B固定在一起，质量为1kg的A放于B上。
现在A上施加力F使得弹簧压缩，然后撤去力F，此后A和B一起竖直向上运动，且A和B能分离。
如图所示。
当A、B分离后，A上升0.2m到达最高点，此时B速度方向向下，弹簧为原长，则从A、B分离起至A到达最高点的这一过程中，下列说法不正确的是（ ）（g取10m/s2）A．A、B分离时B的加速度为g B．弹簧的弹力对B做功为零C．弹簧的弹力对B的冲量大小为6N·s D．B的动量变化量为零第(6)题1930年，赵忠尧先生独立发现γ射线在重元素中的“反常吸收”。
高三化学核按钮试题2021年天津市高考化学试卷1.运用有关概念判断以下表达正确的选项是A、1molH2燃烧放出的热量为H2的燃烧热B、Na2SO3和H2O2的反响为氧化复原反响C、和互为同系物D、BaSO4的水溶液不导电，故BaSO4是弱电解质考察化学反响根本概念 A选项燃烧热的定义是在25℃、101kPa时，1moL纯物质完全燃烧生成稳定化合物时所放出的热量，假如生成气态水，就不是H2的燃烧热。
所以A选项错误。
C选项中两种物质虽然相差-CH2,但前者是酚类物质后者是醇类物质，不符合同系物定义，错误;D选选BaSO4属于盐类，是强电解质，电解质的强弱时指一定条件下能否完全电离的化合物，错误;B选项中Na2SO3具有强复原性，H2O2具有强氧化性，二者能发生氧化复原反响，正确。
答案：B2、以下食品化学知识的表达不正确的选项是A、食盐可作调味剂，液可作食品防腐剂B、新颖蔬菜做熟后，所含维生素C会有损失C、纤维素在人体内可水解为葡萄糖，故可做人类的营养物质D、葡萄糖中的花青素在碱性环境下显蓝色，故可用苏打粉检验假红酒。
考察和生活相关的一些物质的主要性质 A选项正确，考察食盐的常识性知识。
B选项考察维生素C的性质，维生素C在水溶液中或受热时很容易被氧化，生吃新颖蔬菜比熟吃时损失小，正确。
C选项，纤维素在人体内不能水解，所以不能作为人类的营养物质，错误。
D选项苏打是碳酸钠，呈碱性，假红酒中没有葡萄糖时与苏打不显蓝色。
正确。
答案：C3、以下有关元素的性质及其底边规律正确的选项是A、IA族与VIIA族元素间可形成共价化合物或离子化合物B、最高第二周期元素从左到右，正价从+1递增到+7C、同主族元素的简单阴离子复原性越强，水解程度越大D、同周期金属元素的化合价越高，其原子失电子才能越强考察元素周期律 A选项IA族的H元素可以与VIIA族的元素形成共价化合物，Na元素可以与VIIA族的形成离子化合物，正确;B选项第二周期元素从左到右，元素O和F无正价，错误。
附录说明：附录内容，为《2021高考数学核按钮考点突破》（新高考版）补充考点，各考点均由考点梳理、典例解析、练习题三部分构成，后附详细答案供参考.目录考点一命题及其关系/ 2考点二简单的逻辑联结词/ 4考点三三角函数线/ 6考点四二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题/ 8考点五空间几何体的三视图/ 14考点六曲线与方程/ 17考点七几何概型/ 21考点八系统抽样/ 25考点一命题及其关系1.命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题.(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________.(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________.(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________.(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么__________就叫做原命题的逆命题；__________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题.2.四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.自查自纠1.(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若p，则q若q，则p2.(1)(2)①相同②没有关系类型一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假.(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)因为当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题为假命题．逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.它为真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.它为真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.它为假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．评析写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式.在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提.题(3)中“x ＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”.变式1(1) (2018·长春质检二)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1<x<1，则x2<1C.若x>1或x<－1，则x2>1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解：对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.故选D.(2)下列四个命题中，其中所有假命题的序号是()①命题“若m＋n>2t，则m>t且n>t”的逆命题；②命题“相似三角形的面积相等”的否命题；③命题“末位数字不为零的整数能被3整除”的逆否命题；④命题“若c>1，则方程x2－2x＋c＝0没有实数根”的否命题.A.②③B.①④C.①②D.③④解：因为①中所给命题的逆命题“若m>t且n>t，则m＋n>2t”成立，所以①为真命题．因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．因为③中所给命题的逆否命题“如果一个整数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．也可由原命题为假知其逆否命题为假．因为④中所给命题的否命题为“若c≤1，则方程x2－2x＋c＝0有实数根”，而c≤1时，Δ＝4－4c ≥0，所以④为真命题．综上知，②③为假命题．故选A.1.命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是()A.若x＝0，则xy≠0B.若xy≠0，则x≠0C.若xy≠0，则y≠0D.若x≠0，则xy≠0解：“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则xy≠0”.故选D.2.下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中所有正确命题的序号是 ( ) A.③④ B.①③ C.①② D.②④ 解：对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.3.命题“f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )·g (x )，若f (x )，g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解：由f (x )，g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，这是因为h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝(－f (x ))·(－g (x ))＝f (x )·g (x )＝h (x )，反之则不成立，如h (x )＝x 2，f (x )＝x 2x 2＋1，g (x )＝x 2＋1，h (x )是偶函数，但f (x )，g (x )都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B.4.(2019·河北正定中学月考)已知条件p ：|5x －1|>a (a >0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明理由.解：已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ， 所以x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，所以x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若A 则B .由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题．考点二简单的逻辑联结词1.逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为__________.2.命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题.自查自纠1.逻辑联结词2.①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A.p∨qB.p∧qC.qD.p解：取x＝π3，y＝5π6，可知命题p为假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q为真命题，故p 为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．故选B.(2)给定下列命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z).则下列命题中的真命题为()A.p1∨p2B.p2∧p3C.p1∨(p3)D.(p2)∧p3解：对于p1：令y＝f(x)，当a＝12时，f(0)＝⎝⎛⎭⎫12＋0＝1，f(－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝⎝⎛⎭⎫a－12b2＋34b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(p 2)∧p 3为真命题．故选D.评析 “p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”等形式命题真假的判断步骤：①确定命题的构成形式；②判断其中命题p 、q 的真假； ③确定“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”等形式命题的真假.变式1 (1)(2019·湖北八市联考)已知平面α，β，直线a ，b .命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β；命题q ：若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b .下列为真命题的是 ( )A.p ∧qB.p ∨(q )C.p ∧(q )D.( p )∧q解：命题p 中，直线a 与平面β可能平行，也可能在平面β内，所以命题p 为假命题，p 为真命题；由线面平行的性质定理易知命题q 为真命题， q 为假命题，所以(p )∧q 为真命题．故选D.(2)(2018·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(p )∨(q )，p ∧q ，(p )∧q ，p ∨(q )中，正确的命题个数为 ( )A.1B.2C.3D.4解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(p )∨(q )为真命题， p ∧q 为假命题，(p )∧q 为真命题，p ∨(q )为假命题，所以4个命题中正确的有2个．故选B.类型二 含有逻辑联结词的命题的综合问题例2 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0；q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围.解：若p 为真，则m ＜0；若q 为真，则Δ＝m 2－4＜0，即－2＜m ＜2. 因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥0，－2<m <2， 所以0≤m <2.所以实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．评析 已知含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围的策略：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解.变式2 已知命题p ：在x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数.若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围.解：因为x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，所以a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1，2]时恒成立，令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1，2]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1， 所以a >1.即若命题p 真，则a >1.又因为函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )>0在[1，＋∞)上恒成立，所以⎩⎨⎧a ≤1，u （1）>0，所以－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1，即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)．1.如果命题“p 或q ”是假命题，给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ”是假命题； ③命题“p 或q ”是真命题； ④命题“p 或q ”是假命题.其中所有正确结论的序号是 ( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④解：“p 或q ”是假命题，所以p ，q 均为假命题，从而p ，q 均为真命题．则“p 且q ”为真命题，“p 或q ”为真命题，从而①③正确．故选A.2.(安徽省全国示范高中名校2020届高三上学期九月联考)已知命题p ：∀x >2，2x ＞x 2，命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(p )∧qC.p ∧(q )D.(p )∧(q )解：当x ∈(2，4)时，2x <x 2，故p 为假命题．由y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象可知q 为真命题．故选B.3.已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，2x －a >0.若“p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(1，＋∞)B.(－2，1]C.(1，2)D.(1，＋∞)解：方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0，2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因为“p ”是假命题，则p 是真命题，又因为“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1， 得1<a <2，所以实数a的取值范围是(1，2)．故选C.4.(2019·洛阳二模)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________.解：由“p 且q ”为真命题知p 真q 真．由题意得，p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，即m >2x x 2＋1＝2x ＋1x在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，当x ＝12时，x ＋1x 取得最小值52，此时2x x 2＋1取得最大值，最大值为45，所以m >45；设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则原函数化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以m <1.所以实数m 的取值范围是45<m <1.故填⎝⎛⎭⎫45，1.考点三三角函数线1.三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP ＝y＝________，AT＝____________＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的____________、____________、____________，统称为三角函数线.自查自纠1.cosαsinαyx tanα正弦线余弦线正切线类型一三角函数线的应用例1函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域为________.解：要使原函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12， 如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )．故填⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )．评析 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性.此题考查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.变式1 函数y ＝sin x －32的定义域为____.解：作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为sin x ≥32，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k∈Z }．故填{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(福建省福州一中2019－2020学年高一上期末)sin 4，cos 4，tan 4的大小关系是 ( )A ．sin 4＜tan 4＜cos 4B ．tan 4＜sin 4＜cos 4C ．cos 4＜sin 4＜tan 4D ．sin 4＜cos 4＜tan 4解：5π4＜4＜3π2，如图，作出4弧度角的正弦、余弦、正切线．由图知MP ＜OM ＜0＜AT ，即sin 4＜cos 4＜tan 4.故选D.2．(四川省泸州市2019－2020学年高三一诊)已知p ：∀α∈(0，π2)，sin α＜α；q ：∃x 0∈N ，x 20－2x 0－1＝0，则下列选项中是假命题的是 ( )A ．p ∨qB ．p ∧(q )C ．p ∧qD ．p ∨(q )解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin α＝MP ，弧长P A 即为角α的弧长；显然MP ＜P A ，故p 为真命题；易知q 为假命题．故选C.3．(2019福建省泉州市普高一检)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐威王赛马，孙膑献策以下马对齐威王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中这种以局部的牺牲换取全局的胜利的策略成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ，对方的三个数以及排序如表：次序 第一局第二局 第三局 对方2tan θsin θ当0＜θ＜π4时，则我方必胜的排序是 ( )A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a解：因为当0＜θ＜π4时，由三角函数线易知，cos θ－sin θ＜cos θ＜cos θ＋sin θ，b ＝sin θ＋cos θ＞1＞tan θ，a ＝cos θ＞sin θ，c ＝cos θ－sin θ＜2，由“田忌赛马”事例可得，我方必胜的排序是c ，b ，a.故选D.4.利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan2π3＝AT ；同理，sin4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以，(1)sin 2π3>sin4π5；(2)tan2π3<tan4π5.考点四二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________.我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________.(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________.注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )A BC D解：(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．故选C.(2)(2019·河南高考模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ＋4≥0，－x －y ＋2≤0，表示的平面区域的面积为________.解：依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为△ABC ，其中A (2，0)，B (0，2)，C (2，3)，所以S ＝12×2×|AC |＝3.故填3.评析 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点).求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和.变式1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |＜1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )解：|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |＜1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C.(2)(2019·河南鹤壁高中高考模拟)平面区域M＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）y >14－x 2，在区域M 内随机取一点，则该点取自区域N 内的概率是( )A.1－π4B.12－π16C.1－π8D.12－π8解：如图，区域M 表示的是一个正方形区域，面积是2，区域N 表示以(0，0)为圆心，12为半径的上半圆外部的区域，则在区域M 内随机取一点，该点取自区域N内的概率是2×12×1×1－12π×144×12×1×1＝12－π16 .故选B.类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解例2 (2019·山东德州模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则z ＝4x －y 的最小值为( ) A.4 B.6 C.12 D.16解：作出可行域，如图阴影部分所示，结合图形可知当动直线z ＝4x －y 经过点A (2，2)时，动直线y ＝4x －z 在y 轴的截距最大，z min ＝4×2－2＝6.故选B.评析 线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.应注意目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)中b 的正负对z 取最大还是最小的影响.变式2 (2019·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A.－1 B.1 C.10 D.12 解：作出可行域，如图阴影部分所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，3x －y －4＝0， 解得A (2，2)，化目标函数z ＝3x ＋2y 为y ＝－32x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－32x ＋12z 过A (2，2)时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值10.故选C.类型三 含参数的线性规划问题例3 (1)已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－72，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－72，74 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解：作出可行域，如图阴影部分所示，直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A (－2，4)， 当直线y ＝kx －3过点A 时，k ＝－3－40－（－2）＝－72； 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B (2，0)， 当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32.由图形知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 故选B.(2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝________.解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ， 由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 最小为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ， 解得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎫34，32. 又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上， 即32＝－34＋b ，所以b ＝94.故填94. 评析 利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值.变式3 (1)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( )A.－56B.13C.1D.54解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，当m ＝0，z min ＝－3；当m <0时，z min <－3，均不合题意，故0<m <2，即目标函数的最优解过点A ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，所以－52＝m2－3，解得m ＝1.故选C.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0 所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A.－1B.－12C.12D.1解：由题意知k >0，且不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．因为直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫1k ，0， 直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为(3k ＋1，2k －1k ＋1)， 所以三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14， 解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，所以k ＝1.故选D.类型四 非线性目标函数的最优解问题例4 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 则(x＋1)2＋y 2的取值范围是________. 解：作出可行域如图阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点到点(－1，0)距离的平方．可以看出可行域内的点到点(－1，0)最小的距离为点(－1，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即d ＝|2×（－1）－2|4＋1＝455，则(x ＋1)2＋y 2 的最小值为165；可行域内B 点距离点(－1，0)最远，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0， 解得B (2，3)，此时(x ＋1)2＋y 2＝(2＋1)2＋32＝18.综上，(x ＋1)2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤165，18. 故填⎣⎡⎦⎤165，18. 评析 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围. 即：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－abx＋zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2或z ＝|cx ＋dy＋e |；③斜率型：形如z ＝y －bx －a.本题属于距离型.变式4 (2018·湘中高三联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x y的最小值是________.解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1k OA ＝32.故填32.类型五 线性规划与整点问题例5 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A.14B.16C.17D.19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .评析 求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点.变式5 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n .类型六 线性规划在实际问题中的应用例6 (2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时.A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元解：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过A (150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.故选B.评析 对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.变式6 (2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元.在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元.解：设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域如图阴影部分所示．当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max＝200×2＋100×2＝600.故填600.1.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示的图形的面积等于( )A.1B.2C.3D.4 解：不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝2.故选B.2.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________. 解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x －y ＝0，并平移，当直线经过点(3，0)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z＝3x －y 取得最大值，且z max ＝9.故填9.3.(2019·广西高考模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种.已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元.则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较( )A.2台大型货车运费贵B.3台小型货车运费贵C.二者运费相同D.无法确定解：设大型货车每台运费x 万元，小型货车每台运费y 万元，依题意得⎩⎨⎧4x ＋5y <22，6x ＋3y >24，x >0，y >0，z ＝2x －3y 过点A (3，2)时，z 最小． 所以z >2×3－3×2＝0，即2x >3y .故选A.4.(2019·江苏高考模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，3x －2y ＋3≥0，3x ＋y －6≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( ) A.1 B.3105 C.31313 D.55解：由图知z ＝x 2＋y 2的最小值为原点(0，0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，则最小距离为15＝55.故选D.5. (2018·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0，y ＋1≥0，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________. 解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝y ＋1x表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，所以ln x 0＋1x 0＝1x 0，所以x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．。
