2021届高考数学核按钮【新高考广东版】微专题一 聚焦新题型之结构不良试题

第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝ ( )A.{－1，0，1}B.{0，1}C.{－1，1}D.{0，1，2} 解：易知B ＝{x |－1≤x ≤1}，又A ＝{－1，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－1，0，1}．故选A.2.(辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟)命题p ：“x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≤12”的否定为( )A.x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12B.x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12C.x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12D.x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12解：命题p 的否定是把“”改成“”，再把“⎝⎛⎭⎫12x ≤12”改为“⎝⎛⎭⎫12x >12”即可．故选D.3.(宜宾市2019届高三第三次诊断性考试)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4.(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2∈A }，则集合A ∩B 的子集的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4解：由题意知B ＝{±1，±2，±2}，则A ∩B ＝{1，2}，故A ∩B 的子集的个数为4.故选D.5.(2019·湖南八市联考)已知数列{a n }是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：在等差数列中，对于正整数m ，p ，q ，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m ；但对于公差为0的等差数列，由a p ＋a q ＝2a m ，不一定能推出p ＋q ＝2m ，所以“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的充分不必要条件．故选A.6.已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－1，2) B.[－1，3] C.[2，＋∞) D.[－1，＋∞)解：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.故选D. 7.已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a ，若x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围为 ( )A.{a |a ≤1}B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤2}D.{a |a ≥2}解：由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])．对于函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x 2＜0，因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，对于函数g (x )＝2x ＋a ，在x ∈[2，3]上单调递增，所以g (x )min ＝g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.8.(2018·东北三校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.(1，＋∞)解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1中f (x )＝0的两根之积为－1，而f (－1)＝2a >0，f (0)＝－1<0，故其负根在(－1，0)之间，不合题意，故仅考虑其正根x 2，必满足2≤x 2<3，即要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，解得34≤a ＜43.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z|z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 ( )A.0∉MB.2∈MC.－4∈MD.4∈M解：根据题意，分4种情况讨论：①x ，y ，z 全部为负数时，则xyz 也为负数， 则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝－4. ②x ，y ，z 中有一个为负数时，则xyz 为负数， 则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝0. ③x ，y ，z 中有两个为负数时，则xyz 为正数， 则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝0. ④x ，y ，z 全部为正数时，则xyz 也为正数， 则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝4. 则M ＝{－4，0，4}．分析选项可得CD 符合．故选CD.10.下列四个命题中为真命题的是 ( )A.x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13xB.x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x D.x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x<log 13x解：因为当a >0时，y ＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，所以当x >0时，⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x恒成立，A 是假命题；因为当0<x <12时，log 12x >1，22<⎝⎛⎭⎫12x<1，所以C是假命题．同理可知BD 正确．故选BD.11．下列语句中，p 不是q 的充分必要条件的是 ( )A.已知a >0且a ≠1，b >0，p ：(a －1)(b －1)>0，q ：log a b >0B.设a ，b 是向量，p ：|a |＝|b |，q ：|a ＋b |＝|a－b | C.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，p ：x 1＋x 2＝0，q ：f (x 1)＋f (x 2)＝0D.已知α，β均为第一象限角，p ：α>β，q ：sinα>sin β 解：A.a >0，b >0且a ≠1，若log a b >0，则a >1，b >1或0<a <1，0<b <1，所以(a －1)(b －1)>0；若(a－1)(b －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b －1＜0，则a >1，b >1或0<a <1，0<b <1，所以log a b >0，所以“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的充分必要条件；B.p 是q 的既不充分也不必要条件；C.p 是q 的充分不必要条件；D.p 是q 的既不充分也不必要条件．故选BCD.12．给定数集M ，若对于任意a ，b ∈M ，有a ＋b ∈M ，且a －b ∈M ，则称集合M 为闭集合．则下列说法中不正确的是 ( )A.正整数集是闭集合B.集合M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合C.若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合D.若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊆R ，A 2⊆R ，则一定存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)解：对于A ，因为1∈N ＋，2∈N ＋，但1－2＝－1∉N ＋，所以正整数集不是闭集合，故A 不正确；对于B ，因为任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故集合{n |n ＝3k ，k ∈Z }是闭集合，故B 正确；对于C ，假设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，3∈A 1，5∈A 2，但是3＋5∉(A 1∪A 2)，所以A 1∪A 2不是闭集合，故C 不正确；对于D ，设集合A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝R ，都为闭集合，找不出c ∉(A 1∪A 2)，故D 不正确．故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020届山东实验中学一诊)由“我和我的祖国”中的各汉字组成集合A ，则A 的真子集的个数为________． 解：A 含5个元素，故A 的真子集有25－1＝31个．故填31.14．若命题“x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：命题“x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤3.故填[－3，3]．15．f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对x 1∈[1，4]，x 2∈[1，4]，有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1，4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．故填(－∞，0)．16．设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________．解：由题设知f (x )＝0，a ＝b ，则2a x ＝c x，即⎝⎛⎭⎫a c x ＝12.又a ＋b ≤c ，a ＝b ，所以a c ≤12，从而⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，所以12≤⎝⎛⎭⎫12x，解得0<x ≤1.故所求取值集合为{x |0<x ≤1}．故填{x |0<x ≤1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁R B )； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}， B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}， ∁R B ＝{x |1<x <4}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}， A ∪(∁R B )＝{x |－1≤x ≤5}．(2)①当A ＝∅时，显然A ∩B ＝∅，2－a ＞2＋a ， 解得a ＜0；②当A ≠∅时，若A ∩B ＝∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤2＋a ，2－a ＞1，2＋a ＜4，解得0≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．18．(12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2. 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.19．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1， 解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由；(2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，求实数k 和b 的取值范围．解：(1)假设f (x )＝1x属于集合M.若f (x )＝1x，根据题意得D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1，即x 20＋x 0＋1＝0，因为Δ<0， 此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x ∉M.(2)D ＝R ，存在实数x 0，使得k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0，所以实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0. 21．(12分)已知命题：“x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1，1)上的值域，易知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－14≤m <2.(2)因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N.当a ＝1时，N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >94或a <－14.22．(12分)(2019·山西联考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：当满足条件①时，由g (x )＝2x －2＜0，得x ＜1，要使x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0恒成立．当m ＝0时，f (x )＝0不满足条件①， 所以f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m <0.要满足条件①，必须使方程f (x )＝0的两实根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜1，－m －3＜1，解得m ∈(－4，0)．当满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )＜0，所以要使x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0， 只要x 0∈(－∞，－4)，使f (x 0)＞0即可， 只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可．当m ∈(－1，0)时，2m ＞－m －3，只要－4＞－m －3即可．解得m ＞1，与m ∈(－1，0)的交集为空集，不符合；当m ＝－1时，两根均为－2，－2＞－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m ＜－m －3，所以只要－4＞2m 即可，所以m ∈(－4，－2)，综上知，m 的取值范围为{m |－4＜m ＜－2}．。

第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ1.函数的概念与性质(1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．3.对数函数(1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．4.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．5.函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解．6.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．3.1函数的概念及其表示1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．2.函数的表示方法(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，，.(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5.补充几个常用概念常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的函数．有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为无界函数．抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数．复合函数：指按一定次序把有限个函数合成得到的函数．一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做复合函数y＝f(g(x))的内层函数，u称为中间变量．函数的复合是研究函数的一种工具．一方面它提供了构造各式各样新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合．代数函数、超越函数：如果函数与其自变量的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示，就称这样的函数为代数函数，否则称为超越函数．函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程．使函数方程中的等号能够成立的函数，叫做这一函数方程的解．自查自纠1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系1．(2019·湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是()A.y＝x2－2x和y＝t2－2tB.y＝x0和y＝1C.y＝（x＋1）2和y＝x＋1D.y＝lg x2和y＝2lg x解：对于A，y＝x2－2x和y＝t2－2t的定义域都是R，对应关系也相同，所以是同一函数；对于B，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域是R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，y＝（x＋1）2＝|x＋1|和y＝x＋1的定义域都是R，但对应关系不相同，所以不是同一函数；对于D，y＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，而y＝2lg x 的定义域是{x|x>0}，两函数的定义域不同，所以不是同一函数．故选A.2.函数y＝1log2x－2的定义域为() A.(0，4) B.(4，＋∞)C.(0，4)∪(4，＋∞)D.(0，＋∞)解：由题意得log2x－2≠0且x>0，解得x∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C.3.(2018·河南商丘第二次模拟)设函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－1，x≥2，log2x，0＜x＜2，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.－2B.8C.1D.2解：当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0<m<2时，由log2m＝3，解得m＝23＝8(舍去)．综上所述，m＝2.故选D.4．函数f(x)＝x－1x＋1的值域为________．解：由题意得f(x)＝x－1x＋1＝1－2x＋1，因为x ≥0，所以0<2x＋1≤2，所以－2≤－2x＋1<0，所以－1≤1－2x＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．故填[－1，1)．5．(2018·定远县期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧9，x≥3，－x2＋6x，x<3，则不等式f(x2－2x)<f(3x－4)的解集是________．解：当x<3时，f(x)＝－x2＋6x，在(－∞，3)上单调递增，故f(x)<9.由f(x2－2x)<f(3x－4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x<3x－4，3x－4<3或⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x<3，3x－4≥3，解得1<x<73或73≤x<3，即有解集为(1，3)．故填(1，3)．类型一求函数的定义域例1(1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝ln（x＋3）1－2x的定义域是()A.(－3，0)B.(－3，0]C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－3，0)解：要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，解得－3<x <0，即函数的定义域为(－3，0)．故选A.(2)(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f log 12x 的定义域为________．解：因为f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，所以f (x )的定义域是[0，2]，则由0≤log 12x ≤2得，f log 12x 的定义域为⎣⎡⎦⎤14，1.故填⎣⎡⎦⎤14，1. (3)(广西南宁三中2019－2020学年高一10月月考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ( )A.[0，4)B.(0，4)C.[4，＋∞)D.[0，4] 解：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4.故选D.点拨 ①求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助数轴，要特别注意端点值的取舍．②求抽象函数的定义域：若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．③已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．变式1 (1)(2019·衡水调研模拟二)函数f (x )＝14－x2＋ln(2x ＋1)的定义域为________． 解：要使函数f (x )有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，2x ＋1＞0，解得－12<x <2，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，2.故填⎝⎛⎭⎫－12，2. (2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 解：由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，所以⎩⎨⎧－12≤x ≤32，12≤x ≤52，所以12≤x ≤32.故选C.(3)若函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ( )A.(－∞，－9]∪[0，＋∞)B.[1，＋∞)C.[－9，1]D.(0，1]解：由题意知，kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎨⎧k >0，Δ＝36－4k （k ＋8）≤0，解得k ≥1.故选B.类型二 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2；(4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)f (x )＝||2x ＋1－||x －4；(6)y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.解：(1)方法一：(反解) 由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y，因为x 2≥0，所以1－y 1＋y ≥0，解得－1＜y ≤1，所以函数值域为(－1，1]． 方法二：(分离常数法)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0＜21＋x 2≤2，所以－1＜－1＋2x 2＋1≤1，所以函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法) 令t ＝1－x (t ≥0)，所以x ＝1－t 2，所以y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋178. 因为t ≥0，所以y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，178.(3)(三角换元法) 令x ＝cos t (0≤t ≤π)，所以y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ)(其中cos φ＝15，sin φ＝25)． 因为0≤t ≤π，所以φ≤t ＋φ≤π＋φ， 所以sin(π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)方法一：(不等式法) 因为y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1， 又因为x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，所以当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．所以函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 方法二：(判别式法)因为y ＝x 2－2x ＋5x －1，所以x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又因为函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 所以方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．所以Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(5)(图象法)f (x )＝⎩⎨⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－92，＋∞.(6)方法一：(数形结合法)函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点连线的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上．如图所示，P (π，0)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.所以k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π－1，4π－2.方法二：(单调性法)因为函数y ＝sin x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，y ＝x －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，且均非负，所以函数y ＝sin x ＋1x －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减．当x＝π2时，取最大值为4π－2；当x ＝π时，取最小值为1π－1.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π－1，4π－2.点拨 求函数值域的常用方法：①单调性法，如题(6)；②配方法；③分离常数法，如题(1)；④数形结合法，如题(6)；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如题(2)与(3)；⑥判别式法，如题(4)；⑦不等式法，如题(4)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数(详见本书4.3节)；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如题(5)．对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．变式2 (1)函数f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域为________．解：由y ＝5x －14x ＋2＝54－74（2x ＋1），又因为－3≤x ≤－1，所以720≤－74（2x ＋1）≤74，所以85≤y ≤3，即y ∈⎣⎡⎦⎤85，3.故填⎣⎡⎦⎤85，3. (2)函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．解：函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12， 令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.所以y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]． (3)函数y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1的值域是________．解：因为x 2＋x ＋1>0恒成立，所以函数的定义域为R .由y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1，得(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0.当y －2＝0，即y ＝2时，上式化为3x ＋0＝0，所以x ＝0∈R .当y －2≠0，即y ≠2时，因为当x ∈R 时，方程(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0恒有实根，所以Δ＝(y ＋1)2－4×(y －2)2≥0，所以1≤y ≤5且y ≠2.故函数的值域为[1，5]．故填[1，5]． (4)(广东省深圳市宝安区2020届高三上期中)设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：因为e x ＞0，所以e x ＋1ex ≥2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以y ＝e x＋1e x －a ≥2－a ，即A ＝[2－a ，＋∞)，因为A ⊆[0，＋∞)，所以2－a ≥0，即a ≤2.故填(－∞，2]．(5)函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域是________．解：如图，函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的几何意义为平面内x 轴上一点P (x ，0)到点A (－3，4)和点B (5，2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，所以y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y无最大值，所以y ∈[10，＋∞)．故填[10，＋∞)．类型三 求函数的解析式例3 (1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________.解：(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x.故填12x 2＋12x .(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________. 解：(配凑法)f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2－2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2(|x |≥2)．故填x 2－2(|x |≥2)．(3)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.解：(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg2x －1(x >1)．故填lg 2x －1(x >1)．(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解：(消去法)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1， 由⎩⎨⎧f （x ）＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.故填23x ＋13.(5)已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f (f (x )－3x )＝4，则f (2)的值是( )A.4B.8C.10D.12 解：根据题意，f (x )是单调函数，且f (f (x )－3x )＝4，则f (x )－3x 为定值．设f (x )－3x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝3x＋t 且f (t )＝4，即有3t＋t ＝4，得t ＝1，则f (x )＝3x ＋1，故f (2)＝10.故选C.点拨 函数解析式的求法：①待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法．②配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．③换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．④消去法(即函数方程法)：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．变式3 (1)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.解：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.故填2x －13或－2x ＋1.(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________. 解：f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2.故填x 2＋2.(3)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 解：令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．故填x 2－1(x ≥1)．(4)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )＝________.解：以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，所以f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.故填－x ＋14.(5)(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f (f (x )－ln x )＝1，则f (e)＝________.解：根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (f (x )－ln x )＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1，故f (e)＝ln e ＋1＝2.故填2.类型四 分段函数例4 (1)(贵州省铜仁一中2020届高三二模)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，0<x <2，－2x ＋8，x ≥2，若f (a )＝f (a ＋2)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________.解：由x ≥2时f (x )＝－2x ＋8是减函数可知，若a ≥2，则f (a )≠f (a ＋2)，所以0<a <2，由f (a )＝f (a ＋2)得a 2＋a ＝－2(a ＋2)＋8，解得a ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (1)＝12＋1＝2.故填2.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]．故填(－∞，8]．(3)(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x ＜1，λ∈R ，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是 ( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2)解：当a ≥1时，2a ≥2，所以f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，所以λ∈R ； 当a <1时，f (f (a ))＝f (λ－a )＝2λ－a ，所以λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，所以λ≥2.综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C.点拨 ①求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f (f (x 0))的求值问题时，应从内到外依次求值．②求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．变式4(1)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为 ( )A.1或－22B.－22C.1D.1或22解：因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，因为0<a 2<1，所以0<πa 2<π，所以πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.故选A.(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解：当x ＞12时，恒成立；当0＜x ≤12时，恒成立，当x ≤0时，－14＜x ≤0，故x ＞－14.故填⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. (3)已知f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是 ( )A.(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：当x ≥1时，ln x ≥0，故要使函数f (x )的值域为R ，如图所示，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ，所以－1≤a <12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12.故选C.1．判断两个函数是否相等 判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只需判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同． 2．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数的性质需求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性． 3．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；另一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集． (2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数进行分类讨论．(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)． 4．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法． 5．函数的值域 求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有： (1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．(2019·邵阳检测)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为 ( ) A.[1，2] B.(2，4] C.[1，2) D.[2，4)解：因为函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，所以函数f (x )的定义域为(1，2]，所以1<x 2≤2，解得x ∈(2，4]，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为(2，4]．故选B.2．函数y ＝16－4x 的值域是 ( )A.[0，＋∞)B.[0，4]C.[0，4)D.(0，4) 解：由已知得0≤16－4x <16，则0≤16－4x<4，即函数y ＝16－4x 的值域是[0，4)．故选C. 3．(2019·郑州外国语学校月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( ) A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞) 解：当x ≤1时，x 2＋1≤2，得－1≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，所以x ≥12，所以x >1. 综上可知，实数x 的取值范围是[－1，＋∞)．故选D.4．(重庆市南开中学2020届高三一检)关于函数y ＝f (x )与y ＝f (ln x )，下列说法一定正确的是( ) A.定义域相同 B.值域相同C.单调区间相同D.奇偶性相同 解：对于A ：y ＝f (x )的定义域是R ，而y ＝f (ln x )的定义域是(0，＋∞)，故A 错误；对于C ：y ＝f (ln x )是复合函数，其单调性须遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D ：y ＝f (ln x )的定义域是(0，＋∞)的子集，故y ＝f (ln x )不具有奇偶性，故D 错误；因为y ＝ln x 的值域是R ，故B 正确．故选B. 5．(2020届广东高三11月第一次质量检测)已知f (x )＝(x －n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1)(n ∈Z )，则f (2 021)＝ ( )A.1 0082B.1 0092C.1 0102D.1 0112 解：由2 021＝2×1 011－1，可得f (2 021)＝(2 021－1 011)2＝1 0102.故选C.6．(2019·福州检测)已知f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝ ( ) A.3 B.72 C.4 D.92解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝11＋x 2， 因为f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1， 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，因为f (1)＝121＋12＝12， 所以f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.故选B. 7．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解：因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －1)． 因为x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎡⎦⎤－14，0； 所以x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 所以x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1，0]，作出函数f (x )的图象如图．当x ∈(2，3]时，由4(x －2)(x －3)＝－89，解得x 1＝73，x 2＝83，若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m ≤73.则m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73.故选B. 8．【多选题】(山东省泰安二中2020届考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．下列函数为2倍值函数的是 ( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝x 3＋2x 2＋2xC.f (x )＝x ＋ln xD.f (x )＝xex解：由题意可得，若f (x )＝2x 在定义域内至少有两个不相等的实数根，则f (x )符合要求．对于A ，令f (x )＝x 2＝2x ，解得x ＝0或x ＝2满足题意；对于B ，令f (x )＝x 3＋2x 2＋2x ＝2x ，解得x ＝－2或x ＝0满足题意；对于C ，f (x )是增函数，令f (x )＝x ＋ln x ＝2x ，无解，不满足题意；对于D ，令f (x )＝x e x ＝2x ，解得x ＝0或x ＝ln 12满足题意．故选ABD.9．(2019·山东省实验中学段考)设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫2 021x ＝3x ，则f (2 021)＝________.解：x ＝1时，f (1)＋2f (2 021)＝3， 当x ＝2 021时，f (2 021)＋2f (1)＝6 063，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＋2f （2 021）＝3，f （2 021）＋2f （1）＝6 063，解得f (2 021)＝－2 019.故填－2 019.10．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解：(1)x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60＋80)－10＝130元．(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元， 当y <120元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求；当y ≥120元时，有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立，即8(y －x )≥7y ，x ≤y8恒成立，因为⎝⎛⎭⎫y 8min ＝15，所以x 的最大值为15. 故填130；15.11．(2018·唐山一中月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－x c 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98. (1)求常数c ；(2)解方程f (x )＝98.解：(1)因为0<c <1，所以0<c 2<c ，所以f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12.(2)由(1)得，f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎨⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎨⎧12≤x <1，2－4x ＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34.12.某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为x (单位：百台)，其总成本为g (x )(单位：万元)(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )(单元：万元)满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x >7. 假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：(1)要使工厂有盈利，产量x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，盈利最大？解：依题意得g (x )＝x ＋3.设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x >7.(1)要使工厂有盈利，则f (x )>0， 即⎩⎨⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0或⎩⎨⎧x >7，10.5－x >0⇒3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5，所以要使工厂有盈利，则产量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )取得最大值4.5； 当7<x <10.5时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 13．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，因为f (x )的定义域为R ，所以g (x )≥0，x ∈R 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－511，1. (2)因为函数f (x )的值域为[0，＋∞)， 所以函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－511.附加题 (广东省汕头市2019届高三第二次模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1x ，x <0，2x ＋1，x ≥0，g (x )＝x 2－x －2，设b 为实数，若存在实数a ，使得g (b )＋f (a )＝2成立，则b 的取值范围为( )A.［-1,2］B.⎣⎡⎭⎫－32，72 C.⎣⎡⎦⎤－32，72 D.⎝⎛⎦⎤－32，4 解：因为f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋1x ，x <0，2x ＋1，x ≥0，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1单调递增，故f (x )＝2x ＋1≥2；当x <0时，f (x )＝－x 2＋1x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝(－x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时，取等号．综上可得，f (x )∈[2，＋∞)．又因为存在实数a ，使得g (b )＋f (a )＝2成立， 所以只需g (b )≤2－f (x )min ，即g (b )＝b 2－b －2≤0，解得－1≤b ≤2.故选 A.。

5.5 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝____________________. (2)cos(α±β)＝____________________. (3)tan(α±β)＝____________________.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝____________________. 3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sin α＝____________________； 1＋cos α＝____________________；1－cos α＝____________________． (2)降幂公式：sin 2α＝____________________；cos 2α＝____________________．(3)tan α±tan β＝______________________； tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝_________________，sin φ＝_______________，或tan φ＝________________，φ角所在象限与点(a ，b )所在象限_______________，φ角的终边经过点(a ，b )． 自查自纠1．(1)sin αcos β±cos αsin β(2)cos αcos β∓sin αsin β (3)tan α±tan β1∓tan αtan β 2．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α (3)2tan α1－tan 2α 4．(1)⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22 2cos 2α2 2sin 2α2(2)1－cos2α2 1＋cos2α2(3)tan(α±β)(1∓tan αtan β)(4)a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 b a 相同1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝ ( ) A.－2－ 3 B.－2＋ 3 C.2－ 3 D.2＋3 解：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3.故选D. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＋cos α＝－33，则cos2α＝ ( )A.53B.－53C.223D.－223 解：因为sin α＋cos α＝－33，所以1＋sin2α＝13，所以sin2α＝－23.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＋cos α＝－33，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos2α＝1－49＝53.故选A.3．(陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2020届高三上学期10月月考)若函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，则f (x )的递增区间为 ( ) A.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤－5π6＋2k π，π6＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )解：f (x )＝sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x ＋32cos x ＋12sin x＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 解不等式－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为[－2π3＋2k π，π3＋2k π](k ∈Z )．故选B.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知0<α<2π，点P (1－tan π12，1＋tan π12)是角α终边上一点，则α的值是________．解：tan α＝1＋tan π121－tan π12＝tan π4＋tanπ121－tan π4tanπ12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝tan π3，因为0<α<2π，且点P 在第一象限，所以α为锐角，所以α的值是π3.故填π3.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3的值为________． 解：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2(π3＋α)＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.故填78. 类型一 非特殊角求值问题例1 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ ( )A.－5B.5C.－7D.7解：因为sin α＝－35，且α为第四象限角，则cos α＝45，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7.故选D. (2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝________.解：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2×⎝⎛⎭⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.故填1.(3)已知cos 2α＝sin α，则cos2α＝( )A.5＋12B.3－52C.12D.5－2解：由cos 2α＝sin α＝1－sin 2α，可得sin α＝5－12或－1－52(舍去)，可得cos2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝5－2.故选D. 点拨 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值． 变式1 (1)已知x ∈R ，sin x －3cos x ＝5，则tan2x ＝ ( )A.43B.34C.－34D.－43解：因为sin x －3cos x ＝5，及sin 2x ＋cos 2x ＝1，得()5＋3cos x 2＋cos 2x ＝1，即5cos 2x ＋35cos x ＋2＝0，解得cos x ＝－255或cos x ＝－55，所以当cos x ＝－255时，sin x ＝－55，tan x ＝12，tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×121－14＝43；当cos x ＝－55时，sin x ＝255，tan x ＝－2，tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×（－2）1－4＝43.综上知，tan2x ＝43.另解：将sin x －3cos x ＝5两边平方后，左边分母作“1”的代换，进而求解．故选A.(2)3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝________. 解：3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝3（sin12°－3cos12°）2cos24°sin12°cos12°＝23sin （12°－60°）12sin48°＝－43故填－4 3.(3)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于 ( )A. 3B.33C.－33D.－3解：因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D.类型二 给值求值问题例2 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.故填3. (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝__________．解：因为sin α＋cos β＝1 ①， cos α＋sin β＝0 ②，所以①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.故填－12.(3)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝( )A.－79B.79C.89D.－89解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－cos(2α－π6＋π2)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79.故选B. 点拨 给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等．必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12＜35＜22，及余弦函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减可知45°＜α＜60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等．另外，注意下面的三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等．②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”⎝⎛⎭⎫如1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．其中角的变换居核心地位．变式2 (1)(河北邢台2020届高三上学期第二次月考)设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π10＝15，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π10＝( )A.－35B.35C.－2325D.2325解：设β＝α＋π10，则α＝β－π10，所以2α－3π10＝2β－π2.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π10＝15，所以cos β＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π2＝－cos2β＝1－2cos 2β＝1－2×125＝2325.故选D.(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( )A.15B.55C.33D.255解：因为2sin2α＝cos2α＋1，所以4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α>0，sin α>0，所以2sin α＝cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B .(3)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于 ( )A.－12B.12C.－13D.2327解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，sin2α＝1－cos 22α＝429.而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.故选D.类型三 给值求角问题例3 已知A ，B 均为钝角，sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( )A.3π4B.5π4C.7π4D.7π6解：由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝1010. A ，B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B ＝－31010，cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22>0，那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π4.故选C. 点拨 一般给值求角问题，其本质仍是给值求值问题，即通过求所求角的某一三角函数值确定角的大小，因此其关键除了求值外，还在于确定角的范围： (1)在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角．确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围(详见例2“点拨”)．(2)已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：①已知正切值，常选正切函数；②已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；③若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫π，3π2，常选正、余弦函数；④若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，常选正弦函数；⑤若角的范围是(0，π)，常选余弦函数． 变式3 (2019·安徽六安一中高考模拟)已知0<β<α<π2，点P (1，43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝ ( )A.π12B.π6C.π4D.π3解：因为|OP |＝7，所以sin α＝437，cos α＝17.由已知，sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝3314，即sin αcos β－cos αsin β＝3314，所以sin(α－β)＝3314， 因为0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，因为0<β<π2，所以角β＝π3.故选D.类型四 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用例4 (2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 点拨 化简时要注意特殊角的三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负．变式4 已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋3cos2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos2x －1 ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 所以k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得，f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )的图象与函数y ＝m ＋2的图象有两个交点，画出两函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象如图，由图知3≤m ＋2＜2，即3－2≤m <0.故实数m 的取值范围是[3－2，0)．1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sin α±cos α)2有并项的功能，cos2α＝cos 2α－sin 2α有升幂的功能，sin2α＝2sin αcos α有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等． 2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的． 3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4．熟知一些恒等变换的技巧 (1)公式的正用、逆用及变形用． (2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α等．(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．(2019·重庆一中高三期中)计算sin15°sin75°的结果是 ( ) A.12 B.14 C.6－24 D.6＋24解：因为sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝ 12sin30°＝14.故选B. 2．(传统经典题)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.故选C.3．(河南南阳第一中学2018届第二十次考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为 ( ) A.－79 B.79C.13D.－13解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.故选A.4.设a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b解：a ＝－sin40°sin37°＋cos40°cos37°＝cos(40°＋37°)＝cos77°＝sin13°， b ＝22(sin56°－cos56°) ＝22sin56°－22cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°， c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°，因为函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为单调递增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a >c >b.故选D.5．(2020届湖北百校高三10月联考)已知cos27°＝0.891，则2(cos72°＋cos18°)的近似值为( ) A.1.77 B.1.78 C.1.79 D.1.81 解：cos72°＋cos18°＝sin18°＋cos18°＝2sin(18°＋45°)＝2sin63°＝2cos27°，2(cos72°＋cos18°)≈2×0.891＝1.782，所以2(cos72°＋cos18°)的近似值为1.78.故选B.6．若α，β∈R 且α≠k π＋π2，β≠k π＋π2(k ∈Z )，则“α＋β＝2π3”是“(3tan α－1)(3tan β－1)＝4”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：(3tan α－1)(3tan β－1)＝4， 即3tan αtan β－3tan α－3tan β＋1＝4， 即3tan αtan β－tan α－tan β＝3， 即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，即tan(α＋β)＝－3，所以α＋β＝2π3＋k π，当k ＝0时，α＋β＝2π3，所以“α＋β＝2π3”是“(3tan α－1)(3tan β－1)＝4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018届福建闽侯高三开学考试)若2cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos2α的值为( )A.－78B.－158C.1D.158解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，cos α<0，因为2cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，所以2(cos 2α－sin 2α)＝22(sin α－cos α)．所以cos α＋sin α＝－24，①①式平方得1＋2sin αcos α＝18，则2sin αcos α＝－78，则(cos α－sin α)2＝1－2sinαcos α＝1＋78＝158，所以cos α－sin α＝－304，②联立①②，解得cos α＝－30＋28， 所以cos2α＝2cos 2α－1＝158.故选D.8.【多选题】(山东省聊城市2020届高三上学期期中)已知3π≤θ≤4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ的可能值为 ( ) A.10π3 B.19π6 C.13π4 D.23π6解：因为3π≤θ≤4π，所以3π2≤θ2≤2π，所以cos θ2>0，sin θ2<0，所以1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32，所以θ2＋π4＝π6＋2k π或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 即θ＝－π6＋4k π或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ，因为3π≤θ≤4π，所以θ＝23π6或19π6.故选BD.9．(天津市和平区一中2020届高三上学期10月月考)已知0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝55.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________；sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．解：因为0<α<π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，所以tan α＝13，所以sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝3＋4310.故填2；3＋4310.10．若对任意x ∈R ，不等式sin2x ＋2sin 2x －m <0恒成立，则m 的取值范围是________．解：不等式sin2x ＋2sin 2x －m <0，即m >sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的最大值为2＋1，所以m >2＋1.故填()2＋1，＋∞.11．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12．(2018·合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tan α－1tan α.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，则由(1)知cos2α＝－32，所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.另解：由(1)知2α＋π3＝7π6，所以α＝5π12，所以tan α－1tan α＝tan 2α－1tan α＝－2tan2α＝23.13.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos(x ＋3π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)已知x 1，x 2是函数y ＝f (x )－12的两个零点，求|x 1－x 2|的最小值．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝sin 5π6cos2x －cos 5π6sin2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos(x＋π－π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由y ＝f (x )－12＝0得f (x )＝12，因为x 1，x 2是函数y ＝f (x )－12的两个零点，则由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12得2x 1－π6＝2k 1π＋π6，k 1∈Z ， ①2x 2－π6＝2k 2π＋5π6，k 2∈Z ， ②②－①得，2(x 2－x 1)＝2(k 2－k 1)π＋2π3，k 1，k 2∈Z ，即(x 2－x 1)＝(k 2－k 1)π＋π3，k 1，k 2∈Z ，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（k 2－k 1）π＋π3，k 1，k 2∈Z ，则当k 1＝k 2时，||x 1－x 2取得最小值，且最小值为π3. 附加题 如图，正方形OABC 的边长为1，以B 为圆心，BA 为半径在正方形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OC ，垂足分别为M ，N ，求四边形OMPN 面积的最大值．解：由题意，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点P 位于第三象限，设P (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则四边形OMPN 的面积S ＝|PM |·|PN |＝(1＋cos α)(1＋sin α)＝cos α＋sinα＋cos αsin α＋1，令cos α＋sin α＝t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－2，－1)，则cos αsin α＝t 2－12.所以S ＝g (t )＝t 2－12＋t ＋1＝（t ＋1）22∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，()2－122.所以四边形OMPN 面积的最大值为()2－122.。

第二章 不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式．3．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)能用基本不等式解决简单的求最大(小)值问题．2.1 不等式性质1．两个实数大小的比较 (1)a ＞b ⇔a －b________. (2)a ＝b ⇔a －b________.(3)a ＜b ⇔a －b________.2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________．(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________． (3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c. (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________， 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________． (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________． ※(6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒a －c ＞b －d. (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________．※(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ＞b d . ※(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ＜1b.(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________．(11)不等式的开方：a >b >0⇒______________．注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 自查自纠 1.＞0 ＝0 ＜02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc (5)a ＋c >b ＋d (7)ac >bd (10)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (11)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)1.下列说法正确的是 ( )A.若ab>1，则a >b B.一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变 C.一个非零实数越大，则其倒数就越大 D.a >b >0，c >d >0⇒a d >bc解：举反例易知A ，B ，C 均错误，c >d >0⇒1d >1c >0，故选项D 正确．故选D. 2.(2019·全国Ⅱ卷)若a ＞b ，则 ( ) A.ln(a －b )＞0 B.3a ＜3b C.a 3－b 3＞0 D.|a |＞|b |解：a ＞b ⇒a 3＞b 3，故C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C. 3.(北京市石景山区2019届高三3月统一测试)若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是 ( ) A.sin x >sin y B.ln x <ln(－y )C.e x <e yD.1x >1y解：因为sin π＝sin(－π)，ln1＝ln[－(－1)]，e 1>e －1，所以A ，B ，C 均不正确；因为x ＞0，y ＜0，所以1x ＞0，1y ＜0，所以1x ＞1y，所以D 正确．故选D.4．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________．解：因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N.故填M >N.5.(2018·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中所有正确的序号是________．①a －b >0；②a 3＋b 3>0；③a 2－b 2<0；④a ＋b <0.解：a ＋|b |<0⇒a <0且－a >|b |，由|b |≥－b 得－a >－b ⇒a －b <0，①错；由|b |≥b 得－a >b ⇒－a 3>b3⇒a 3＋b 3<0，②错；由|a |＝－a >|b |⇒a 2>b 2⇒a 2－b 2>0，③错；由－a >b ⇒a ＋b <0，④对．故填④.类型一 建立不等关系例1 下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格．某球迷赛前准备用1 200元预订前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数均为n (n ∈N *)张，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，写出关于n 的不等式(组)，并求可以预订的足球比赛门票数．解：由题意，足球比赛门票预定(15－2n )张，则⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100（15－2n ）≤1 200，80n ≤100（15－2n ），2n ＜15.解得5≤n ≤7514，由n ∈N *，可得n ＝5，所以15－2n ＝5.所以可以预订足球比赛门票5张．点拨 解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”“不超过”等，从而建立相应的方程或不等式模型．变式1 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．解：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *.(1)若c ＝4，则2c ＝8，所以8>a >b >4，当a ＝7时，b ＝6或5；当a ＝6时，b ＝5.所以b max ＝6.(2)因为2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *，所以c 与2c 之间至少有两个整数，所以2c －c ≥3，所以c ≥3，所以c min ＝3.当c ＝3时，有6>a >b >3，此时a ＝5，b ＝4，所以该小组人数的最小值为a ＋b ＋c ＝12. 故(1)填6；(2)填12.类型二 不等式的性质例2 (1)设a ，b ，c ，d 均为非零实数，则下列命题中所有正确的序号为________．①若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0；②若a <b <0，则1a －b >1b；③若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；④若a >b >1>d ＋1，则log a (b －d )<log b (a －d )．解：①正确，因为c a －d b ＝bc －adab >0，bc －ad >0，所以ab >0；②错误，因为a <b <0，令a ＝－2，b ＝－1，则a －b ＝－1，1a －b ＝－1，1b ＝－1，得1a －b ＝1b，所以1a －b >1b不一定成立； ③错误，因为a >b ，c >d ，所以令a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝0，则a －c ＝b －d ，所以a －c >b －d 不一定成立；④正确，因为a >b >1>d ＋1，所以a －d >b －d ＞1，所以log a (b －d )<log a (a －d )． 又因为log a (a －d )<log b (a －d )，所以log a (b －d )<log b (a －d )．故填①④.(2)(甘肃省2019届高三二诊)若a >b ，ab ≠0则下列不等式恒成立的是 ( )A.a 2>b 2B.lg(a －b )>0C.1a <1bD.2a >2b 解：对于选项A ，a 2>b 2不一定成立，如a ＝1＞b ＝－2，但是a 2＜b 2，所以该选项是错误的；对于选项B ，a ＝12，b ＝13，a －b ＝16，lg 16<0，所以该选项是错误的；对于选项C ，1a －1b ＝b －aab ，因为b －a <0，ab符号不确定，所以1a <1b 不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D ，因为a >b ，所以2a>2b，所以该选项是正确的．故选D.点拨 利用不等式性质进行命题的判断时：①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．变式2 (1)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 ( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜bc.故选D .(2)已知实数a ，b ，c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中所有成立的序号为________．①a 2c >b 2c ；②a ＋c <b ＋c ；③a 3b >ab 3；④c b >ca；⑤a ＋1b >b ＋1a.解：①不成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，又因为c <0，所以a 2c <b 2c ；②不成立，由不等式的性质，a ＋c >b ＋c ； ③成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，ab >0，所以a 2·ab >b 2·ab ，即a 3b >ab 3；④不成立，因为a >b >0，所以1b >1a，又因为c <0，所以c b <c a；⑤成立，因为a >b >0，所以1b >1a ，所以a ＋1b>b＋1b >b ＋1a. 故填③⑤.类型三 不等式性质的应用例3 (1)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y ) ＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52.所以2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，而－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<2x －y <8，即2x －y ∈(3，8)． 解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2，且－1<a <4，2<b <3.所以2x －3y ＝2·a ＋b 2－3·a －b 2＝－a 2＋52b ，因为－1<a <4，2<b <3， 所以－2<－a 2<12，5<52b <152，所以3<－a 2＋52b <8，即2x ＋y ∈(3，8)．故填(3，8)．(2)若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解法一：由3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3y4≤27，故x3y 4的最大值是27. 解法二：设x 3y4＝⎝⎛⎭⎫x 2y m·(xy 2)n ，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又因为16≤⎝⎛⎭⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，所以2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值为27.故填27.点拨 由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．变式3 (1)(2018·河北模拟)已知－π2<α<β<π2，则α－β2一定不属于 ( )A.(－π，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 C.(－π，0) D.(0，π)解：因为－π2<α<β<π2，所以－π2－π2<α－β<0，即－π<α－β<0，－π2<α－β2<0，所以α－β2一定不属于(0，π)．故选D. (2)若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5.故填[－1，5]．类型四 比较大小例4 (1)(2018·上海徐汇模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为 ( )A.p <qB.p ≤qC.p >qD.p ≥q解：p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)⎝⎛⎭⎫1a －1b＝（b 2－a 2）（b －a ）ab ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，即p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，即p <q. 综上，p ≤q.故选B.(2)已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与(ab )a ＋b 2的大小．解：因为a >0，b >0，所以a ab b （ab ）a ＋b 2＝a(a －a ＋b 2)b(b －a ＋b2)＝aa －b 2bb －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，若a >b >0，则ab >1，a －b >0，由指数函数的性质知⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1；若b >a >0，则0<ab <1，a －b <0，由指数函数的性质知⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1.综上知，a ab b （ab ）a ＋b 2>1，又(ab )a ＋b 2>0，所以a ab b>(ab )a ＋b2.点拨 作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论．变式4 (1)(2018·焦作模拟)设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解法一：(作差法) a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝（a ＋b ）（a 2－b 2）－（a 2＋b 2）（a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）. 因为a ＞b ＞0，所以a ＋b ＞0，a －b ＞0，2ab ＞0，a 2＋b 2＞0，所以2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b. 解法二：(作商法)因为a ＞b ＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞0，a －ba ＋b ＞0，2ab＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝（a ＋b ）2a 2＋b2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b2＝1＋2aba 2＋b 2＞1， 所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.(2)(2019·甘肃兰州模拟)设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________．解法一：因为0＜x ＜1，所以b －a ＝1＋x －2x >1＋x －2x ＝(x －1)2＞0，所以b >a ，c －b ＝11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，所以c >b ，所以c >b >a.所以c 最大．解法二：取x ＝18，则a ＝12，b ＝1＋18，c ＝87＝1＋17，显然c 最大．故填c . 例5 (2019·广西联考)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A.x <y <zB.z <y <xC.y <z <xD.y <x <z解：显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z.故选D.点拨 比较大小的常用方法：①作差法；②作商法；③放缩法．在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．变式5 设x >0，P ＝2x＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则 ( )A.P >QB.P <QC.P ≤QD.P ≥Q解：因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2，则有P >Q.故选A.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础． 2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性地运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2018·贵阳监测)下列命题中，正确的是 ( ) A.若a >b ，c >d ，则ac >bd B.若ac >bc ，则a >bC.若a c 2<bc2，则a <bD.若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解：选项A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；选项B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；选项C ：因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；选项D ：取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．故选C.2.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则 ( )A.－1m ＜－1n B.m －n ＜m －nC.⎝⎛⎭⎫12m＞⎝⎛⎭⎫12n D.m 2＜mn解法一：由题意，1m ＜1n ⇒－1m ＞－1n，A 错误；m －n ＜m －n ，两边均大于0，平方得m＋n －2mn ＜m －n ⇐n ＜mn ⇐n ＜m ⇐m ＞n ＞0，B正确； 易知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，m ＞n ＞0，所以⎝⎛⎭⎫12m＜⎝⎛⎭⎫12n，C 错误；因为m ＞n ＞0，所以m ·m ＞mn ，即m 2＞mn ，D 错误．解法二：取m ＝2，n ＝1，代入各选项验证A ，C ，D 不成立，只有B 项成立(2－1<2－1)．故选B.3．(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件．故选A. 4．(2019·山东德州模拟)已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是 ( )A.a 2<b 2<c 2B.ab 2<cb 2C.ac <bcD.ab <ac 解法一：因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，因为a <b ，所以ac <bc.解法二：(赋值法)依据条件不妨取a ＝－2，b ＝0，c ＝2，可排除A ，B ，D.故选C.5．(2019·豫西南联考)如果a >0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中所有正确的序号是 ( )①a 2b <b 3；②1a >0>1b；③a 3<ab 2.A.①②B.②③C.①③D.①②③解：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，b ＜0⇒a 2b <b 3，①正确；因为a >0，所以1a >0，又b <0，所以1b <0，所以1a >0>1b，②正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，a ＞0⇒a 3>ab 2，③不正确．故选A. 6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则 ( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解：因为a ，b >0且a ≠1，b ≠1，所以当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，则b >a >1，所以(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，即0<b <a <1，所以(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0.故选D.7.(2020届上海市七宝中学高三开学考试)已知集合M ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，若实数对(λ，μ)满足：对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M ，则称(λ，μ)是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中，不存在集合M 的“嵌入实数对”的是 ( )A.{(λ，μ)|λ－μ＝2}B.{(λ，μ)|λ＋μ＝2}C.{(λ，μ)|λ2－μ2＝2}D.{(λ，μ)|λ2＋μ2＝2}解：因为M ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，因为对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M ，可得|λx |＋|μy |≤1.因为⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，|λx |＋|μy |≤1，结合实数对(λ，μ)满足，对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M.所以可得|λ|≤1，|μ|≤1，即－1≤λ≤1，－1≤μ≤1.对于A ，因为－1≤μ≤1，可得－1≤－μ≤1，根据⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－1≤－μ≤1可得－2≤λ－μ≤2，所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ－μ＝2.对于B ，因为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－1≤μ≤1可得－2≤λ＋μ≤2，所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ＋μ＝2.对于C ，因为|λ|≤1，|μ|≤1，可得⎩⎨⎧0≤λ2≤1，－1≤－μ2≤0， 故－1≤λ2－μ2≤1，所以不存在集合M 的“嵌入实数对”使λ2－μ2＝2.对于D ，因为|λ|≤1，|μ|≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ2≤1，0≤μ2≤1， 故0≤λ2＋μ2≤2.所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ2＋μ2＝2.综上所述，{(λ，μ)|λ2－μ2＝2}不存在集合M 的“嵌入实数对．故选C.8．【多选题】(2020·枣庄市第三中学高三月考)如下的四个命题中真命题为( )A.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝7－4a ＋3a 2，c －b ＝5－4a ＋a 2，则c >b >aB.若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是(－π，π)C.如果a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，那么c <b <aD.若a <b <0，则不等式|b ||a |<|b |＋1|a |＋1一定成立解：对于A ，由c －b ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1>0，所以c >b.再由b ＋c ＝3a 2－4a ＋7①， c －b ＝a 2－4a ＋5②，①－②得，2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.因为1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34， 所以b ＝1＋a 2>a ，所以c >b >a ，故A 正确； 对于B ，因为－π2<β<π2，所以－π2<－β<π2，所以－π<α－β<π，又α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故B 错误；对于C ，由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，当x >e 时，1－ln x <0，所以y ＝ln xx在(e ，＋∞)上单调递减．因为e <3<4<5，所以ln33>ln44>ln55，所以c <b <a ，故C 正确；对于D ，要证不等式|b ||a |<|b |＋1|a |＋1成立，等价于证明(|a |＋1)·|b |<|a |·(|b |＋1)⇔|b |<|a |.因为a <b <0，所以|b |<|a |显然成立，故D 正确． 故选ACD.9.(2019·哈尔滨市呼兰区第一中学高一期中)已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则α－β2的取值范围是________．解：因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，－β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4，因此α－β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.故填⎣⎡⎦⎤－π2，π4.10．(2019·北京高三期末)能够说明“设a ，b是任意非零实数．若ba>1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，可取a ＝－1，b ＝－2.故填－1，－2(答案不唯一)．11．(2018·昆明模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5，10]．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10， 即f (－2)的取值范围是[5，10]．12.(1)设a >b >0，m >0，n >0，比较b a ，a b ，b ＋m a ＋m，a ＋nb ＋n的大小； (2)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，比较a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2的大小．解：(1)因为a >b >0，m >0，n >0，所以ba －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）<0，所以b a <b ＋m a ＋m<1.因为a ＋nb ＋n －ab ＝b （a ＋n ）－a （b ＋n ）b （b ＋n ）＝n （b －a ）b （b ＋n ）＜0，所以1<a ＋n b ＋n <a b .所以b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <ab.(2)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以2a <a ＋b ＝1且1＝a ＋b <2b ，所以0<a <12<b <1，所以2b >1且2a <1，所以a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，所以a 2＋b 2－b <0，所以a 2＋b 2<b.综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b.13．(2020·上海市延安中学高一期中)现有A ，B ，C ，D 四个长方体容器，已知容器A ，B 的底面积均为x 2，高分别为x ，y ，容器C ，D 的底面积为y 2，高也分别为x ，y (x >0，y >0，x ≠y )．现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道x ，y 的大小，问如何取可以确保一定获胜？请说明理由．解：当x >y 时，x 3>x 2y >xy 2>y 3，即V A >V B >V C >V D. 当x <y 时，y 3>y 2x >yx 2>x 3，即V D >V C >V B >V A. 又x 3＋y 3－(xy 2＋x 2y )＝(x 3－x 2y )＋(y 3－xy 2)＝(x －y )2(x ＋y )>0.所以在不知道x ，y 的大小的情况下，取A ，D 能够稳操胜券，其他取法都没有必胜的把握． 附加题 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1< v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2 v 1＋s2 v 2＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2，乙所用的时间t 乙满足：t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2＝s ，则t乙＝2sv 1＋v 2， 所以t 甲t 乙＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2·v 1＋v 22s ＝（v 1＋v 2）24 v 1 v 2＝v 21＋v 22＋2v 1 v 24 v 1 v 2>4 v 1 v 24 v 1 v 2＝1.因为t 甲>0，t 乙>0，所以t 甲>t 乙，即乙先到教室．。

2.3 基本不等式1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小． 6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大． 7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab 6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 221.下列说法正确的是( ) A.a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B.函数y ＝x ＋1x的最小值是2C.函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4D.“x>0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充分不必要条件解：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<cos x <1，f (x )＝cos x ＋4cos x无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需x y>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2.(2019·首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 6＝3，则a 4＋a 8 ( )A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3解：因为a 6＝3，所以a 4a 8＝a 26＝9，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝6，当且仅当a 4＝a 8＝3时等号成立．故选A. 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为 ( ) A.12 B.43C.－1D.0 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1x (x >0)取得最小值． 解：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x (x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12.5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)， 所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x＋y ，所以x ＋y ≤－2. 所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.类型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116.解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故填1.(3)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2b ＋1a ＝4＋4a b ＋ba≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ＝4时等号成立．另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得ab ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8.点拨 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．变式1 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )A.2B.12C.4D.14解：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立)．故选B.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92.故填92. (3)(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．解：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号．故填4.类型二 利用基本不等式求参数的值或范围例2 (1)(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意x >0，都有4xx 2＋x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x＋x ＋1≤42＋1＝43，即4x x 2＋x ＋1的最大值为43，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.故填36.点拨 求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .变式2 (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝yx时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a －2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4， 所以正实数a 的最小值是4.故选B.(2)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1) 解：由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，所以k ＋1<22，即k <22－1.故选B.类型三 利用基本不等式解决实际问题例3 (2019·上海高三单元测试)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成：①固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元；②生产所需的直接总成本50x ＋1100x 2.(1)该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，q ＝a ＋xb(a ，b ∈R )．若当产量为15 000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本费用) 解：(1)由题意知，生产成本为p ＝1 000 000＋50x ＋1100x 2，p x ＝x 100＋1 000 000x ＋50≥2x 100·1 000 000x ＋50＝250，当且仅当x 100＝1 000 000x ，即x ＝10 000时，取等号．故该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，此时每套的成本费用为250元．(2)设利润为s ，则s ＝qx －p ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000 000＋50x ＋1100x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －1100x 2＋(a －50)x －1 000 000，根据题意，有1b －1100<0，a ＋15 000b ＝300，且－a －502⎝⎛⎭⎫1b －1100＝15 000，解得a ＝250，b ＝300.点拨 建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．变式3 (1)(2019·阜新市高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元．为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．解：由题意，总的费用y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫400x ＋x ≥4×2400x ×x ＝160，当x ＝20时取“＝”.故填20.(2)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m 2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m 宽的绿化，绿化造价为200元/m 2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m 2.设矩形的长为x (m)，总造价为y (元)．(Ⅰ)将y 表示为关于x 的函数； (Ⅱ)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． 解：(Ⅰ)由矩形的长为x ，得矩形的宽为200x ， 则中间区域的长为x －4，宽为200x－4，则定义域为(4，50)， 则y ＝100⎣⎡⎦⎤（x －4）⎝⎛⎭⎫200x －4＋200[200－(x －4)⎝⎛⎭⎫200x －4]， 整理得y ＝18 400＋400⎝⎛⎭⎫x ＋200x ，x ∈(4，50)． (Ⅱ)x ＋200x ≥2x ·200x＝202， 当且仅当x ＝200x时取等号，即x ＝102∈(4，50)．所以当x ＝10 2 m 时，总造价最低，且为18 400＋8 0002元．1．基本不等式的变式和推广①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤14(a ＋b )2；④⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33，等等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正、二定、三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决． 5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．故选A.2．(2018·北京高三期中)某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (0＜a <b )，其全程的平均速度为v ，则 ( )A.v ＝a ＋b 2 B. v ＝ab C.a < v <ab D.ab < v <a ＋b 2 解：设从甲地到乙地距离为s ，往返的时间分别为t 1＝s a ，t 2＝sb(a <b )，其全程的平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab ，因为0<a <b ，所以1a >1b ，1a ＋1b <2a ，v >22a ＝a ，所以a < v <ab.故选C.3.(2019·河北高三月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b 满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为 ( )A.6B.8C.12D.24解：因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以定义域为R ，因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )，所以f (x )＝－f (－x )，则f (x )为奇函数．又x ＞0时，f (x )＝log 21x 2＋1＋x单调递减，f (0)＝0，f (x )为奇函数，所以f (x )为减函数，因为f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝－f (3b －1)＝f (1－3b )，则a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝9b a ＋ab＋6， 因为9b a ＋a b ≥29b a ×a b ＝6，所以3a ＋1b≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝12，b ＝16时，等号成立. 故选C.4．(2019·江苏省如皋中学高一月考)0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是 ( )A.a 1b 1＋a 2b 2B.a 1a 2＋b 1b 2C.a 1b 2＋a 2b 1D.12解：因为0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，所以a 1a 2＋b 1b 2<⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 222＝12，又a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1－(a 1－a 2)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)>0，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1，而1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，故a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可得a 1b 1＋a 2b 2最大．故选A.5．(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)解：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab ，即a ＝4，b ＝12时取等号．依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6≥－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.故选D.6．(2019·宜春昌黎实验学校高一月考)关于x 的方程9x ＋(a －2)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－2，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－∞，－2]D.[－4，＋∞)解：因为9x ＋(a －2)3x ＋4＝0，所以(a －2)3x ＝－(9x ＋4)，所以a －2＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4(当且仅当3x ＝43x ，即x ＝log 32时，等号成立)，故a ≤－2，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．故选C.7．(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为 ( )A.2B.2＋2C.4D.2＋22 解：因为△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，所以12(a ＋b ＋c )×m ＝m ，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为2＋22.故选D.8．【多选题】(2019·海南东方市民族中学高一期中)已知a ，b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是 ( )A.a ＋b ＋1ab ≥3 B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab解：对于A ，a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22<3，当且仅当a ＝b ＝22时取等号； 对于B ，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b 时取等号；对于C ，a 2＋b 2ab ≥（a ＋b ）22ab ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号；对于D ，当a ＝12，b ＝13时，2aba ＋b ＝1356＝215， ab ＝16，16>215， 此时2ab a ＋b <ab.当a ＝b ＝1时，22≥1成立．综上知，选项A ，D 中的不等式不一定成立．故选AD.9．(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________．解：因为a 3＝7，a 9＝19， 所以d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， 所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）×9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.故填3.10．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 解：32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，因为x ，y 均为正实数，所以xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故填16.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋25y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy.因为2x ＋5y ＝20，所以210xy≤20，xy ≤10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.则当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋25y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋25y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫4＋5y x ＋4x 5y ≥120⎝⎛⎭⎫4＋25y x ·4x 5y ＝25，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝4x 5y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．所以1x ＋25y 的最小值为25.12.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8y x＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．13．(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设n 年获取纯利润为y 万元． n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，所以n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －81－n 2n＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)， 所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元， 所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.附加题 (宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为________．解：曲线C 可整理为：(x －2)2＋y 2＝25， 则曲线C 表示圆心为(2，0)，半径为5的圆， t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，设d ＝（x ＋6）2＋（y －6）2，则d 表示圆C 上的点到(－6，6)的距离，则d max ＝（2＋6）2＋（0－6）2＋5＝15，所以t max ＝152－222－a ＝b ，整理得，a ＋1＋b＝4.所以1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ba ＋1＋a ＋1b ＋1. 又b a ＋1＋a ＋1b ≥2b a ＋1·a ＋1b＝2(当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝1，b ＝2时取等号)．所以1a ＋1＋1b ≥14×4＝1，即1a ＋1＋1b 的最小值为1.故填1.。

5.3 三角函数的图象与性质1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， . (2)在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， .2.周期函数的定义 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有___________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的________________.①________ ②________③_______自查自纠1．(1)(0，0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2π，0)(2)(0，1) ⎝⎛⎭⎫π2，0 (π，－1) ⎝⎛⎭⎫32π，0 (2π，1) 2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期 3.①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④[－1，1]⑤[－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z ) ⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ⑮⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )⑯[2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⑰[2k π，2k π＋π](k ∈Z )⑱⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ⑲奇函数⑳偶函数 奇函数1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C.y ＝sin2x ＋cos2xD.y ＝sin x ＋cos x解：对A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；对B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；对C 项，y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；对D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选B. 2．(2019·天津耀华中学高考模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2x 的一个单调递增区间是 ( )A.⎣⎡⎦⎤7π12，13π12 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D.⎣⎡⎦⎤－5π6，π6解：函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝－3sin(2x －2π3)，其单调递增区间满足2k π＋π2≤2x －2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋7π12≤x ≤k π＋13π12，k ∈Z ，令k ＝0可得函数的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤7π12，13π12.故选A.3．(2020届四川攀枝花市一模)函数f (x )＝3cos x ＋1x的部分图象大致是 ( )A BC D 解：由f (x )＝3cos x ＋1x ，可得f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当0＜x ＜π2时，f (x )＞0；当－1≤cos x ＜－13时，f (x )＜0，排除C ，D.故选B.4．(2018·湖南六校联考改编)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象为C ，则：①C 关于直线x ＝7π12对称；②C 关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称；③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π12上是增函数；④把y ＝2cos2x 的图象向右平移π12个单位长度可以得到图象C.以上结论正确的有________．(填所有正确的序号)解：当x ＝7π12时，f (x )＝－2，为最小值，故C关于直线x ＝7π12对称，①正确．当x ＝π12时，f (x )＝2，为最大值，故C 不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称，②错误． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π12⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12，所以f (x )在(－π3，π12)上单调递增，故③正确(或由T ＝π及解②所述知③正确)．把y ＝2cos2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝f (x )，故④正确．故填①③④.5.将函数y ＝sin ωx ()ω>0向右平移π3个单位长度，得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为________． 解：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω为偶函数，所以－π3ω＝k π＋π2，k ∈Z ，则ω＝－3k －32，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω取得最小正值为32.故填32.类型一 三角函数的定义域、值域例1 (1)函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域是________．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }． 解法二：sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2kπ，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z . 所以定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z . 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z . 点拨 ①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域常借助三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴求交集．(2)(2019·江西南昌二中期末)f (x )＝sin x －cos 2x＋2(x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3)的值域为________．解：f (x )＝sin x －(1－sin 2x )＋2＝sin 2x ＋sin x ＋1，设t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域等价于y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在⎣⎡⎦⎤－12，1上的值域． 所以y ∈⎣⎡⎦⎤34，3，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.故填⎣⎡⎦⎤34，3. 点拨 本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题．求最值时，要注意三角函数的取值范围．(3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：因为－π2≤x ≤0，所以－34π≤2x ＋π4≤π4，所以当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为2.点拨 求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法［参看例1(2)，注意三角函数的取值范围］、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ［或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b ］，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．变式1 (1)函数y ＝lgsin x2sin x －3的定义域为． 解：因为y ＝lgsin x 2sin x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.所以原函数的定义域为{x 2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z }．故填{x |2k π＜x＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k∈Z }．(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________________．解：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2.所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－2.所以函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 故填⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 类型二 三角函数的周期性例2 求下列函数的最小正周期． (1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3.解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ) ＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. (3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin(4x －π3)的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4.点拨 求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；③对于形如y ＝a sin ωx ＋b cosωx 的函数，一般先把其化为y ＝a 2＋b 2·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定．变式2 (2019·湖南师大附中期中)给出如下四个函数：①f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )； ②f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ；③f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，b ，c 为常数；④f (x )＝|sin2x ＋cos2x |.其中最小正周期一定为π的所有函数序号为 ( ) A.①② B.① C.②③ D.①③④ 解：①f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3(cos 2x －sin 2x )＋2sin x cos x ＝3cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，最小正周期为π；②f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝1－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x ＝34＋14cos4x ，最小正周期为π2； ③对于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，当b ≠0时，易知f (x ＋π)＝f (x )不恒成立，故周期不为π；④f (x )＝||sin2x ＋cos2x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π2.因此仅①满足．故选B.类型三 三角函数的奇偶性例3 (1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )；(Ⅱ)f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x .解：(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )＝(－sin2x )(－cos x )＝cos x sin2x.因为f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，所以f (x )是奇函数．(Ⅱ)由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且 f (－x )＝6cos 4（－x ）＋5sin 2（－x ）－4cos （－2x ）＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数．点拨 判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．(2)(2019·天津高考模拟)已知函数f (x )＝sin(2x＋φ)(|φ|<π2)的图象向右平移π12个单位长度，所得到的图象关于y 轴对称，则φ的值为 ( )A.－π3B.－π4C.π3D.－π6解：f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位长度后的解析式为g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin[2(x－π12)＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ，因为g (x )的图象关于y 轴对称，则当x ＝0时函数取得最大值或最小值，即2×0－π6＋φ＝－π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝kπ＋2π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，则令k ＝－1，得φ＝－π3.故选A. 点拨 三角函数的对称性与奇偶性密不可分，已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数求解．如：y＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数，则φ＝k π＋π2，k ∈Z ；y＝A cos(ωx ＋φ)是偶函数，则φ＝k π，k ∈Z .变式3 (1)判断下列函数的奇偶性． (Ⅰ)f (x )＝2sin2x ；(Ⅱ)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2；(Ⅲ)f (x )＝sin|x |；(Ⅳ)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.解：(Ⅰ)显然x ∈R ，f (－x )＝2sin(－2x )＝－2sin2x ＝－f (x )，所以f (x )＝2sin2x 是奇函数．(Ⅱ)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(Ⅲ)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．(Ⅳ)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (2)(2018·南京师大附中树人学校高考模拟)若将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位长度所得到的图象关于原点对称，则φ＝________.解：将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位所得到的图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，由题意得函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ为奇函数，所以π6＋φ＝π2＋k π，k∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以令k＝0，得φ＝π3.故填π3.类型四 三角函数的单调性例4 (河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋kπ，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．点拨 求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解(若ω<0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错)，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2kπ(k ∈Z )求增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2kπ(k ∈Z )求减区间．对于逆向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．变式4(1)函数y ＝log 12⎝⎛⎭⎫sin2x cos π4－cos2x sin π4的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π＋3π8，k π＋5π8，k ∈Z解：由题意知，sin2x cos π4－cos2x sin π4＝sin(2x－π4)>0，且需y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递增，所以2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，即k π＋π8<x <k π＋3π8，k ∈Z .故选B.(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是 ( )A.π4B.π2C.3π4D.π 解：因为f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )，得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )，因此[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ，－a ≥－π4，a ≤3π4，所以0<a ≤π4，从而a 的最大值为π4.故选A.类型五 三角函数图象的对称性例5 (1)(2019·河北武邑中学高三月考)已知函数f (x )＝－3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则有下列结论：①f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称；③f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2上的最大值为3；④f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π6.其中所有正确结论的序号为 ( ) A.①② B.①③ C.②④ D.②③解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，函数f (x )先减后增，则①错误；当x ＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，即f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，则②正确； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－3，32，即f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的最大值为32，则③错误；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3为最小值，则④正确．故选C.(2)(2020届安徽皖江名校高三联考)已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3解：根据题意，f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋φ＋π6)，若f (x )为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝kπ＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B ，D ，对于A ，当φ＝π3时，f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，不符合题意， 对于C ，当φ＝4π3时，f (x )＝2sin(2x ＋3π2)＝－2cos2x ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，符合题意．故选C.点拨 ①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，常通过恒等变换为②的情形．变式5 (1)(辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟)若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π2解：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z .取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.(2)(2019·河南高考模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象与函数g (x )的图象关于直线x ＝π8对称，则关于函数y ＝g (x )以下说法正确的是 ( )A.最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B.在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数C.在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D.周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解：设点P (x ，y )是函数y ＝g (x )图象上的任意一点，则点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4，y 在函数y ＝f (x )的图象上，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π4－π2＝－sin2x ＝g (x )．对于选项A ，函数y ＝g (x )的最大值为1，但是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0≠±1，所以图象不关于直线x ＝π2对称，故错误；对于选项B ，g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2得，k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故正确；对于选项C ，由前面分析得函数y ＝g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，且函数y ＝g (x )不是偶函数，故错误；对于选项D ，函数的周期为π，由2x ＝k π，得x ＝k π2，所以函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，故错误．故选B.1．三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．2．三角函数值域的求法(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域．(2)形如y ＝a sin2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域． (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域． 3．判断三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”.一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性． 4．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T＝π|ω|来确定；③根据图象来判断． 5．三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求其增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求其减区间． (2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π13 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z 时，函数单调递增．因为x ∈[]0，π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.故选C. 2．(2019届湖南师大附中高三上学期月考)已知函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：①函数f (x )的最小正周期是2π； ②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数； ③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称； ④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数，结论正确．③因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确． ④设g (x )＝2sin2x ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ≠f (x )，结论错误．故选B. 3.(2018届武汉二月调研测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则φ＝ ( ) A.π6 B.π3 C.π3或2π3 D.π6或5π6 解：由f (x )的最大值为2，知1＋a 2＝2，即a ＝±3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ±π3，由f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 知f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以当x ＝π4时，2x ＋φ±π3＝k π＋π2，即φ＝k π±π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3或2π3.故选C.4.(2019·广东高三六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2 021x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2 021x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A ·|x 1－x 2|的最小值为( )A.π2 021B.2π2 021C.4π2 021D.π4 042解：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6＋cos[－π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6＋cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6，所以A ＝2.因为存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 021x ＋π6的周期的二分之一，则A ·|x 1－x 2|的最小值为函数的一个周期2π2 021.故选B.5.(2019·天津高考模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R ，在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 ( )A.πB.π2C.π3D.π4解：函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(32sin ωx＋12cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6， 令2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，解得ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，解得x ＝2k πω或x ＝2π3ω＋2k πω，k ∈Z ，在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，设相邻交点的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，得(x 2－x 1)min ＝2π3ω＝π3，解得ω＝2.所以T ＝2π2＝π.故选A.6．(2018届江西五市八校联考)已知f (x )＝4sin ωx 2·cos ωx2(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是 ( )A.(0，1]B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎦⎤12，34 D.[1，＋∞)解：由题意，得f (x )＝2sin ωx (ω>0)，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0<ω≤34，又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2≤πω<5π2，解得12≤ω<52，则ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，34.故选C. 7.(安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考)关于函数f (x )＝cos x ＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )的最小值为－2；②f (x )在[π，2π]上单调递增； ③函数y ＝f (x )－1在[－π，π]上有3个零点； ④曲线y ＝f (x )关于直线x ＝π对称．其中所有正确结论的编号为 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④解：当sin x ≥0时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；当sin x≤0时，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，画出f (x )在[0，2π]上的图象，再利用周期性，可得③④正确．故选D. 8．【多选题】已知函数f (x )＝sin4x ＋3cos4xsin2x －3cos2x，则下列结论正确的是 ( )A.f (x )的最小正周期为πB.f (x )的最大值为2C.f (x )的值域为(－2，2)D.f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫－π12，0对称解：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠0，当且仅当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝±1，所以f (x )的值域为(－2，2)，f (x )的最小正周期为π，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称．故选ACD.9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解：因为0≤x ≤π，所以π6≤3x ＋π6≤19π6，由题可知3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．故填3.10.(江苏省无锡市2019届高三上学期期末)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)(x 1＜x 2＜x 3＜x 4)，则x 4＋1tan x 4＝________．解：直线y ＝k (x ＋2)过定点(－2，0)，如图所示，由图可知，直线与y ＝|cos x |的图象在点D 处相切，且x 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，即k (x 4＋2)＝－cos x 4，所以k ＝－cos x 4x 4＋2.又y ′＝(－cos x )′＝sin x ，即直线的斜率为k ＝sin x 4，因此k ＝－cos x 4x 4＋2＝sin x 4，即cos x 4sin x 4＝－x 4－2.x 4＋1tan x 4＝x 4＋cos x 4sin x 4＝x 4－x 4－2＝－2.故填－2.11．(2019·浙江期末)设函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x.(1)求f (x )的最小正周期T ；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上的值域．解：(1)f (x )＝3·1－cos2x 2＋sin2x2＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32＋1. 12．(2019·天津高考模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的单调性．解：(1)由题意，得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋kπ≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．13．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋3.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若m －3<f (x )<m ＋3对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)令t ＝2x －π3，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，则sin t ∈⎝⎛⎦⎤－32，1，2sin t ∈(]－3，2，即f (x )∈(]－3，2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－3，m ＋3>2，解得－1<m ≤3－3， 即实数m 的取值范围是(－1，3－3]．附加题 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )的图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝m π＋π2(k ，m ∈Z )， 所以φ＝m ＋k 2π＋π4，ω＝1＋2(m －k )， 又|φ|≤π2，所以φ＝π4或φ＝－π4. 当φ＝π4时，ω＝1－4k ，若ω＝9，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36时， 9x ＋π4的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调， 当φ＝－π4时，ω＝－1－4k ，若ω＝11，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36时，11x －π4的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13π36，23π18，不满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以ω的最大值为9.故选B.。

3.7 函数的图象1．作函数的图象的两种基本方法 (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． 2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到；②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”. (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称．(3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的______________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的_______________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变； ②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．自查自纠2．(1)①y ＝f (x ＋a ) 右 ②y ＝f (x )＋b 下 (2)①y 轴 x 轴 原点 ②x ＝m(3)①A 倍 ②1a倍1．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是 ( )A BC D 解：因为log a 2<0，所以0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)的单调性可知A ，D 错误，再由定义域知B 选项正确．故选B.2．函数y ＝1－1x －1的图象是 ( )A BC D解：将y ＝－1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象，选项B 符合题意．故选B. 3.(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A BC D解：函数是奇函数，排除A ，又f (π)＞0，排除B ，C.故选D.4．已知函数f (x )的部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________．解：由图象可知x ＋t 的范围是(0，3)，即不等式的解集为(－t ，3－t )，依题意可得t ＝1.故填1.5．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________． 解：作出f (x )的图象如图，当x >4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知1<a <2<b <4<c <9，由f (a )＝f (b )， 得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ， 因为4<c <9，所以16<4c <36，即16<abc <36，所以abc 的取值范围是(16，36)．故填(16，36)．类型一 作图例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．① ② (2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②. (3)因为y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.③ ④ (4)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.其图象如图④.点拨 画函数图象的一般方法：①直接法，当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出；②图象变换法，若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．变式1 作出下列函数的图象：(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图①.(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2－1x ＋1，可由y ＝－1x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②.(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0＜x ＜1如图③所示．① ② ③类型二 识图例2 (1)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数是 ( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝－|f (x )|C.y ＝－f (－|x |)D.y ＝f (－|x |) 解：图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象．故选C. (2)(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )A BC D解：函数y ＝2|x |sin2x 是奇函数，故排除A ，B选项．不论x 取何值，2|x |始终大于0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，故y ＝2|x |sin2x >0，图象在x 轴的上方；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin2x <0，故y ＝2|x |sin2x <0，图象在x 轴的下方，选项D 符合．故选D. (3)(2018·蚌埠二模)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是( )A BC D解：由题意，函数在(－∞，－1)，(0，1)上的函数值为负，在(－1，0)，(1，＋∞)上的函数值为正，仅选项A 符合．故选A. 点拨 抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的变化趋势；③从周期性判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性判断图象的对称性．抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题．变式2 (1)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝|f (x )|C.y ＝f (－|x |)D.y ＝－f (|x |)解：y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x ＜0.故选C.(2)(2019·黑龙江大庆实验中学高考模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能是 ( )A.f (x )＝(4x ＋4－x )|x |B.f (x )＝(4x －4－x )log 2|x | C.f (x )＝(4x ＋4－x )log 2|x |D.f (x )＝(4x ＋4－x )log 12|x |解：由图可知，函数f (x )是偶函数，且f (1)＝0， f (x )＝(4x ＋4－x )|x |是偶函数，但是f (1)≠0，不满足题意； f (x )＝(4x －4－x )log 2|x |是奇函数，不满足题意；f (x )＝(4x ＋4－x )log 2|x |是偶函数，f (1)＝0满足题意；f (x )＝(4x ＋4－x )log 12|x |是偶函数，f (1)＝0，但x ∈(0，1)时，f (x )＞0，不满足题意．故选C.(3)(2019·江西名校联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )·ln(e ＋x )的大致图象为 ( )A BC D 解：因为函数f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (－x )＝x 2＋ln(e ＋x )·ln(e －x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C ；因为x →e 时，f (x )→－∞，所以排除B ，D.故选A.类型三 用图例3 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 解：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1， 作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点． 因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．故填5.(2)(2018·衡水中学6月训练)已知实数a ，b ，c ，2a ＝－log 2a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝－log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝c －23，则( ) A.b >c >a B.c >b >aC.b >a >cD.c >a >b解：由题意可知，a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12x的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝log 2x 的交点的横坐标．c 是y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝x －23的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y ＝2x ，y ＝log 12x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝x －23的图象，结合图象，得b >a >c.故选C. (3)(2019·衡阳市高三第一次联考)若函数f (x )的图象上存在两个不同点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 两点为一对“优美点”，记作(A ，B )，规定(A ，B )和(B ，A )是同一对“优美点”.已知f (x )＝⎩⎨⎧|cos x |，x ≥0，－lg （－x ），x ＜0，则函数f (x )的图象上共存在“优美点” ( )A.14对B.3对C.5对D.7对解：与y ＝－lg(－x )的图象关于原点对称的函数是y ＝lg x ，函数f (x )的图象上的优美点的对数，即方程|cos x |＝lg x (x >0)的解的个数，也是函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象，如图．f (3π)＝1，f (－10)＝－1，而9＜3π＜10，故由图可知，共有7个交点，函数f (x )的图象上存在“优美点”共有7对．故选D.点拨 函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透．变式3 (1)(2018·深圳质检)设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．(填写所有正确命题的编号)解：y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示，x ＝2及y ＝2是其渐近线，则①不正确，②正确．y ＝2＋3x －2由y ＝3x 向右、向上平移2个单位得到，由y ＝3x关于y ＝x 对称知③正确，④不正确．故仅②③正确．故填②③.(2)(2018·安徽江淮十校4月联考Ｋ)若直角坐标系内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“和谐点对”有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，观察它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，由图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．故选B . (3)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2－x )＝4－f (x ＋4)，若函数y ＝2x ＋2x －3与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝ ( )A.3mB.5mC.6mD.10m 解：因为f (2－x )＝4－f (x ＋4)， 即f (2－x )＋f (x ＋4)＝4，令t ＝2－x ，x ＝2－t ，则有f (t )＋f (6－t )＝4(利用“若函数f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称图形”)，所以f (x )的图象关于点(3，2)对称．因为y ＝2x ＋2x －3＝2（x －3）＋8x －3＝2＋8x －3也关于点(3，2)对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＝m2×6＝3m ，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y m ＝m2×4＝2m ，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋y3＋…＋y m ＝5m.故选B.1．涉及函数图象问题的主要考查形式 (1)知图选(求)式． (2)知式选(作)图． (3)图象变换． (4)图式结合等． 对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”.2．识图与用图(1)识图：对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面，研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期；⑫求参数范围等．3．图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．1．(2019·河北衡水二中月考)若函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则()A.a>1，b>1B.a>1，0<b<1C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解：由图象从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点为(0，1－b)，所以0<1－b<1，则0<b<1.故选D.2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为()A BC D解：设y＝f(x)＝2x32x＋2－x，则f(－x)＝2（－x）32－x＋2x＝－2x32x＋2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C.又f(4)＝2×4324＋2－4>0，排除选项D；f(6)＝2×6326＋2－6≈7，排除选项A.故选B.3．(2019·陕西咸阳一中期中)函数f(x)＝2|x|－x2的图象大致为()A BC D解：由题意知，当x＞0时，f′(x)＝2x ln2－2x，当x→0时，2x→1，2x→0，f′(x)＞0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D.故选C.4．(2018·甘肃省庆阳市月考)已知函数f(x)＝x a，g(x)＝a x，h(x)＝log a x(其中a>0，a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()A BC D解：对于A ，其中指数函数的底数大于1，而幂函数的指数小于0，故A 不对；对于B ，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也大于1，故B对；对于C ，其中指数函数的底数大于1，而对数函数的底数小于1，故C 不对；对于D ，其中幂函数的指数大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．综上，B 正确．故选B.5.(2019·山东青岛二中期末)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是 ( )y ＝f (x －1)的图象 y ＝f (－x )的图象 A By ＝|f (x )|的图象 y ＝f (|x |)的图象 C D解：在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，因此C正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.6．(2019·湖北武汉模拟)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2.规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )．则h (x ) ( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解：如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的大致图象，两图象相交于A ，B 两点．在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象为图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．故选C.7．(安徽省六校2020届高三上第一次素质测试)某罐头加工厂库存杧果m kg ，今年又购进n kg 新杧果后，欲将杧果总量的三分之一用于加工为杧果罐头．被加工为罐头的新杧果最多为f 1kg ，最少为f 2kg ，则下列图象中最能准确描述f 1，f 2分别与n 的关系的是 ( )A BC D解：要使得被加工为罐头的新芒果最少，则尽量使用库存杧果，当m ＋n3≤m ，即n ≤2m 时，f 2＝0， 当m ＋n 3＞m ，即n ＞2m 时，f 2＝n ＋m3－m ＝n －2m 3，对照图象舍去B ，D ； 要使得被加工为罐头的新杧果最多，则尽量使用新杧果，即当m ＋n 3≤n ，即n ≥m 2时，f 1＝m ＋n 3，当m ＋n 3＞n ，即n ＜m 2时，f 1＝n ，因为m 2＜2m ，由A ，C 选项知，C正确．故选C.8．【多选题】(山东潍坊2020届高三期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x <0，f （x －2），x ≥0，以下结论正确的是( ) A.f (－3)＋f (2 019)＝－3B.f (x )在区间[4，5]上是增函数C.若方程f (x )＝kx ＋1恰有3个实根，则k ∈⎝⎛⎭⎫－12，－14 D.若函数y ＝f (x )－b 在(－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则∑i ＝16x i f (x i )的取值范围是(0，6)解：函数f (x )的图象如图所示，对于A ，f (－3)＝－9＋6＝－3，f (2 019)＝f (1)＝f (－1)＝1，所以f (－3)＋f (2 019)＝－2，故A 错误；对于B ，由图象可知f (x )在区间[]4，5上是增函数，故B 正确；对于C ，由图象可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，－14时，直线y ＝kx ＋1与函数图象恰有3个交点，故C 正确； 对于D ，由图象可得，当函数y ＝f (x )－b 在 (－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则0<b <1，又f (x i )＝b ，故错误!i ＝b (－2＋2＋6)＝6b ∈(0，6)，故D 正确．故选BCD.9．(2019·吉林省实验中学模拟)函数f (x )＝x ＋1x的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.解：因为f (x )＝x ＋1x ＝1x ＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.故填2.10．(2019·福建双十中学模拟)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解：画出f (x )的大致图象如图所示． 不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．故填{x |x ≤0或1<x ≤2}．11．(湖北鄂南高中2020届高三上10月月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin π2x ，－2≤x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)写出实数k 的取值范围；(3)求x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围． 解：(1)f (x )的函数图象如图所示．(2)由图及题意知0＜k ＜1.故实数k 的取值范围是(0，1)．(3)设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2＝－2，且1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，因为－ln x 3＝ln x 4，所以ln(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－2＋x 3＋x 4＝x 3＋1x 3－2，设g (x )＝x ＋1x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，则g ′(x )＝1－1x 2＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，所以0＜g (x )＜e ＋1e－2， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，e ＋1e －2.12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2f （x －2），x ∈（0，＋∞）.(1)求函数f (x )在[－2，4]上的解析式；(2)若方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a 的取值范围．解：(1)当－2≤x ≤4时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2－2|x －1|，x ∈（0，2），4－4|x －3|，x ∈[2，4].(2)作出函数f (x )在区间[－2，4]上的图象如图．设y ＝x ＋a ，方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a 的取值范围是－2<a <0或a ＝1，即{a |－2<a <0或a ＝1}．附加题 (山东省德州市2020届高三上期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈（0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈（2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈（4，＋∞），其中min{a ，b }表示a ，b 中较小的数．(1)若f (x )＝a 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________；(2)若关于x 的方程f (x －T )＝f (x )(T ＞0)有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．解：(1)函数式化简后为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈（0，2]，|x －3|，x ∈（2，4]，|x －5|，x ∈（4，＋∞），作出函数图象，如图，f (x )在(0，1]，[2，3]，[4，5]上都是单调递减的，在[1，2]，[3，4]，[5，＋∞)上都是单调递增的，f (2)＝f (4)＝f (6)＝1，因此当a ＞1时，函数f (x )的图象与直线y ＝a 有且只有一个交点，所以f (x )＝a 有且只有一个实根．(2)如图，把f (x )的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有2＜T ＜4.故填(1，＋∞)；(2，4)．11。